Lassen Sie uns jeden Term in der Klammer multiplizieren. Halterung im natürlichen Grad. Was nennt man öffnende Klammern?

In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe linearer Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Definieren wir zunächst: Was ist eine lineare Gleichung und welche wird als die einfachste bezeichnet?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachste reduziert:

1. Erweitern Sie ggf. Klammern.
2. Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere.
3. Geben Sie links und rechts vom Gleichheitszeichen ähnliche Begriffe an;
4. Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$.

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ ist gleich Null. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn zum Beispiel so etwas wie $0\cdot x=8$ herauskommt, d.h. links ist Null und rechts ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns mehrere Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ziemlich logisch, dass, egal welches $x$ wir ersetzen, immer noch herauskommt: „Null ist gleich Null“, d. h. Korrekte numerische Gleichheit.

Sehen wir uns nun anhand von Beispielen aus der Praxis an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute haben wir es mit linearen Gleichungen zu tun, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichheit, die genau eine Variable enthält und nur bis zum ersten Grad reicht.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zunächst müssen Sie die Klammern erweitern, falls vorhanden (wie in unserem letzten Beispiel);
2. Dann ähnlich kombinieren
3. Isolieren Sie abschließend die Variable, d. h. Bewegen Sie alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – auf eine Seite und alles, was ohne sie übrig bleibt, auf die andere Seite.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit ähnliche Werte angeben, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten von „x“ dividieren, und wir erhalten das endgültige Ergebnis.

Theoretisch sieht das schön und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Gymnasiasten auf ziemlich einfache Weise beleidigende Fehler machen lineare Gleichungen. Typischerweise werden entweder beim Öffnen von Klammern oder bei der Berechnung der „Pluspunkte“ und „Minuspunkte“ Fehler gemacht.

Darüber hinaus kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat oder dass die Lösung der gesamte Zahlenstrahl ist, d. h. irgendeine Nummer. Wir werden uns diese Feinheiten in der heutigen Lektion ansehen. Aber wir beginnen, wie Sie bereits verstanden haben, mit dem Ganzen einfache Aufgaben.

Schema zur Lösung einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Erweitern Sie ggf. die Klammern.
2. Wir isolieren die Variablen, d.h. Wir verschieben alles, was „X“ enthält, auf eine Seite und alles ohne „X“ auf die andere.
3. Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
4. Wir dividieren alles durch den Koeffizienten „x“.

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer; es enthält gewisse Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Lösen realer Beispiele einfacher linearer Gleichungen

Aufgabe Nr. 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. Da sie in diesem Beispiel nicht vorhanden sind, überspringen wir diesen Schritt. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden über nur über einzelne Begriffe. Schreiben wir es auf:

Wir präsentieren links und rechts ähnliche Begriffe, dies wurde hier jedoch bereits getan. Machen wir also weiter vierter Schritt: dividiert durch den Koeffizienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Also haben wir die Antwort bekommen.

Aufgabe Nr. 2

Wir können die Klammern in diesem Problem sehen, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr das gleiche Design, aber wir handeln nach dem Algorithmus, d.h. Trennen der Variablen:

Hier sind einige ähnliche:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für jeden. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Es gibt mehrere Klammern, aber sie werden nicht mit irgendetwas multipliziert, ihnen wird einfach ein vorangestellt verschiedene Zeichen. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lassen Sie uns rechnen:

Wir führen den letzten Schritt aus – dividieren Sie alles durch den Koeffizienten „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dinge, die Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir allzu einfache Aufgaben außer Acht lassen, möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung – manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, kann es sein, dass es null darunter gibt – daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie die anderen; Sie sollten sie in keiner Weise diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Eine weitere Funktion betrifft das Öffnen von Klammern. Bitte beachten Sie: Wenn davor ein „Minus“ steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Vorzeichen in Gegenteil. Und dann können wir es mit Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten das, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Das Verständnis dieser einfachen Tatsache wird Ihnen helfen, dumme und verletzende Fehler in der High School zu vermeiden, wenn solche Dinge als selbstverständlich angesehen werden.

Komplexe lineare Gleichungen lösen

Kommen wir zu mehr komplexe Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplexer und bei der Durchführung verschiedener Transformationen erscheint eine quadratische Funktion. Wir sollten jedoch keine Angst davor haben, denn wenn wir nach dem Plan des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden sich während des Transformationsprozesses alle Monome, die eine quadratische Funktion enthalten, mit Sicherheit aufheben.

