Finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion im Intervall. Der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment

Der Standardalgorithmus zur Lösung solcher Aufgaben beinhaltet nach dem Auffinden der Nullstellen der Funktion die Bestimmung der Vorzeichen der Ableitung der Intervalle. Dann die Berechnung der Werte an den gefundenen Punkten des Maximums (oder Minimums) und an der Grenze des Intervalls, je nachdem, welche Frage in der Bedingung steht.

Ich rate Ihnen, die Dinge ein wenig anders zu machen. Warum? Habe darüber geschrieben.

Ich schlage vor, solche Aufgaben wie folgt zu lösen:

1. Finden Sie die Ableitung.
2. Finde die Nullstellen der Ableitung.
3. Bestimmen Sie, welche davon zu dem gegebenen Intervall gehören.
4. Wir berechnen die Werte der Funktion an den Grenzen des Intervalls und der Punkte von Punkt 3.
5. Wir ziehen eine Schlussfolgerung (wir beantworten die gestellte Frage).

Bei der Lösung der vorgestellten Beispiele wurde die Lösung nicht im Detail betrachtet. quadratische Gleichungen, das solltest du können. Sie sollten es auch wissen.

Betrachten Sie Beispiele:

77422. Suche Höchster Wert Funktionen y=x 3 –3x+4 auf dem Segment [–2;0].

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

Der Punkt x = –1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Wir berechnen die Funktionswerte an den Punkten –2, –1 und 0:

Der größte Wert der Funktion ist 6.

Antwort: 6

77425. Finden kleinster Wert Funktionen y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 auf dem Segment.

Finden wir die Ableitung gegebene Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

Der Punkt x = 2 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Wir berechnen die Funktionswerte an den Punkten 1, 2 und 4:

Der kleinste Wert der Funktion ist -2.

Antwort: -2

77426. Finden Sie den größten Wert der Funktion y \u003d x 3 - 6x 2 auf dem Segment [-3; 3].

Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

Der Punkt x = 0 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Wir berechnen die Funktionswerte an den Punkten –3, 0 und 3:

Der kleinste Wert der Funktion ist 0.

Antwort: 0

77429. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 auf dem Segment.

Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Wir bekommen die Wurzeln: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Nur x = 1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Finden Sie die Funktionswerte an den Punkten 1 und 4:

Wir haben festgestellt, dass der kleinste Wert der Funktion 3 ist.

Antwort: 3

77430. Finden Sie den größten Wert der Funktion y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 auf dem Segment [- 4; -1].

Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:

Finden Sie die Nullstellen der Ableitung, lösen Sie die quadratische Gleichung:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Kommen wir zu den Wurzeln:

Die Wurzel х = –1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Finden Sie die Funktionswerte an den Punkten –4, –1, –1/3 und 1:

Wir haben festgestellt, dass der größte Wert der Funktion 3 ist.

Antwort: 3

77433. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 auf dem Segment.

Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:

Finden Sie die Nullstellen der Ableitung, lösen Sie die quadratische Gleichung:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Kommen wir zu den Wurzeln:

Die Wurzel x = 4 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Wir finden die Werte der Funktion an den Punkten 0 und 4:

Wir haben festgestellt, dass der kleinste Wert der Funktion -109 ist.

Antwort: -109

Betrachten Sie eine Methode zur Bestimmung der größten und kleinsten Werte von Funktionen ohne Ableitung. Dieser Ansatz kann verwendet werden, wenn Sie große Probleme mit der Definition der Ableitung haben. Das Prinzip ist einfach - wir ersetzen alle ganzzahligen Werte aus dem Intervall in die Funktion (Tatsache ist, dass in allen solchen Prototypen die Antwort eine ganze Zahl ist).

77437. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y \u003d 7 + 12x - x 3 auf dem Segment [-2;2].

Wir ersetzen Punkte von -2 bis 2: Lösung anzeigen

77434. Finden Sie den größten Wert der Funktion y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 im Segment [-2; 0].

Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Der größte und kleinste Wert der Funktion

Der größte Wert einer Funktion heißt der größte, der kleinste Wert ist der kleinste aller ihrer Werte.

Eine Funktion kann nur einen größten und nur einen kleinsten Wert haben oder gar keinen. Das Finden der größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen basiert auf den folgenden Eigenschaften dieser Funktionen:

1) Wenn in einem Intervall (endlich oder unendlich) die Funktion y=f(x) stetig ist und nur ein Extremum hat, und wenn dies das Maximum (Minimum) ist, dann wird es der größte (kleinste) Wert der Funktion sein in diesem Intervall.

2) Wenn die Funktion f(x) auf einem Segment stetig ist, dann hat sie notwendigerweise die größten und kleinsten Werte auf diesem Segment. Diese Werte werden entweder an den innerhalb des Segments liegenden Extrempunkten oder an den Grenzen dieses Segments erreicht.

Um die größten und kleinsten Werte auf dem Segment zu finden, wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1. Finden Sie die Ableitung.

2. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion, an denen =0 oder nicht existiert.

3. Finden Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments und wählen Sie daraus das größte f max und das kleinste f min.

Bei der Lösung von Anwendungsproblemen, insbesondere Optimierungsproblemen, Bedeutung Probleme haben, die größten und kleinsten Werte (globales Maximum und globales Minimum) einer Funktion auf dem Intervall X zu finden. Um solche Probleme zu lösen, sollte man basierend auf der Bedingung eine unabhängige Variable wählen und den zu untersuchenden Wert darin ausdrücken Terme dieser Variablen. Finden Sie dann den gewünschten maximalen oder minimalen Wert der resultierenden Funktion. In diesem Fall wird auch das Änderungsintervall der unabhängigen Variablen, das endlich oder unendlich sein kann, aus der Bedingung des Problems bestimmt.

Beispiel. Der Tank, der die Form eines rechteckigen Parallelepipeds mit quadratischem Boden hat und oben offen ist, muss innen mit Zinn verzinnt werden. Wie groß sollte der Tank mit einem Fassungsvermögen von 108 Litern sein? Wasser, damit die Kosten für seine Verzinnung am geringsten sind?

Entscheidung. Die Kosten für die Beschichtung des Tanks mit Zinn sind am niedrigsten, wenn seine Oberfläche für eine gegebene Kapazität minimal ist. Bezeichnen Sie mit a dm - die Seite der Basis, b dm - die Höhe des Tanks. Dann ist die Fläche S seiner Oberfläche gleich

Und

Die resultierende Beziehung stellt die Beziehung zwischen der Oberfläche des Tanks S (Funktion) und der Seite der Basis a (Argument) her. Wir untersuchen die Funktion S auf ein Extremum. Finde die erste Ableitung, setze sie mit Null gleich und löse die resultierende Gleichung:

Also a = 6. (a) > 0 für a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion zwischen.

Entscheidung: Pro gegebene Funktion stetig auf dem ganzen Zahlenstrahl. Ableitung der Funktion

Ableitung bei und bei . Lassen Sie uns die Werte der Funktion an diesen Punkten berechnen:

.

Die Funktionswerte an den Enden des angegebenen Intervalls sind gleich . Daher ist der größte Wert der Funktion bei , der kleinste Wert der Funktion ist bei .

Fragen zur Selbstprüfung

1. Formulieren Sie die Regel von L'Hopital zur Offenlegung von Unsicherheiten der Form . Nennen Sie die verschiedenen Arten von Unsicherheiten, für die die Regel von L'Hospital verwendet werden kann.

2. Formulieren Sie Anzeichen für zunehmende und abnehmende Funktion.

3. Definieren Sie das Maximum und Minimum einer Funktion.

4. Formulieren notwendige Bedingung die Existenz eines Extremums.

5. Welche Werte des Arguments (welche Punkte) werden als kritisch bezeichnet? Wie finde ich diese Punkte?

6. Was sind hinreichende Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion? Skizzieren Sie ein Schema zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum unter Verwendung der ersten Ableitung.

