ホーナー回路の低減度合い。 高等数学の方程式、多項式の有理根。 ホーナー方式

等。 一般的な教育的性質を持ち、 非常に重要コース全体を勉強するには 高等数学。 今日は「学校」の方程式を繰り返しますが、「学校」の方程式だけではなく、さまざまなヴィシュマト問題のどこにでも見られる方程式を繰り返します。 いつものように、物語は応用的な方法で語られます。 定義や分類には焦点を当てませんが、正確に説明します。 個人的体験ソリューション。 この情報は主に初心者を対象としていますが、上級の読者にも役立つものがたくさんあるでしょう。 興味深い瞬間。 そしてもちろんあります 新しい素材を超えて 高校.

それで方程式は…。 多くの人はこの言葉を震えながら覚えています。 価値のあるルートを持つ「洗練された」方程式とは何ですか... ...そんなことは忘れてください! そうすれば、この種の最も無害な「代表者」に出会うからです。 あるいは退屈 三角方程式数十の解決方法を備えています。 正直に言うと、私自身はあまり好きではなかったのですが… 慌てないで！ – その後、ほとんどの場合「タンポポ」が 1 ～ 2 ステップで明らかな解決策を待っています。 確かに「ごぼう」はしがみつきますが、ここでは客観的になる必要があります。

奇妙なことに、高等数学では、次のような非常に原始的な方程式を扱うことがはるかに一般的です。 線形方程式

この方程式を解くことは何を意味するのでしょうか? これは、それを真の等価にするような「x」(ルート) の値を見つけることを意味します。 符号を変えて「3」を右に投げてみましょう。

「2」を右側にドロップします (または、同じこと - 両辺を乗算します) :

確認するために、獲得したトロフィーを元の方程式に代入してみましょう。

正しい等価性が得られます。これは、見つかった値が実際にこの方程式の根であることを意味します。 または、彼らも言うように、この方程式を満たします。

ルートは次の形式で記述することもできることに注意してください。 10進数:
そして、この悪いスタイルに固執しないようにしてください。 特に最初のレッスンでは、その理由を何度も繰り返しました。 高等代数.

ちなみに、この方程式は「アラビア語」でも解くことができます。

そして最も興味深いのは、この録音が完全に合法であるということです。 ただし、教師ではない場合は、独創性が罰せられるため、これを行わない方が良いです =)

そして今、少しについて

グラフィカルな解決法

方程式には次のような形式があり、その根は次のとおりです。 「X」座標 交点 一次関数グラフスケジュール付き 一次関数 (x軸):

この例は非常に初歩的であるため、ここでこれ以上分析することはないようですが、そこからもう 1 つの予期せぬニュアンスを「絞り出す」ことができます。同じ方程式を次の形式で提示し、関数のグラフを作成してみましょう。

その中で、 2 つの概念を混同しないでください: 方程式は方程式であり、 関数– これは関数です! 機能 助けるだけ方程式の根を求めます。 そのうちの 2 つ、3 つ、4 つ、または無限に多くなる場合もあります。 この意味で最も近い例は、よく知られているものです。 二次方程式 、解決アルゴリズムは別の段落で説明されています。 「熱い」学校の公式。 そしてこれは偶然ではありません！ 二次方程式を解いて知識があれば ピタゴラスの定理そうすると、「高等数学の半分はすでにあなたのポケットに入っている」と言う人もいるかもしれません =) もちろん誇張ですが、真実からそれほど遠くありません。

したがって、怠惰にならずに、以下を使用して二次方程式を解いてみましょう。 標準アルゴリズム:

、これは方程式には 2 つの異なる点があることを意味します。 有効根：

見つかった両方の値が実際にこの方程式を満たしていることを確認するのは簡単です。

解決アルゴリズムを突然忘れてしまい、手元に手段や助けがない場合はどうすればよいでしょうか? この状況は、たとえばテストや試験中に発生する可能性があります。 グラフィカルな手法を採用しています！ 方法は 2 つあります。 ポイントごとに構築する放物線 、それによって軸と交差する場所を見つけます (少しでも交差するなら)。 しかし、もっとずるいことをしたほうが良いでしょう。式を形にして想像し、より単純な関数のグラフを描きます。 「X」座標それらの交差点がはっきりと見えます。


直線が放物線に接していることが判明した場合、方程式には 2 つの一致する (複数の) 根があることになります。 直線が放物線と交わらないことが判明した場合、実際の根は存在しません。

もちろん、これを行うには、ビルドできる必要があります 初等関数のグラフ、しかし一方で、これらのスキルは小学生でも行うことができます。

繰り返しますが、方程式は方程式であり、関数は関数です。 助けただけ方程式を解いてください！

ところで、ここでもう 1 つ覚えておくとよいでしょう。 方程式のすべての係数にゼロ以外の数値を乗算しても、その根は変わりません。.

たとえば、次の方程式は 同じ根を持っています。 簡単な「証明」として、括弧内の定数を取り出します。
そして痛みを伴わずに取り除きます (両方の部分を「マイナス 2」で割ります):

しかし！機能を考えてみると 、そうすると、ここで定数を取り除くことはできません。 乗数を括弧から取り出すことのみが許可されます。 .

多くの人は、グラフィカルな解決法を「品位のないもの」と考えて過小評価しており、中にはこの可能性を完全に忘れている人さえいます。 そして、これは根本的に間違っています。グラフをプロットするだけで状況が救われる場合があるからです。

別の例: 最も単純な三角方程式の根を覚えていないとします。 一般的な公式は学校の教科書や初等数学のすべての参考書に載っていますが、皆さんは入手できません。 ただし、方程式を解くことが重要です (別名「2」)。 出口はあるよ！ – 関数のグラフを作成します。


その後、それらの交点の「X」座標を冷静に書き留めます。

無限に多くのルートがあり、代数ではそれらの凝縮された表記が受け入れられます。
、 どこ ( – 整数のセット) .