Beispiel Nr. 1

Der erste Schritt besteht natürlich darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir dabei ganz vorsichtig vor:

Werfen wir nun einen Blick auf den Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige ähnliche:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, daher schreiben wir Folgendes in die Antwort:

\[\varnothing\]

oder es gibt keine Wurzeln.

Beispiel Nr. 2

Wir führen die gleichen Aktionen aus. Erster Schritt:

Verschieben wir alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts:

Hier sind einige ähnliche:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, deshalb schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder es gibt keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke waren wir erneut davon überzeugt, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen möglicherweise nicht alles so einfach ist: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele Wurzeln geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, beide haben einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern umgeht und wie man sie öffnet, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit „X“ multiplizieren. Bitte beachten: multipliziert jeder einzelne Begriff. Darin befinden sich zwei Terme – bzw. zwei Terme und multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, können Sie die Klammer unter dem Gesichtspunkt öffnen, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: Erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles darunter einfach das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementarer Transformationen, bei denen die Unfähigkeit, einfache Handlungen klar und kompetent auszuführen, dazu führt, dass Gymnasiasten zu mir kommen und erneut lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten bis zur Automatisierung verfeinern werden. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, sondern schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade erst lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe Nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Lassen Sie uns etwas Privatsphäre schaffen:

Hier sind einige ähnliche:

Lassen Sie uns den letzten Schritt abschließen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier ist unsere endgültige Antwort. Und trotz der Tatsache, dass wir im Lösungsprozess Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, löschten sie sich gegenseitig aus, was die Gleichung linear und nicht quadratisch machte.

Aufgabe Nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Führen wir den ersten Schritt sorgfältig aus: Multiplizieren Sie jedes Element aus der ersten Klammer mit jedem Element aus der zweiten. Nach den Transformationen soll es insgesamt vier neue Begriffe geben:

Lassen Sie uns nun die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durchführen:

Verschieben wir die Begriffe mit „X“ nach links und die ohne „X“ nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wieder einmal haben wir die endgültige Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Der wichtigste Hinweis zu diesen beiden Gleichungen ist der folgende: Sobald wir beginnen, Klammern zu multiplizieren, die mehr als einen Term enthalten, geschieht dies nach der folgenden Regel: Wir nehmen den ersten Term aus dem ersten und multiplizieren mit jedem Element aus der Zweite; dann nehmen wir das zweite Element vom ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element vom zweiten. Infolgedessen werden wir vier Amtszeiten haben.

Über die algebraische Summe

Mit diesem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was eine algebraische Summe ist. In der klassischen Mathematik meinen wir mit $1-7$ eine einfache Konstruktion: Subtrahiere sieben von eins. In der Algebra meinen wir damit Folgendes: Zur Zahl „eins“ addieren wir eine weitere Zahl, nämlich „minus sieben“. Darin unterscheidet sich eine algebraische Summe von einer gewöhnlichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei der Durchführung aller Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie die oben beschriebenen sehen, werden Sie bei der Arbeit mit Polynomen und Gleichungen in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir gerade betrachtet haben. Um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit Brüchen lösen

Um solche Aufgaben zu lösen, müssen wir unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen. Aber zunächst möchte ich Sie an unseren Algorithmus erinnern:

1. Öffne die Klammern.
2. Separate Variablen.
3. Bringen Sie ähnliche mit.
4. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Leider erweist sich dieser wunderbare Algorithmus trotz seiner Wirksamkeit als nicht ganz geeignet, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir weiter unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen sowohl links als auch rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion durchgeführt werden kann, nämlich das Entfernen von Brüchen. Der Algorithmus sieht also wie folgt aus:

1. Beseitigen Sie Brüche.
2. Öffne die Klammern.
3. Separate Variablen.
4. Bringen Sie ähnliche mit.
5. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Was bedeutet es, „Brüche loszuwerden“? Und warum kann dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt erfolgen? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche im Nenner numerisch, d.h. Überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel Nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bitte beachten Sie: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d. h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede mit „vier“ multiplizieren müssen. Schreiben wir auf:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lassen Sie uns nun erweitern:

Wir schließen die Variable ab:

Wir führen die Reduktion ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wir haben die endgültige Lösung erhalten, fahren wir mit der zweiten Gleichung fort.

Beispiel Nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir alle gleichen Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Das Problem ist behoben.

Das ist eigentlich alles, was ich Ihnen heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse sind:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Möglichkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie es sehen quadratische Funktionen Höchstwahrscheinlich werden sie im Zuge weiterer Transformationen abnehmen.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst in den einfachsten: eine einzelne Wurzel, die gesamte Zahlenlinie ist eine Wurzel und überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen dabei hilft, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es erwarten Sie noch viele weitere interessante Dinge!