7. Skizzieren Sie das Schema zur Untersuchung der Funktion für ein Extremum unter Verwendung der zweiten Ableitung.

8. Konvexität, Konkavität einer Kurve definieren.

9. Was ist der Wendepunkt eines Funktionsgraphen? Geben Sie an, wie diese Punkte zu finden sind.

10. Formulieren Sie das Notwendige und ausreichende Zeichen Konvexität und Konkavität einer Kurve auf einem gegebenen Segment.

11. Definieren Sie die Asymptote der Kurve. Wie findet man die vertikalen, horizontalen und schiefen Asymptoten eines Funktionsgraphen?

12. Zustand allgemeines Schema Untersuchung der Funktion und Konstruktion seines Graphen.

13. Formulieren Sie eine Regel, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu finden.

In der Praxis ist es durchaus üblich, die Ableitung zu verwenden, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu berechnen. Wir führen diese Aktion durch, wenn wir herausfinden, wie wir Kosten minimieren, Gewinne steigern, die optimale Belastung der Produktion berechnen usw., dh in den Fällen, in denen es notwendig ist, den optimalen Wert eines Parameters zu bestimmen. Um solche Probleme richtig zu lösen, muss man gut verstehen, was der größte und der kleinste Wert einer Funktion sind.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üblicherweise definieren wir diese Werte innerhalb eines gewissen Intervalls x , das wiederum dem gesamten Umfang der Funktion oder einem Teil davon entsprechen kann. Es kann entweder ein Segment [ a ; b ] , und offenes Intervall (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , unendliches Intervall (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) oder unendliches Intervall - ∞ ; ein , (- ∞ ; ein ] , [ ein ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In diesem Artikel beschreiben wir, wie der größte und kleinste Wert einer explizit gegebenen Funktion mit einer Variablen y=f(x) y = f(x) berechnet wird.

Grundlegende Definitionen

Wir beginnen wie immer mit der Formulierung der wichtigsten Definitionen.

Bestimmung 1

Der größte Wert der Funktion y = f (x) auf einem bestimmten Intervall x ist der Wert m a x y = f (x 0) x ∈ X , was für jeden Wert x x ∈ X , x ≠ x 0 die Ungleichung f (x ) ≤ f (x 0) .

Bestimmung 2

Der kleinste Wert der Funktion y = f (x) auf einem Intervall x ist der Wert m i n x ∈ X y = f (x 0) , was für jeden Wert x ∈ X , x ≠ x 0 die Ungleichung f(X f(x) ≥ f(x0) .

Diese Definitionen sind ziemlich offensichtlich. Es kann noch einfacher ausgedrückt werden: Der größte Wert einer Funktion ist ihr größter Wert in einem bekannten Intervall bei der Abszisse x 0, und der kleinste ist der kleinste akzeptierte Wert im selben Intervall bei x 0.

Bestimmung 3

Stationäre Punkte sind solche Werte des Funktionsarguments, bei denen seine Ableitung 0 wird.

Warum müssen wir wissen, was stationäre Punkte sind? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns an den Satz von Fermat erinnern. Daraus folgt, dass ein stationärer Punkt ein Punkt ist, an dem sich das Extremum einer differenzierbaren Funktion befindet (d. h. ihr lokales Minimum oder Maximum). Folglich nimmt die Funktion genau an einem der stationären Punkte den kleinsten oder größten Wert in einem bestimmten Intervall an.

Eine andere Funktion kann an den Stellen den größten oder kleinsten Wert annehmen, an denen die Funktion selbst bestimmt ist und ihre erste Ableitung nicht existiert.