そして、「消える」のではなく、1 つの変数を使用して不等式を解くためのグラフィカルな方法について少し説明します。 原理は同じです。 したがって、たとえば、不等式の解は任意の「x」になります。 正弦波はほぼ完全に直線の下にあります。 不等式の解は、正弦波の部分が直線の厳密に上に位置する一連の間隔です。 (x軸):

または、要するに:

しかし、不等式に対する多くの解決策は次のとおりです。 空の正弦波の点は直線の上にないためです。

何かわからないことはありますか？ ～についての教訓を急いで勉強してください セットそして 関数グラフ!

ウォームアップしましょう:

演習 1

次の三角方程式をグラフィカルに解きます。

答えはレッスンの最後に

ご覧のとおり、精密科学を勉強するのに、公式や参考書を詰め込む必要はまったくありません。 さらに、これは根本的に欠陥のあるアプローチです。

レッスンの最初にすでに安心させたように、高等数学の標準コースで複雑な三角方程式を解く必要があることはほとんどありません。 原則として、すべての複雑さは のような方程式で終わります。その解は、最も単純な方程式から生じる 2 つの根のグループと、 。 後者の解決についてはあまり心配しないでください。本を調べるか、インターネットで見つけてください =)

グラフィカルな解決方法は、それほど簡単ではないケースにも役立ちます。 たとえば、次の「ラグタグ」方程式を考えてみましょう。

解決策の見通しは...まったく似ていませんが、次の形式の方程式を想像するだけで済みます。 関数グラフそしてすべてが信じられないほど単純になるでしょう。 記事の真ん中に絵があります 微小関数 (次のタブで開きます).

同じ グラフィカルな方法方程式にはすでに 2 つの根があり、そのうちの 1 つが存在することがわかります。 ゼロに等しい、そしてもう一つは、どうやら、 不合理なセグメント に属します。 このルートは次のように近似的に計算できます。 接線法。 ちなみに、問題によっては、根を見つける必要がない場合もありますが、根を見つけてください。 そもそもそれらは存在するのでしょうか？。 ここでも、図が役に立ちます。グラフが交差しない場合、根は存在しません。

整数係数を持つ多項式の有理根。
ホーナー方式

そして今、中世に目を向けて、古典代数学の独特の雰囲気を感じてみてください。 内容をよりよく理解するために、少なくとも少し読むことをお勧めします 複素数.

彼らは最高です。 多項式。

私たちの関心の対象は、次の形式の最も一般的な多項式です。 全体係数 自然数呼ばれた 多項式の次数, 数値 - 最高次数の係数 (または単に最も高い係数)、係数は 無料会員.

この多項式を で簡単に表します。

多項式の根方程式の根を呼び出す

私は鉄の論理が大好きです =)

たとえば、記事の最初に移動してください。

1 次および 2 次の多項式の根を求めるのに問題はありませんが、値が大きくなるにつれて、この作業はますます難しくなります。 その一方で、すべてがもっと面白いです！ これがまさにレッスンの 2 番目の部分で取り上げられる内容です。

まず、文字通り理論画面の半分です。

1) 当然の結果によると 代数学の基本定理、次数多項式は正確に 複雑なルーツ。 一部のルート (またはすべて) が特に影響を受ける可能性があります。 有効。 また、実ルートの中には同一（複数）のルートが存在する場合があります。 (最低2個、最大個数).

ある複素数が多項式の根である場合、 共役その数は必然的にこの多項式の根でもあります (共役複素根の形式は ).

最も単純な例 8で初登場した二次方程式です。 （のように）クラス、そして私たちが最終的にそのトピックを「終えた」 複素数。 思い出してもらいたいのですが、二次方程式には 2 つの異なる実根、複数の根、または共役複素根があります。

2) から ベズーの定理つまり、数値が方程式の根である場合、対応する多項式は因数分解できるということになります。
, ここで、 は次数の多項式です。

そしてもう一度、私たちのもの 古い例: が方程式の根であるため、 です。 その後、有名な「学校」の拡張を取得するのは難しくありません。

ベズーの定理の当然の結果には、非常に実用的な価値があります。3 次方程式の根がわかっていれば、それを次の形式で表すことができます。 二次方程式から残りの根を見つけるのは簡単です。 4次の方程式の根が分かれば、左辺を積などに展開することが可能です。

そして、ここで 2 つの質問があります。

質問 1。 このルートを見つけるにはどうすればよいでしょうか? まず第一に、その性質を定義しましょう。高等数学の多くの問題では、次のことを見つける必要があります。 合理的な、 特に 全体多項式の根、そしてこれに関して、さらに主にそれらに興味を持っていきます。 ...とても美味しくて、ふわふわしていて、つい探したくなってしまいます！ =)

まず気になるのは選考方法です。 たとえば、方程式 を考えてみましょう。 ここでの落とし穴は、自由項にあります。これがゼロに等しい場合は、すべてがうまくいきます。括弧内の「x」を取り出すと、根自体が表面に「抜け落ちます」。

しかし、自由項は「3」に等しいため、「ルート」であると主張する方程式にさまざまな数値を代入し始めます。 まず第一に、単一の値の置換はそれ自体を示唆しています。 置き換えてみましょう:

受け取った 正しくないしたがって、単位は「適合しませんでした」。 さて、それでは次のように置き換えてみましょう。

受け取った 真実平等！ つまり、値はこの方程式の根です。

3次多項式の根を求めるには、次のような解析手法があります。 (いわゆるカルダノ公式)、しかし今は少し異なるタスクに興味があります。

- は多項式の根であるため、多項式は次の形式で表すことができ、次のようになります。 2番目の質問：「弟」を見つけるには？

最も単純な代数的考察は、これを行うには で割る必要があることを示唆しています。 多項式を多項式で割るにはどうすればよいですか? 普通の数字を分ける流派のメソッド「列」！ この方法については、レッスンの最初の例で詳しく説明しました。 複雑な制限、そして今度は別のメソッドを見ていきます。 ホーナー方式.

