So berechnen Sie den arithmetischen Durchschnitt. Berechnung mit dem Funktionsassistenten. Durchschnittliche jährliche Produktion von Fertigprodukten

Der Durchschnittswert ist aus analytischer Sicht am wertvollsten und eine universelle Ausdrucksform für statistische Indikatoren. Der gebräuchlichste Durchschnitt – der arithmetische Durchschnitt – verfügt über eine Reihe mathematischer Eigenschaften, die bei seiner Berechnung verwendet werden können. Gleichzeitig ist es bei der Berechnung eines bestimmten Durchschnitts immer ratsam, sich auf dessen logische Formel zu verlassen, die das Verhältnis des Volumens des Attributs zum Volumen der Grundgesamtheit darstellt. Für jeden Durchschnitt gibt es nur eine echte Anfangsbeziehung, deren Umsetzung je nach verfügbaren Daten erforderlich sein kann verschiedene Formen Durchschnitt. Allerdings ist es in allen Fällen, in denen die Art des gemittelten Werts das Vorhandensein von Gewichtungen impliziert, nicht möglich, deren ungewichtete Formeln anstelle der gewichteten Durchschnittsformeln zu verwenden.

Der Durchschnittswert ist der charakteristischste Wert des Attributs für die Grundgesamtheit und die Größe des Attributs der Grundgesamtheit, die zu gleichen Teilen auf die Einheiten der Grundgesamtheit verteilt ist.

Das Merkmal, für das der Durchschnittswert berechnet wird, wird aufgerufen gemittelt .

Der Durchschnittswert ist ein Indikator, der durch den Vergleich absoluter oder relativer Werte berechnet wird. Angegeben ist der Durchschnittswert

Der Durchschnittswert spiegelt den Einfluss aller Einflussfaktoren auf das untersuchte Phänomen wider und ist deren Ergebnis. Mit anderen Worten, der Durchschnittswert, der das allgemeine Maß für die Ergebnisse einer bestimmten Aktion widerspiegelt, eliminiert individuelle Abweichungen und eliminiert den Einfluss von Fällen und fungiert als allgemeines Muster des untersuchten Phänomens.

Bedingungen für die Verwendung von Durchschnittswerten:

Ø Homogenität der untersuchten Bevölkerung. Wenn einige Elemente einer Population, die dem Einfluss eines Zufallsfaktors unterliegen, Werte des untersuchten Merkmals aufweisen, die sich deutlich vom Rest unterscheiden, dann beeinflussen diese Elemente die Größe des Durchschnitts für diese Population. In diesem Fall drückt der Durchschnitt nicht den typischsten Wert des Attributs für die Grundgesamtheit aus. Wenn das untersuchte Phänomen heterogen ist, muss es in Gruppen unterteilt werden, die homogene Elemente enthalten. In diesem Fall werden Gruppendurchschnitte berechnet – Gruppendurchschnitte, die den charakteristischsten Wert des Phänomens in jeder Gruppe ausdrücken, und dann wird der Gesamtdurchschnittswert für alle Elemente berechnet, der das Phänomen als Ganzes charakterisiert. Er wird als Durchschnitt der Gruppendurchschnitte berechnet, gewichtet mit der Anzahl der in jeder Gruppe enthaltenen Bevölkerungselemente;

Ø insgesamt eine ausreichende Anzahl an Einheiten;

Ø die Maximal- und Minimalwerte des Merkmals in der untersuchten Population.

Durchschnittswert (Indikator)ist ein verallgemeinertes quantitatives Merkmal eines Merkmals in einem systematischen Aggregat unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen.

In der Statistik werden die folgenden Formen (Arten) von Durchschnittswerten, sogenannte Potenz- und Strukturwerte, verwendet:

Ø arithmetisches Mittel(einfach und gewichtet);

einfach

In der Statistik werden häufig Durchschnittswerte verwendet. Durchschnittswerte charakterisieren die qualitativen Indikatoren der Geschäftstätigkeit: Vertriebskosten, Gewinn, Rentabilität usw.

Durchschnitt - Dies ist eine der häufigsten Generalisierungstechniken. Ein richtiges Verständnis des Wesens des Durchschnitts bestimmt seine besondere Bedeutung in einer Marktwirtschaft, wenn der Durchschnitt durch das Individuelle und Zufällige es uns ermöglicht, das Allgemeine und Notwendige zu erkennen, den Trend der Muster der wirtschaftlichen Entwicklung zu erkennen.

Durchschnittswert - Dies sind allgemeine Indikatoren, in denen Handlungen zum Ausdruck kommen Allgemeine Bedingungen, Muster des untersuchten Phänomens.

Statistische Mittelwerte werden auf Basis von Massendaten aus statistisch korrekt organisierter Massenbeobachtung (kontinuierlich und selektiv) berechnet. Der statistische Durchschnitt ist jedoch objektiv und typisch, wenn er aus Massendaten für eine qualitativ homogene Population (Massenphänomene) berechnet wird. Wenn Sie beispielsweise den Durchschnittslohn in Genossenschaften und Staatsbetrieben berechnen und das Ergebnis auf die gesamte Bevölkerung ausdehnen, ist der Durchschnitt fiktiv, da er für eine heterogene Bevölkerung berechnet wird, und ein solcher Durchschnitt verliert jede Bedeutung.

Mit Hilfe des Durchschnitts werden Unterschiede im Wert eines Merkmals, die aus dem einen oder anderen Grund in einzelnen Beobachtungseinheiten entstehen, geglättet.

Beispielsweise hängt die durchschnittliche Produktivität eines Verkäufers von vielen Gründen ab: Qualifikation, Betriebszugehörigkeit, Alter, Dienstform, Gesundheitszustand usw.

Die durchschnittliche Produktion spiegelt das allgemeine Eigentum der gesamten Bevölkerung wider.

Der Durchschnittswert spiegelt die Werte des untersuchten Merkmals wider und wird daher in derselben Dimension wie dieses Merkmal gemessen.

Jeder Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population anhand eines beliebigen Merkmals. Um ein vollständiges und umfassendes Verständnis der untersuchten Population anhand einer Reihe wesentlicher Merkmale zu erhalten, ist im Allgemeinen ein System von Durchschnittswerten erforderlich, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.

Es gibt verschiedene Durchschnittswerte:

arithmetisches Mittel;

geometrisches Mittel;

harmonische Mittel;

quadratischer Mittelwert;

durchschnittlich chronologisch.

Schauen wir uns einige Arten von Durchschnittswerten an, die in der Statistik am häufigsten verwendet werden.

Arithmetisches Mittel

Das einfache arithmetische Mittel (ungewichtet) ist gleich der Summe der Einzelwerte des Attributs dividiert durch die Anzahl dieser Werte.

Einzelne Werte eines Merkmals werden Varianten genannt und mit x() bezeichnet; die Anzahl der Bevölkerungseinheiten wird mit n bezeichnet, der Durchschnittswert des Merkmals wird mit bezeichnet . Daher ist das arithmetische einfache Mittel gleich:

Aus den Daten der diskreten Verteilungsreihen geht hervor, dass sich dieselben Merkmalswerte (Varianten) mehrmals wiederholen. Option x kommt also insgesamt 2 Mal vor, Option x 16 Mal usw.

Die Anzahl identischer Werte eines Merkmals in der Verteilungsreihe wird als Häufigkeit oder Gewicht bezeichnet und mit dem Symbol n bezeichnet.

Berechnen wir das Durchschnittsgehalt eines Arbeiters in Rubel:

Der Lohnfonds für jede Gruppe von Arbeitnehmern ist gleich dem Produkt aus Optionen und Häufigkeit, und die Summe dieser Produkte ergibt den gesamten Lohnfonds aller Arbeitnehmer.

Dementsprechend können die Berechnungen in allgemeiner Form dargestellt werden:

Die resultierende Formel wird als gewichtetes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Durch die Verarbeitung kann statistisches Material nicht nur in Form diskreter Verteilungsreihen, sondern auch in Form von Intervallvariationsreihen mit geschlossenen oder offenen Intervallen dargestellt werden.

Der Durchschnitt für gruppierte Daten wird mithilfe der Formel für den gewichteten arithmetischen Durchschnitt berechnet:

In der Praxis der Wirtschaftsstatistik ist es manchmal erforderlich, den Durchschnitt anhand von Gruppendurchschnitten oder Durchschnitten einzelner Bevölkerungsteile (Teildurchschnitte) zu berechnen. In solchen Fällen werden Gruppen- oder Privatdurchschnitte als Optionen (x) herangezogen, auf deren Grundlage der Gesamtdurchschnitt als gewöhnlicher gewichteter arithmetischer Durchschnitt berechnet wird.