Die erste Frage, die sich beim Studium dieses Themas stellt, lautet: Können wir in allen Fällen den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen? Nein, wir können dies nicht tun, wenn die Grenzen des gegebenen Intervalls mit den Grenzen des Definitionsbereichs zusammenfallen oder wenn wir es mit einem unendlichen Intervall zu tun haben. Es kommt auch vor, dass eine Funktion in einem bestimmten Intervall oder im Unendlichen unendlich kleine oder unendlich große Werte annimmt. In diesen Fällen ist es nicht möglich, den größten und/oder kleinsten Wert zu ermitteln.

Diese Momente werden nach dem Bild in den Grafiken verständlicher:

Die erste Abbildung zeigt uns eine Funktion, die an stationären Punkten im Intervall [- 6 ; 6].

Untersuchen wir den in der zweiten Grafik angegebenen Fall im Detail. Ändern wir den Wert des Segments in [ 1 ; 6] und wir erhalten, dass der größte Wert der Funktion am Punkt mit der Abszisse an der rechten Grenze des Intervalls erreicht wird und der kleinste - am stationären Punkt.

In der dritten Figur repräsentieren die Abszissen der Punkte die Grenzpunkte des Segments [-3; 2]. Sie entsprechen dem größten und kleinsten Wert der gegebenen Funktion.

Schauen wir uns nun das vierte Bild an. Darin nimmt die Funktion m a x y (den größten Wert) und m i n y (den kleinsten Wert) an stationären Punkten im offenen Intervall (– 6 ; 6) an.

Wenn wir das Intervall [ 1 ; 6) , dann können wir sagen, dass der kleinste Wert der Funktion darauf an einem stationären Punkt erreicht wird. Wir werden den Höchstwert nicht kennen. Die Funktion könnte den größten Wert bei x gleich 6 annehmen, wenn x = 6 zu dem Intervall gehört. Dieser Fall ist in Abbildung 5 dargestellt.

In Grafik 6 erhält diese Funktion den kleinsten Wert am rechten Rand des Intervalls (- 3 ; 2 ] , und wir können keine eindeutigen Schlussfolgerungen über den größten Wert ziehen.

In Abbildung 7 sehen wir, dass die Funktion m a x y am stationären Punkt haben wird, mit einer Abszisse gleich 1 . Die Funktion erreicht ihren Minimalwert an der Intervallgrenze auf der rechten Seite. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y = 3 .

Nehmen wir ein Intervall x ∈ 2 ; + ∞ , dann werden wir sehen, dass die gegebene Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert annehmen wird. Wenn x gegen 2 tendiert, dann tendieren die Werte der Funktion gegen minus unendlich, da die Gerade x = 2 eine vertikale Asymptote ist. Wenn die Abszisse gegen unendlich geht, nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y = 3. Dies ist der in Abbildung 8 gezeigte Fall.

In diesem Absatz geben wir eine Abfolge von Aktionen an, die ausgeführt werden müssen, um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu finden.

1. Lassen Sie uns zuerst den Definitionsbereich der Funktion finden. Prüfen wir, ob das in der Bedingung angegebene Segment darin enthalten ist.
2. Lassen Sie uns nun die in diesem Segment enthaltenen Punkte berechnen, an denen die erste Ableitung nicht existiert. Am häufigsten sind sie in Funktionen zu finden, deren Argumente unter dem Modulzeichen oder in geschrieben sind Machtfunktionen, dessen Exponent eine gebrochen rationale Zahl ist.
3. Als nächstes finden wir heraus, welche stationären Punkte in ein bestimmtes Segment fallen. Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion berechnen, sie dann mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen und dann die entsprechenden Wurzeln auswählen. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt erhalten oder sie nicht in ein bestimmtes Segment fallen, fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
4. Lassen Sie uns bestimmen, welche Werte die Funktion an den gegebenen stationären Punkten (falls vorhanden) oder an den Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), annehmen wird, oder wir berechnen die Werte für x = a und x = b.
5. 5. Wir haben eine Reihe von Funktionswerten, aus denen wir nun den größten und den kleinsten auswählen müssen. Dies sind die größten und kleinsten Werte der Funktion, die wir finden müssen.