まず「最高の」多項式を書きます みんなとともに 、ゼロ係数を含む:
その後、これらの係数を (厳密に順序どおりに) テーブルの一番上の行に入力します。

ルートを左側に書きます。

「赤い」番号であれば、ホーナーの計画も機能することをすぐに予約します。 ないは多項式の根です。 ただし、物事を急がないようにしましょう。

上記から主要な係数を削除します。

下のセルを埋めるプロセスは、刺繍を彷彿とさせます。「マイナス 1」は、後続のステップに浸透する一種の「針」です。 「繰り下がった」数値に (-1) を掛けて、一番上のセルの数値を積に加算します。

見つかった値に「赤い針」を掛けて、次の方程式係数を積に加えます。

そして最後に、結果の値が「ニードル」と上の係数を使用して再度「処理」されます。

最後のセルのゼロは、多項式が次のように分割されることを示します。 跡形もなく (そうあるべきです)一方、展開係数は表の最下行から直接「削除」されます。

したがって、方程式から等価な方程式に移行し、残りの 2 つの根ですべてが明確になりました。 (この場合、共役複素根が得られます).

ちなみに、この方程式はグラフで解くこともできます。 "稲妻" グラフが X 軸と交差していることを確認します。 () 時点で。 または、同じ「狡猾な」トリック - の形式で方程式を書き直し、基本グラフを描画し、それらの交点の「X」座標を検出します。

ちなみに、3 次の関数多項式のグラフは少なくとも 1 回は軸と交差します。これは、対応する方程式が次のようになることを意味します。 少なくとも 1つ 有効根。 この事実奇数次の多項式関数に有効です。

そしてここでも触れておきたいのですが、 大事なポイント これは用語に関するものです: 多項式そして 多項式関数 – それは同じではありません！ しかし実際には、たとえば「多項式のグラフ」について話すことがよくありますが、もちろんこれは怠慢です。

ただし、ホーナーの計画に戻りましょう。 最近述べたように、このスキームは他の番号でも機能しますが、番号が ないが方程式の根である場合、ゼロ以外の加算 (剰余) が式に表示されます。

Horner のスキームに従って「失敗」値を「実行」してみましょう。 この場合、同じテーブルを使用すると便利です。左側に新しい「針」を書き、先頭の係数を上から移動します。 (左の緑の矢印)そして出発します:

確認するために、括弧を開いて類似の用語を提示してみましょう。
、 わかりました。

剰余 (「6」) が における多項式の値であることが簡単にわかります。 そして実際、それはどのようなものですか:
、そしてさらに素晴らしいのは、次のようになります。

上記の計算から、ホーナーのスキームでは多項式を因数分解するだけでなく、根の「文明的な」選択も実行できることが容易に理解できます。 計算アルゴリズムを自分で小さなタスクに統合することをお勧めします。

タスク 2

ホーナーのスキームを使用して、方程式の整数根を見つけ、対応する多項式を因数分解します。

言い換えれば、ここでは、最後の列にゼロの余りが「描画」されるまで、数値 1、-1、2、-2、... を順番にチェックする必要があります。 これは、この線の「針」が多項式の根であることを意味します。

計算を 1 つの表にまとめておくと便利です。 詳細な解決策そしてレッスンの最後に答えが。

根を選択する方法は、比較的単純な場合には適していますが、多項式の係数や次数が大きい場合、処理に時間がかかることがあります。 それとも、同じリスト 1、-1、2、-2 にいくつかの値があり、考慮する意味がないのでしょうか。 さらに、根は分数であることが判明する可能性があり、完全に非科学的な突っつきにつながる可能性があります。

幸いなことに、有理根の「候補」値の検索を大幅に削減できる 2 つの強力な定理があります。

定理1考えてみましょう 還元不可能な分数、ここで 。 数値が方程式の根である場合、自由項は で除算され、主要な係数は で除算されます。

特に、先頭の係数が の場合、この有理根は整数になります。

そして、次のようなおいしい詳細を使って定理を活用し始めます。

方程式に戻りましょう。 その主要な係数は であるため、仮想の有理根は整数のみにすることができ、自由項は必然的に剰余なしでこれらの根に分割されなければなりません。 そして、「3」は 1、-1、3、-3 にしか分割できません。 つまり、「ルート候補」は 4 つだけです。 そして、によると、 定理1、 他の 有理数原則として、この方程式の根を求めることはできません。

この方程式にはもう少し「候補」があります。自由期間は 1、-1、2、-2、4、-4 に分割されます。

数字 1、-1 は、考えられるルートのリストの「通常」であることに注意してください。 (定理の明らかな結果)優先テストに最適な選択肢です。

より意味のある例に移りましょう。

問題 3

解決: 先頭の係数が であるため、仮想の有理根は整数のみにすることができ、それらは必ず自由項の約数でなければなりません。 「マイナス 40」は次のペアの数字に分けられます。
– 合計 16 人の「候補者」。

ここで、すぐに魅力的な考えが浮かび上がります。すべてのネガティブな根、またはすべてのポジティブな根を取り除くことは可能でしょうか? 場合によっては可能です！ 2 つの記号を定式化します。

1) もし 全て多項式の係数が負でない場合、正の根を持つことはできません。 残念ながら、これは私たちのケースではありません (式が与えられた場合、はい、多項式の値を代入するとき、多項式の値は厳密に正です。つまり、すべてが 正の数 (非合理的なものも)を方程式の根にすることはできません。

2) 奇数乗の係数が負ではなく、すべての偶数乗の係数が負でない場合 （無料会員含む）が負の場合、多項式は負の根を持つことができません。 これが私たちのケースです！ もう少し詳しく見てみると、負の「X」を方程式に代入すると、左側が厳密に負になることがわかります。これは、負の根が消えることを意味します。

したがって、研究対象の数字は 8 つ残っています。

ホーナーのスキームに従って、それらを順番に「充電」します。 あなたはすでに暗算をマスターしていると思います。

「2つ」を試すとき、幸運が私たちを待っていました。 したがって、考慮している方程式の根は であり、

方程式を研究することが残っています 。 これは判別式を使用することで簡単に実行できますが、同じスキームを使用して指標テストを実行します。 まず、無料期間は 20 に等しいことに注意してください。これは、つまり、 定理1数字の 8 と 40 はルート候補のリストから除外され、値は研究用に残されます。 (ホーナーのスキームに従って 1 人が除外されました).