Grundlegende Eigenschaften des arithmetischen Mittels .

Das arithmetische Mittel hat eine Reihe von Eigenschaften:

1. Aus einer Abnahme oder Zunahme der Häufigkeit jedes Wertes des Merkmals x um das n-fache des Wertes arithmetisches Mittel Wird sich nicht ändern.

Wenn alle Häufigkeiten durch eine beliebige Zahl geteilt oder multipliziert werden, ändert sich der Durchschnittswert nicht.

2. Der gemeinsame Multiplikator einzelner Werte eines Merkmals kann über das Vorzeichen des Durchschnitts hinaus genommen werden:

3. Der Durchschnitt der Summe (Differenz) zweier oder mehrerer Größen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Durchschnittswerte:

4. Wenn x = c, wobei c ein konstanter Wert ist, dann
.

5. Die Summe der Abweichungen der Werte des Attributs X vom arithmetischen Mittel x ist gleich Null:

Harmonische Mittel.

Neben dem arithmetischen Mittel verwendet die Statistik das harmonische Mittel, den Kehrwert des arithmetischen Mittels der Umkehrwerte des Attributs. Es kann wie das arithmetische Mittel einfach und gewichtet sein.

Merkmale von Variationsreihen sind neben den Durchschnittswerten auch Modus und Median.

Mode - Dies ist der Wert eines Merkmals (Variante), das in der untersuchten Population am häufigsten vorkommt. Bei diskreten Verteilungsreihen ist der Modus der Wert der Variante mit der höchsten Häufigkeit.

Für Intervallverteilungsreihen mit gleichen Intervallen wird der Modus durch die Formel bestimmt:

Wo
- Anfangswert des Intervalls, das den Modus enthält;

- der Wert des Modalintervalls;

- Häufigkeit des Modalintervalls;

- Häufigkeit des Intervalls vor dem modalen Intervall;

- Häufigkeit des Intervalls, das dem modalen folgt.

Median - Dies ist eine Option, die sich in der Mitte der Variationsreihe befindet. Wenn die Verteilungsreihe diskret ist und hat ungerade Zahl Mitglieder, dann ist der Median die Option, die sich in der Mitte der geordneten Reihe befindet (eine geordnete Reihe ist die Anordnung der Bevölkerungseinheiten in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge).

Die Merkmale der Einheiten statistischer Aggregate sind in ihrer Bedeutung unterschiedlich, zum Beispiel sind die Löhne von Arbeitnehmern im gleichen Beruf eines Unternehmens für den gleichen Zeitraum nicht gleich, die Marktpreise für die gleichen Produkte, die Ernteerträge im Bezirk Bauernhöfe usw. Um den Wert eines Merkmals zu bestimmen, das für die gesamte untersuchte Grundgesamtheit charakteristisch ist, werden daher Durchschnittswerte berechnet.
Durchschnittswert – Dies ist ein verallgemeinerndes Merkmal einer Menge einzelner Werte eines quantitativen Merkmals.

Die quantitativ untersuchte Grundgesamtheit besteht aus Einzelwerten; sie werden beeinflusst von häufige Gründe, so und individuelle Bedingungen. Im Mittelwert heben sich für Einzelwerte charakteristische Abweichungen auf. Der Durchschnitt stellt als Funktion einer Menge einzelner Werte das gesamte Aggregat mit einem Wert dar und spiegelt das wider, was allen seinen Einheiten gemeinsam ist.

Der für Populationen berechnete Durchschnitt, der aus qualitativ homogenen Einheiten besteht, wird aufgerufen typischer Durchschnitt. Sie können beispielsweise das durchschnittliche Monatsgehalt eines Mitarbeiters einer bestimmten Berufsgruppe (Bergmann, Arzt, Bibliothekar) berechnen. Natürlich weichen die monatlichen Löhne der Bergleute aufgrund von Unterschieden in ihrer Qualifikation, der Betriebszugehörigkeit, der monatlichen Arbeitszeit und vielen anderen Faktoren voneinander und von der Höhe der Durchschnittslöhne ab. Das Durchschnittsniveau spiegelt jedoch die Hauptfaktoren wider, die die Höhe des Lohns beeinflussen, und gleicht die Unterschiede aus, die sich aufgrund der individuellen Merkmale des Arbeitnehmers ergeben. Das Durchschnittsgehalt spiegelt die typische Vergütungshöhe für einen bestimmten Arbeitnehmertyp wider. Um einen typischen Durchschnitt zu ermitteln, sollte eine Analyse der qualitativen Homogenität der gegebenen Population vorausgehen. Besteht die Gesamtheit aus einzelnen Teilen, sollte sie in typische Gruppen unterteilt werden ( Durchschnittstemperatur durch Krankenhaus).

Als Merkmale werden Durchschnittswerte für heterogene Populationen bezeichnet Systemdurchschnitte. Zum Beispiel der Durchschnittswert des Bruttoinlandsprodukts (BIP) pro Kopf, der Durchschnittswert des Konsums verschiedener Gütergruppen pro Person und andere ähnliche Werte, die die allgemeinen Merkmale des Staates als einheitliches Wirtschaftssystem darstellen.

Der Durchschnitt muss für Populationen berechnet werden, die aus einer ausreichend großen Anzahl von Einheiten bestehen. Die Einhaltung dieser Bedingung ist für das Inkrafttreten des Gesetzes erforderlich große Zahlen, wodurch zufällige Abweichungen einzelner Werte auftreten allgemeiner Trend heben sich gegenseitig auf.

Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Die Wahl des Durchschnittstyps wird durch den wirtschaftlichen Inhalt eines bestimmten Indikators und der Quelldaten bestimmt. Allerdings muss jeder Durchschnittswert so berechnet werden, dass sich beim Ersetzen jeder Variante des gemittelten Merkmals das endgültige, verallgemeinernde oder, wie es allgemein genannt wird, nicht ändert. definierender Indikator, der dem gemittelten Indikator zugeordnet ist. Beispielsweise bei der Ersetzung tatsächlicher Geschwindigkeiten auf einzelnen Streckenabschnitten Durchschnittsgeschwindigkeit die vom Fahrzeug in derselben Zeit zurückgelegte Gesamtstrecke darf sich nicht ändern; beim Ersatz des tatsächlichen Lohns einzelne Arbeitnehmer mittelständische Unternehmen Löhne Der Lohnfonds soll sich nicht ändern. Folglich gibt es in jedem Einzelfall je nach Art der verfügbaren Daten nur einen echten Durchschnittswert des Indikators, der den Eigenschaften und dem Wesen des untersuchten sozioökonomischen Phänomens angemessen ist.
Am häufigsten werden das arithmetische Mittel, das harmonische Mittel, das geometrische Mittel, das quadratische Mittel und das kubische Mittel verwendet.
Die aufgeführten Durchschnittswerte gehören zur Klasse sedieren Durchschnittswerte und werden durch die allgemeine Formel kombiniert:
,
wo ist der Durchschnittswert des untersuchten Merkmals;
m – durchschnittlicher Abschlussindex;
– aktueller Wert (Variante) des gemittelten Merkmals;
n – Anzahl der Funktionen.
Abhängig vom Wert des Exponenten m werden folgende Arten von Leistungsmittelwerten unterschieden:
wenn m = -1 – harmonisches Mittel;
bei m = 0 – geometrisches Mittel;
für m = 1 – arithmetisches Mittel;
für m = 2 – quadratischer Mittelwert;
bei m = 3 – durchschnittlicher Kubikwert.
Bei Verwendung derselben Anfangsdaten gilt: Je größer der Exponent m in der obigen Formel, desto größer mehr Wert durchschnittliche Größe:
.
Diese Eigenschaft von Potenzmittelwerten, mit zunehmendem Exponenten der definierenden Funktion zuzunehmen, wird aufgerufen die Regel der Mehrheit der Durchschnittswerte.
Jeder der markierten Durchschnittswerte kann zwei Formen annehmen: einfach Und gewichtet.
Einfache Mittelform Wird verwendet, wenn der Durchschnitt aus primären (nicht gruppierten) Daten berechnet wird. Gewichtete Form– bei der Berechnung des Durchschnitts auf der Grundlage sekundärer (gruppierter) Daten.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel wird verwendet, wenn das Bevölkerungsvolumen die Summe aller Einzelwerte eines variierenden Merkmals ist. Es ist zu beachten, dass bei fehlender Angabe der Art des Durchschnitts vom arithmetischen Mittel ausgegangen wird. Seine logische Formel sieht so aus:

