EingangDivision eines Polynoms durch ein Polynom-Horner-Diagramm. Vortrag zum Thema „Horner Circuit“
Bei der Lösung von Gleichungen und Ungleichungen ist es oft notwendig, ein Polynom zu faktorisieren, dessen Grad drei oder höher ist. In diesem Artikel werden wir uns mit der einfachsten Möglichkeit befassen, dies zu tun.
Wie immer greifen wir zur Hilfe auf die Theorie zurück.
Satz von Bezout besagt, dass der Rest bei der Division eines Polynoms durch ein Binomial beträgt.
Aber was für uns wichtig ist, ist nicht der Satz selbst, sondern Folgerung daraus:
Wenn die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist, dann ist das Polynom ohne Rest durch das Binomial teilbar.
Wir stehen vor der Aufgabe, irgendwie mindestens eine Wurzel des Polynoms zu finden und dann das Polynom durch zu dividieren, wobei die Wurzel des Polynoms liegt. Als Ergebnis erhalten wir ein Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist als der Grad des ursprünglichen Polynoms. Und dann können Sie den Vorgang bei Bedarf wiederholen.
Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile: wie man die Wurzel eines Polynoms findet und wie man ein Polynom durch ein Binomial dividiert.
Schauen wir uns diese Punkte genauer an.
1. So finden Sie die Wurzel eines Polynoms.
Zunächst prüfen wir, ob die Zahlen 1 und -1 Wurzeln des Polynoms sind.
Dabei helfen uns folgende Fakten:
Wenn die Summe aller Koeffizienten eines Polynoms Null ist, dann ist die Zahl die Wurzel des Polynoms.
Beispielsweise ist in einem Polynom die Summe der Koeffizienten Null: . Es ist leicht zu überprüfen, was die Wurzel eines Polynoms ist.
Wenn die Summe der Koeffizienten eines Polynoms bei geraden Potenzen gleich der Summe der Koeffizienten bei ungeraden Potenzen ist, dann ist die Zahl die Wurzel des Polynoms. Der freie Term gilt als Koeffizient für einen geraden Grad, da a eine gerade Zahl ist.
Beispielsweise ist in einem Polynom die Summe der Koeffizienten für gerade Potenzen: , und die Summe der Koeffizienten für ungerade Potenzen ist: . Es ist leicht zu überprüfen, was die Wurzel eines Polynoms ist.
Wenn weder 1 noch -1 Wurzeln des Polynoms sind, fahren wir fort.
Für ein Polynom reduzierten Grades (d. h. ein Polynom, bei dem der führende Koeffizient der Koeffizient bei – ist) gleich eins) Vietas Formel gilt:
Wo liegen die Wurzeln des Polynoms?
Es gibt auch Vieta-Formeln bezüglich der übrigen Koeffizienten des Polynoms, aber diese hier interessiert uns.
Aus dieser Vieta-Formel folgt Folgendes Wenn die Wurzeln eines Polynoms ganze Zahlen sind, dann sind sie Teiler seines freien Termes, der ebenfalls eine ganze Zahl ist.
Basierend auf, Wir müssen den freien Term des Polynoms in Faktoren zerlegen und nacheinander, vom kleinsten zum größten, prüfen, welcher der Faktoren die Wurzel des Polynoms ist.
Betrachten Sie zum Beispiel das Polynom
Teiler des freien Termes: ; ; ;
Die Summe aller Koeffizienten eines Polynoms ist gleich, daher ist die Zahl 1 nicht die Wurzel des Polynoms.
Summe der Koeffizienten für gerade Potenzen:
Summe der Koeffizienten für ungerade Potenzen:
Daher ist die Zahl -1 auch keine Wurzel des Polynoms.
Überprüfen wir, ob die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms ist: Daher ist die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms. Dies bedeutet, dass das Polynom nach dem Satz von Bezout durch ein Binomial ohne Rest teilbar ist.
2. Wie man ein Polynom in ein Binomial teilt.
Ein Polynom kann durch eine Spalte in ein Binomial unterteilt werden.
Teilen Sie das Polynom mithilfe einer Spalte durch ein Binomial:
Es gibt eine andere Möglichkeit, ein Polynom durch ein Binomial zu dividieren – das Horner-Schema.
Sehen Sie sich dieses Video an, um es zu verstehen wie man ein Polynom durch ein Binomial mit einer Spalte teilt und das Horner-Schema verwendet.
Ich stelle fest, dass wir, wenn bei der Division durch eine Spalte ein gewisser Grad der Unbekannten im ursprünglichen Polynom fehlt, stattdessen 0 schreiben – genauso wie beim Erstellen einer Tabelle für Horners Schema.
Wenn wir also ein Polynom durch ein Binomial dividieren müssen und als Ergebnis der Division ein Polynom erhalten, können wir die Koeffizienten des Polynoms mithilfe des Horner-Schemas ermitteln:
Wir können auch verwenden Horner-Schema um zu prüfen, ob eine gegebene Zahl eine Wurzel eines Polynoms ist: Wenn die Zahl eine Wurzel eines Polynoms ist, dann der Rest, wenn das Polynom durch dividiert wird gleich Null, das heißt, in der letzten Spalte der zweiten Zeile des Horner-Schemas erhalten wir 0.
Mit Horners Schema schlagen wir „zwei Fliegen mit einer Klappe“: Wir prüfen gleichzeitig, ob die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist und dividieren dieses Polynom durch ein Binomial.
Beispiel. Löse die Gleichung:
1. Schreiben wir die Teiler des freien Termes auf und suchen wir nach den Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Termes.