Sehen wir uns an, wie dieser Algorithmus beim Lösen von Problemen richtig angewendet wird.

Beispiel 1

Zustand: die Funktion y = x 3 + 4 x 2 ist gegeben. Bestimme seinen größten und kleinsten Wert auf den Segmenten [ 1 ; 4 ] und [-4; - 1 ] .

Entscheidung:

Beginnen wir damit, den Definitionsbereich dieser Funktion zu finden. In diesem Fall ist es die Menge aller reellen Zahlen außer 0 . Mit anderen Worten, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Beide in der Bedingung angegebenen Segmente befinden sich innerhalb des Definitionsbereichs.

Nun berechnen wir die Ableitung der Funktion nach der Ableitungsregel eines Bruchs:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Wir haben gelernt, dass die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente existiert [ 1 ; 4 ] und [-4; - 1 ] .

Jetzt müssen wir die stationären Punkte der Funktion bestimmen. Machen wir das mit der Gleichung x 3 - 8 x 3 = 0. Es hat nur eine echte Wurzel, nämlich 2. Er wird ein stationärer Punkt der Funktion und fällt in das erste Segment [1; vier ] .

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den Enden des ersten Segments und an der angegebenen Stelle berechnen, d.h. für x = 1 , x = 2 und x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Wir haben festgestellt, dass der größte Wert der Funktion m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 wird bei x = 1 erreicht, und das kleinste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – bei x = 2 .

Das zweite Segment enthält keine stationären Punkte, daher müssen wir die Funktionswerte nur an den Enden des angegebenen Segments berechnen:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Also m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ich n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Antworten: Für das Segment [ 1 ; 4 ] - m ein x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ich n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , für das Segment [ - 4 ; - 1 ] - m ein x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ich n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Siehe Bild:

Bevor Sie diese Methode lernen, empfehlen wir Ihnen, sich mit der korrekten Berechnung der einseitigen Grenze und der Grenze im Unendlichen sowie mit den grundlegenden Methoden zu ihrer Bestimmung vertraut zu machen. Um den größten und / oder kleinsten Wert einer Funktion auf einem offenen oder unendlichen Intervall zu finden, führen wir die folgenden Schritte nacheinander aus.

1. Zuerst müssen Sie prüfen, ob das angegebene Intervall eine Teilmenge des Definitionsbereichs der angegebenen Funktion ist.
2. Bestimmen wir alle Punkte, die in dem gesuchten Intervall enthalten sind und an denen die erste Ableitung nicht existiert. Normalerweise treten sie in Funktionen auf, bei denen das Argument im Vorzeichen des Moduls eingeschlossen ist, und in Potenzfunktionen mit einem gebrochen rationalen Exponenten. Wenn diese Punkte fehlen, können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren.
3. Nun bestimmen wir, welche stationären Punkte in ein gegebenes Intervall fallen. Zuerst setzen wir die Ableitung mit 0 gleich, lösen die Gleichung und finden geeignete Wurzeln. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt haben oder sie nicht in das angegebene Intervall fallen, fahren wir sofort mit weiteren Aktionen fort. Sie werden durch die Art des Intervalls bestimmt.