Einfaches arithmetisches Mittel berechnet basierend auf nicht gruppierten Daten nach der Formel:
oder ,
wo sind die einzelnen Werte des Merkmals;
J - Ordnungsnummer Beobachtungseinheit, die durch den Wert charakterisiert wird;
N – Anzahl der Beobachtungseinheiten (Volumen der Bevölkerung).
Beispiel. In der Vorlesung „Zusammenfassung und Gruppierung statistischer Daten“ wurden die Ergebnisse der Beobachtung der Arbeitserfahrung eines Teams von 10 Personen untersucht. Berechnen wir die durchschnittliche Berufserfahrung der Mitarbeiter des Teams. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Mit der einfachen arithmetischen Mittelformel können wir auch rechnen Durchschnittswerte in chronologischen Reihen, wenn die Zeitintervalle, für die die Kennwerte dargestellt werden, gleich sind.
Beispiel. Volumen Produkte verkauft für das erste Viertel belief sich auf 47 Den. Einheiten, für die zweite 54, für die dritte 65 und für die vierte 58 Höhlen. Einheiten Der durchschnittliche vierteljährliche Umsatz beträgt (47+54+65+58)/4 = 56 Den. Einheiten
Werden Momentanindikatoren in einer chronologischen Reihe angegeben, so werden sie bei der Durchschnittsberechnung durch Halbsummen der Werte zu Beginn und am Ende des Zeitraums ersetzt.
Wenn es mehr als zwei Momente gibt und die Abstände zwischen ihnen gleich sind, wird der Durchschnitt anhand der Formel für den chronologischen Durchschnitt berechnet

,
wobei n die Anzahl der Zeitpunkte ist
Für den Fall, dass die Daten nach Merkmalswerten gruppiert sind (d. h. es wurde eine diskrete Variationsverteilungsreihe erstellt) mit arithmetisches Mittel gewichtet berechnet unter Verwendung entweder der Häufigkeiten oder der Beobachtungshäufigkeiten spezifischer Werte des Merkmals, deren Anzahl (k) signifikant ist weniger Zahl Beobachtungen (N) .
,
,
wobei k die Anzahl der Gruppen der Variationsreihe ist,
i – Gruppennummer der Variationsreihe.
Da , a , erhalten wir die für praktische Berechnungen verwendeten Formeln:
Und
Beispiel. Berechnen wir die durchschnittliche Dienstzeit der Arbeitsteams in einer gruppierten Reihe.
a) Verwendung von Frequenzen:

b) Verwendung von Frequenzen:

Für den Fall, dass die Daten nach Intervallen gruppiert sind , d.h. werden in Form von Intervallverteilungsreihen dargestellt; bei der Berechnung des arithmetischen Mittels wird die Mitte des Intervalls als Wert des Attributs verwendet, basierend auf der Annahme einer gleichmäßigen Verteilung der Bevölkerungseinheiten über ein bestimmtes Intervall. Die Berechnung erfolgt nach den Formeln:
Und
wo ist die Mitte des Intervalls: ,
wobei und die unteren und oberen Grenzen der Intervalle sind (vorausgesetzt, die obere Grenze eines bestimmten Intervalls fällt mit der unteren Grenze des nächsten Intervalls zusammen).

Beispiel. Berechnen wir das arithmetische Mittel der Intervallvariationsreihe, die auf der Grundlage der Ergebnisse einer Studie zum Jahreslohn von 30 Arbeitern erstellt wurde (siehe Vorlesung „Zusammenfassung und Gruppierung statistischer Daten“).
Tabelle 1 – Verteilung der Intervallvariationsreihen.

Intervalle, UAH	Häufigkeit, Leute	Frequenz,	Die Mitte des Intervalls
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH oder UAH
Auf der Grundlage von Quelldaten und Intervallvariationsreihen berechnete arithmetische Mittel stimmen aufgrund der ungleichmäßigen Verteilung der Attributwerte innerhalb der Intervalle möglicherweise nicht überein. In diesem Fall sollte man für eine genauere Berechnung des gewichteten arithmetischen Mittels nicht die Mitten der Intervalle verwenden, sondern die für jede Gruppe berechneten einfachen arithmetischen Mittel ( Gruppendurchschnitte). Der aus den Gruppenmitteln mithilfe einer gewichteten Berechnungsformel berechnete Durchschnitt wird aufgerufen allgemeiner Durchschnitt.
Das arithmetische Mittel hat eine Reihe von Eigenschaften.
1. Die Summe der Abweichungen von der durchschnittlichen Option ist Null:
.
2. Wenn alle Werte der Option um den Betrag A steigen oder fallen, dann erhöht oder sinkt der Durchschnittswert um den gleichen Betrag A:

3. Wenn jede Option um das B-fache erhöht oder verringert wird, erhöht oder verringert sich auch der Durchschnittswert um die gleiche Anzahl:
oder
4. Die Summe der Produkte der Option mit den Häufigkeiten ist gleich dem Produkt des Durchschnittswerts mit der Summe der Häufigkeiten:

5. Wenn alle Häufigkeiten durch eine beliebige Zahl geteilt oder multipliziert werden, ändert sich das arithmetische Mittel nicht:

6) Wenn in allen Intervallen die Häufigkeiten einander gleich sind, dann ist das gewichtete arithmetische Mittel gleich dem einfachen arithmetischen Mittel:
,
wobei k die Anzahl der Gruppen der Variationsreihe ist.

Durch die Verwendung der Eigenschaften des Durchschnitts können Sie dessen Berechnung vereinfachen.
Nehmen wir an, dass alle Optionen (x) zunächst um die gleiche Zahl A und dann um den Faktor B reduziert werden. Die größte Vereinfachung wird erreicht, wenn der Wert der Mitte des Intervalls mit der höchsten Häufigkeit als A und der Wert des Intervalls (für Reihen mit identischen Intervallen) als B gewählt wird. Die Größe A wird Ursprung genannt, daher heißt diese Methode zur Berechnung des Durchschnitts Weg B Ohm-Referenz vom bedingten Nullpunkt oder Art der Momente.
Nach einer solchen Transformation erhalten wir eine neue Variationsverteilungsreihe, deren Varianten gleich sind. Ihr arithmetisches Mittel, genannt Moment erster Ordnung, wird durch die Formel ausgedrückt und gemäß der zweiten und dritten Eigenschaft ist das arithmetische Mittel gleich dem Mittelwert der Originalversion, reduziert zuerst um das A- und dann um das B-fache, d.h.
Zum Erhalten Echter Durchschnitt(Durchschnitt der Originalreihe) Sie müssen das Moment erster Ordnung mit B multiplizieren und A hinzufügen:

Die Berechnung des arithmetischen Mittels nach der Momentenmethode wird durch die Daten in der Tabelle veranschaulicht. 2.
Tabelle 2 – Verteilung der Fabrikarbeiter nach Betriebszugehörigkeit

Betriebszugehörigkeit der Mitarbeiter, Jahre	Anzahl der Arbeiter	Mitte der Pause
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Den Moment der ersten Bestellung finden . Dann berechnen wir mit der Kenntnis von A = 17,5 und B = 5 die durchschnittliche Betriebszugehörigkeit der Werkstattarbeiter:
Jahre

Harmonische Mittel
Wie oben gezeigt, wird das arithmetische Mittel verwendet, um den Durchschnittswert eines Merkmals zu berechnen, wenn dessen Varianten x und deren Häufigkeiten f bekannt sind.
Wenn statistische Informationen keine Häufigkeiten f für einzelne Optionen x der Grundgesamtheit enthalten, sondern als deren Produkt dargestellt werden, wird die Formel angewendet gewichtetes harmonisches Mittel. Um den Durchschnitt zu berechnen, bezeichnen wir wo . Wenn wir diese Ausdrücke in die Formel für den arithmetisch gewichteten Durchschnitt einsetzen, erhalten wir die Formel für den harmonisch gewichteten Durchschnitt:
,
wobei das Volumen (Gewicht) der Indikatorattributwerte im Intervall mit der Nummer i (i=1,2, …, k) ist.