Teiler von 24:
2. Prüfen wir, ob die Zahl 1 die Wurzel des Polynoms ist.
Die Summe der Koeffizienten eines Polynoms, daher ist die Zahl 1 die Wurzel des Polynoms.
3. Teilen Sie das ursprüngliche Polynom mithilfe des Horner-Schemas in ein Binomial.
A) Schreiben wir die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms in die erste Zeile der Tabelle.
Da der enthaltende Term fehlt, schreiben wir in die Spalte der Tabelle, in die der Koeffizient geschrieben werden soll, 0. Links schreiben wir die gefundene Wurzel: die Zahl 1.
B) Füllen Sie die erste Zeile der Tabelle aus.
In der letzten Spalte haben wir erwartungsgemäß Null erhalten; wir haben das ursprüngliche Polynom durch ein Binomial ohne Rest dividiert. Die Koeffizienten des aus der Division resultierenden Polynoms sind in der zweiten Zeile der Tabelle blau dargestellt:
Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Zahlen 1 und -1 keine Wurzeln des Polynoms sind
B) Fahren wir mit der Tabelle fort. Überprüfen wir, ob die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms ist:
Der Grad des Polynoms, das sich aus der Division durch eins ergibt, ist also kleiner als der Grad des ursprünglichen Polynoms, daher sind die Anzahl der Koeffizienten und die Anzahl der Spalten um eins geringer.
In der letzten Spalte haben wir -40 erhalten - eine Zahl, die ungleich Null ist, daher ist das Polynom durch ein Binomial mit Rest teilbar und die Zahl 2 ist nicht die Wurzel des Polynoms.
C) Überprüfen wir, ob die Zahl -2 die Wurzel des Polynoms ist. Da der vorherige Versuch fehlschlug, werde ich, um Verwechslungen mit den Koeffizienten zu vermeiden, die diesem Versuch entsprechende Zeile löschen:
Großartig! Wir haben Null als Rest erhalten, daher wurde das Polynom in ein Binomial ohne Rest geteilt, daher ist die Zahl -2 die Wurzel des Polynoms. Die Koeffizienten des Polynoms, das man durch Division eines Polynoms durch ein Binomial erhält, sind in der Tabelle grün dargestellt.
Als Ergebnis der Teilung bekamen wir quadratisches Trinom 
, deren Wurzeln leicht mit dem Satz von Vieta gefunden werden können:
Die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung lauten also:
{
}
Antwort: ( 
}
Horner-Schema – eine Methode zur Division eines Polynoms
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
auf dem Binomial $x-a$. Sie müssen mit einer Tabelle arbeiten, deren erste Zeile die Koeffizienten eines bestimmten Polynoms enthält. Das erste Element der zweiten Zeile ist die Zahl $a$, entnommen aus dem Binomial $x-a$:
Nachdem wir ein Polynom n-ten Grades durch ein Binomial $x-a$ dividiert haben, erhalten wir ein Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist als der ursprüngliche, d. h. gleich $n-1$. Die direkte Anwendung des Horner-Schemas lässt sich am einfachsten anhand von Beispielen demonstrieren.
Beispiel Nr. 1
Teilen Sie $5x^4+5x^3+x^2-11$ durch $x-1$ mit dem Horner-Schema.
Erstellen wir eine Tabelle mit zwei Zeilen: In der ersten Zeile schreiben wir die Koeffizienten des Polynoms $5x^4+5x^3+x^2-11$ auf, angeordnet in absteigender Reihenfolge der Potenzen der Variablen $x$. Beachten Sie, dass dieses Polynom $x$ nicht im ersten Grad enthält, d. h. der Koeffizient von $x$ zur ersten Potenz ist 0. Da wir durch $x-1$ dividieren, schreiben wir eins in die zweite Zeile:
Beginnen wir mit dem Ausfüllen der leeren Zellen in der zweiten Zeile. In die zweite Zelle der zweiten Zeile schreiben wir die Zahl $5$, indem wir sie einfach aus der entsprechenden Zelle der ersten Zeile verschieben:
Füllen wir die nächste Zelle nach diesem Prinzip: $1\cdot 5+5=10$:
Füllen wir die vierte Zelle der zweiten Zeile auf die gleiche Weise aus: $1\cdot 10+1=11$:
Für die fünfte Zelle erhalten wir: $1\cdot 11+0=11$:
Und schließlich gilt für die letzte, sechste Zelle: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Das Problem ist gelöst, es bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben:
Wie Sie sehen können, sind die Zahlen in der zweiten Zeile (zwischen eins und null) die Koeffizienten des Polynoms, das man nach der Division von $5x^4+5x^3+x^2-11$ durch $x-1$ erhält. Da der Grad des ursprünglichen Polynoms $5x^4+5x^3+x^2-11$ natürlich gleich vier war, ist der Grad des resultierenden Polynoms $5x^3+10x^2+11x+11$ natürlich eins weniger, d.h. . gleich drei. Die letzte Zahl in der zweiten Zeile (Null) bedeutet den Rest bei der Division des Polynoms $5x^4+5x^3+x^2-11$ durch $x-1$. In unserem Fall ist der Rest Null, d.h. Polynome sind gleichmäßig teilbar. Dieses Ergebnis kann auch wie folgt charakterisiert werden: Der Wert des Polynoms $5x^4+5x^3+x^2-11$ für $x=1$ ist gleich Null.
Die Schlussfolgerung kann auch in dieser Form formuliert werden: Da der Wert des Polynoms $5x^4+5x^3+x^2-11$ bei $x=1$ gleich Null ist, ist Eins die Wurzel des Polynoms $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Beispiel Nr. 2
Teilen Sie das Polynom $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ durch $x+3$ mit dem Horner-Schema.