新しいテーブルの一番上の行に三項式の係数を書き込みます。 同じ「二つ」で確認を始める。 なぜ？ また、根は倍数になる可能性があるため、次のようにしてください: - この方程式には 10 個の同一の根があります。 しかし、気を散らさないようにしましょう。

そしてもちろん、ここで私は、根が合理的であることを知っていて、少し嘘をついていました。 結局のところ、それらが非合理的または複雑な場合、残りのすべての数値のチェックが失敗することになります。 したがって、実際には、判別式に従ってください。

答え: 有理根: 2、4、5

私たちが分析した問題は幸運でした。理由は次のとおりです: a) すぐに外れました。 負の値 b) ルートを非常に早く見つけました (理論的にはリスト全体を確認できました)。

しかし、実際には状況はさらに悪化しています。 ぜひご覧ください エキサイティングなゲームタイトルは「最後の英雄」。

問題4

方程式の有理根を求めます

解決： による 定理1仮想有理根の分子は条件を満たさなければなりません (「12 をエルで割る」と読みます)、分母は条件に対応します。 これに基づいて、2 つのリストが得られます。

"リストエル":
そして「リストを作成」: (幸いなことに、ここでの数字は自然なものです).

次に、考えられるすべてのルートのリストを作成しましょう。 まず、「el list」を で割ります。 同じ数字が得られることは明らかです。 便宜上、それらを表にまとめてみましょう。

多くの端数が削減され、その結果、すでに「ヒーロー リスト」に含まれている値が得られます。 「初心者」のみを追加します。

同様に、同じ「リスト」を次のように分割します。

そしてついに

したがって、ゲームの参加者のチームが完成します。


残念ながら、この問題の多項式は「正」または「負」の基準を満たしていないため、上部または下部の行を破棄することはできません。 すべての数字を処理する必要があります。

ご気分はいかがですか？ さあ、頭を上げてください – 比喩的に「殺人定理」と呼ぶことができる別の定理があります…。 ...もちろん「候補者」です =)

ただし、最初にホーナーの図を少なくとも 1 つスクロールする必要があります。 全体数字。 伝統的に、1つを取り上げましょう。 一番上の行には多項式の係数を書きます。すべては通常どおりです。

4 は明らかにゼロではないため、その値は問題の多項式の根ではありません。 しかし、彼女は私たちを大いに助けてくれるでしょう。

定理2一部の人にとっては 一般的に多項式の値がゼロ以外の場合: 、その有理根 (そうであれば)条件を満たす

私たちの場合、したがって、考えられるすべてのルートが条件を満たさなければなりません (これを条件 No.1 と呼びます)。 この4人が多くの「候補者」の「キラー」となる。 デモとして、いくつかのチェックを見ていきます。

「候補」を確認してみましょう。 これを行うには、それを分数の形式で人為的に表してみましょう。そこから、 が明らかにわかります。 テストの差を計算してみましょう: 。 4 は「マイナス 2」で割られます: 。これは、考えられるルートがテストに合格したことを意味します。

値を確認してみましょう。 ここでのテストの違いは次のとおりです。 。 もちろん、したがって 2 番目の「主題」もリストに残ります。

Web サイト「Professional Mathematics Tutor」では、教育に関する方法論的な一連の記事が続けられています。 私は、学校のカリキュラムの中で最も複雑で問題のあるトピックに関する私の研究方法の説明を公開しています。 この教材は、通常のプログラムと数学クラスのプログラムの両方で 8 年生から 11 年生の生徒を扱う数学の教師や家庭教師に役立ちます。

数学の家庭教師は、教科書にあまり載っていない内容を常に説明できるわけではありません。 残念なことに、そのような話題はますます多くなり、マニュアルの作成者に倣ったプレゼンテーション上の誤りが大量に発生しています。 これは、初心者の数学家庭教師や非常勤家庭教師（家庭教師は学生や大学生の家庭教師）だけでなく、経験豊富な教師、プロの家庭教師、経験と資格を持つ家庭教師にも当てはまります。 すべての数学家庭教師が、学校の教科書の荒削りな部分を適切に修正する才能を持っているわけではありません。 また、これらの修正 (または追加) が必要であることを誰もが理解しているわけではありません。 子どもの定性的認識に合わせて教材を調整することに関わっている子どもはほとんどいません。 残念ながら、数学教師が方法論者や出版物の著者と協力して、教科書のすべての文字について一斉に議論する時代は過ぎました。 以前は、教科書を学校に発表する前に、学習成果についての真剣な分析と研究が行われていました。 教科書を強力な数学クラスの標準に合わせて調整し、教科書を普遍的なものにしようと努力するアマチュアの時代が来ました。

情報量を増やそうとする競争は、情報の同化の質の低下を招くだけであり、その結果、数学における実際の知識のレベルが低下することになります。 しかし、誰もこれに注意を払いません。 そして、すでに 8 年生になっている子供たちは、私たちが研究所で学んだこと、つまり確率論や高度な方程式の解き方などを勉強することを強制されています。 子供の完全な認識に合わせて本の内容を適応させるにはまだ多くの要望が残されており、数学の家庭教師はこれに何とか対処することを余儀なくされています。

大人の数学では「ベズーの定理とホーナーの図式」としてよく知られている、「多項式を角で割る多項式」のような特定のトピックを教えるための方法論について話しましょう。 ほんの数年前までは、数学の家庭教師にとってこの問題はそれほど差し迫ったものではありませんでした。なぜなら、それは学校の主要なカリキュラムの一部ではなかったからです。 現在、テリャコフスキーによって編集された教科書の尊敬される著者は、以下に変更を加えました。 最新版私の意見では、最高の教科書であり、それを完全に台無しにしてしまったので、家庭教師に不必要な心配を加えただけです。 数学の地位を持たない学校やクラスの教師は、著者の革新性に焦点を当てて、授業に追加の段落を含めることが多くなり始め、好奇心旺盛な子供たちは、数学の教科書の美しいページを見て、数学について尋ねるようになりました。家庭教師：「この除算は何ですか？」 これを乗り越えるつもりですか？ コーナーを共有するにはどうすればよいですか? このような直接的な質問からは、もう隠すことはできません。 家庭教師は子供に何かを伝えなければなりません。