• Wenn das Intervall so aussieht [ a ; b) , dann müssen wir den Wert der Funktion an der Stelle x = a und den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a ; b ] hat, müssen wir den Wert der Funktion an der Stelle x = b und den einseitigen Grenzwert lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a ; b) hat, müssen wir die einseitigen Grenzwerte lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall so aussieht [ a ; + ∞) , dann ist es notwendig, den Wert an der Stelle x = a und die Grenze nach plus unendlich lim x → + ∞ f (x) zu berechnen.
• Wenn das Intervall so aussieht (- ∞ ; b ] , berechnen wir den Wert am Punkt x = b und den Grenzwert bei minus unendlich lim x → - ∞ f (x) .
• Wenn - ∞ ; b , dann betrachten wir den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) und den Grenzwert bei minus unendlich lim x → - ∞ f (x)
• Wenn - ∞ ; + ∞ , dann betrachten wir die Grenzen nach minus und plus unendlich lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Am Ende müssen Sie auf der Grundlage der erhaltenen Werte der Funktion und der Grenzen eine Schlussfolgerung ziehen. Hier gibt es viele Möglichkeiten. Wenn also der einseitige Grenzwert gleich minus unendlich oder plus unendlich ist, dann ist sofort klar, dass über den kleinsten und größten Wert der Funktion nichts ausgesagt werden kann. Im Folgenden betrachten wir ein typisches Beispiel. Detaillierte Beschreibungen helfen Ihnen zu verstehen, was was ist. Falls nötig, können Sie zu den Abbildungen 4 - 8 im ersten Teil des Materials zurückkehren.

Beispiel 2

Bedingung: gegeben eine Funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Berechnen Sie seinen größten und kleinsten Wert in den Intervallen - ∞ ; -4, -∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Entscheidung

Zunächst finden wir den Definitionsbereich der Funktion. Der Nenner des Bruchs ist quadratisches Trinom, die nicht zu 0 werden sollte:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Wir haben den Funktionsumfang erhalten, zu dem alle in der Bedingung angegebenen Intervalle gehören.

Lassen Sie uns nun die Funktion differenzieren und erhalten:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Folglich existieren Ableitungen einer Funktion im gesamten Definitionsbereich.

Fahren wir mit der Suche nach stationären Punkten fort. Die Ableitung der Funktion wird 0 bei x = - 1 2 . Dies ist ein stationärer Punkt, der in den Intervallen (- 3 ; 1 ] und (- 3 ; 2) liegt.

Berechnen wir den Wert der Funktion bei x = - 4 für das Intervall (- ∞ ; - 4 ] , sowie den Grenzwert bei minus unendlich:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Da 3 e 1 6 - 4 > - 1 gilt, ist m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Dies erlaubt uns nicht, den kleinsten Wert der Funktion eindeutig zu bestimmen. Wir können nur schließen, dass es eine Grenze unterhalb von -1 gibt, da sich die Funktion diesem Wert asymptotisch bei minus unendlich nähert.

Ein Merkmal des zweiten Intervalls ist, dass es keinen einzigen stationären Punkt und keine einzige strenge Grenze hat. Daher können wir weder den größten noch den kleinsten Wert der Funktion berechnen. Indem wir die Grenze bei minus unendlich definieren und das Argument auf der linken Seite gegen -3 tendiert, erhalten wir nur den Wertebereich:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte im Intervall -1 befinden; +∞

Um den Maximalwert der Funktion im dritten Intervall zu finden, bestimmen wir ihren Wert am stationären Punkt x = - 1 2 falls x = 1 . Wir müssen auch die einseitige Grenze für den Fall kennen, wenn das Argument auf der rechten Seite gegen -3 tendiert:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Es stellte sich heraus, dass die Funktion an einem stationären Punkt m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 den größten Wert annehmen wird. Den kleinsten Wert können wir nicht bestimmen. All das können wir wissen, ist das Vorhandensein einer unteren Grenze bis -4.

Nehmen wir für das Intervall (- 3 ; 2) die Ergebnisse der vorherigen Berechnung und berechnen wir noch einmal, was die einseitige Grenze ist, wenn wir von der linken Seite zu 2 tendieren:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Daher ist m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , und der kleinste Wert kann nicht bestimmt werden, und die Werte der Funktion werden von unten durch die Zahl - 4 begrenzt.

Basierend auf dem, was wir in den beiden vorherigen Berechnungen gemacht haben, können wir behaupten, dass auf dem Intervall [ 1 ; 2) Die Funktion nimmt den größten Wert bei x = 1 an, und es ist unmöglich, den kleinsten zu finden.