Legen wir gleich fest, dass der Ausdruck $x+3$ in der Form $x-(-3)$ dargestellt werden muss. Horners Plan wird genau -3 $ umfassen. Da der Grad des ursprünglichen Polynoms $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ gleich vier ist, erhalten wir als Ergebnis der Division ein Polynom dritten Grades:
Das Ergebnis bedeutet das
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
In dieser Situation beträgt der Rest bei der Division von $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ durch $x+3$ 4$. Oder, was dasselbe ist, der Wert des Polynoms $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ für $x=-3$ ist gleich $4$. Dies lässt sich übrigens leicht noch einmal überprüfen, indem man $x=-3$ direkt in das gegebene Polynom einsetzt:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Diese. Das Horner-Schema kann verwendet werden, wenn Sie den Wert eines Polynoms für einen bestimmten Wert einer Variablen ermitteln müssen. Wenn unser Ziel darin besteht, alle Wurzeln eines Polynoms zu finden, kann Horners Schema mehrmals hintereinander angewendet werden, bis wir alle Wurzeln erschöpft haben, wie in Beispiel Nr. 3 besprochen.
Beispiel Nr. 3
Finden Sie alle ganzzahligen Wurzeln des Polynoms $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ mithilfe des Horner-Schemas.
Die Koeffizienten des betreffenden Polynoms sind ganze Zahlen und der Koeffizient der höchsten Potenz der Variablen (d. h. $x^6$) ist gleich eins. In diesem Fall müssen die ganzzahligen Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Termes gesucht werden, d.h. unter den Teilern der Zahl 45. Für ein gegebenes Polynom können solche Wurzeln die Zahlen $45 sein; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ und -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Schauen wir uns zum Beispiel die Zahl $1$ an:
Wie Sie sehen können, ist der Wert des Polynoms $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ mit $x=1$ gleich $192$ (die letzte Zahl). in der zweiten Zeile) und nicht $0 $, daher ist Eins nicht die Wurzel dieses Polynoms. Da die Prüfung für einen fehlgeschlagen ist, überprüfen wir den Wert $x=-1$. Wir werden hierfür keine neue Tabelle erstellen, sondern die Tabelle weiterhin verwenden. Nr. 1, indem eine neue (dritte) Zeile hinzugefügt wird. Die zweite Zeile, in der der Wert von 1$ überprüft wurde, wird rot hervorgehoben und in weiteren Diskussionen nicht verwendet.
Natürlich können Sie die Tabelle einfach noch einmal umschreiben, das manuelle Ausfüllen nimmt jedoch viel Zeit in Anspruch. Darüber hinaus kann es mehrere Zahlen geben, deren Überprüfung fehlschlägt, und es ist schwierig, jedes Mal eine neue Tabelle zu schreiben. Bei der Berechnung „auf dem Papier“ können die roten Linien einfach durchgestrichen werden.
Der Wert des Polynoms $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ bei $x=-1$ ist also gleich Null, d. h. Die Zahl $-1$ ist die Wurzel dieses Polynoms. Nachdem wir das Polynom $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ durch das Binomial $x-(-1)=x+1$ dividiert haben, erhalten wir das Polynom $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, deren Koeffizienten der dritten Zeile der Tabelle entnommen werden. Nr. 2 (siehe Beispiel Nr. 1). Das Ergebnis der Berechnungen kann auch in dieser Form dargestellt werden:
\begin(gleichung)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(Gleichung)
Setzen wir die Suche nach ganzzahligen Wurzeln fort. Jetzt müssen wir nach den Wurzeln des Polynoms $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ suchen. Auch hier werden die ganzzahligen Wurzeln dieses Polynoms unter den Teilern seines freien Termes, den Zahlen $45$, gesucht. Versuchen wir noch einmal, die Zahl $-1$ zu überprüfen. Wir werden keine neue Tabelle erstellen, sondern weiterhin die bisherige Tabelle verwenden. Nr. 2, d.h. Fügen wir noch eine Zeile hinzu:
Die Zahl $-1$ ist also die Wurzel des Polynoms $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Dieses Ergebnis kann wie folgt geschrieben werden:
\begin(Gleichung)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(Gleichung)
Unter Berücksichtigung von Gleichheit (2) kann Gleichheit (1) in folgender Form umgeschrieben werden:
\begin(gleichung)\begin(ausgerichtet) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(ausgerichtet)\end(Gleichung)
Jetzt müssen wir nach den Wurzeln des Polynoms $x^4-22x^2+24x+45$ suchen – natürlich unter den Teilern seines freien Termes (den Zahlen $45$). Schauen wir uns noch einmal die Zahl $-1$ an:
Die Zahl $-1$ ist die Wurzel des Polynoms $x^4-22x^2+24x+45$. Dieses Ergebnis kann wie folgt geschrieben werden:
\begin(Gleichung)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(Gleichung)
Unter Berücksichtigung von Gleichheit (4) schreiben wir Gleichheit (3) in der folgenden Form um:
\begin(gleichung)\begin(ausgerichtet) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(ausgerichtet)\end(Gleichung)
Jetzt suchen wir nach den Wurzeln des Polynoms $x^3-x^2-21x+45$. Schauen wir uns noch einmal die Zahl $-1$ an:
Die Prüfung endete mit einem Fehlschlag. Lassen Sie uns die sechste Zeile rot markieren und versuchen, eine andere Zahl zu überprüfen, zum Beispiel die Zahl $3$:
Der Rest ist Null, daher ist die Zahl $3$ die Wurzel des betreffenden Polynoms. Also $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Nun kann Gleichung (5) wie folgt umgeschrieben werden.