しかし、として？ もしそれが教科書で適切に提示されていれば、私はおそらくそのトピックに取り組む方法を説明しなかっただろう。 調子はどうですか？ 教科書は印刷して販売する必要があります。 そのためには定期的に更新する必要があります。 大学の先生たちは、子供たちが知識も技術も持たずに頭空っぽにしてやって来ると文句を言いますか？ 数学的知識に対する要求は高まっていますか? 素晴らしい！ いくつかの演習を削除し、代わりに他のプログラムで学習したトピックを挿入しましょう。 なぜ私たちの教科書は劣っているのでしょうか？ いくつかの追加の章を含めます。 小学生はコーナー分けのルールを知らない？ これは基本的な数学です。 この段落は「詳しく知りたい方へ」というタイトルでオプションにする必要があります。 家庭教師は反対しますか？ 一般的に家庭教師のことを気にするのはなぜでしょうか? 方法論者や学校の先生も反対しているのでしょうか？ 資料を複雑にすることはせず、最も単純な部分を検討します。

そしてここからが始まります。 トピックの単純さと同化の質は、まず第一に、教科書の著者の指示に従って、互いに明確に関連していない一連の操作を実行することではなく、そのロジックを理解することにあります。 。 そうしないと、生徒の頭の中に霧がかかってしまいます。 著者が比較的強い学生（ただし、通常のプログラムで勉強している）をターゲットにしている場合、トピックを命令形式で提示すべきではありません。 教科書には何が書かれているのでしょうか？ 子どもたちよ、私たちはこのルールに従って分けなければなりません。 角度の下の多項式を取得します。 したがって、元の多項式が因数分解されます。 しかし、コーナーの下の項がなぜこのように正確に選択されるのか、なぜコーナーの上の多項式を乗算して現在の剰余から減算しなければならないのか、理解するのは明確ではありません。 そして最も重要なことは、なぜ選択した単項式を最終的に追加しなければならないのか、そしてなぜ結果として得られる括弧が元の多項式の拡張になるのかが明確ではないことです。 有能な数学者なら誰でも、教科書の説明に大胆な疑問符を付けるでしょう。

私は問題の解決策を家庭教師や数学教師に知らせます。これにより、教科書に記載されているすべてのことが生徒にとって事実上明らかになります。 実際、ベズーの定理を証明します。数値 a が多項式の根である場合、この多項式は因数に分解できます。そのうちの 1 つは x-a で、2 番目の因数は 3 つの方法のいずれかで元の因数から取得されます。変換を通じて線形因子を分離することによって、コーナーで除算することによって、またはホーナーのスキームによって。 この公式を使用すると、数学の家庭教師が仕事をしやすくなります。

教育方法論とは何ですか? まず第一に、これは説明と例の順序における明確な順序であり、それに基づいて数学的結論が導き出されます。 このトピック例外ではありません。 数学の家庭教師にとって、子供にベズーの定理を紹介することは非常に重要です 角で分ける前に。 それは非常に重要です！ 理解を達成するための最良の方法は、 具体例。 選択した根を持つ多項式を取り上げ、7 年生から慣れ親しんだ方法を使用してそれを因数分解するテクニックを示しましょう。 アイデンティティ変換。 数学の家庭教師による適切な説明、強調、ヒントがあれば、一般的な数学の計算や任意の係数やべき乗を使わずに内容を伝えることは十分に可能です。

数学の家庭教師への重要なアドバイス- 最初から最後まで指示に従い、この順序を変更しないでください。

そこで、多項式があるとします。 X の代わりに数値 1 を代入すると、多項式の値はゼロになります。 したがって、x=1 がそのルートになります。 これを 2 つの項に分解して、そのうちの 1 つが線形式と単項式の積であり、2 つ目の項が より 1 つ小さい次数になるようにしてみましょう。 つまり、次の形で表しましょう。

赤いフィールドの単項式を選択して、主要な項を掛けたときに元の多項式の主要な項と完全に一致します。 生徒が最も苦手でない場合は、数学の家庭教師に次のような必要な表現を伝えることができるでしょう。 家庭教師はすぐにそれを赤いフィールドに挿入し、開くと何が起こるかを示すように依頼する必要があります。 この仮想一時多項式を矢印の下 (小さな写真の下) に署名し、青などの色で強調表示するのが最善です。 これは、選択範囲の残りと呼ばれる赤いフィールドの用語を選択するのに役立ちます。 家庭教師には、この余りは引き算で求められることをここで指摘することをお勧めします。 この操作を実行すると、次の結果が得られます。

数学の家庭教師は、この等式に 1 を代入すると、左側では必ず 0 が得られ (1 は元の多項式の根であるため)、右側では明らかにゼロになるという事実に生徒の注意を引く必要があります。最初の項もゼロになります。 これは、検証することなく、1 つが「緑の残り」のルートであると言えることを意味します。

元の多項式の場合と同じ方法でこれを処理し、そこから同じ線形因数を分離しましょう。 数学の家庭教師は生徒の前に 2 つのフレームを描き、左から右に記入するように頼みます。

生徒は、講師のために赤いフィールドの単項式を選択します。これにより、一次式の先頭項を乗算すると、展開多項式の先頭項が得られます。 それをフレームにはめ込み、すぐにブラケットを開き、折りたたみ式から差し引く必要がある式を青色で強調表示します。 この操作を実行すると、次の結果が得られます

そして最後に、最後の残りについても同じことを行います

ついにそれを手に入れます

ここで式を括弧から外してみましょう。元の多項式が因数に分解されるのがわかります。そのうちの 1 つは「x から選択した根を引いたもの」です。

最後の「緑の余り」が誤って必要な因数に分解されたと生徒が考えることを防ぐために、数学の家庭教師は次のことを指摘する必要があります。 大切な財産すべての緑の剰余の - それぞれの剰余は根 1 を持ちます。これらの剰余の次数は減少するため、初期多項式の次数がどのように与えられても、遅かれ早かれ、根 1 を持つ線形の「緑の剰余」が得られます。したがって、必然的に何らかの数値と式の積に分解されます。