Das Erweitern von Klammern ist eine Art Ausdruckstransformation. In diesem Abschnitt beschreiben wir die Regeln zum Öffnen von Klammern und schauen uns auch die häufigsten Beispiele für Probleme an.

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Was sind öffnende Klammern?

Klammern werden verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen in numerischen, literalen und variablen Ausdrücken ausgeführt werden. Es ist praktisch, von einem Ausdruck mit Klammern zu einem identischen Ausdruck überzugehen gleich dem Ausdruck ohne Klammern. Ersetzen Sie beispielsweise den Ausdruck 2 · (3 + 4) durch einen Ausdruck der Form 2 3 + 2 4 ohne Klammern. Diese Technik wird als Öffnen von Klammern bezeichnet.

Definition 1

Das Erweitern von Klammern bezieht sich auf Techniken zum Entfernen von Klammern und wird normalerweise in Bezug auf Ausdrücke betrachtet, die Folgendes enthalten können:

• Zeichen „+“ oder „-“ vor Klammern, die Summen oder Differenzen enthalten;
• das Produkt aus einer Zahl, einem Buchstaben oder mehreren Buchstaben und einer Summe oder Differenz, das in Klammern gesetzt wird.

So sind wir es gewohnt, den Prozess des Öffnens von Klammern im Lehrplan der Schule zu sehen. Allerdings hindert uns niemand daran, diese Aktion umfassender zu betrachten. Wir können Klammern aufrufen, um den Übergang von einem Ausdruck, der negative Zahlen in Klammern enthält, zu einem Ausdruck zu öffnen, der keine Klammern hat. Zum Beispiel können wir von 5 + (− 3) − (− 7) auf 5 − 3 + 7 gehen. Tatsächlich ist dies auch eine Öffnung von Klammern.

Auf die gleiche Weise können wir das Produkt von Ausdrücken in Klammern der Form (a + b) · (c + d) durch die Summe a · c + a · d + b · c + b · d ersetzen. Diese Technik widerspricht auch nicht der Bedeutung öffnender Klammern.

Hier ist ein weiteres Beispiel. Wir können davon ausgehen, dass in Ausdrücken beliebige Ausdrücke anstelle von Zahlen und Variablen verwendet werden können. Beispielsweise entspricht der Ausdruck x 2 · 1 a - x + sin (b) einem Ausdruck ohne Klammern der Form x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Ein weiterer Punkt verdient besondere Aufmerksamkeit, nämlich die Besonderheiten der Protokollierung von Entscheidungen beim Öffnen von Klammern. Wir können den anfänglichen Ausdruck in Klammern schreiben und das Ergebnis, das wir nach dem Öffnen der Klammern erhalten, als Gleichheit schreiben. Zum Beispiel nach dem Erweitern der Klammern anstelle des Ausdrucks 3 − (5 − 7) wir bekommen den Ausdruck 3 − 5 + 7 . Wir können diese beiden Ausdrücke als Gleichheit 3 ​​− (5 − 7) = 3 − 5 + 7 schreiben.

Das Ausführen von Aktionen mit umständlichen Ausdrücken kann die Aufzeichnung von Zwischenergebnissen erfordern. Dann hat die Lösung die Form einer Gleichungskette. Zum Beispiel, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 oder 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Regeln zum Öffnen von Klammern, Beispiele

Schauen wir uns zunächst die Regeln zum Öffnen von Klammern an.

Für einzelne Zahlen in Klammern

In Ausdrücken kommen häufig negative Zahlen in Klammern vor. Zum Beispiel (− 4) und 3 + (− 4) . Auch positive Zahlen in Klammern haben ihren Platz.

Lassen Sie uns eine Regel zum Öffnen von Klammern formulieren, die einzelne positive Zahlen enthalten. Nehmen wir an, dass a eine beliebige positive Zahl ist. Dann können wir (a) durch a, + (a) durch + a, - (a) durch – a ersetzen. Wenn wir statt a eine bestimmte Zahl nehmen, dann wird nach der Regel: die Zahl (5) geschrieben als 5 , Ausdruck 3 + (5) ohne Klammern wird die Form annehmen 3 + 5 , da + (5) durch ersetzt wird + 5 , und der Ausdruck 3 + (− 5) ist äquivalent zum Ausdruck 3 − 5 , als + (− 5) wird ersetzt durch − 5 .

Positive Zahlen werden normalerweise ohne Klammern geschrieben, da Klammern in diesem Fall unnötig sind.

