Logarithmus einer quadratischen Gleichung. Logarithmische Gleichungen lösen. Der komplette Leitfaden (2019)

Algebra 11. Klasse

Thema: „Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen“

Lernziele:

lehrreich: Aufbau von Wissen über auf veschiedenen Wegen Lösen logarithmischer Gleichungen, die Fähigkeit, sie in jeder spezifischen Situation anzuwenden und eine beliebige Lösungsmethode zu wählen;

Entwicklung: Entwicklung von Fähigkeiten zum Beobachten, Vergleichen, Anwenden von Wissen in einer neuen Situation, Erkennen von Mustern und Verallgemeinern; Entwicklung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle;

lehrreich: Förderung eines verantwortungsvollen Umgangs mit der pädagogischen Arbeit, einer aufmerksamen Wahrnehmung des Unterrichtsstoffs und einer sorgfältigen Mitschrift.

Unterrichtsart : Lektion zur Einführung neuen Materials.

„Die Erfindung des Logarithmus verringerte zwar die Arbeit des Astronomen, verlängerte aber auch sein Leben.“
Der französische Mathematiker und Astronom P.S. Laplace

Während des Unterrichts

I. Festlegung des Unterrichtsziels

Die untersuchte Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen und die logarithmische Funktion werden es uns ermöglichen, logarithmische Gleichungen zu lösen. Alle logarithmischen Gleichungen, egal wie komplex sie sind, werden mit einheitlichen Algorithmen gelöst. Wir werden uns diese Algorithmen in der heutigen Lektion ansehen. Es gibt nicht viele davon. Wenn Sie sie beherrschen, ist jede Gleichung mit Logarithmen für jeden von Ihnen machbar.

Notieren Sie das Thema der Lektion in Ihrem Notizbuch: „Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen.“ Ich lade alle zur Zusammenarbeit ein.

II. Aktualisierung des Referenzwissens

Bereiten wir uns darauf vor, das Thema der Lektion zu studieren. Sie lösen jede Aufgabe und schreiben die Antwort auf; Sie müssen die Bedingung nicht aufschreiben. Partnerarbeit.

1) Für welche Werte von x macht die Funktion Sinn:

A)

B)

V)

D)

(Antworten werden für jede Folie überprüft und Fehler werden aussortiert)

2) Stimmen die Graphen der Funktionen überein?

a) y = x und

B)Und

3) Schreiben Sie die Gleichungen als logarithmische Gleichungen um:

4) Schreiben Sie die Zahlen als Logarithmen zur Basis 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Berechnen :

6) Versuchen Sie, die fehlenden Elemente in diesen Gleichungen wiederherzustellen oder zu ergänzen.

III. Einführung in neues Material

Auf dem Bildschirm wird folgende Aussage angezeigt:

„Die Gleichung ist der goldene Schlüssel, der alle mathematischen Sesame öffnet.“
Moderner polnischer Mathematiker S. Kowal

Versuchen Sie, die Definition einer logarithmischen Gleichung zu formulieren. (Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Logarithmuszeichen enthält ).

Lassen Sie uns überlegendie einfachste logarithmische Gleichung: Protokoll A x = b (wobei a>0, a ≠ 1). Als logarithmische Funktion erhöht (oder verringert) am Set positive Zahlen und alle reellen Werte annimmt, folgt aus dem Wurzelsatz, dass diese Gleichung für jedes b nur eine Lösung hat, und zwar eine positive.

Denken Sie an die Definition des Logarithmus. (Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist ein Indikator für die Potenz, mit der die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten ). Aus der Definition des Logarithmus folgt dies unmittelbarA V ist so eine Lösung.

Schreiben Sie den Titel auf:Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen

1. Per Definition des Logarithmus .

So werden die einfachsten Gleichungen der Form gelöst.

Lassen Sie uns überlegenNr. 514(a) ): Löse die Gleichung

Wie schlagen Sie vor, das Problem zu lösen? (Per Definition des Logarithmus )

Lösung . , Daher 2x – 4 = 4; x = 4.

Antwort: 4.