このような準備作業の後、数学の家庭教師が、角で割ると何が起こるかを生徒に説明するのは難しくありません。 これは同じプロセスですが、等号や同じ強調表示された用語を書き換えることなく、より短くコンパクトな形式になっています。 線形因子が抽出される多項式は角の左側に書かれ、選択された赤い単項式が斜めに集められ (なぜそれらを加算する必要があるのか​​が明らかになります)、「青い多項式」と「赤い多項式」が得られます。 」 のものは x-1 で乗算し、現在選択されているものから減算する必要があります。これは、数値を列に分割する通常の方法で行われます (これは、以前に検討したものとの類似です)。 結果として得られる「緑色の残基」は、新たな単離と「赤色の単項式」の選択の対象となります。 「グリーンバランス」がゼロになるまで続きます。 最も重要なことは生徒が理解することです 更なる運命角度の上と下に多項式が書き込まれます。 明らかに、これらはその積が元の多項式に等しい括弧です。

数学の家庭教師の仕事の次の段階は、ベズーの定理の定式化です。 実際、家庭教師のこのアプローチによる定式化は明らかです。数値 a が多項式の根である場合、それは因数分解でき、その 1 つは であり、もう 1 つは 3 つの方法のいずれかで元の値から取得されます。 :

• 直接分解 (グループ化方法に類似)
• (列内で) 角で区切る
• ホーナー回路経由

すべての数学家庭教師が生徒にホーナー図を見せるわけではありませんし、すべての学校教師が (家庭教師自身にとって幸いなことに) 授業中にこのテーマにそれほど深く取り組むわけではないと言わなければなりません。 しかし、数学クラスの生徒にとって、長い割り算で立ち止まる理由はありません。 さらに、最も便利で、 速い分解手法はホーナーのスキームに正確に基づいています。 それがどこから来たのかを子供に説明するには、角による除算の例を使用して、緑色の余りのより高い係数の出現を追跡するだけで十分です。 初期多項式の先頭の係数が最初の「赤い単項式」の係数に引き継がれ、さらに現在の上部多項式の 2 番目の係数から引き継がれていることが明らかになります。 差し引かれた「赤色単項式」の現在の係数に を乗算した結果。 したがって、それは可能です 追加を乗算した結果。 係数を使用したアクションの詳細に生徒の注意を集中させた後、数学の家庭教師は、変数自体を記録せずに、これらのアクションが通常どのように実行されるかを示すことができます。 これを行うには、元の多項式の根と係数を次の表に優先順位に従って入力すると便利です。

多項式で次数が欠落している場合、そのゼロ係数がテーブルに強制的に挿入されます。 「赤い多項式」の係数は、「フック」ルールに従って下の行に順番に書き込まれます。

根に最後の赤い係数が乗算され、上の行の次の係数に加算され、結果が下の行に書き込まれます。 最後の列では、最後の「緑の残り」の最大係数、つまりゼロを取得することが保証されています。 プロセスが完了すると、数値が 一致したルートとゼロの剰余の間に挟まれますは 2 番目の (非線形) 因子の係数であることがわかります。

根 a は最下行の終わりにゼロを与えるため、ホーナーのスキームを使用して、多項式の根のタイトルの数値をチェックできます。 有理根の選択に関する特別な定理の場合。 その助けを借りて得られたこのタイトルのすべての候補は、ホーナーの図に左から順番に挿入されるだけです。 ゼロを取得するとすぐに、テストされた数値は根になり、同時に元の多項式の因数分解の係数がその線上に得られます。 とても快適です。

結論として、ホーナーのスキームを正確に導入し、このトピックを実際に統合するには、数学の家庭教師は自由に使える十分な時間を確保する必要があることに注意したいと思います。 「週に1回」の体制で働く家庭教師は、コーナーディビジョンに従事すべきではありません。 数学の統一国家試験と数学の州数学アカデミーでは、最初の部分でそのような方法で解ける 3 次方程式に遭遇する可能性はほとんどありません。 家庭教師が子供にモスクワ州立大学の数学試験の準備をさせる場合、そのテーマの勉強は必須になります。 大学の教師は、統一国家試験の編纂者とは異なり、志願者の知識の深さをテストすることを非常に好みます。

コルパコフ アレクサンダー ニコラエヴィッチ、モスクワの数学家庭教師、ストロジーノ

スライド 3

ホーナー・ウィリアムズ・ジョージ (1786-1837.9.22) - イギリスの数学者。 ブリストル生まれ。 彼はそこで学び、働き、その後バースの学校で学びました。 代数学の基礎的な作業を行います。 1819年 は、現在ではルフィニ・ホーナー法と呼ばれている、多項式の実根を近似計算する方法を発表しました (この方法は 13 世紀に中国人に知られていました)。ホーナーの後。

スライド 4

ホーナースキーム

分割方法 n次多項式線形二項式の次数 - a、不完全商と剰余の係数が割り切れる多項式の係数と次の式に関連しているという事実に基づきます。

スライド 5

Horner のスキームに従った計算を表に示します。

例 1. 除算 部分商は x3-x2+3x - 13 で、余りは 42=f(-3) です。

スライド 6

この方法の主な利点は、表記がコンパクトであることと、多項式を二項式にすばやく分割できることです。 実際、ホーナーのスキームはグループ化方法を記録する別の形式ですが、後者とは異なり、完全に非視覚的です。 ここでは答え（因数分解）がそれ自体で得られますが、それを得るプロセスは見えません。 私たちはホーナーの計画を厳密に実証するつもりはありませんが、それがどのように機能するかを示すだけです。