Daher wird das harmonische Mittel in Fällen verwendet, in denen nicht die Optionen selbst, sondern deren Kehrwerte summiert werden: .
In Fällen, in denen das Gewicht der einzelnen Optionen gleich eins, d.h. einzelne Werte der inversen Kennlinie treten einmalig auf, angewendet bedeuten harmonisch einfach:
,
wo sind einzelne Varianten der inversen Charakteristik, die einmal vorkommen;
N – Nummernoption.
Liegen harmonische Mittelwerte für zwei Teile einer Grundgesamtheit vor, so wird der Gesamtdurchschnitt für die gesamte Grundgesamtheit nach folgender Formel berechnet:

und heißt gewichtetes harmonisches Mittel der Gruppenmittel.

Beispiel. Beim Handel an der Devisenbörse wurden in der ersten Betriebsstunde drei Transaktionen abgeschlossen. Daten zum Umfang der Griwna-Verkäufe und zum Wechselkurs der Griwna gegenüber dem US-Dollar sind in der Tabelle aufgeführt. 3 (Spalten 2 und 3). Bestimmen Sie den durchschnittlichen Wechselkurs der Griwna gegenüber dem US-Dollar für die erste Handelsstunde.
Tabelle 3 – Daten zum Fortschritt des Handels an der Devisenbörse

Der durchschnittliche Dollar-Wechselkurs wird durch das Verhältnis der Menge an Griwna, die bei allen Transaktionen verkauft wurde, zu der Menge an Dollar bestimmt, die als Ergebnis derselben Transaktionen erworben wurde. Der endgültige Betrag des Griwna-Verkaufs ist aus Spalte 2 der Tabelle ersichtlich, und die Anzahl der bei jeder Transaktion gekauften Dollar wird ermittelt, indem der Betrag des Griwna-Verkaufs durch den Wechselkurs dividiert wird (Spalte 4). Bei drei Transaktionen wurden insgesamt 22 Millionen US-Dollar erworben. Dies bedeutet, dass der durchschnittliche Wechselkurs der Griwna für einen Dollar betrug
.
Der resultierende Wert ist real, weil Das Ersetzen durch tatsächliche Griwna-Wechselkurse bei Transaktionen ändert nichts am endgültigen Betrag der Griwna-Verkäufe, der als dient definierender Indikator: Millionen UAH
Würde man für die Berechnung das arithmetische Mittel verwenden, d.h. Griwna, dann zum Wechselkurs für den Kauf von 22 Millionen Dollar. Es müssten 110,66 Millionen UAH ausgegeben werden, was nicht stimmt.

Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel wird zur Analyse der Dynamik von Phänomenen verwendet und ermöglicht uns die Bestimmung durchschnittlicher Koeffizient Wachstum. Bei der Berechnung des geometrischen Mittels werden die einzelnen Werte des Merkmals berücksichtigt relative Indikatoren Dynamik, die in Form von Kettengrößen aufgebaut ist, als Verhältnis jeder Ebene zur vorherigen.
Das einfache geometrische Mittel wird nach folgender Formel berechnet:
,
Wo ist das Zeichen des Produkts,
N – Anzahl der gemittelten Werte.
Beispiel. Die Zahl der registrierten Straftaten stieg im Laufe von 4 Jahren um das 1,57-fache, darunter beim 1. – 1,08-mal, beim 2. – 1,1-mal, beim 3. – 1,18-mal und beim 4. – 1,12-mal. Dann beträgt die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate der Zahl der Straftaten: , d.h. die Zahl der registrierten Straftaten stieg jährlich um durchschnittlich 12 %.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Zur Berechnung des gewichteten mittleren Quadrats ermitteln wir und tragen es in die Tabelle ein. Dann ist die durchschnittliche Abweichung der Produktlänge von der gegebenen Norm gleich:

Das arithmetische Mittel wäre in diesem Fall ungeeignet, weil Als Ergebnis würden wir eine Abweichung von Null erhalten.
Die Verwendung des mittleren Quadrats wird im Hinblick auf die Variation weiter diskutiert.

Durchschnittsmethode

3.1 Das Wesen und die Bedeutung von Durchschnittswerten in der Statistik. Arten von Durchschnittswerten

Durchschnittliche Größe In der Statistik ist ein verallgemeinertes Merkmal qualitativ homogener Phänomene und Prozesse nach einem variierenden Merkmal, das den Grad des Merkmals in Bezug auf eine Bevölkerungseinheit zeigt. Durchschnittswert abstrakt, weil charakterisiert den Wert eines Merkmals in einer unpersönlichen Einheit der Bevölkerung.Wesen Durchschnittswert ist, dass durch das Individuelle und Zufällige das Allgemeine und Notwendige offenbart wird, also die Tendenz und das Muster in der Entwicklung von Massenphänomenen. In Durchschnittswerten verallgemeinerte Zeichen sind allen Bevölkerungseinheiten inhärent. Aus diesem Grund ist der Durchschnittswert von großer Bedeutung für die Identifizierung von Mustern, die Massenphänomenen innewohnen und in einzelnen Bevölkerungseinheiten nicht erkennbar sind

Allgemeine Grundsätze für die Verwendung von Durchschnittswerten:

eine sinnvolle Wahl der Bevölkerungseinheit, für die der Durchschnittswert berechnet wird, ist erforderlich;

Bei der Ermittlung des Durchschnittswerts muss man vom qualitativen Gehalt des gemittelten Merkmals ausgehen, den Zusammenhang der untersuchten Merkmale sowie die zur Berechnung verfügbaren Daten berücksichtigen;

Durchschnittswerte sollten auf der Grundlage qualitativ homogener Populationen berechnet werden, die durch die Gruppierungsmethode erhalten werden, die die Berechnung eines Systems verallgemeinernder Indikatoren beinhaltet;

Gesamtdurchschnitte müssen durch Gruppendurchschnitte gestützt werden.

Abhängig von der Art der Primärdaten, dem Anwendungsbereich und der Berechnungsmethode in der Statistik wird unterschieden: Haupttypen von Medien:

1) Leistungsdurchschnitte(arithmetisches Mittel, harmonisch, geometrisch, mittleres Quadrat und kubisch);

2) strukturelle (nichtparametrische) Mittel(Modus und Median).

In der Statistik ist die korrekte Charakterisierung der untersuchten Bevölkerung nach jeweils unterschiedlichen Merkmalen nur durch einen ganz bestimmten Durchschnittstyp möglich. Die Frage, welche Art von Durchschnitt im Einzelfall anzuwenden ist, wird durch eine konkrete Analyse der untersuchten Grundgesamtheit sowie auf der Grundlage des Prinzips der Aussagekraft der Ergebnisse bei der Summierung oder bei der Gewichtung geklärt. Diese und andere Grundsätze finden ihren Ausdruck in Statistiken Theorie der Durchschnittswerte.

Beispielsweise werden das arithmetische Mittel und das harmonische Mittel verwendet, um den Durchschnittswert eines variierenden Merkmals in der untersuchten Population zu charakterisieren. Das geometrische Mittel wird nur bei der Berechnung durchschnittlicher Dynamikraten verwendet, und das quadratische Mittel wird nur bei der Berechnung von Variationsindizes verwendet.

Formeln zur Berechnung von Durchschnittswerten sind in Tabelle 3.1 dargestellt.

Tabelle 3.1 – Formeln zur Berechnung von Durchschnittswerten

Arten von Durchschnittswerten	Berechnungsformeln
	einfach	gewichtet
1. Arithmetisches Mittel
2. Harmonisches Mittel
3. Geometrisches Mittel
4. Mittleres Quadrat

Bezeichnungen:- Mengen, für die der Durchschnitt berechnet wird; - Durchschnitt, wobei der Balken oben anzeigt, dass eine Mittelung der einzelnen Werte stattfindet; - Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Werte eines Merkmals).

Offensichtlich werden die verschiedenen Durchschnittswerte daraus abgeleitet Allgemeine Formel für den Leistungsdurchschnitt (3.1) :

, (3.1)

wenn k = + 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - harmonisches Mittel; k = 0 – geometrisches Mittel; k = +2 - quadratischer Mittelwert.

Durchschnittswerte können einfach oder gewichtet sein. Gewichtete Durchschnittswerte Werte werden aufgerufen, die berücksichtigen, dass einige Varianten von Attributwerten unterschiedliche Nummern haben können; Dabei muss jede Option mit dieser Zahl multipliziert werden. Die „Skalen“ sind in diesem Fall die Anzahl der Aggregateinheiten in verschiedenen Gruppen, d. h. Jede Option wird nach ihrer Häufigkeit „gewichtet“. Die Frequenz f heißt statistisches Gewicht oder Durchschnittsgewicht.