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Dividieren Sie Polynome Es wurde festgestellt, dass einige zur Lösung dieses Problems erforderliche Skripte nicht geladen wurden und das Programm möglicherweise nicht funktioniert.
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Eine kleine Theorie.
Teilen eines Polynoms in ein Polynom (Binom) durch eine Spalte (Ecke)
In der Algebra Division von Polynomen mit einer Spalte (Ecke)- ein Algorithmus zur Division eines Polynoms f(x) durch ein Polynom (Binom) g(x), dessen Grad kleiner oder gleich dem Grad des Polynoms f(x) ist.
Der Polynom-für-Polynom-Divisionsalgorithmus ist eine verallgemeinerte Form der Spaltendivision von Zahlen, die leicht von Hand implementiert werden kann.
Für alle Polynome \(f(x) \) und \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), gibt es eindeutige Polynome \(q(x) \) und \(r( x ) \), so dass
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
und \(r(x)\) hat einen niedrigeren Grad als \(g(x)\).
Das Ziel des Algorithmus zum Teilen von Polynomen in eine Spalte (Ecke) besteht darin, den Quotienten \(q(x) \) und den Rest \(r(x) \) für einen gegebenen Dividenden \(f(x) \) zu finden. und Nicht-Null-Teiler \(g(x) \)
Beispiel
Teilen wir ein Polynom durch ein anderes Polynom (Binom) mithilfe einer Spalte (Ecke):
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Der Quotient und der Rest dieser Polynome können durch Ausführen der folgenden Schritte ermittelt werden:
1. Teilen Sie das erste Element des Dividenden durch das höchste Element des Divisors und platzieren Sie das Ergebnis unter der Linie \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Subtrahieren Sie das nach der Multiplikation erhaltene Polynom vom Dividenden und schreiben Sie das Ergebnis unter die Zeile \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)
|
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4. Wiederholen Sie die vorherigen 3 Schritte und verwenden Sie dabei das unter der Linie geschriebene Polynom als Dividende.
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5. Wiederholen Sie Schritt 4.
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6. Ende des Algorithmus.
Somit ist das Polynom \(q(x)=x^2-9x-27\) der Quotient der Division von Polynomen und \(r(x)=-123\) der Rest der Division von Polynomen.
Das Ergebnis der Division von Polynomen kann in Form von zwei Gleichungen geschrieben werden:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
oder
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)
Die Website „Professional Mathematics Tutor“ setzt die Reihe methodischer Artikel zum Thema Unterricht fort. Ich veröffentliche Beschreibungen der Methoden meiner Arbeit mit den komplexesten und problematischsten Themen des Schullehrplans. Dieses Material wird für Mathematiklehrer und Nachhilfelehrer nützlich sein, die sowohl im regulären Programm als auch im Mathematikunterricht mit Schülern der Klassen 8 bis 11 arbeiten.
Ein Mathe-Nachhilfelehrer kann nicht immer Stoff erklären, der im Lehrbuch schlecht dargestellt ist. Leider werden solche Themen immer zahlreicher und es kommt immer wieder zu Darstellungsfehlern, die den Autoren von Handbüchern folgen. Dies gilt nicht nur für angehende Mathematik-Nachhilfelehrer und Teilzeit-Nachhilfelehrer (Nachhilfelehrer sind Studenten und Hochschullehrer), sondern auch für erfahrene Lehrer, professionelle Nachhilfelehrer, Nachhilfelehrer mit Erfahrung und Qualifikation. Nicht alle Mathematiklehrer haben das Talent, Ecken und Kanten in Schulbüchern kompetent zu korrigieren. Nicht jeder versteht auch, dass diese Korrekturen (oder Ergänzungen) notwendig sind. Nur wenige Kinder sind daran beteiligt, das Material an seine qualitative Wahrnehmung durch Kinder anzupassen. Leider ist die Zeit vorbei, in der Mathematiklehrer gemeinsam mit Methodikern und Publikationsautoren jeden Buchstaben des Lehrbuchs massenhaft diskutierten. Früher wurden vor der Veröffentlichung eines Lehrbuchs in Schulen ernsthafte Analysen und Studien zu Lernergebnissen durchgeführt. Es ist an der Zeit für Amateure, die danach streben, Lehrbücher universell zu machen und sie an die Standards eines anspruchsvollen Mathematikunterrichts anzupassen.
Der Wettlauf um die Erhöhung der Informationsmenge führt nur zu einer Verschlechterung der Qualität ihrer Assimilation und infolgedessen zu einer Verringerung des Niveaus der tatsächlichen Kenntnisse in Mathematik. Aber darauf achtet niemand. Und unsere Kinder sind bereits in der 8. Klasse gezwungen, das zu lernen, was wir am Institut gelernt haben: Wahrscheinlichkeitstheorie, Gleichungen lösen hohe Abschlüsse und etwas anderes. Die Anpassung des Buchmaterials an die volle Wahrnehmung des Kindes lässt viel zu wünschen übrig, und ein Mathematiklehrer ist gezwungen, irgendwie damit umzugehen.