Betrachten Sie nun die Regel zum Öffnen von Klammern, die eine einzelne Zahl enthalten eine negative Zahl. + (− a) wir ersetzen durch − a, − (− a) wird durch + a ersetzt. Wenn der Ausdruck mit einer negativen Zahl beginnt (−a), das in Klammern geschrieben wird, dann werden die Klammern weggelassen und stattdessen (−a)Überreste − a.

Hier sind einige Beispiele: (− 5) kann geschrieben werden als − 5, (− 3) + 0, 5 wird zu − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) wird 4 − 3 , und − (− 4) − (− 3) nimmt nach dem Öffnen der Klammern die Form 4 + 3 an, da − (− 4) und − (− 3) wird durch + 4 und + 3 ersetzt.

Es versteht sich, dass der Ausdruck 3 · (− 5) nicht als 3 · − 5 geschrieben werden kann. Dies wird in den folgenden Absätzen besprochen.

Sehen wir uns an, worauf die Regeln zum Öffnen von Klammern basieren.

Nach der Regel ist die Differenz a − b gleich a + (− b) . Basierend auf den Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen können wir eine Kette von Gleichheiten erstellen (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a Das wird fair sein. Diese Gleichungskette beweist aufgrund der Bedeutung der Subtraktion, dass der Ausdruck a + (− b) die Differenz ist a − b.

Basierend auf den Eigenschaften entgegengesetzter Zahlen und den Regeln zum Subtrahieren negativer Zahlen können wir sagen, dass − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Es gibt Ausdrücke, die aus einer Zahl, Minuszeichen und mehreren Klammerpaaren bestehen. Mithilfe der oben genannten Regeln können Sie Klammern nacheinander entfernen, indem Sie von der inneren zur äußeren Klammer oder in die entgegengesetzte Richtung wechseln. Ein Beispiel für einen solchen Ausdruck wäre − (− ((− (5)))) . Öffnen wir die Klammern von innen nach außen: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Dieses Beispiel kann auch in umgekehrter Richtung analysiert werden: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Unter A und b können nicht nur als Zahlen verstanden werden, sondern auch als beliebige numerische oder alphabetische Ausdrücke mit einem „+“-Zeichen davor, die keine Summen oder Differenzen sind. In all diesen Fällen können Sie die Regeln auf die gleiche Weise anwenden, wie wir es für einzelne Zahlen in Klammern getan haben.

Zum Beispiel nach dem Öffnen der Klammern der Ausdruck − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) wird die Form 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z annehmen. Wie haben wir es gemacht? Wir wissen, dass − (− 2 x) + 2 x ist, und da dieser Ausdruck an erster Stelle steht, kann + 2 x als 2 x geschrieben werden, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x und − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

In Produkten aus zwei Zahlen

Beginnen wir mit der Regel zum Öffnen von Klammern im Produkt zweier Zahlen.

Tun wir mal so A und b sind zwei positive Zahlen. In diesem Fall das Produkt zweier negativer Zahlen − a und − b der Form (− a) · (− b) können wir durch (a · b) ersetzen, und die Produkte zweier Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen der Form (− a) · b und a · (− b) kann ersetzt werden durch (− a b). Die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ergibt ein Plus, und die Multiplikation eines Minus mit einem Plus ergibt ein Minus, so wie die Multiplikation eines Plus mit einem Minus.

Die Richtigkeit des ersten Teils der geschriebenen Regel wird durch die Regel zur Multiplikation negativer Zahlen bestätigt. Um den zweiten Teil der Regel zu bestätigen, können wir die Regeln zum Multiplizieren von Zahlen mit verwenden verschiedene Zeichen.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1

Betrachten wir einen Algorithmus zum Öffnen von Klammern im Produkt zweier negativer Zahlen - 4 3 5 und - 2 der Form (- 2) · - 4 3 5. Ersetzen Sie dazu den ursprünglichen Ausdruck durch 2 · 4 3 5 . Öffnen wir die Klammern und erhalten wir 2 · 4 3 5 .

Und wenn wir den Quotienten der negativen Zahlen (− 4) : (− 2) nehmen, dann sieht der Eintrag nach dem Öffnen der Klammern wie 4: 2 aus

Anstelle negativer Zahlen − a und − b können beliebige Ausdrücke mit einem Minuszeichen davor sein, die keine Summen oder Differenzen sind. Dies können beispielsweise Produkte, Quotienten, Brüche, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, trigonometrische Funktionen usw.