スライド 7

例2。

多項式 P(x)=x4-6x3+7x-392 が x-7 で割り切れることを証明し、割り算の商を求めてみましょう。 解決。 Horner のスキームを使用して、P(7) を求めます。ここから、P(7)=0、つまり、P(7)=0 が得られます。 多項式を x-7 で割ったときの余りは 0 に等しいため、多項式 P(x) は (x-7) の倍数になります。さらに、表の 2 行目の数値は次の係数です。 P(x) を (x-7) で割った商、したがって P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56)。

スライド 8

多項式 x3 – 5x2 – 2x + 16 を因数分解します。

この多項式には整数の係数があります。 整数がこの多項式の根である場合、それは数値 16 の約数です。したがって、特定の多項式の根が整数である場合、これらは数値 ±1 のみになります。 ±2; ±4; ±8; ±16。 直接検証により、数値 2 がこの多項式、つまり x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x) の根であると確信しています。ここで、Q(x) は 2 次の多項式です。

スライド 9

結果として得られる数値 1、−3、−8 は、元の多項式を x – 2 で除算することによって得られる多項式の係数です。これは、除算の結果が次のようになることを意味します。 1 x2 + (-3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8。除算の結果得られる多項式の次数は、常に元の多項式の次数より 1 減ります。 つまり、x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8) となります。

レッスンの目標:

• 生徒に方程式を解くように教える より高い学位ホーナーのスキームを使用します。
• ペアで作業する能力を開発します。
• コースの主要セクションと連携して、生徒の能力を開発するための基礎を作成します。
• 生徒が自分の可能性を評価し、数学への興味や思考力を育み、このテーマについて発言できるよう支援します。

装置：グループワーク用のカード、ホーナー図のポスター。

指導方法:講義、ストーリー、説明、トレーニング演習の実施。

制御の形式:タスクの確認 独立した決定、独立した仕事。

授業中

1. 組織の瞬間

2. 学生の知識を更新する

数値が特定の方程式の根であるかどうかを判断 (定理の定式化) できる定理は何ですか?

ベズーの定理。 多項式 P(x) を二項式で割った余り x-c は等しい P(c)、P(c)=0 の場合、数値 c は多項式 P(x) の根と呼ばれます。 この定理を使用すると、除算演算を実行せずに、指定された数値が多項式の根であるかどうかを判断できます。

どのようなステートメントを使用するとルートを見つけやすくなりますか?

a) 多項式の先頭の係数が 1に等しいの場合、自由項の約数の中から多項式の根を求める必要があります。

b) 多項式の係数の合計が 0 の場合、根の 1 つは 1 になります。

c) 偶数桁の係数の合計が奇数桁の係数の合計と等しい場合、根の 1 つは -1 に等しくなります。

d) すべての係数が正の場合、多項式の根は負の数になります。

e) 奇数次の多項式には少なくとも 1 つの実根があります。

3. 新しい教材を学ぶ

整数を解くとき 代数方程式多項式の根の値を見つける必要があります。 ホーナー方式と呼ばれる特別なアルゴリズムを使用して計算を実行すると、この操作を大幅に簡素化できます。 この回路は英国の科学者ウィリアム ジョージ ホーナーにちなんで名付けられました。 ホーナー法は、多項式 P(x) を x-c で割った商と余りを計算するアルゴリズムです。 仕組みを簡単に説明します。

任意の多項式 P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n が与えられるとします。 この多項式を x-c で割ると、P(x)=(x-c)g(x) + r(x) の形式で表現されます。 部分 g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1、ここで in 0 =a 0、in n =st n-1 +a n 、n=1、2、3、…n-1。 剰余 r(x)= st n-1 +a n。 この計算方法はホーナー方式と呼ばれます。 アルゴリズムの名前に「スキーム」という言葉が含まれているのは、その実装が通常次のような形式になっているためです。 まず、テーブル 2(n+2) を描画します。 左下のセルに数値 c を書き込み、上の行に多項式 P(x) の係数を書き込みます。 この場合、左上のセルは空のままです。

	0 =a 0 で	in 1 =st 1 +a 1	2 = SV 1 + あ 2		in n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

アルゴリズムの実行後、右下のセルに書き込まれる数値は、多項式 P(x) を x-c で割った余りです。 最後の行の 0、1、2、... 内の他の数値は、商の係数です。

例: 多項式 P(x)= x 3 -2x+3 を x-2 で割ります。

x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 が得られます。

4. 検討した資料の統合

例 1:多項式 P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 を整数係数で因数分解します。

自由項の約数 -1:1; の中で全根を探します。 -1。 表を作ってみましょう:

X = -1 – ルート

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

1/2を確認してみましょう。

					X=1/2 - ルート

したがって、多項式 P(x) は次の形式で表すことができます。

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

例 2:方程式 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 を解きます。

方程式の左側に書かれた多項式の係数の合計はゼロに等しいため、根の 1 つは 1 になります。ホーナーのスキームを使用してみましょう。

						X=1 - ルート

P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) が得られます。 フリーターム2の約数の中から根を探します。

無傷の根がもうないことがわかりました。 1/2をチェックしましょう。 -1/2。

					X= -1/2 - ルート

答え: 1; -1/2。

例 3:方程式 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 を解きます。

自由項 5 の約数 1;-1;5;-5 からこの方程式の根を探します。 係数の合計はゼロであるため、x=1 が方程式の根です。 ホーナーのスキームを使用してみましょう。

この方程式を 3 つの係数の積として表してみましょう: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0。 二次方程式 5x 2 -7x+5=0 を解くと、D=49-100=-51 が得られ、根はありません。

カード1

1. 多項式を因数分解します: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. 方程式を解きます: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

カード2

1. 多項式を因数分解します: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. 方程式を解きます: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

カード3

1. 因数分解: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. 方程式を解きます: x 3 -2x 2 +4x-8=0

カード4

1. 因数分解: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. 方程式を解きます: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. まとめ

ペアで解くときの知識のテストは、アクションの方法と答えの名前を認識することによって授業で行われます。

宿題：

方程式を解きます。

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

文学

1. N.Ya. Vilenkin et al.、『代数と解析の始まり』、グレード 10 (数学の詳細な学習): 啓蒙、2005 年。
2. UI サハルチュク、L.S. サガテロワ、高次の方程式の解法: ヴォルゴグラード、2007 年。
3. S.B. ガシコフ、数値システムとその応用。