In dieser Aufgabe 2x – 4 > 0, da> 0, sodass keine Fremdwurzeln auftreten können, undKeine Notwendigkeit, dies zu überprüfen . Die Bedingung 2x – 4 > 0 muss in dieser Aufgabe nicht ausgeschrieben werden.

2. Potenzierung (Übergang vom Logarithmus eines gegebenen Ausdrucks zu diesem Ausdruck selbst).

Lassen Sie uns überlegenNr. 519(g): Protokoll 5 ( X 2 +8)- Protokoll 5 ( X+1)=3 Protokoll 5 2

Welche Funktion ist Ihnen aufgefallen?(Die Basen sind gleich und die Logarithmen der beiden Ausdrücke sind gleich) . Was kann getan werden?(Potenzieren).

Es ist zu berücksichtigen, dass jede Lösung unter allen x enthalten ist, für die die logarithmischen Ausdrücke positiv sind.

Lösung: ODZ:

X 2 +8>0 unnötige Ungleichheit

Protokoll 5 ( X 2 +8) = Protokoll 5 2 3 + Protokoll 5 ( X+1)

Protokoll 5 ( X 2 +8)= Protokoll 5 (8 X+8)

Potenzieren wir die ursprüngliche Gleichung

X 2 +8= 8 X+8

wir erhalten die GleichungX 2 +8= 8 X+8

Lass es uns lösen:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Antwort: 0; 8

AllgemeinÜbergang zu einem gleichwertigen System :

Die gleichung

(Das System enthält eine redundante Bedingung – eine der Ungleichungen muss nicht berücksichtigt werden).

Frage an die Klasse : Welche dieser drei Lösungen hat Ihnen am besten gefallen? (Diskussion der Methoden).

Sie haben das Recht, in jeder Hinsicht zu entscheiden.

3. Einführung einer neuen Variablen .

Lassen Sie uns überlegenNr. 520(g) . .

Was haben Sie bemerkt? (Dies ist eine quadratische Gleichung bezüglich log3x) Ihre Vorschläge? (Eine neue Variable einführen)

Lösung . ODZ: x > 0.

Lassen, dann nimmt die Gleichung die Form an:. Diskriminante D > 0. Wurzeln nach dem Satz von Vieta:.

Kommen wir zurück zum Ersatz:oder.

Nachdem wir die einfachsten logarithmischen Gleichungen gelöst haben, erhalten wir:

; .

Antwort : 27;

4. Logarithmieren Sie beide Seiten der Gleichung.

Löse die Gleichung:.

Lösung : ODZ: x>0, nehmen wir den Logarithmus beider Seiten der Gleichung zur Basis 10:

. Wenden wir die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz an:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Sei logx = y, dann ist (y + 3)y = 4

, (D > 0) Wurzeln nach dem Satz von Vieta: y1 = -4 und y2 = 1.

Kehren wir zum Ersetzen zurück, wir erhalten: lgx = -4,; logx = 1,. . Es ist wie folgt: wenn eine der Funktionen y = f(x) erhöht sich, und das andere y = g(x) nimmt im Intervall X ab, dann gilt die Gleichung f(x)= g(x) hat höchstens eine Wurzel im Intervall X .

Wenn es eine Wurzel gibt, kann sie erraten werden. .

Antwort : 2

« Richtige Verwendung Methoden können erlernt werden
nur indem man sie auf verschiedene Beispiele anwendet.“
Dänischer Mathematikhistoriker G. G. Zeiten

ICH V. Hausaufgaben

S. 39 Betrachten Sie Beispiel 3, lösen Sie Nr. 514(b), Nr. 529(b), Nr. 520(b), Nr. 523(b)

V. Zusammenfassung der Lektion

Welche Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen haben wir uns im Unterricht angesehen?

In den nächsten Lektionen werden wir uns mehr ansehen komplexe Gleichungen. Um sie zu lösen, werden die untersuchten Methoden nützlich sein.

Zuletzt gezeigte Folie:

„Was ist mehr als alles andere auf der Welt?
Raum.
Was ist das Klügste?
Zeit.
Was ist das Beste daran?
Erreiche, was du willst.
Thales

Ich wünsche jedem, dass er erreicht, was er will. Vielen Dank für Ihre Kooperation und Ihr Verständnis.