Öffnen wir die Klammern im Ausdruck - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Nach der Regel können wir folgende Transformationen durchführen: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Ausdruck (− 3) 2 kann in den Ausdruck (− 3 2) umgewandelt werden. Danach können Sie die Klammern erweitern: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Das Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen erfordert möglicherweise auch eine vorherige Erweiterung der Klammern: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 und 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Mit der Regel können Multiplikationen und Divisionen von Ausdrücken mit unterschiedlichen Vorzeichen durchgeführt werden. Lassen Sie uns zwei Beispiele nennen.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

Sünde (x) (- x 2) = (- Sünde (x) x 2) = - Sünde (x) x 2

In Produkten aus drei oder mehr Zahlen

Kommen wir zu Produkten und Quotienten, die eine größere Anzahl von Zahlen enthalten. Zum Öffnen von Klammern gilt hier die folgende Regel. Wenn es eine gerade Anzahl negativer Zahlen gibt, können Sie die Klammern weglassen und die Zahlen durch ihre Gegensätze ersetzen. Danach müssen Sie den resultierenden Ausdruck in neue Klammern setzen. Wenn es eine ungerade Anzahl negativer Zahlen gibt, lassen Sie die Klammern weg und ersetzen Sie die Zahlen durch ihre Gegensätze. Danach muss der resultierende Ausdruck in neue Klammern gesetzt und mit einem Minuszeichen davor versehen werden.

Beispiel 2

Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 5 · (− 3) · (− 2), der das Produkt dreier Zahlen ist. Es gibt zwei negative Zahlen, daher können wir den Ausdruck schreiben als (5 · 3 · 2) und öffnen Sie schließlich die Klammern, um den Ausdruck 5 · 3 · 2 zu erhalten.

Im Produkt (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) sind fünf Zahlen negativ. also (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Nachdem wir endlich die Klammern geöffnet haben, erhalten wir −2,5 3:2 4:1,25:1.

Die obige Regel kann wie folgt begründet werden. Erstens können wir solche Ausdrücke als Produkt umschreiben, indem wir die Division durch die Multiplikation mit der Kehrzahl ersetzen. Wir stellen jede negative Zahl als Produkt einer Multiplikationszahl dar und - 1 oder - 1 wird durch ersetzt (− 1) a.

Mithilfe der kommutativen Eigenschaft der Multiplikation tauschen wir Faktoren aus und übertragen alle Faktoren gleich − 1 , bis zum Anfang des Ausdrucks. Das Produkt einer geraden Zahl minus eins ist gleich 1 und das Produkt einer ungeraden Zahl ist gleich − 1 , wodurch wir das Minuszeichen verwenden können.

Wenn wir die Regel nicht verwenden würden, würde die Aktionskette zum Öffnen der Klammern im Ausdruck - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 wie folgt aussehen:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Die obige Regel kann beim Öffnen von Klammern in Ausdrücken verwendet werden, die Produkte und Quotienten mit einem Minuszeichen darstellen, die keine Summen oder Differenzen sind. Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Es kann auf den Ausdruck ohne Klammern x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 reduziert werden.

Erweiternde Klammern mit vorangestelltem +-Zeichen

Stellen Sie sich eine Regel vor, die zum Erweitern von Klammern angewendet werden kann, denen ein Pluszeichen vorangestellt ist, und bei der der „Inhalt“ dieser Klammern nicht mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert oder dividiert wird.

Gemäß der Regel werden die Klammern samt dem Vorzeichen weggelassen, während die Vorzeichen aller in den Klammern stehenden Begriffe erhalten bleiben. Wenn vor dem ersten Term in Klammern kein Vorzeichen steht, müssen Sie ein Pluszeichen setzen.

Beispiel 3

Wir geben zum Beispiel den Ausdruck an (12 − 3 , 5) − 7 . Indem wir die Klammern weglassen, behalten wir die Vorzeichen der in Klammern stehenden Terme bei und setzen ein Pluszeichen vor den ersten Term. Der Eintrag sieht wie folgt aus: (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Im gegebenen Beispiel ist es nicht notwendig, vor dem ersten Term ein Vorzeichen zu setzen, da + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Beispiel 4

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Nehmen wir den Ausdruck x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x und führen damit die Aktionen x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x aus + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Hier ist ein weiteres Beispiel für erweiternde Klammern:

Beispiel 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Wie werden Klammern mit vorangestelltem Minuszeichen erweitert?

Betrachten wir Fälle, in denen vor den Klammern ein Minuszeichen steht und die nicht mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert (oder dividiert) werden. Gemäß der Regel zum Öffnen von Klammern mit vorangestelltem „-“-Zeichen werden Klammern mit einem „-“-Zeichen weggelassen und die Vorzeichen aller Begriffe innerhalb der Klammern werden umgekehrt.