バックフォワード

注意！ スライド プレビューは情報提供のみを目的としており、プレゼンテーションのすべての機能を表しているわけではありません。 この作品に興味があれば、ぜひ完全版をダウンロードしてください。

レッスンタイプ: 一次知識を習得し、定着させるためのレッスン。

レッスンの目的:

• 生徒に多項式の根の概念を紹介し、その求め方を教えます。 多項式をべき乗で展開し、多項式を二項式で除算するためのホーナー スキームの使用スキルを向上させます。
• ホーナーのスキームを使用して方程式の根を見つける方法を学びます。
• 抽象的な思考を養います。
• コンピューティング文化を育みます。
• 学際的なつながりの発展。

授業中

1. 組織的な瞬間。

レッスンのトピックを伝え、目標を立てます。

2. 宿題の確認。

3. 新しい教材を勉強する。

Fn(x) とします。 = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - n 次の x の多項式。ここで、a 0 、a 1 、...、a n は与えられた数値であり、a 0 は 0 に等しくありません。多項式 F n (x) を二項 x-a で剰余で割った場合の場合、商 (不完全商) は n-1 次の多項式 Q n-1 (x) となり、剰余 R は数値となり、等式は真になります。 F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R。多項式 F n (x) は、R=0 の場合にのみ二項式 (x-a) で割り切れます。

ベズーの定理: 多項式 F n (x) を二項式 (x-a) で割ったときの剰余 R 値に等しい x=a の多項式 F n (x)、つまり R=Pn(a)。

ちょっとした歴史。 ベズーの定理は、見かけの単純さと明白さにもかかわらず、多項式理論の基本定理の 1 つです。 この定理は、多項式の代数的性質 (多項式を整数として扱うことを可能にする) とその関数的性質 (多項式を関数として扱うことを可能にする) を関連付けます。 より高次の方程式を解く 1 つの方法は、方程式の左側の多項式を因数分解することです。 多項式の係数と剰余の計算は、ホーナー スキームと呼ばれるテーブルの形式で記述されます。

ホーナーのスキームは多項式を除算するためのアルゴリズムであり、商が二項式に等しいという特別な場合のために書かれています。 x-a.

ホーナー・ウィリアム・ジョージ (1786 - 1837)、イギリスの数学者。 主な研究は代数方程式の理論に関するものです。 あらゆる次数の方程式を近似的に解く方法を開発しました。 1819 年に、彼は多項式を二項 x - a で除算するという代数の重要な方法 (ホーナーのスキーム) を導入しました。

結論 一般式ホーナーの計画の場合。

多項式 f(x) を二項式 (x-c) で剰余で割ることは、f(x)=(x-c)q(x)+r となる多項式 q(x) と数値 r を求めることを意味します。

この等式を詳しく書いてみましょう。

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

係数を同じ次数で等しくしましょう。

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1。

例を使用したホーナーの回路のデモンストレーション。

演習 1.ホーナーのスキームを使用して、多項式 f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 を二項 x-2 で剰余で除算します。

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4、g(x)= (x 2 -3x-6)、r = -4 余り。

多項式を二項のべき乗で展開します。

ホーナーのスキームを使用して、多項式 f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 を二項 (x+2) のべき乗で展開します。

結果として、展開 f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) を取得する必要があります。 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

ホーナーのスキームは、多項式を二項 x-a に拡張するのが便利な場合、3 次、4 次、およびそれ以上の方程式を解くときによく使用されます。 番号 ある呼ばれた 多項式の根 F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n (次の場合) x=a多項式 F n (x) の値はゼロに等しい: F n (a) = 0、つまり 多項式が二項 x-a で割り切れる場合。

たとえば、F 3 (2)=0 であるため、数値 2 は多項式 F 3 (x)=3x 3 -2x-20 の根です。 その意味は。 この多項式の因数分解には因数 x-2 が含まれること。

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10)。

次数の任意の多項式 F n(x) n 1 はこれ以上持つことはできません n本当の根っこ。

整数係数を持つ方程式の整根は、その自由項の約数になります。

方程式の先頭の係数が 1 の場合、方程式のすべての有理根は (存在する場合) 整数になります。

学習した資料の統合。

新しい内容を定着させるために、学生は教科書の 2.41 と 2.42 (p. 65) の数字を完成させるよう求められます。

（2人の生徒が黒板で解き、残りの生徒は決定したら、ノートの課題と黒板の答えを確認します）。

要約します。

ホーナー スキームの構造と動作原理を理解すると、整数を 10 進数系から 2 進数系に、またはその逆に変換する問題を考えるコンピュータ サイエンスの授業でも使用できます。 ある番号体系から別の番号体系に移行するための基礎は、次の一般定理です。

定理。整数を変換するには アプから p-進数系から基数系へ d必要 アプ剰余を数値で順番に除算する d、同じように書かれています p結果の商がゼロになるまで -ary システムを実行します。 除算の余りは次のようになります。 d-数字 広告、最年少のカテゴリーから最年長のカテゴリーまで。 すべてのアクションは次の方法で実行する必要があります p-ary 番号体系。 人にとって、このルールは次の場合にのみ便利です p= 10、つまり 翻訳するとき から 10進法。 逆にコンピュータにとっては、二進法で計算を行う方が「便利」です。 したがって、「２→１０」を変換するには２進法の１０による逐次除算が用いられ、「１０→２」は１０の累乗の加算となる。 「10 in 2」手順の計算を最適化するために、コンピューターはホーナーの経済的な計算スキームを使用します。

宿題。 2 つのタスクを完了することが提案されています。

1位。 ホーナーのスキームを使用して、多項式 f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 を二項 (x-3) で除算します。

2番目。 多項式 f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 の整数根を求めます (整数係数を持つ方程式の整数根は自由項の約数であることを考慮します)。

文学。

1. クロシュ A.G. 「高等代数コース」
2. ニコルスキー S.M.、ポタポフ M.K. 10 年生「代数と数学的解析の始まり」
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907。