Zusammenfassend richtige Wahl des Durchschnitts geht von folgender Reihenfolge aus:

a) Festlegung eines allgemeinen Bevölkerungsindikators;

b) Bestimmung eines mathematischen Mengenverhältnisses für einen gegebenen allgemeinen Indikator;

c) Ersetzen einzelner Werte durch Durchschnittswerte;

d) Berechnung des Durchschnitts unter Verwendung der entsprechenden Gleichung.

3.2 Arithmetisches Mittel und seine Eigenschaften und Rechentechniken. Harmonische Mittel

Arithmetisches Mittel– die häufigste Art mittlerer Größe; Sie wird in Fällen berechnet, in denen das Volumen des gemittelten Merkmals als Summe seiner Werte für einzelne Einheiten der untersuchten statistischen Grundgesamtheit gebildet wird.

Die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels:

1. Das Produkt des Durchschnitts durch die Summe der Häufigkeiten ist immer gleich der Summe der Produkte von Varianten (Einzelwerten) durch Häufigkeiten.

2. Wenn Sie von jeder Option eine beliebige Zahl subtrahieren (addieren), verringert (erhöht) sich der neue Durchschnitt um dieselbe Zahl.

3. Wenn jede Option mit einer beliebigen Zahl multipliziert (dividiert) wird, erhöht (sinkt) der neue Durchschnitt um denselben Betrag

4. Wenn alle Häufigkeiten (Gewichte) durch eine beliebige Zahl geteilt oder multipliziert werden, ändert sich das arithmetische Mittel nicht.

5. Die Summe der Abweichungen einzelner Optionen vom arithmetischen Mittel ist immer Null.

Sie können von allen Werten des Attributs einen beliebigen konstanten Wert subtrahieren (vorzugsweise den Wert der mittleren Option oder Optionen mit der höchsten Häufigkeit), die resultierenden Differenzen um einen gemeinsamen Faktor reduzieren (vorzugsweise um den Wert des Intervalls), und drücken Sie die Häufigkeiten in Einzelheiten (in Prozent) aus, multiplizieren Sie den berechneten Durchschnitt mit dem gemeinsamen Faktor und addieren Sie einen beliebigen konstanten Wert. Diese Methode zur Berechnung des arithmetischen Mittels heißt Berechnungsmethode vom bedingten Nullpunkt .

Geometrisches Mittel findet seine Anwendung bei der Ermittlung durchschnittlicher Wachstumsraten (durchschnittliche Wachstumskoeffizienten), wenn Einzelwerte eines Merkmals in Form von Relativwerten dargestellt werden. Es wird auch verwendet, wenn der Durchschnitt zwischen dem Minimum und ermittelt werden muss Maximalwerte Merkmal (z. B. zwischen 100 und 1.000.000).

Quadratischer Mittelwert Wird verwendet, um die Variation eines Merkmals im Aggregat zu messen (Berechnung der Standardabweichung).

Gültig in der Statistik Regel der Mehrheit der Durchschnittswerte:

X Schaden.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Strukturdurchschnitte (Modus und Median)

Um die Struktur einer Bevölkerung zu bestimmen, werden spezielle Durchschnittsindikatoren verwendet, zu denen der Median und der Modus gehören, oder die sogenannten strukturellen Durchschnitte. Wenn das arithmetische Mittel auf der Grundlage aller Varianten von Attributwerten berechnet wird, charakterisieren Median und Modus den Wert der Variante, die eine bestimmte durchschnittliche Position in der geordneten Variationsreihe einnimmt

Mode- der typischste und am häufigsten vorkommende Wert des Attributs. Für diskrete Reihe Die Mode wird die Option mit der höchsten Häufigkeit sein. Mode bestimmen Intervallreihe Zunächst wird das Modalintervall (das Intervall mit der höchsten Häufigkeit) bestimmt. Innerhalb dieses Intervalls wird dann der Wert des Merkmals ermittelt, bei dem es sich um einen Modus handeln kann.

Um einen bestimmten Wert des Modus einer Intervallreihe zu finden, müssen Sie Formel (3.2) verwenden.

(3.2)

wobei XMo die untere Grenze des Modalintervalls ist; i Mo – der Wert des Modalintervalls; f Mo – Häufigkeit des Modalintervalls; f Mo-1 - Häufigkeit des Intervalls vor dem modalen; f Mo+1 ist die Häufigkeit des Intervalls, das dem modalen Intervall folgt.

Mode ist in Marketingaktivitäten weit verbreitet, wenn es um die Untersuchung der Verbrauchernachfrage geht, insbesondere bei der Bestimmung der beliebtesten Bekleidungs- und Schuhgrößen und bei der Regulierung der Preispolitik.

Median - der Wert eines variierenden Merkmals, das in der Mitte der gewerteten Grundgesamtheit liegt. Für Rangfolge mit einer ungeraden Nummer Bei einzelnen Werten (z. B. 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) ist der Median der Wert, der in der Mitte der Reihe liegt, d. h. der vierte Wert ist 6. Für Rangfolge mit einer geraden Zahl Bei einzelnen Werten (zum Beispiel 1, 5, 7, 10, 11, 14) ist der Median der arithmetische Mittelwert, der aus zwei benachbarten Werten berechnet wird. Für unseren Fall beträgt der Median (7+10)/2=8,5.

Um den Median zu ermitteln, müssen Sie daher zunächst seine Seriennummer (seine Position in der Rangfolge) mithilfe der Formeln (3.3) bestimmen:

(wenn keine Frequenzen vorhanden sind)

N Ich =
(falls es Frequenzen gibt) (3.3)

Dabei ist n die Anzahl der Einheiten im Aggregat.

Numerischer Wert des Medians Intervallreihe bestimmt durch akkumulierte Frequenzen in einer diskreten Variationsreihe. Dazu müssen Sie zunächst das Intervall angeben, in dem sich der Median in der Intervallreihe der Verteilung befindet. Der Median ist das erste Intervall, in dem die Summe der akkumulierten Häufigkeiten die Hälfte der Beobachtungen aus der Gesamtzahl aller Beobachtungen übersteigt.

Der numerische Wert des Medians wird normalerweise durch die Formel (3.4) bestimmt.

(3.4)

wobei x Ме die untere Grenze des Medianintervalls ist; iMe – Intervallwert; SМе -1 ist die akkumulierte Häufigkeit des Intervalls, das dem Median vorausgeht; fMe – Häufigkeit des Medianintervalls.

Innerhalb des gefundenen Intervalls wird der Median ebenfalls nach der Formel Me = berechnet XL e, wobei der zweite Faktor auf der rechten Seite der Gleichung die Position des Medians innerhalb des Medianintervalls angibt und x die Länge dieses Intervalls ist. Der Median teilt die Variationsreihe nach Häufigkeit in zwei Hälften. Wird noch ermittelt Quartile , die die Variationsreihe in 4 Teile gleicher Wahrscheinlichkeit unterteilen, und Dezile , wobei die Reihe in 10 gleiche Teile geteilt wird.

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe durchschnittliche Bedeutung.

Arithmetische Mittel(in der Mathematik und Statistik) Zahlenmengen – die Summe aller Zahlen dividiert durch ihre Zahl. Es ist eines der gebräuchlichsten Maße der zentralen Tendenz.

Es wurde (zusammen mit dem geometrischen Mittel und dem harmonischen Mittel) von den Pythagoräern vorgeschlagen.

Sonderfälle des arithmetischen Mittels sind der Mittelwert (Grundgesamtheit) und der Stichprobenmittelwert (Stichprobe).

Einführung

Bezeichnen wir den Datensatz X = (X 1 , X 2 , …, X N), dann wird der Stichprobenmittelwert normalerweise durch einen horizontalen Balken über der Variablen (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) angezeigt, ausgesprochen „ X mit einer Linie").

Der griechische Buchstabe μ bezeichnet das arithmetische Mittel der Gesamtbevölkerung. Für eine Zufallsvariable, für die der Mittelwert bestimmt wird, beträgt μ probabilistischer Durchschnitt oder die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen. Wenn das Set X ist eine Sammlung von Zufallszahlen mit einem probabilistischen Mittelwert μ, also für jede Stichprobe X ich aus dieser Menge μ = E( X ich) ist der mathematische Erwartungswert dieser Stichprobe.