Die letzten Videos einer langen Reihe von Lektionen zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Dieses Mal werden wir hauptsächlich mit der ODZ des Logarithmus arbeiten – gerade aufgrund der falschen Berücksichtigung (oder sogar Ignorierung) des Definitionsbereichs entstehen die meisten Fehler bei der Lösung solcher Probleme.

In dieser kurzen Videolektion beschäftigen wir uns mit der Verwendung von Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen und befassen uns auch mit gebrochenen rationalen Gleichungen, mit denen viele Schüler ebenfalls Probleme haben.

Worüber werden wir reden? Die Hauptformel, die ich verstehen möchte, sieht folgendermaßen aus:

log a (f g ) = log a f + log a g

Dies ist ein Standardübergang vom Produkt zur Summe der Logarithmen und zurück. Sie kennen diese Formel wahrscheinlich von Anfang an, als Sie Logarithmen studierten. Allerdings gibt es einen Haken.

Solange die Variablen a, f und g gewöhnliche Zahlen sind, treten keine Probleme auf. Diese Formel funktioniert großartig.

Sobald jedoch Funktionen anstelle von f und g auftreten, entsteht das Problem der Erweiterung oder Einengung des Definitionsbereichs, je nachdem, in welche Richtung transformiert werden soll. Urteilen Sie selbst: Im links geschriebenen Logarithmus ist der Definitionsbereich wie folgt:

fg > 0

Aber in der rechts geschriebenen Menge ist der Definitionsbereich schon etwas anders:

f > 0

g > 0

Diese Anforderungen sind strenger als die ursprünglichen. Im ersten Fall geben wir uns mit Option f zufrieden< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 wird ausgeführt).

Beim Übergang von der linken zur rechten Konstruktion kommt es also zu einer Einengung des Definitionsbereichs. Wenn wir zunächst eine Summe hatten und sie in die Form eines Produkts umschreiben, dann erweitert sich der Definitionsbereich.

Mit anderen Worten: Im ersten Fall könnten wir Wurzeln verlieren und im zweiten Fall könnten wir zusätzliche Wurzeln gewinnen. Dies muss bei der Lösung reeller logarithmischer Gleichungen berücksichtigt werden.

Also die erste Aufgabe:

[Bildunterschrift]

Links sehen wir die Summe der Logarithmen mit derselben Basis. Daher können diese Logarithmen addiert werden:

[Bildunterschrift]

Wie Sie sehen können, haben wir rechts die Null mit der Formel ersetzt:

a = log b b a

Stellen wir unsere Gleichung noch etwas um:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung; wir können das Logarithmuszeichen streichen und die Argumente gleichsetzen:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Bitte beachten Sie: Woher kommt das Modul? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Wurzel eines exakten Quadrats gleich dem Modul ist:

[Bildunterschrift]

Dann lösen wir die klassische Gleichung mit Modul:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Hier sind zwei Kandidatenantworten. Sind sie eine Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung? Auf keinen Fall!

Wir haben kein Recht, alles einfach so stehen zu lassen und die Antwort aufzuschreiben. Schauen Sie sich den Schritt an, in dem wir die Summe der Logarithmen durch einen Logarithmus des Produkts der Argumente ersetzen. Das Problem besteht darin, dass wir in den ursprünglichen Ausdrücken Funktionen haben. Daher sollten Sie Folgendes benötigen:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Als wir das Produkt transformierten und ein exaktes Quadrat erhielten, änderten sich die Anforderungen:

(x − 5) 2 > 0

Wann ist diese Voraussetzung erfüllt? Ja, fast immer! Außer für den Fall, dass x − 5 = 0. Das heißt Die Ungleichung wird auf einen punktierten Punkt reduziert:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Wie Sie sehen, hat sich der Definitionsbereich erweitert, worüber wir gleich zu Beginn der Lektion gesprochen haben. Infolgedessen können zusätzliche Wurzeln entstehen.