Lassen Sie uns über die Methodik sprechen, um ein so spezifisches Thema wie „Dividieren eines Polynoms durch ein Polynom durch eine Ecke“ zu unterrichten, das in der Mathematik für Erwachsene besser bekannt ist als „Theorem von Bezout und Schema von Horner“. Noch vor ein paar Jahren war die Frage für einen Mathe-Nachhilfelehrer nicht so drängend, da Mathematik nicht Teil des Hauptlehrplans der Schule war. Jetzt haben die angesehenen Autoren des von Telyakovsky herausgegebenen Lehrbuchs Änderungen vorgenommen neueste Ausgabe Meiner Meinung nach das beste Lehrbuch, und da es völlig ruiniert war, hat es dem Tutor nur unnötige Sorgen bereitet. Lehrer von Schulen und Klassen, die nicht über den Status Mathematik verfügen, konzentrierten sich auf die Innovationen der Autoren und begannen, immer häufiger zusätzliche Absätze in ihren Unterricht aufzunehmen, und neugierige Kinder, die die schönen Seiten ihres Mathematiklehrbuchs betrachteten, fragten zunehmend danach Tutor: „Was ist diese Unterteilung durch eine Ecke? Werden wir das durchmachen? Wie teile ich eine Ecke? Vor solchen direkten Fragen gibt es kein Verstecken mehr. Der Nachhilfelehrer muss dem Kind etwas sagen.
Und wie? Bei kompetenter Darstellung in den Lehrbüchern hätte ich die Art und Weise der Bearbeitung des Themas wahrscheinlich nicht beschrieben. Wie läuft es bei uns? Lehrbücher müssen gedruckt und verkauft werden. Und dafür müssen sie regelmäßig aktualisiert werden. Beschweren sich Hochschullehrer darüber, dass Kinder mit leerem Kopf, ohne Wissen und Fähigkeiten zu ihnen kommen? Steigen die Anforderungen an mathematische Kenntnisse? Großartig! Lassen Sie uns einige Übungen entfernen und stattdessen Themen einfügen, die in anderen Programmen behandelt werden. Warum ist unser Lehrbuch schlechter? Wir werden einige zusätzliche Kapitel hinzufügen. Schulkinder kennen die Regel zum Teilen einer Ecke nicht? Das ist grundlegende Mathematik. Dieser Absatz sollte optional sein und den Titel „für diejenigen, die mehr wissen wollen“ tragen. Nachhilfelehrer dagegen? Warum sind uns Tutoren im Allgemeinen wichtig? Auch Methodologen und Schullehrer sind dagegen? Wir werden das Material nicht komplizieren und den einfachsten Teil betrachten.
Und hier beginnt es. Die Einfachheit des Themas und die Qualität seiner Aneignung liegen in erster Linie im Verständnis seiner Logik und nicht darin, gemäß den Anweisungen der Lehrbuchautoren eine Reihe von Operationen durchzuführen, die nicht klar miteinander verbunden sind . Andernfalls entsteht Nebel im Kopf des Schülers. Wenn sich die Autoren an relativ starke Studierende richten (die aber in einem regulären Programm studieren), sollten Sie das Thema nicht in einer Befehlsform präsentieren. Was sehen wir im Lehrbuch? Kinder, wir müssen nach dieser Regel teilen. Holen Sie sich das Polynom unter den Winkel. Somit wird das ursprüngliche Polynom faktorisiert. Es ist jedoch nicht klar zu verstehen, warum die Terme unter der Ecke genau auf diese Weise ausgewählt werden, warum sie mit dem Polynom über der Ecke multipliziert und dann vom aktuellen Rest subtrahiert werden müssen. Und was am wichtigsten ist: Es ist nicht klar, warum die ausgewählten Monome letztendlich addiert werden müssen und warum die resultierenden Klammern eine Erweiterung des ursprünglichen Polynoms darstellen. Jeder kompetente Mathematiker wird die Erklärungen im Lehrbuch mit einem fetten Fragezeichen versehen.
Ich mache Nachhilfelehrer und Mathematiklehrer auf meine Lösung des Problems aufmerksam, die praktisch alles, was im Lehrbuch steht, für den Schüler offensichtlich macht. Tatsächlich werden wir den Satz von Bezout beweisen: Wenn die Zahl a die Wurzel eines Polynoms ist, dann kann dieses Polynom in Faktoren zerlegt werden, von denen einer x-a ist und der zweite aus dem Original auf eine von drei Arten erhalten wird: durch Isolieren eines linearen Faktors durch Transformationen, durch Division durch eine Ecke oder durch das Horner-Schema. Mit dieser Formulierung wird es einem Mathe-Nachhilfelehrer leichter fallen, zu arbeiten.
Was ist Lehrmethodik? Dies ist zunächst einmal eine klare Reihenfolge in der Abfolge von Erläuterungen und Beispielen, auf deren Grundlage mathematische Schlussfolgerungen gezogen werden. Dieses Thema keine Ausnahme. Für einen Mathematiklehrer ist es sehr wichtig, das Kind an den Satz von Bezout heranzuführen vor der Teilung durch eine Ecke. Es ist sehr wichtig! Der beste Weg, Verständnis zu erlangen, ist konkretes Beispiel. Nehmen wir ein Polynom mit einer ausgewählten Wurzel und zeigen wir die Technik der Faktorisierung in Faktoren mit einer Methode, die Schulkindern seit der 7. Klasse bekannt ist Identitätstransformationen. Mit entsprechenden begleitenden Erläuterungen, Schwerpunkten und Tipps eines Mathematiklehrers ist es durchaus möglich, den Stoff ohne allgemeine mathematische Berechnungen, willkürliche Koeffizienten und Potenzen zu vermitteln.
Wichtiger Rat für einen Mathe-Nachhilfelehrer- Befolgen Sie die Anweisungen von Anfang bis Ende und ändern Sie diese Reihenfolge nicht.