In der Praxis besteht der Unterschied zwischen μ und x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) darin, dass μ eine typische Variable ist, da man eine Stichprobe und nicht das Ganze sehen kann Durchschnittsbevölkerung. Wenn die Stichprobe daher zufällig dargestellt wird (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie), kann x ¯ (\displaystyle (\bar (x)}) (jedoch nicht μ) als Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Stichprobe behandelt werden ( die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts).

Beide Größen werden auf die gleiche Weise berechnet:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Wenn X eine Zufallsvariable ist, dann die mathematische Erwartung X kann als arithmetisches Mittel der Werte bei wiederholten Messungen einer Größe betrachtet werden X. Dies ist eine Manifestation des Gesetzes der großen Zahlen. Daher wird der Stichprobenmittelwert zur Schätzung des unbekannten Erwartungswerts verwendet.

In der elementaren Algebra wurde bewiesen, dass der Mittelwert N+ 1 Zahlen über dem Durchschnitt N Zahlen genau dann, wenn die neue Zahl größer als der alte Durchschnitt ist, kleiner genau dann, wenn die neue Zahl kleiner als der Durchschnitt ist, und sich genau dann nicht ändert, wenn die neue Zahl gleich dem Durchschnitt ist. Je mehr N, desto geringer ist die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Durchschnitt.

Beachten Sie, dass mehrere andere „Durchschnitte“ verfügbar sind, darunter der Potenzmittelwert, der Kolmogorov-Mittelwert, der harmonische Mittelwert, der arithmetisch-geometrische Mittelwert und verschiedene gewichtete Mittelwerte (z. B. gewichteter arithmetischer Mittelwert, gewichteter geometrischer Mittelwert, gewichteter harmonischer Mittelwert).

Beispiele

• Bei drei Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 3 dividieren:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Bei vier Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 4 dividieren:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Oder einfacher 5+5=10, 10:2. Da wir zwei Zahlen addiert haben, d. h. wie viele Zahlen wir addieren, dividieren wir durch diese Anzahl.

Kontinuierliche Zufallsvariable

Für eine kontinuierlich verteilte Größe f (x) (\displaystyle f(x)) ist das arithmetische Mittel auf dem Intervall [ a ; b ] (\displaystyle ) wird durch ein bestimmtes Integral bestimmt:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Einige Probleme bei der Verwendung des Durchschnitts

Mangelnde Robustheit

Hauptartikel: Robustheit in der Statistik

Obwohl arithmetische Mittel häufig als Durchschnittswerte oder zentrale Tendenzen verwendet werden, handelt es sich bei diesem Konzept nicht um eine robuste Statistik, was bedeutet, dass das arithmetische Mittel stark von „großen Abweichungen“ beeinflusst wird. Es ist bemerkenswert, dass bei Verteilungen mit einem großen Schiefekoeffizienten das arithmetische Mittel möglicherweise nicht dem Konzept des „Mittelwerts“ entspricht und die Werte des Mittelwerts aus robusten Statistiken (z. B. der Median) den Zentralwert möglicherweise besser beschreiben Tendenz.

Ein klassisches Beispiel ist die Berechnung des Durchschnittseinkommens. Das arithmetische Mittel kann als Median fehlinterpretiert werden, was zu dem Schluss führen kann, dass es mehr Menschen mit höherem Einkommen gibt, als es tatsächlich gibt. Unter „durchschnittlichem“ Einkommen versteht man, dass die meisten Menschen über ein Einkommen in der Größenordnung dieser Zahl verfügen. Dieses „durchschnittliche“ (im Sinne des arithmetischen Mittels) Einkommen ist höher als das Einkommen der meisten Menschen, da ein hohes Einkommen mit großer Abweichung vom Durchschnitt zu einer starken Schiefe des arithmetischen Mittels führt (im Gegensatz zum Durchschnittseinkommen am Median). „widersteht“ einer solchen Verzerrung). Dieses „durchschnittliche“ Einkommen sagt jedoch nichts über die Anzahl der Menschen in der Nähe des Medianeinkommens aus (und sagt nichts über die Anzahl der Menschen in der Nähe des modalen Einkommens aus). Wenn man jedoch die Begriffe „durchschnittlich“ und „die meisten Menschen“ auf die leichte Schulter nimmt, kann man zu der falschen Schlussfolgerung kommen, dass die meisten Menschen über ein höheres Einkommen verfügen, als sie tatsächlich haben. Beispielsweise wird ein Bericht über das „durchschnittliche“ Nettoeinkommen in Medina, Washington, berechnet als arithmetischer Durchschnitt aller jährlichen Nettoeinkommen der Einwohner, überraschende Ergebnisse liefern große Nummer wegen Bill Gates. Betrachten Sie die Stichprobe (1, 2, 2, 2, 3, 9). Der arithmetische Mittelwert liegt bei 3,17, allerdings liegen fünf von sechs Werten unter diesem Mittelwert.

Zinseszins

Hauptartikel: Kapitalrendite

Wenn die Zahlen multiplizieren, und nicht falten, müssen Sie das geometrische Mittel verwenden, nicht das arithmetische Mittel. Am häufigsten tritt dieser Vorfall bei der Berechnung der Kapitalrendite im Finanzbereich auf.

Wenn eine Aktie beispielsweise im ersten Jahr um 10 % fiel und im zweiten Jahr um 30 % stieg, dann ist es falsch, den „durchschnittlichen“ Anstieg über diese zwei Jahre als arithmetisches Mittel (−10 % + 30 %) / 2 zu berechnen = 10 %; Der korrekte Durchschnitt ergibt sich in diesem Fall aus der durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate, die eine jährliche Wachstumsrate von nur etwa 8,16653826392 % ≈ 8,2 % ergibt.

Der Grund dafür ist, dass Prozentsätze jedes Mal einen neuen Ausgangspunkt haben: 30 % ist 30 % ab einer Zahl, die unter dem Preis zu Beginn des ersten Jahres liegt: Wenn eine Aktie bei 30 $ startete und um 10 % fiel, ist sie zu Beginn des zweiten Jahres 27 $ wert. Wenn die Aktie um 30 % steigen würde, wäre sie am Ende des zweiten Jahres 35,1 $ wert. Der arithmetische Durchschnitt dieses Wachstums beträgt 10 %, aber da die Aktie in zwei Jahren nur um 5,1 $ gestiegen ist, ergibt das durchschnittliche Wachstum von 8,2 % ein Endergebnis von 35,1 $:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Wenn wir den arithmetischen Durchschnitt von 10 % auf die gleiche Weise verwenden, erhalten wir nicht den tatsächlichen Wert: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Zinseszins am Ende von 2 Jahren: 90 % * 130 % = 117 %, d. h. die Gesamtsteigerung beträgt 17 %, und der durchschnittliche jährliche Zinseszins beträgt 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt ))\ca. 108,2\%), also ein durchschnittlicher jährlicher Anstieg von 8,2 %.

Richtungen

Hauptartikel: Zielstatistiken

Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels einer Variablen, die sich zyklisch ändert (z. B. Phase oder Winkel), ist besondere Vorsicht geboten. Zum Beispiel wäre der Durchschnitt von 1° und 359° 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Diese Zahl ist aus zwei Gründen falsch.

• Erstens werden Winkelmaße nur für den Bereich von 0° bis 360° (oder von 0 bis 2π bei Messung im Bogenmaß) definiert. Das gleiche Zahlenpaar könnte also als (1° und −1°) oder als (1° und 719°) geschrieben werden. Die Durchschnittswerte jedes Paares werden unterschiedlich sein: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ Kreis )).
• Zweitens ist in diesem Fall ein Wert von 0° (entspricht 360°) ein geometrisch besserer Durchschnittswert, da die Zahlen von 0° weniger abweichen als von jedem anderen Wert (der Wert 0° weist die geringste Varianz auf). Vergleichen:
  • die Zahl 1° weicht von 0° nur um 1° ab;
  • die Zahl 1° weicht um 179° vom berechneten Mittelwert von 180° ab.

Der nach obiger Formel berechnete Durchschnittswert einer zyklischen Variablen wird gegenüber dem realen Durchschnitt künstlich in die Mitte des Zahlenbereichs verschoben. Aus diesem Grund wird der Durchschnitt auf andere Weise berechnet, nämlich die Zahl mit der kleinsten Varianz (der Mittelpunkt) wird als Durchschnittswert ausgewählt. Außerdem wird anstelle der Subtraktion der Modulabstand (also der Umfangsabstand) verwendet. Beispielsweise beträgt der Modulabstand zwischen 1° und 359° 2°, nicht 358° (auf dem Kreis zwischen 359° und 360° ==0° - ein Grad, zwischen 0° und 1° - insgesamt auch 1° - 2°).