Wie können Sie verhindern, dass diese zusätzlichen Wurzeln entstehen? Es ist ganz einfach: Wir schauen uns unsere erhaltenen Wurzeln an und vergleichen sie mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung. Lass uns zählen:

x (x − 5) > 0

Wir werden mit der Intervallmethode lösen:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Die resultierenden Zahlen markieren wir auf der Linie. Es fehlen alle Punkte, da die Ungleichung streng ist. Nehmen Sie eine beliebige Zahl größer als 5 und ersetzen Sie:

[Bildunterschrift]

Uns interessieren die Intervalle (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Wenn wir unsere Wurzeln auf dem Segment markieren, werden wir sehen, dass x = 4 nicht zu uns passt, weil diese Wurzel außerhalb des Definitionsbereichs der ursprünglichen logarithmischen Gleichung liegt.

Wir kehren zur Gesamtheit zurück, streichen die Wurzel x = 4 durch und schreiben die Antwort auf: x = 6. Dies ist die endgültige Antwort auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung. Das war's, Problem gelöst.

Kommen wir zur zweiten logarithmischen Gleichung:

[Bildunterschrift]

Lass es uns lösen. Beachten Sie, dass der erste Term ein Bruch ist und der zweite derselbe Bruch ist, jedoch invertiert. Haben Sie keine Angst vor dem Ausdruck lgx – es ist nur ein dezimaler Logarithmus, wir können ihn schreiben:

lgx = log 10 x

Da wir zwei umgekehrte Brüche haben, schlage ich vor, eine neue Variable einzuführen:

[Bildunterschrift]

Daher kann unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Wie Sie sehen, ist der Zähler des Bruchs ein exaktes Quadrat. Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler vorhanden ist gleich Null, und der Nenner ist von Null verschieden:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Lösen wir die erste Gleichung:

t − 1 = 0;

t = 1.

Dieser Wert erfüllt die zweite Anforderung. Daher können wir sagen, dass wir unsere Gleichung vollständig gelöst haben, allerdings nur in Bezug auf die Variable t. Erinnern wir uns nun daran, was t ist:

[Bildunterschrift]

Wir haben das Verhältnis:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Wir bringen diese Gleichung in ihre kanonische Form:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Als Ergebnis erhielten wir eine einzelne Wurzel, die theoretisch die Lösung der ursprünglichen Gleichung darstellt. Gehen wir jedoch trotzdem auf Nummer sicher und schreiben Sie den Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung aus:

[Bildunterschrift]

Daher erfüllt unsere Wurzel alle Anforderungen. Wir haben eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung gefunden. Antwort: x = 0,1. Das Problem ist behoben.

In der heutigen Lektion gibt es nur einen wichtigen Punkt: Wenn Sie die Formel für den Übergang von einem Produkt zu einer Summe und zurück verwenden, müssen Sie unbedingt berücksichtigen, dass der Definitionsbereich je nach Richtung des Übergangs enger oder erweitert werden kann.

Wie kann man verstehen, was passiert: Kontraktion oder Expansion? Sehr einfach. Wenn die Funktionen früher zusammen waren, jetzt aber getrennt sind, hat sich der Definitionsbereich eingeengt (weil es mehr Anforderungen gibt). Standen die Funktionen zunächst getrennt und nun zusammen, so erweitert sich der Definitionsbereich (an das Produkt werden weniger Anforderungen gestellt als an einzelne Faktoren).

Unter Berücksichtigung dieser Bemerkung möchte ich anmerken, dass die zweite logarithmische Gleichung diese Transformationen überhaupt nicht erfordert, das heißt, wir addieren oder multiplizieren die Argumente nirgendwo. An dieser Stelle möchte ich Sie jedoch auf eine weitere wunderbare Technik aufmerksam machen, die die Lösung deutlich vereinfachen kann. Es geht darum, eine Variable zu ersetzen.

Bedenken Sie jedoch, dass uns keine Ersetzungen aus dem Definitionsbereich befreien. Deshalb waren wir nicht faul, nachdem wir alle Wurzeln gefunden hatten, und kehrten zur ursprünglichen Gleichung zurück, um ihre ODZ zu finden.