Beispiel 6

Z.B:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Ausdrücke mit Variablen können nach der gleichen Regel konvertiert werden:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

wir erhalten x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Öffnende Klammern beim Multiplizieren einer Zahl mit einer Klammer, Ausdrücke mit einer Klammer

Hier betrachten wir Fälle, in denen Sie Klammern erweitern müssen, die mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert oder dividiert werden. Formeln der Form (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) oder b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Wo a 1 , a 2 , … , a n und b sind einige Zahlen oder Ausdrücke.

Beispiel 7

Erweitern wir beispielsweise die Klammern im Ausdruck (3 − 7) 2. Nach der Regel können wir folgende Transformationen durchführen: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Wir erhalten 3 · 2 − 7 · 2 .

Wenn wir die Klammern im Ausdruck 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 öffnen, erhalten wir 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Klammer mit Klammer multiplizieren

Betrachten Sie das Produkt zweier Klammern der Form (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Dies wird uns helfen, eine Regel zum Öffnen von Klammern zu erhalten, wenn wir eine Klammer-für-Klammer-Multiplikation durchführen.

Um das gegebene Beispiel zu lösen, bezeichnen wir den Ausdruck (b 1 + b 2) wie b. Dadurch können wir die Regel zum Multiplizieren einer Klammer mit einem Ausdruck verwenden. Wir erhalten (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Durch eine umgekehrte Ersetzung B durch (b 1 + b 2), wenden Sie erneut die Regel der Multiplikation eines Ausdrucks mit einer Klammer an: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Dank einer Reihe einfacher Techniken können wir die Summe der Produkte jedes der Terme aus der ersten Klammer mit jedem der Terme aus der zweiten Klammer ermitteln. Die Regel kann auf beliebig viele Begriffe innerhalb der Klammern erweitert werden.

Lassen Sie uns die Regeln für die Multiplikation von Klammern mit Klammern formulieren: Um zwei Summen miteinander zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term der ersten Summe mit jedem Term der zweiten Summe multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

Die Formel sieht folgendermaßen aus:

(a 1 + a 2 + . . . + am) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Erweitern wir die Klammern im Ausdruck (1 + x) · (x 2 + x + 6). Es ist das Produkt zweier Summen. Schreiben wir die Lösung: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Es lohnt sich, die Fälle gesondert zu erwähnen, in denen neben Pluszeichen auch ein Minuszeichen in Klammern steht. Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Stellen wir zunächst die Ausdrücke in Klammern als Summen dar: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Jetzt können wir die Regel anwenden: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Öffnen wir die Klammern: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Erweiternde Klammern in Produkten mehrerer Klammern und Ausdrücke

Wenn ein Ausdruck drei oder mehr Ausdrücke in Klammern enthält, müssen die Klammern nacheinander geöffnet werden. Sie müssen die Transformation beginnen, indem Sie die ersten beiden Faktoren in Klammern setzen. Innerhalb dieser Klammern können wir Transformationen nach den oben besprochenen Regeln durchführen. Zum Beispiel die Klammern im Ausdruck (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

Der Ausdruck enthält drei Faktoren gleichzeitig (2 + 4) , 3 und (5 + 7 8) . Wir werden die Klammern nacheinander öffnen. Schließen wir die ersten beiden Faktoren in eine weitere Klammer ein, die wir der Übersichtlichkeit halber rot markieren: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Gemäß der Regel zum Multiplizieren einer Klammer mit einer Zahl können wir folgende Aktionen ausführen: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Klammer für Klammer multiplizieren: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Halterung in Form von Sachleistungen

Grade, deren Basis einige in Klammern geschriebene Ausdrücke mit natürlichen Exponenten sind, können als Produkt mehrerer Klammern betrachtet werden. Darüber hinaus können sie gemäß den Regeln aus den beiden vorherigen Absätzen auch ohne diese Klammern geschrieben werden.

Betrachten Sie den Prozess der Transformation des Ausdrucks (a + b + c) 2 . Es kann als Produkt zweier Klammern geschrieben werden (a + b + c) · (a + b + c). Multiplizieren wir Klammer für Klammer und erhalten wir a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an:

Beispiel 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Teilen von Klammern durch Zahlen und Klammern durch Klammern

Das Teilen einer Klammer durch eine Zahl erfordert, dass alle in Klammern eingeschlossenen Begriffe durch die Zahl geteilt werden. Zum Beispiel (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Die Division kann zunächst durch Multiplikation ersetzt werden. Anschließend können Sie die entsprechende Regel zum Öffnen von Klammern in einem Produkt verwenden. Die gleiche Regel gilt beim Teilen einer Klammer durch eine Klammer.