4.3. Durchschnittliche Werte. Das Wesen und die Bedeutung von Durchschnittswerten

Durchschnittliche Größe in der Statistik ist ein allgemeiner Indikator, der das typische Ausmaß eines Phänomens unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen charakterisiert und den Wert eines variierenden Merkmals pro Einheit einer qualitativ homogenen Bevölkerung widerspiegelt. In der wirtschaftlichen Praxis werden verschiedenste Indikatoren verwendet, die als Durchschnittswerte berechnet werden.

Beispielsweise ein allgemeiner Indikator für das Einkommen der Arbeitnehmer Aktiengesellschaft(JSC) ist das durchschnittliche Einkommen eines Arbeitnehmers, bestimmt durch das Verhältnis des Lohnfonds und der Sozialleistungen für den Berichtszeitraum (Jahr, Quartal, Monat) zur Anzahl der Arbeitnehmer im JSC.

Die Berechnung des Durchschnitts ist eine der gebräuchlichsten Verallgemeinerungstechniken; Der Durchschnittsindikator spiegelt das wider, was allen Einheiten der untersuchten Bevölkerung gemeinsam (typisch) ist, während er gleichzeitig die Unterschiede einzelner Einheiten ignoriert. In jedem Phänomen und seiner Entwicklung gibt es eine Kombination Unfälle Und notwendig. Bei der Berechnung von Durchschnittswerten wird aufgrund der Wirkung des Gesetzes der großen Zahlen die Zufälligkeit aufgehoben und ausgeglichen, sodass von den unwichtigen Merkmalen des Phänomens, von den quantitativen Werten des Merkmals im Einzelfall abstrahiert werden kann . Die Fähigkeit, von der Zufälligkeit einzelner Werte Schwankungen zu abstrahieren, liegt im wissenschaftlichen Wert von Durchschnittswerten verallgemeinernd Merkmale von Populationen.

Bei Bedarf zur Verallgemeinerung führt die Berechnung solcher Merkmale zur Ersetzung vieler verschiedener Einzelwerte des Attributs Durchschnitt ein Indikator, der die Gesamtheit der Phänomene charakterisiert und es ermöglicht, Muster zu erkennen, die gesellschaftlichen Massenphänomenen innewohnen und in einzelnen Phänomenen unsichtbar sind.

Der Durchschnitt spiegelt die charakteristische, typische, reale Ebene der untersuchten Phänomene wider, charakterisiert diese Ebenen und ihre zeitlichen und räumlichen Veränderungen.

Der Durchschnitt ist ein zusammenfassendes Merkmal der Gesetze des Prozesses unter den Bedingungen, unter denen er auftritt.

4.4. Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Die Wahl des Durchschnittstyps wird durch den wirtschaftlichen Inhalt eines bestimmten Indikators und der Quelldaten bestimmt. Im Einzelfall wird einer der Durchschnittswerte verwendet: Arithmetik, garmonisch, geometrisch, quadratisch, kubisch usw. Die aufgeführten Durchschnittswerte gehören zur Klasse sedieren Durchschnitt.

Neben Leistungsdurchschnitten werden in der statistischen Praxis auch Strukturdurchschnitte verwendet, die als Modus und Median gelten.

Lassen Sie uns näher auf die Leistungsdurchschnitte eingehen.

Arithmetisches Mittel

Die häufigste Art des Durchschnitts ist Durchschnitt Arithmetik. Es wird in Fällen verwendet, in denen das Volumen eines variierenden Merkmals für die gesamte Population die Summe der Werte der Merkmale seiner einzelnen Einheiten ist. Soziale Phänomene zeichnen sich durch die Additivität (Zusammenfassung) der Volumina eines variierenden Merkmals aus; dies bestimmt den Anwendungsbereich des arithmetischen Durchschnitts und erklärt seine Verbreitung als allgemeiner Indikator, zum Beispiel: Der Gesamtlohnfonds ist die Summe der Löhne von Für alle Arbeiter ist die Bruttoernte die Summe der während der gesamten Aussaatsaison erzeugten Produkte.

Um das arithmetische Mittel zu berechnen, müssen Sie die Summe aller Merkmalswerte durch ihre Anzahl dividieren.

Im Formular wird das arithmetische Mittel verwendet einfacher Durchschnitt und gewichteter Durchschnitt. Die anfängliche, definierende Form ist der einfache Durchschnitt.

Einfaches arithmetisches Mittel gleich der einfachen Summe der Einzelwerte des gemittelten Merkmals, dividiert durch die Gesamtzahl dieser Werte (wird in Fällen verwendet, in denen nicht gruppierte Einzelwerte des Merkmals vorhanden sind):

Wo
- einzelne Werte der Variablen (Varianten); M - die Anzahl der Einheiten in der Bevölkerung.

Darüber hinaus werden die Summationsgrenzen in den Formeln nicht angegeben. Sie müssen beispielsweise die durchschnittliche Leistung eines Arbeiters (Mechanikers) ermitteln, wenn Sie wissen, wie viele Teile jeder von 15 Arbeitern produziert hat, d. h. Es werden mehrere Einzelwerte des Merkmals angegeben, Stk.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Das einfache arithmetische Mittel wird nach Formel (4.1) berechnet, 1 Stk.:

Der Durchschnitt der Optionen, die unterschiedlich oft wiederholt werden oder, wie man sagt, unterschiedliche Gewichtungen haben, nennt man gewichtet. Die Gewichte sind die Anzahl der Einheiten in verschiedenen Bevölkerungsgruppen (identische Optionen werden zu einer Gruppe zusammengefasst).

Arithmetisches Mittel gewichtet- Durchschnitt der gruppierten Werte, - wird nach folgender Formel berechnet:

, (4.2)

Wo
- Gewicht (Häufigkeit der Wiederholung identischer Zeichen);

- die Summe der Produkte aus der Größe von Merkmalen und ihren Häufigkeiten;

- die Gesamtzahl der Bevölkerungseinheiten.

Wir veranschaulichen die Technik der Berechnung des arithmetischen gewichteten Durchschnitts anhand des oben diskutierten Beispiels. Dazu gruppieren wir die Quelldaten und platzieren sie in einer Tabelle. 4.1.

Tabelle 4.1

Verteilung der Arbeitskräfte für die Teilefertigung

Nach Formel (4.2) ist das gewichtete arithmetische Mittel gleich, Stk.:

In einigen Fällen werden Gewichte möglicherweise nicht als absolute, sondern als relative Werte (in Prozent oder Bruchteilen einer Einheit) dargestellt. Dann sieht die Formel für den arithmetisch gewichteten Durchschnitt wie folgt aus:

Wo
- Besonderheit, d.h. der Anteil jeder Frequenz an der Gesamtsumme aller

Wenn Häufigkeiten in Brüchen (Koeffizienten) gezählt werden, dann
= 1, und die Formel für den arithmetisch gewichteten Durchschnitt hat die Form:

Berechnung des gewichteten arithmetischen Mittels aus Gruppenmittelwerten durchgeführt nach der Formel:

,

Wo F-Anzahl der Einheiten in jeder Gruppe.

Die Ergebnisse der Berechnung des arithmetischen Mittels aus den Gruppenmitteln sind in der Tabelle dargestellt. 4.2.

Tabelle 4.2

Verteilung der Arbeitnehmer nach durchschnittlicher Betriebszugehörigkeit

In diesem Beispiel handelt es sich nicht um individuelle Daten zur Betriebszugehörigkeit einzelner Arbeitnehmer, sondern um den Durchschnitt jeder Werkstatt. Waage F sind die Anzahl der Arbeiter in den Geschäften. Daher beträgt die durchschnittliche Berufserfahrung der Arbeitnehmer im gesamten Unternehmen Jahre:

.

Berechnung des arithmetischen Mittels in Verteilungsreihen

Werden die Werte des zu mittelnden Merkmals in Form von Intervallen („von – bis“) angegeben, d.h. Intervallverteilungsreihe, dann bei der Berechnung des Durchschnitts arithmetischer Wert Die Mittelpunkte dieser Intervalle werden als Werte der Merkmale in den Gruppen verwendet, was zu einer diskreten Reihe führt. Betrachten Sie das folgende Beispiel (Tabelle 4.3).