Beim Ersetzen einer Variablen tritt häufig ein ärgerlicher Fehler auf, wenn die Schüler den Wert von t finden und denken, dass die Lösung vollständig ist. Auf keinen Fall!

Sobald Sie den Wert von t gefunden haben, müssen Sie zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren und sehen, was genau wir mit diesem Buchstaben gemeint haben. Infolgedessen müssen wir eine weitere Gleichung lösen, die jedoch viel einfacher sein wird als die ursprüngliche.

Genau das ist der Sinn der Einführung einer neuen Variable. Wir teilen die ursprüngliche Gleichung in zwei Zwischengleichungen auf, von denen jede eine viel einfachere Lösung hat.

So lösen Sie „verschachtelte“ logarithmische Gleichungen

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit logarithmischen Gleichungen und analysieren Konstruktionen, bei denen ein Logarithmus im Vorzeichen eines anderen Logarithmus steht. Wir werden beide Gleichungen mithilfe der kanonischen Form lösen.

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit logarithmischen Gleichungen und analysieren Konstruktionen, bei denen ein Logarithmus im Vorzeichen eines anderen steht. Wir werden beide Gleichungen mithilfe der kanonischen Form lösen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zur Lösung einer solchen Gleichung die folgenden Schritte ausführen, wenn wir die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) = b haben. Zunächst müssen wir die Zahl b ersetzen:

b = log a a b

Hinweis: a b ist ein Argument. Ebenso ist in der ursprünglichen Gleichung das Argument die Funktion f(x). Dann schreiben wir die Gleichung um und erhalten diese Konstruktion:

log a f (x) = log a a b

Dann können wir den dritten Schritt ausführen – das Logarithmuszeichen entfernen und einfach schreiben:

f (x) = a b

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung. In diesem Fall werden der Funktion f (x) keine Einschränkungen auferlegt. An ihre Stelle kann beispielsweise auch eine logarithmische Funktion treten. Und dann erhalten wir wieder eine logarithmische Gleichung, die wir wiederum auf ihre einfachste Form reduzieren und durch die kanonische Form lösen.

Aber genug der Texte. Lassen Sie uns das eigentliche Problem lösen. Also, Aufgabe Nummer 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Wie Sie sehen, haben wir eine einfache logarithmische Gleichung. Die Rolle von f (x) ist die Konstruktion 1 + 3 log 2 x, und die Rolle der Zahl b ist die Zahl 2 (die Rolle von a wird auch von zwei gespielt). Schreiben wir diese beiden wie folgt um:

Es ist wichtig zu verstehen, dass die ersten beiden Zweier von der Basis des Logarithmus stammen, d. h. wenn in der ursprünglichen Gleichung 5 wäre, dann würden wir 2 = log 5 · 5 · 2 erhalten. Im Allgemeinen hängt die Basis ausschließlich vom Logarithmus ab, der ursprünglich in der Aufgabe angegeben wurde. Und in unserem Fall ist das die Nummer 2.

Also schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um und berücksichtigen dabei die Tatsache, dass die beiden auf der rechten Seite tatsächlich auch ein Logarithmus sind. Wir bekommen:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Fahren wir mit dem letzten Schritt unseres Plans fort – der Abschaffung der kanonischen Form. Man könnte sagen, wir streichen einfach die Protokollzeichen durch. Aus mathematischer Sicht ist es jedoch unmöglich, „Protokoll durchzustreichen“ – richtiger wäre es zu sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:

1 + 3 log 2 x = 4

Von hier aus können wir leicht 3 Logs 2 x finden:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Wir haben wieder die einfachste logarithmische Gleichung erhalten, bringen wir sie zurück in die kanonische Form. Dazu müssen wir folgende Änderungen vornehmen:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Warum steht an der Basis eine Zwei? Denn in unserer kanonischen Gleichung links gibt es einen Logarithmus genau zur Basis 2. Wir schreiben das Problem unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

log 2 x = log 2 2

Auch hier verzichten wir auf das Logarithmuszeichen, d. h. wir setzen die Argumente einfach gleich. Wir haben das Recht dazu, weil die Grundlagen gleich sind und weder rechts noch links weitere zusätzliche Aktionen durchgeführt wurden:

Das ist alles! Das Problem ist behoben. Wir haben eine Lösung für die logarithmische Gleichung gefunden.