Zum Beispiel müssen wir die Klammern im Ausdruck (x + 2) : 2 3 öffnen. Dazu ersetzt man zunächst die Division durch Multiplikation mit der Kehrzahl (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Multiplizieren Sie die Klammer mit der Zahl (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Hier ist ein weiteres Beispiel für eine Division durch Klammern:

Beispiel 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Ersetzen wir die Division durch Multiplikation: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Machen wir die Multiplikation: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Reihenfolge der öffnenden Klammern

Betrachten Sie nun die Reihenfolge der Anwendung der oben diskutierten Regeln in den Ausdrücken Gesamtansicht, d.h. in Ausdrücken, die Summen mit Differenzen, Produkte mit Quotienten, Klammern in enthalten natürlicher Grad.

Verfahren:

• Der erste Schritt besteht darin, die Klammern auf eine natürliche Stärke anzuheben.
• im zweiten Schritt erfolgt das Öffnen von Klammern in Werken und Quotienten;
• Der letzte Schritt besteht darin, die Klammern in den Summen und Differenzen zu öffnen.

Betrachten wir die Reihenfolge der Aktionen am Beispiel des Ausdrucks (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Lassen Sie uns aus den Ausdrücken 3 · (− 2) : (− 4) und 6 · (− 7) transformieren, die die Form annehmen sollten (3 2:4) und (− 6 · 7) . Wenn wir die erhaltenen Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Öffnen Sie die Klammern: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Beim Umgang mit Ausdrücken, die Klammern innerhalb von Klammern enthalten, ist es praktisch, Transformationen durchzuführen, indem man von innen nach außen arbeitet.

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Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern. Zum Beispiel, V numerisch\(5·3+7\) Zuerst wird die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5·3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in Klammern berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer: \(-(4m+3)\).
Lösung : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Beispiel. Öffnen Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) ein.
Lösung : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Lösung : In der Klammer stehen \(3\) und \(-x\), und vor der Klammer steht eine Fünf. Das bedeutet, dass jedes Mitglied der Klammer mit \(5\) multipliziert wird – ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer wird in der Mathematik nicht geschrieben, um die Größe von Einträgen zu verringern.

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Lösung : Wie im vorherigen Beispiel werden \(-3x\) und \(5\) in der Klammer mit \(-2\) multipliziert.

Beispiel. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Lösung : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.

Bei der Multiplikation einer Klammer mit einer Klammer wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Lösung : Wir haben ein Produkt aus Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel erweitert werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, gehen wir alles Schritt für Schritt durch.
Schritt 1. Entfernen Sie die erste Klammer – multiplizieren Sie jeden ihrer Terme mit der zweiten Klammer:

Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammern und des Faktors wie oben beschrieben:
- Das wichtigste zuerst...

Dann der zweite.

Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und stellen ähnliche Begriffe dar:

Es ist nicht notwendig, alle Transformationen so detailliert zu beschreiben, Sie können sie sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade erst lernen, wie man Klammern öffnet und ausführlich schreibt, ist die Wahrscheinlichkeit, Fehler zu machen, geringer.

Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, Sie müssen sich nur eine merken, diese: \(c(a-b)=ca-cb\) . Warum? Denn wenn Sie eins anstelle von c ersetzen, erhalten Sie die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins ersetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Klammer innerhalb einer Klammer

In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: Vereinfachen Sie den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\).

Um solche Aufgaben erfolgreich zu lösen, benötigen Sie:
- Verstehen Sie sorgfältig die Verschachtelung von Klammern – welche steht in welcher;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend beispielsweise mit der innersten.

Dies ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie nicht den Rest des Ausdrucks, schreibe es einfach so um, wie es ist.
Schauen wir uns die oben beschriebene Aufgabe als Beispiel an.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme an: \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lösung:

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Begriffe an: \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Lösung :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Hier liegt eine dreifache Verschachtelung der Klammern vor. Beginnen wir mit dem Innersten (grün hervorgehoben). Vor der Halterung befindet sich ein Plus, sodass sie einfach abgenommen werden kann.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Jetzt müssen Sie die zweite Klammer, die mittlere, öffnen. Zuvor vereinfachen wir jedoch den Ausdruck der geisterhaften Begriffe in dieser zweiten Klammer.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nun öffnen wir die zweite Klammer (blau hervorgehoben). Vor der Klammer steht ein Faktor – also wird jeder Term in der Klammer damit multipliziert.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Und öffnen Sie die letzte Klammer. Vor der Klammer steht ein Minuszeichen, alle Vorzeichen sind also vertauscht.