Nehmen wir also an, wir haben ein Polynom. Wenn wir anstelle von X die Zahl 1 einsetzen, ist der Wert des Polynoms gleich Null. Daher ist x=1 seine Wurzel. Versuchen wir, es in zwei Terme zu zerlegen, sodass einer von ihnen das Produkt eines linearen Ausdrucks und eines Monoms ist und der zweite einen Grad kleiner als hat. Das heißt, stellen wir es in der Form dar
Wir wählen das Monom für das rote Feld so aus, dass es bei Multiplikation mit dem führenden Term vollständig mit dem führenden Term des ursprünglichen Polynoms übereinstimmt. Wenn der Schüler nicht der Schwächste ist, ist er durchaus in der Lage, dem Mathematiklehrer den erforderlichen Ausdruck zu sagen: . Der Tutor sollte sofort gebeten werden, es in das rote Feld einzufügen und zu zeigen, was beim Öffnen passiert. Am besten signieren Sie dieses virtuelle temporäre Polynom unter den Pfeilen (unter dem kleinen Foto) und heben es mit etwas Farbe hervor, zum Beispiel Blau. Dies hilft Ihnen bei der Auswahl eines Begriffs für das rote Feld, den sogenannten Rest der Auswahl. Ich würde den Tutoren raten, hier darauf hinzuweisen, dass dieser Rest durch Subtraktion ermittelt werden kann. Wenn wir diese Operation ausführen, erhalten wir:
Der Mathematiklehrer sollte den Schüler darauf aufmerksam machen, dass wir durch das Einsetzen von Eins in diese Gleichung garantiert eine Null auf der linken Seite erhalten (da 1 die Wurzel des ursprünglichen Polynoms ist) und auf der rechten Seite natürlich wir wird auch den ersten Term auf Null setzen. Dies bedeutet, dass wir ohne Überprüfung sagen können, dass eins die Wurzel des „grünen Rests“ ist.
Gehen wir damit genauso um wie mit dem ursprünglichen Polynom und isolieren wir daraus den gleichen linearen Faktor. Der Mathematiklehrer zeichnet zwei Rahmen vor dem Schüler und bittet ihn, ihn von links nach rechts auszufüllen.
Der Student wählt für den Tutor ein Monom für das rote Feld aus, sodass es bei Multiplikation mit dem führenden Term des linearen Ausdrucks den führenden Term des expandierenden Polynoms ergibt. Wir passen es in den Rahmen ein, öffnen sofort die Halterung und markieren blau den Ausdruck, der vom Faltausdruck abgezogen werden muss. Wenn wir diese Operation ausführen, erhalten wir
Und schließlich machen wir dasselbe mit dem letzten Rest
wir kriegen es endlich hin
Nehmen wir nun den Ausdruck aus der Klammer und sehen wir uns die Zerlegung des ursprünglichen Polynoms in Faktoren an, von denen einer „x minus der ausgewählten Wurzel“ ist.
Um zu verhindern, dass der Schüler denkt, dass der letzte „grüne Rest“ versehentlich in die erforderlichen Faktoren zerlegt wurde, sollte der Mathematiklehrer darauf hinweisen wichtige Eigenschaft aller grünen Reste – jeder von ihnen hat die Wurzel 1. Da die Grade dieser Reste abnehmen, erhalten wir früher oder später einen linearen „grünen Rest“ mit der Wurzel 1, egal welcher Grad des anfänglichen Polynoms uns gegeben wird, und Daher wird es notwendigerweise eine gewisse Zahl und einen Ausdruck in das Produkt zerlegen.
Nach einer solchen Vorarbeit wird es für einen Mathematiklehrer nicht schwer sein, dem Schüler zu erklären, was beim Teilen durch eine Ecke passiert. Dies ist derselbe Vorgang, nur in kürzerer und kompakterer Form, ohne Gleichheitszeichen und ohne Umschreibung derselben hervorgehobenen Begriffe. Das Polynom, aus dem der lineare Faktor extrahiert wird, wird links in die Ecke geschrieben, die ausgewählten roten Monome werden in einem Winkel gesammelt (jetzt wird klar, warum sie addiert werden sollten), um die „blauen Polynome“, die „roten“, zu erhalten „Einsen müssen mit x-1 multipliziert und dann von der aktuell ausgewählten subtrahiert werden, wie dies bei der üblichen Aufteilung von Zahlen in eine Spalte geschieht (hier ist eine Analogie zu dem, was zuvor untersucht wurde). Die resultierenden „grünen Reste“ werden einer erneuten Isolierung und Selektion von „roten Monomen“ unterzogen. Und so weiter, bis Sie einen „grünen Saldo“ von Null erreichen. Das Wichtigste ist, dass der Schüler versteht weiteres Schicksal geschriebene Polynome über und unter dem Winkel. Offensichtlich handelt es sich hierbei um Klammern, deren Produkt gleich dem ursprünglichen Polynom ist.