Beachten Sie! Obwohl die Variable x im Argument vorkommt (d. h. es gibt Anforderungen für den Definitionsbereich), werden wir keine zusätzlichen Anforderungen stellen.

Wie ich oben sagte, ist diese Prüfung überflüssig, wenn die Variable in nur einem Argument von nur einem Logarithmus vorkommt. In unserem Fall erscheint x eigentlich nur im Argument und nur unter einem Log-Zeichen. Daher sind keine zusätzlichen Kontrollen erforderlich.

Wenn Sie dieser Methode jedoch nicht vertrauen, können Sie leicht überprüfen, ob x = 2 tatsächlich eine Wurzel ist. Es reicht aus, diese Zahl in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

Kommen wir zur zweiten Gleichung, sie ist etwas interessanter:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Wenn wir den Ausdruck innerhalb des großen Logarithmus mit der Funktion f (x) bezeichnen, erhalten wir die einfachste logarithmische Gleichung, mit der wir die heutige Videolektion begonnen haben. Daher können wir die kanonische Form anwenden, für die wir die Einheit in der Form log 2 2 1 = log 2 2 darstellen müssen.

Schreiben wir unsere große Gleichung neu:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Gehen wir vom Vorzeichen des Logarithmus weg und setzen wir die Argumente gleich. Wir haben das Recht dazu, denn sowohl links als auch rechts sind die Grundlagen gleich. Beachten Sie außerdem, dass log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Vor uns liegt wieder die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) = b. Kommen wir zur kanonischen Form, das heißt, wir stellen Null in der Form log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 dar.

Wir schreiben unsere Gleichung um und entfernen das Protokollzeichen, indem wir die Argumente gleichsetzen:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Auch hier erhielten wir umgehend eine Antwort. Es sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, da in der Originalgleichung nur ein Logarithmus die Funktion als Argument enthält.

Daher sind keine zusätzlichen Kontrollen erforderlich. Wir können mit Sicherheit sagen, dass x = 1 die einzige Wurzel dieser Gleichung ist.

Aber wenn es im zweiten Logarithmus eine Funktion von x statt vier gäbe (oder 2x nicht im Argument, sondern in der Basis wäre), dann wäre es notwendig, den Definitionsbereich zu überprüfen. Andernfalls besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie auf zusätzliche Wurzeln stoßen.

Woher kommen diese zusätzlichen Wurzeln? Dieser Punkt muss sehr klar verstanden werden. Schauen Sie sich die Originalgleichungen an: Überall steht die Funktion x unter dem Logarithmuszeichen. Da wir also log 2 x notiert haben, setzen wir automatisch die Anforderung x > 0. Ansonsten macht dieser Eintrag einfach keinen Sinn.

Wenn wir jedoch die logarithmische Gleichung lösen, entfernen wir alle Logarithmuszeichen und erhalten einfache Konstruktionen. Hier sind keine Einschränkungen mehr gesetzt, denn lineare Funktion definiert für jeden Wert von x.

Dieses Problem, wenn die endgültige Funktion überall und immer definiert ist, die ursprüngliche Funktion jedoch nicht überall und nicht immer, ist der Grund dafür, dass bei der Lösung logarithmischer Gleichungen sehr oft zusätzliche Wurzeln entstehen.

Aber ich wiederhole es noch einmal: Dies geschieht nur in einer Situation, in der die Funktion entweder in mehreren Logarithmen oder an der Basis eines davon liegt. Bei den Problemen, die wir heute betrachten, gibt es grundsätzlich keine Probleme mit der Erweiterung des Definitionsbereichs.

Fälle aus unterschiedlichen Gründen

Diese Lektion ist komplexeren Designs gewidmet. Logarithmen in heutigen Gleichungen lassen sich nicht mehr sofort lösen, sondern es müssen zunächst einige Transformationen durchgeführt werden.