Das Erweitern von Klammern ist eine grundlegende Fähigkeit der Mathematik. Ohne diese Fähigkeit ist es unmöglich, in der 8. und 9. Klasse eine Note über C zu erreichen. Daher empfehle ich Ihnen, dieses Thema gut zu verstehen.

„Klammern öffnen“ – Mathematiklehrbuch, Klasse 6 (Vilenkin)

Kurzbeschreibung:

In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie Sie Klammern in Beispielen erweitern. Wofür ist das? Alles dient dem Gleichen wie zuvor – um Ihnen das Zählen einfacher und einfacher zu machen, um weniger Fehler zu machen und im Idealfall (der Traum Ihres Mathematiklehrers), um alles fehlerfrei zu lösen.
Sie wissen bereits, dass Klammern in der mathematischen Schreibweise gesetzt werden, wenn zwei hintereinander stehen mathematisches Zeichen, wenn wir die Kombination von Zahlen, ihre Umgruppierung, zeigen wollen. Das Erweitern von Klammern bedeutet, unnötige Zeichen zu entfernen. Zum Beispiel: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Erinnern Sie sich an die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition? Tatsächlich haben wir in diesem Beispiel auch auf Klammern verzichtet, um die Berechnungen zu vereinfachen. Die genannte Eigenschaft der Multiplikation kann auch auf vier, drei, fünf oder mehr Terme angewendet werden. Beispiel: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Ist Ihnen aufgefallen, dass beim Öffnen der Klammern die darin enthaltenen Zahlen ihr Vorzeichen nicht ändern, wenn die Zahl vor der Klammer positiv ist? Schließlich ist fünfzehn eine positive Zahl. Und wenn Sie dieses Beispiel lösen: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Wir hatten eine negative Zahl minus fünfzehn vor den Klammern, als wir die Klammern öffneten, begannen alle Zahlen ihr Vorzeichen in ein anderes – das Gegenteil – von Plus zu Minus zu ändern.
Basierend auf den obigen Beispielen können zwei Grundregeln für das Öffnen von Klammern angegeben werden:
1. Wenn Sie eine positive Zahl vor den Klammern haben, ändern sich nach dem Öffnen der Klammern alle Vorzeichen der Zahlen in den Klammern nicht, sondern bleiben genau so, wie sie waren.
2. Wenn Sie vor den Klammern eine negative Zahl haben, wird nach dem Öffnen der Klammern das Minuszeichen nicht mehr geschrieben und die Vorzeichen aller absoluten Zahlen in den Klammern ändern sich plötzlich ins Gegenteil.
Zum Beispiel: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Machen wir unsere Beispiele etwas komplizierter: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Ihnen ist aufgefallen, dass wir beim Öffnen der zweiten Klammer mit 2 multipliziert haben, die Vorzeichen aber gleich geblieben sind. Hier ist ein Beispiel: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, in diesem Beispiel ist die Zahl zwei negativ, sie steht vor dem Klammern stehen mit einem Minuszeichen, also haben wir beim Öffnen die Vorzeichen der Zahlen in die entgegengesetzten geändert (neun war mit einem Plus, wurde zu einem Minus, acht war mit einem Minus, wurde zu einem Plus).

Im fünften Jahrhundert v. Chr antiker griechischer Philosoph Zenon von Elea formulierte seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ...die Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen...waren an der Untersuchung des Themas beteiligt mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, ist der mathematische Anwendungsapparat variable Einheiten Die Messung wurde entweder noch nicht entwickelt oder nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. MIT physikalischer Punkt Aus der Perspektive sieht es so aus, als würde die Zeit langsamer werden, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Aber es ist nicht komplette Lösung Probleme. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich hinweisen möchte Besondere Aufmerksamkeit, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.

Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier wird der Mathematiker anfangen, sich verzweifelt an die Physik zu erinnern: Auf verschiedenen Münzen gibt es sie unterschiedliche Mengen Schmutz, Kristallstruktur und Atomanordnung sind bei jeder Münze einzigartig...

Und jetzt habe ich das meiste Interesse Fragen: Wo ist die Linie, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen aus Fußballstadien mit gleicher Feldfläche. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme In der Analysis ist die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. MIT eine große Anzahl 12345 Ich möchte mir nichts vormachen, schauen wir uns die Nummer 26 aus dem Artikel über an. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.

Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn die gleichen Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse Nach dem Vergleich bedeutet dies, dass es nichts mit Mathematik zu tun hat.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Er öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.