Der nächste Schritt in der Arbeit eines Mathematiklehrers ist die Formulierung des Bezout-Theorems. Tatsächlich wird seine Formulierung mit diesem Ansatz des Tutors offensichtlich: Wenn die Zahl a die Wurzel eines Polynoms ist, kann sie faktorisiert werden, wobei eine davon faktorisiert wird und die andere auf eine von drei Arten aus dem Original erhalten wird :
- direkte Zerlegung (analog zur Gruppierungsmethode)
- durch eine Ecke teilen (in einer Spalte)
- über Horners Schaltung
Es muss gesagt werden, dass nicht alle Mathematiklehrer ihren Schülern das Horner-Diagramm zeigen und nicht alle Schullehrer (zum Glück für die Nachhilfelehrer selbst) sich im Unterricht so tief in das Thema vertiefen. Für einen Mathematikstudenten sehe ich jedoch keinen Grund, bei der langen Division aufzuhören. Darüber hinaus ist die bequemste und schnell Die Zerlegungstechnik basiert genau auf Horners Schema. Um einem Kind zu erklären, woher es kommt, genügt es, am Beispiel der Division durch eine Ecke das Auftreten höherer Koeffizienten in den grünen Resten zu verfolgen. Es wird deutlich, dass der führende Koeffizient des anfänglichen Polynoms in den Koeffizienten des ersten „roten Monoms“ und weiter vom zweiten Koeffizienten des aktuellen oberen Polynoms übertragen wird abgezogen das Ergebnis der Multiplikation des aktuellen Koeffizienten des „roten Monoms“ mit . Deshalb ist es möglich hinzufügen das Ergebnis der Multiplikation mit . Nachdem der Mathematiklehrer die Aufmerksamkeit des Schülers auf die Besonderheiten von Aktionen mit Koeffizienten gelenkt hat, kann er zeigen, wie diese Aktionen normalerweise ausgeführt werden, ohne die Variablen selbst aufzuzeichnen. Dazu ist es zweckmäßig, die Wurzel und die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms in der Reihenfolge ihrer Rangfolge in die folgende Tabelle einzutragen:
Wenn in einem Polynom ein Grad fehlt, wird sein Nullkoeffizient zwangsweise in die Tabelle eingetragen. Die Koeffizienten der „roten Polynome“ werden nach der „Hook“-Regel der Reihe nach in die untere Zeile geschrieben: 
Die Wurzel wird mit dem letzten roten Koeffizienten multipliziert, zum nächsten Koeffizienten in der oberen Zeile addiert und das Ergebnis in die untere Zeile geschrieben. In der letzten Spalte erhalten wir garantiert den höchsten Koeffizienten des letzten „grünen Restes“, also Null. Nachdem der Vorgang abgeschlossen ist, werden die Zahlen angezeigt eingeklemmt zwischen der passenden Wurzel und dem Null-Rest erweisen sich als Koeffizienten des zweiten (nichtlinearen) Faktors.
Da die Wurzel a am Ende der Endzeile eine Null ergibt, kann das Horner-Schema verwendet werden, um Zahlen auf den Titel der Wurzel eines Polynoms zu überprüfen. Wenn ein spezieller Satz zur Auswahl einer rationalen Wurzel. Alle mit seiner Hilfe gewonnenen Kandidaten für diesen Titel werden einfach der Reihe nach von links in Horners Diagramm eingefügt. Sobald wir Null erhalten, ist die getestete Zahl eine Wurzel, und gleichzeitig erhalten wir die Faktorisierungskoeffizienten des ursprünglichen Polynoms auf seiner Geraden. Sehr bequem.
Abschließend möchte ich darauf hinweisen, dass ein Mathematiklehrer über eine ausreichende Anzahl von Stunden verfügen muss, um Horners Schema genau einzuführen und das Thema praktisch zu vertiefen. Ein Nachhilfelehrer, der mit der Regelung „einmal pro Woche“ arbeitet, sollte sich nicht auf eine Eckeinteilung einlassen. Beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik und an der Staatlichen Mathematikakademie ist es unwahrscheinlich, dass Sie im ersten Teil jemals auf eine Gleichung dritten Grades stoßen, die auf diese Weise gelöst werden kann. Wenn ein Nachhilfelehrer ein Kind auf eine Mathematikprüfung an der Moskauer Staatsuniversität vorbereitet, ist das Studium des Themas obligatorisch. Universitätslehrer prüfen im Gegensatz zu den Erstellern des Einheitlichen Staatsexamens gerne die Tiefe des Wissens eines Bewerbers.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, Mathematiklehrer Moskau, Strogino
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Unterrichtsart: Eine Lektion zur Beherrschung und Festigung von Primärwissen.
Der Zweck der Lektion:
- Machen Sie die Schüler mit dem Konzept der Wurzeln eines Polynoms vertraut und zeigen Sie ihnen, wie man sie findet. Verbessern Sie Ihre Fähigkeiten bei der Verwendung des Horner-Schemas zur Potenzentwicklung eines Polynoms und zur Division eines Polynoms durch ein Binomial.
- Lernen Sie, die Wurzeln einer Gleichung mithilfe des Horner-Schemas zu finden.
- Entwickeln Sie abstraktes Denken.
- Fördern Sie eine Computerkultur.
- Entwicklung interdisziplinärer Verbindungen.
Während des Unterrichts
1. Organisatorischer Moment.
Informieren Sie sich über das Thema der Lektion, formulieren Sie Ziele.
2. Hausaufgaben überprüfen.
3. Neues Material studieren.
Sei Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - ein Polynom für x vom Grad n, wobei a 0 , a 1 ,...,a n gegebene Zahlen sind und a 0 ungleich 0 ist. Wenn das Polynom F n (x) mit dem Rest durch das Binomial x-a dividiert wird , dann ist der Quotient (unvollständiger Quotient) ein Polynom Q n-1 (x) vom Grad n-1, der Rest R ist eine Zahl und die Gleichheit ist wahr F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Das Polynom F n (x) ist nur im Fall R=0 durch das Binomial (x-a) teilbar.
Satz von Bezout: Rest R bei der Division eines Polynoms F n (x) durch ein Binomial (x-a) gleich dem Wert Polynom F n (x) für x=a, d.h. R=Pn(a).