Auf dem Intervall (2 ; + ∞) erreicht die Funktion weder den größten noch den kleinsten Wert, d.h. es werden Werte aus dem Intervall - 1 genommen; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Nachdem wir berechnet haben, was der Wert der Funktion bei x = 4 sein wird, finden wir heraus, dass m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , und die gegebene Funktion bei plus unendlich nähert sich asymptotisch der Linie y = - 1 .

Vergleichen wir, was wir in jeder Berechnung erhalten haben, mit dem Graphen der gegebenen Funktion. In der Figur sind die Asymptoten durch gepunktete Linien dargestellt.

Das ist alles, was wir über das Finden des größten und kleinsten Werts einer Funktion sprechen wollten. Die von uns angegebenen Aktionsfolgen helfen Ihnen, die erforderlichen Berechnungen so schnell und einfach wie möglich durchzuführen. Denken Sie jedoch daran, dass es oft nützlich ist, zuerst herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion abnimmt und in welchen sie zunimmt, wonach weitere Schlussfolgerungen gezogen werden können. So können Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion genauer bestimmen und die Ergebnisse begründen.

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Der größte (kleinste) Wert der Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert der Ordinate im betrachteten Intervall.

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie:

1. Überprüfen Sie, welche stationären Punkte in dem gegebenen Segment enthalten sind.
2. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3
3. Wählen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen den größten oder kleinsten Wert aus.

Um die maximale oder minimale Punktzahl zu finden, müssen Sie:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $f"(x)$
2. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Gleichung $f"(x)=0$ lösen
3. Faktorisiere die Ableitung einer Funktion.
4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie darauf stationäre Punkte und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen unter Verwendung der Notation von Abschnitt 3.
5. Finden Sie die maximalen oder minimalen Punkte gemäß der Regel: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von plus nach minus ändert, ist dies der maximale Punkt (wenn von minus nach plus, dann ist dies der minimale Punkt). In der Praxis ist es praktisch, das Bild von Pfeilen auf den Intervallen zu verwenden: Auf dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, wird der Pfeil nach oben gezogen und umgekehrt.

Tabelle der Ableitungen einiger elementarer Funktionen:

Funktion	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sünde^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe und der Differenz ist gleich der Ableitung jedes Terms

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finde die Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Die Ableitung der Summe und der Differenz ist gleich der Ableitung jedes Terms

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat eines Produkts.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finde die Ableitung $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finde die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Ableitung komplexe Funktion ist gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finde den Minimalpunkt der Funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Finden odz-Funktionen: $x+11>0; x>-11$

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen

$(2x+21)/(x+11)=0$

Der Bruch ist Null, wenn der Zähler Null, und der Nenner ist ungleich Null

$2x+21=0; x≠-11$

4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie darauf stationäre Punkte und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen. Dazu setzen wir in die Ableitung eine beliebige Zahl aus dem äußerst rechten Bereich ein, zum Beispiel Null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Am Minimalpunkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus zu Plus, daher ist der $-10,5$-Punkt der Minimalpunkt.

Antwort: $-10,5$

Finden Sie den maximalen Wert der Funktion $y=6x^5-90x^3-5$ auf dem Segment $[-5;1]$

1. Finde die Ableitung der Funktion $y′=30x^4-270x^2$

2. Setze die Ableitung mit Null gleich und finde stationäre Punkte

$30x^4-270x^2=0$

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor $30x^2$ aus der Klammer

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Setzen Sie jeden Faktor gleich Null

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wählen Sie stationäre Punkte, die zu dem gegebenen Segment $[-5;1]$ gehören

Stationäre Punkte $x=0$ und $x=-3$ sind für uns geeignet

4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Segmentenden und an stationären Punkten aus Punkt 3

In diesem Artikel werde ich darüber sprechen, wie man die Fähigkeit zum Finden auf das Studium einer Funktion anwendet: um ihren größten oder kleinsten Wert zu finden. Und dann werden wir einige Probleme aus Task B15 aus der Open Task Bank für lösen.