Wir beginnen mit der Lösung logarithmischer Gleichungen mit völlig unterschiedlichen Basen, die keine exakten Potenzen voneinander sind. Lassen Sie sich von solchen Problemen nicht abschrecken – sie sind nicht schwieriger zu lösen als die einfachsten Designs, die wir oben besprochen haben.

Aber bevor ich direkt zu den Problemen übergehe, möchte ich Sie an die Formel zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen in der kanonischen Form erinnern. Stellen Sie sich ein Problem wie dieses vor:

log a f (x) = b

Es ist wichtig, dass die Funktion f (x) nur eine Funktion ist und die Rolle der Zahlen a und b Zahlen sein sollte (ohne Variablen x). Natürlich werden wir uns gleich solche Fälle ansehen, in denen es anstelle der Variablen a und b Funktionen gibt, aber darum geht es jetzt nicht.

Wie wir uns erinnern, muss die Zahl b durch einen Logarithmus zur gleichen Basis a, die links liegt, ersetzt werden. Das geht ganz einfach:

b = log a a b

Natürlich bedeuten die Wörter „beliebige Zahl b“ und „beliebige Zahl a“ Werte, die dem Definitionsbereich genügen. Insbesondere in dieser Gleichung wir reden über nur die Basis a > 0 und a ≠ 1.

Diese Anforderung ist jedoch automatisch erfüllt, da das ursprüngliche Problem bereits einen Logarithmus zur Basis von a enthält – dieser wird sicherlich größer als 0 und ungleich 1 sein. Daher lösen wir weiterhin die logarithmische Gleichung:

log a f (x) = log a a b

Eine solche Notation nennt man kanonische Form. Seine Bequemlichkeit liegt darin, dass wir das Protokollzeichen sofort loswerden können, indem wir die Argumente gleichsetzen:

f (x) = a b

Mit dieser Technik werden wir nun logarithmische Gleichungen lösen variable Basis. So lass uns gehen!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Was weiter? Jemand wird jetzt sagen, dass Sie den richtigen Logarithmus berechnen oder ihn auf die gleiche Basis reduzieren müssen oder etwas anderes. Und tatsächlich müssen wir jetzt beide Basen auf die gleiche Form bringen – entweder 2 oder 0,5. Aber lernen wir ein für alle Mal die folgende Regel:

Wenn eine logarithmische Gleichung enthält Dezimalstellen, stellen Sie sicher, dass Sie diese Brüche von der Dezimalschreibweise in gewöhnliche umwandeln. Diese Transformation kann die Lösung erheblich vereinfachen.

Ein solcher Übergang muss sofort durchgeführt werden, noch bevor irgendwelche Aktionen oder Transformationen durchgeführt werden. Werfen wir einen Blick darauf:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Was bringt uns eine solche Aufzeichnung? Wir können 1/2 und 1/8 als Potenzen mit negativem Exponenten darstellen:

[Bildunterschrift]

Vor uns liegt die kanonische Form. Wir setzen die Argumente gleich und erhalten die klassische quadratische Gleichung:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Wir haben die folgende quadratische Gleichung vor uns, die mit den Formeln von Vieta leicht gelöst werden kann. In der High School sollten Sie ähnliche Darstellungen buchstäblich mündlich sehen:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Das ist alles! Die ursprüngliche logarithmische Gleichung wurde gelöst. Wir haben zwei Wurzeln.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es in diesem Fall nicht notwendig ist, den Definitionsbereich zu bestimmen, da die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vorhanden ist. Daher wird der Definitionsbereich automatisch durchgeführt.

Damit ist die erste Gleichung gelöst. Kommen wir zum zweiten:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Beachten Sie nun, dass das Argument des ersten Logarithmus auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden kann: 1/2 = 2 −1. Dann können Sie die Potenzen auf beiden Seiten der Gleichung herausnehmen und alles durch −1 dividieren:

[Bildunterschrift]

Und jetzt haben wir sehr viel erreicht wichtiger Schritt beim Lösen einer logarithmischen Gleichung. Vielleicht hat jemand etwas nicht bemerkt, also lass es mich erklären.