Eine kleine Geschichte. Der Satz von Bezout ist trotz seiner scheinbaren Einfachheit und Offensichtlichkeit einer der grundlegenden Sätze der Polynomtheorie. Dieser Satz verknüpft die algebraischen Eigenschaften von Polynomen (die die Behandlung von Polynomen als ganze Zahlen ermöglichen) mit ihren funktionalen Eigenschaften (die die Behandlung von Polynomen als Funktionen ermöglichen). Eine Möglichkeit, Gleichungen höheren Grades zu lösen, besteht darin, das Polynom auf der linken Seite der Gleichung zu faktorisieren. Die Berechnung der Koeffizienten des Polynoms und des Restes wird in Form einer Tabelle namens Horner-Schema geschrieben.
Horners Schema ist ein Algorithmus zur Division von Polynomen, der für den Sonderfall geschrieben wurde, dass der Quotient einem Binomial entspricht x–a.
Horner William George (1786–1837), englischer Mathematiker. Grundlagenforschung bezieht sich auf Theorie algebraische Gleichungen. Entwickelte eine Methode zur Näherungslösung von Gleichungen jeden Grades. 1819 führte er eine für die Algebra wichtige Methode der Division eines Polynoms durch ein Binomial x - a ein (Horner-Schema).
Abschluss allgemeine Formel für Horners Schema.
Ein Polynom f(x) mit einem Rest durch ein Binomial (x-c) zu dividieren bedeutet, ein Polynom q(x) und eine Zahl r zu finden, so dass f(x)=(x-c)q(x)+r
Schreiben wir diese Gleichheit im Detail:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Lassen Sie uns die Koeffizienten mit den gleichen Graden gleichsetzen:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Demonstration der Horner-Schaltung anhand eines Beispiels.
Übung 1. Unter Verwendung des Horner-Schemas dividieren wir das Polynom f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 mit Rest durch das Binomial x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, wobei g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 Rest.
Entwicklung eines Polynoms in Binomialpotenzen.
Unter Verwendung des Horner-Schemas entwickeln wir das Polynom f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 in Potenzen des Binomials (x+2).
Als Ergebnis sollten wir die Entwicklung f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) erhalten )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Das Horner-Schema wird häufig beim Lösen von Gleichungen dritten, vierten und höheren Grades verwendet, wenn es zweckmäßig ist, das Polynom in ein Binomial x-a zu erweitern. Nummer A angerufen Wurzel des Polynoms F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, wenn bei x=a der Wert des Polynoms F n (x) ist gleich Null: F n (a)=0, d.h. wenn das Polynom durch das Binomial x-a teilbar ist.
Beispielsweise ist die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms F 3 (x)=3x 3 -2x-20, da F 3 (2)=0. das heisst. Dass die Faktorisierung dieses Polynoms einen Faktor x-2 enthält.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Jedes Polynom F n(x) vom Grad N 1 kann nicht mehr haben N echte Wurzeln.
Jede ganzzahlige Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler ihres freien Termes.
Wenn der führende Koeffizient der Gleichung 1 ist, dann alle rationale Wurzeln Die Gleichungen, sofern vorhanden, sind ganzzahlig.
Konsolidierung des untersuchten Materials.
Um das neue Material zu festigen, werden die Studierenden gebeten, die Nummern aus dem Lehrbuch 2.41 und 2.42 (S. 65) zu vervollständigen.
(2 Schüler lösen an der Tafel, und der Rest überprüft nach seiner Entscheidung die Aufgaben im Notizbuch mit den Antworten an der Tafel).
Zusammenfassend.
Nachdem man den Aufbau und die Funktionsweise des Horner-Schemas verstanden hat, kann es auch im Informatikunterricht eingesetzt werden, wenn es um die Umrechnung ganzer Zahlen vom Dezimalzahlensystem in das Binärsystem und umgekehrt geht. Grundlage für die Übertragung von einem Zahlensystem auf ein anderes ist der folgende allgemeine Satz
Satz. Um eine ganze Zahl umzuwandeln Ap aus P-äres Zahlensystem zum Basiszahlensystem D notwendig Ap Der Reihe nach mit dem Rest durch die Zahl dividieren D, im selben geschrieben P-äres System, bis der resultierende Quotient gleich Null wird. Die Reste aus der Teilung bleiben erhalten D-numerische Ziffern Anzeige, angefangen von der jüngsten Kategorie bis zur ältesten. Alle Aktionen müssen in durchgeführt werden P-äres Zahlensystem. Für eine Person ist diese Regel nur dann praktisch, wenn P= 10, d.h. beim Übersetzen aus Dezimalsystem. Für den Computer hingegen ist es „bequemer“, Berechnungen im Binärsystem durchzuführen. Um „2 in 10“ umzuwandeln, wird daher die sequentielle Division durch zehn im Binärsystem verwendet, und „10 in 2“ ist die Addition von Zehnerpotenzen. Um die Berechnungen des „10 in 2“-Verfahrens zu optimieren, nutzt der Computer das ökonomische Rechenschema von Horner.
Hausaufgaben. Es wird vorgeschlagen, zwei Aufgaben zu erledigen.
1. Teilen Sie mithilfe des Horner-Schemas das Polynom f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 durch das Binomial (x-3).
2. Finden Sie die ganzzahligen Wurzeln des Polynoms f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (Angesichts der Tatsache, dass jede ganzzahlige Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ein Teiler ihres freien Termes ist)
Literatur.
- Kurosh A.G. „Kurs der Höheren Algebra.“
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. und andere. Klasse 10 „Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse.“
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.