Beginnen wir wie immer zuerst mit der Theorie.

Am Anfang jeder Untersuchung einer Funktion finden wir sie

Um den größten oder kleinsten Wert der Funktion zu finden, müssen Sie untersuchen, in welchen Intervallen die Funktion ansteigt und in welchen sie abfällt.

Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion finden und ihre Intervalle mit konstantem Vorzeichen untersuchen, dh die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält.

Die Intervalle, in denen die Ableitung einer Funktion positiv ist, sind Intervalle mit zunehmender Funktion.

Die Intervalle, in denen die Ableitung einer Funktion negativ ist, sind Intervalle mit abnehmender Funktion.

1 . Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245184)

Um es zu lösen, folgen wir dem folgenden Algorithmus:

a) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion .

c) Gleich Null setzen.

d) Finden wir die Intervalle konstanten Vorzeichens der Funktion.

e) Finden Sie den Punkt, an dem die Funktion den größten Wert annimmt.

f) Finden Sie den Wert der Funktion an dieser Stelle.

Die detaillierte Lösung dieser Aufgabe erzähle ich in der VIDEO-LEKTION:

Wahrscheinlich wird Ihr Browser nicht unterstützt. Versuchen Sie, den Simulator „Unified State Examination Hour“ herunterzuladen
Feuerfuchs

2. Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 282862)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment

Es ist offensichtlich, dass die Funktion am höchsten Punkt, bei x=2, den größten Wert auf dem Segment annimmt. Finden Sie den Wert der Funktion an dieser Stelle:

Antwort: 5

3 . Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245180):

Finden Sie den größten Wert einer Funktion

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Da der Umfang der ursprünglichen Funktion title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Der Zähler ist bei Null. Prüfen wir, ob die ODZ zur Funktion gehört. Überprüfen Sie dazu, ob die Bedingung title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

der Punkt gehört also zur ODZ der Funktion

Wir untersuchen das Vorzeichen der Ableitung rechts und links des Punktes:

Wir sehen, dass die Funktion am Punkt den größten Wert annimmt. Lassen Sie uns nun den Wert der Funktion bei finden:

Anmerkung 1. Beachten Sie, dass wir bei diesem Problem den Definitionsbereich der Funktion nicht gefunden haben: Wir haben nur die Nebenbedingungen festgelegt und überprüft, ob der Punkt, an dem die Ableitung gleich Null ist, zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Bei diesem Problem stellte sich heraus, dass dies ausreichte. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Es kommt auf die Aufgabe an.

Bemerkung 2. Wenn man das Verhalten einer komplexen Funktion untersucht, kann man die folgende Regel anwenden:

• wenn äußere Funktion komplexe Funktion ansteigt, dann nimmt die Funktion den größten Wert an der gleichen Stelle an, an der die innere Funktion den größten Wert annimmt. Dies folgt aus der Definition einer steigenden Funktion: Eine Funktion wächst auf dem Intervall I if Größerer Wert ein Argument aus diesem Intervall entspricht einem größeren Wert der Funktion.
• Wenn die äußere Funktion einer komplexen Funktion abnimmt, dann nimmt die Funktion den größten Wert an der gleichen Stelle an, an der die innere Funktion den kleinsten Wert annimmt . Dies folgt aus der Definition einer fallenden Funktion: Die Funktion nimmt auf dem Intervall I ab, wenn der größere Wert des Arguments aus diesem Intervall dem kleineren Wert der Funktion entspricht

In unserem Beispiel nimmt die äußere Funktion - über den gesamten Definitionsbereich zu. Unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht ein Ausdruck - ein quadratisches Trinom, das bei einem negativen Senior-Koeffizienten den größten Wert an diesem Punkt annimmt . Als nächstes setzen wir diesen Wert von x in die Funktionsgleichung ein und finde seinen größten Wert.