Gehen wir von einer Intervallreihe zu einer diskreten Reihe über, indem wir die Intervallwerte durch ihre Durchschnittswerte/(einfacher Durchschnitt) ersetzen

Tabelle 4.3

Verteilung der JSC-Arbeiter nach monatlichem Lohnniveau

Gruppen von Arbeitern	Anzahl der Arbeiter	Die Mitte des Intervalls
Löhne, reiben.	Menschen, F	reiben., X
900 oder mehr

die Werte offener Intervalle (erstes und letztes) werden bedingt mit den an sie angrenzenden Intervallen (zweite und vorletzte) gleichgesetzt.

Bei dieser Durchschnittsberechnung ist eine gewisse Ungenauigkeit zulässig, da von einer gleichmäßigen Verteilung der Einheiten des Merkmals innerhalb der Gruppe ausgegangen wird. Allerdings ist der Fehler umso kleiner, je schmaler das Intervall und je mehr Einheiten das Intervall enthält.

Nachdem die Mittelpunkte der Intervalle gefunden wurden, werden die Berechnungen auf die gleiche Weise wie in einer diskreten Reihe durchgeführt: Die Optionen werden mit den Häufigkeiten (Gewichten) multipliziert und die Summe der Produkte wird durch die Summe der Häufigkeiten (Gewichte) dividiert. , tausend Rubel:

.

Also, Durchschnittsniveau Die Vergütung für JSC-Mitarbeiter beträgt 729 Rubel. im Monat.

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist oft mit viel Zeit und Arbeitsaufwand verbunden. In einigen Fällen kann das Verfahren zur Berechnung des Durchschnitts jedoch vereinfacht und erleichtert werden, wenn Sie dessen Eigenschaften nutzen. Lassen Sie uns (ohne Beweis) einige grundlegende Eigenschaften des arithmetischen Mittels vorstellen.

Eigentum 1. Wenn alle Einzelwerte eines Merkmals (d. h. alle Optionen) reduzieren oder erhöhen ichMal, dann der Durchschnittswert Die neue Kennlinie nimmt entsprechend ab oder zu icheinmal.

Eigentum 2. Wenn alle Varianten des gemittelten Merkmals reduziert werdennähen oder um Zahl A erhöhen, dann entspricht das arithmetische Mitteltatsächlich um die gleiche Zahl A abnehmen oder erhöhen wird.

Eigentum 3. Wenn die Gewichte aller gemittelten Optionen reduziert werden oder erhöhen um Zu mal, dann ändert sich das arithmetische Mittel nicht.

Als Durchschnittsgewichte können Sie anstelle absoluter Indikatoren auch spezifische Gewichte in der Gesamtsumme (Anteile oder Prozentsätze) verwenden. Dies vereinfacht die Berechnung des Durchschnitts.

Um die Berechnung des Durchschnitts zu vereinfachen, gehen sie den Weg, die Werte von Optionen und Häufigkeiten zu reduzieren. Die größte Vereinfachung wird erreicht, wenn, wie A der Wert einer der zentralen Optionen, die die höchste Häufigkeit aufweist, wird als / - der Wert des Intervalls (für Reihen mit gleichen Intervallen) ausgewählt. Die Größe A wird als Referenzpunkt bezeichnet, daher wird diese Methode zur Berechnung des Durchschnitts als „Methode des Zählens vom bedingten Nullpunkt“ oder bezeichnet „im Sinne von Momenten.“

Nehmen wir an, dass alle Optionen vorhanden sind X zuerst um die gleiche Zahl A verringert und dann um verringert ich einmal. Wir erhalten eine neue Variationsreihe der Verteilung neuer Optionen .

Dann neue Möglichkeiten wird ausgedrückt:

,

und ihr neues arithmetisches Mittel , -Moment erster Ordnung-Formel:

.

Er entspricht dem Durchschnitt der ursprünglichen Optionen, zunächst reduziert um A, und dann rein ich einmal.

Um den realen Durchschnitt zu erhalten, ist ein Moment erster Ordnung erforderlich M 1 , mal ich und hinzufügen A:

.

Diese Methode zur Berechnung des arithmetischen Mittels aus einer Variationsreihe heißt „im Sinne von Momenten.“ Diese Methode wird in Reihen in gleichen Abständen verwendet.

Die Berechnung des arithmetischen Mittels nach der Momentenmethode wird durch die Daten in der Tabelle veranschaulicht. 4.4.

Tabelle 4.4

Verteilung der Kleinunternehmen in der Region nach Wert des Anlagevermögens (FPF) im Jahr 2000.

Unternehmensgruppen nach OPF-Wert, Tausend Rubel.	Anzahl der Unternehmen F	Mittelpunkte von Intervallen X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Den Moment der ersten Bestellung finden

.

Dann nehmen wir A = 19 und wissen das ich= 2, berechnen X, Tausend Rubel.:

Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Auf der Stufe der statistischen Verarbeitung können vielfältige Forschungsprobleme gestellt werden, zu deren Lösung es notwendig ist, den geeigneten Durchschnitt auszuwählen. In diesem Fall muss man sich an folgender Regel orientieren: Die Größen, die Zähler und Nenner des Durchschnitts darstellen, müssen logisch zueinander in Beziehung stehen.

• Leistungsdurchschnitte;
• Strukturdurchschnitte.

Lassen Sie uns die folgenden Konventionen einführen:

Die Mengen, für die der Durchschnitt berechnet wird;

Durchschnitt, wobei der Balken oben anzeigt, dass eine Mittelung der Einzelwerte stattfindet;

Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Kennwerte).

Daraus werden verschiedene Durchschnittswerte abgeleitet allgemeine Formel Leistungsdurchschnitt:

(5.1)

wenn k = 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - harmonisches Mittel; k = 0 – geometrisches Mittel; k = -2 - quadratischer Mittelwert.

Durchschnittswerte können einfach oder gewichtet sein. Gewichtete Durchschnittswerte Dies sind Werte, die berücksichtigen, dass einige Varianten von Attributwerten unterschiedliche Zahlen haben können und daher jede Option mit dieser Zahl multipliziert werden muss. Mit anderen Worten, die „Skalen“ sind die Anzahl der Aggregateinheiten in verschiedenen Gruppen, d. h. Jede Option wird nach ihrer Häufigkeit „gewichtet“. Die Frequenz f heißt statistisches Gewicht oder Durchschnittsgewicht.

Arithmetisches Mittel- die häufigste Art von Durchschnitt. Es wird verwendet, wenn die Berechnung für nicht gruppierte statistische Daten durchgeführt wird, bei denen Sie den Durchschnittsterm ermitteln müssen. Das arithmetische Mittel ist der Durchschnittswert eines Merkmals, bei dessen Erlangung das Gesamtvolumen des Merkmals im Aggregat unverändert bleibt.

Arithmetische Mittelformel ( einfach) hat die Form

wobei n die Bevölkerungsgröße ist.

Beispielsweise wird das durchschnittliche Gehalt der Mitarbeiter eines Unternehmens als arithmetischer Durchschnitt berechnet:

Die bestimmenden Indikatoren sind hierbei das Gehalt jedes Mitarbeiters und die Anzahl der Mitarbeiter des Unternehmens. Bei der Berechnung des Durchschnitts blieb die Gesamtlohnhöhe gleich, wurde aber gleichmäßig auf alle Arbeitnehmer verteilt. Sie müssen beispielsweise das Durchschnittsgehalt der Arbeitnehmer in einem kleinen Unternehmen mit 8 Mitarbeitern berechnen:

Bei der Berechnung von Durchschnittswerten können einzelne Werte des gemittelten Merkmals wiederholt werden, sodass der Durchschnittswert anhand gruppierter Daten berechnet wird. In diesem Fall wir reden überüber die Verwendung arithmetisches Mittel gewichtet, das die Form hat

(5.3)

Wir müssen also den Durchschnittspreis der Aktien einer Aktiengesellschaft beim Börsenhandel berechnen. Es ist bekannt, dass die Transaktionen innerhalb von 5 Tagen (5 Transaktionen) durchgeführt wurden, die Anzahl der zum Verkaufskurs verkauften Aktien verteilte sich wie folgt:

1 - 800 AK. - 1010 Rubel.

2 - 650 AK. - 990 Rubel.

3 - 700 AK. - 1015 Rubel.

4 - 550 AK. - 900 Rubel.

5 - 850 AK. - 1150 Rubel.

Das Ausgangsverhältnis zur Ermittlung des durchschnittlichen Aktienpreises ist das Verhältnis des Gesamtbetrags der Transaktionen (TVA) zur Anzahl der verkauften Aktien (KPA).