Schauen Sie sich unsere Gleichung an: Sowohl links als auch rechts gibt es ein Logarithmuszeichen, aber links gibt es einen Logarithmus zur Basis 2 und rechts einen Logarithmus zur Basis 3. Drei ist keine ganzzahlige Potenz von zwei und umgekehrt kann man nicht schreiben, dass 2 in ganzzahligen Graden 3 ist.

Es handelt sich also um Logarithmen mit unterschiedlicher Basis, die nicht durch bloße Potenzbildung aufeinander reduziert werden können. Die einzige Möglichkeit, solche Probleme zu lösen, besteht darin, einen dieser Logarithmen loszuwerden. In diesem Fall überlegen wir uns da noch durchaus einfache Aufgaben, der Logarithmus auf der rechten Seite wurde einfach berechnet und wir erhielten die einfachste Gleichung – genau die, über die wir gleich zu Beginn der heutigen Lektion gesprochen haben.

Stellen wir die Zahl 2, die rechts steht, als log 2 2 2 = log 2 4 dar. Und dann entfernen wir das Logarithmuszeichen, woraufhin uns einfach eine quadratische Gleichung übrig bleibt:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Wir haben eine gewöhnliche quadratische Gleichung vor uns, die jedoch nicht reduziert wird, da der Koeffizient von x 2 von Eins verschieden ist. Deshalb werden wir es mit einer Diskriminante lösen:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Das ist alles! Wir haben beide Wurzeln gefunden, was bedeutet, dass wir eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung erhalten haben. Tatsächlich kommt im ursprünglichen Problem die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vor. Folglich sind keine zusätzlichen Überprüfungen des Definitionsbereichs erforderlich – beide Wurzeln, die wir gefunden haben, erfüllen sicherlich alle möglichen Einschränkungen.

Dies könnte das Ende der heutigen Videolektion sein, aber abschließend möchte ich noch einmal sagen: Stellen Sie sicher, dass Sie beim Lösen logarithmischer Gleichungen alle Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln. In den meisten Fällen vereinfacht dies ihre Lösung erheblich.

Selten, sehr selten, stoßen Sie auf Probleme, bei denen das Entfernen von Dezimalbrüchen die Berechnungen nur erschwert. Bei solchen Gleichungen ist jedoch in der Regel zunächst klar, dass auf Dezimalbrüche nicht verzichtet werden muss.

In den meisten anderen Fällen (insbesondere, wenn Sie gerade erst anfangen, das Lösen logarithmischer Gleichungen zu üben) können Sie die Dezimalzahlen einfach weglassen und sie in gewöhnliche Zahlen umwandeln. Denn die Praxis zeigt, dass Sie auf diese Weise die spätere Lösung und Berechnung deutlich vereinfachen.

Feinheiten und Tricks der Lösung

Heute wenden wir uns komplexeren Problemen zu und lösen eine logarithmische Gleichung, die nicht auf einer Zahl, sondern auf einer Funktion basiert.

Und selbst wenn diese Funktion linear ist, müssen kleine Änderungen am Lösungsschema vorgenommen werden, deren Bedeutung auf zusätzliche Anforderungen hinausläuft, die an den Definitionsbereich des Logarithmus gestellt werden.

Komplexe Aufgaben

Dieses Tutorial wird ziemlich lang sein. Darin werden wir zwei ziemlich schwerwiegende logarithmische Gleichungen analysieren, bei deren Lösung viele Schüler Fehler machen. Während meiner Tätigkeit als Mathe-Nachhilfelehrer bin ich ständig auf zwei Arten von Fehlern gestoßen:

1. Das Auftreten zusätzlicher Wurzeln aufgrund der Erweiterung des Definitionsbereichs von Logarithmen. Um solche beleidigenden Fehler zu vermeiden, überwachen Sie einfach jede Transformation sorgfältig.
2. Verlust der Wurzeln aufgrund der Tatsache, dass der Schüler vergessen hat, einige „subtile“ Fälle zu berücksichtigen – auf diese Situationen werden wir uns heute konzentrieren.

Das letzte Stunde, gewidmet logarithmischen Gleichungen. Es wird lange dauern, wir werden komplexe logarithmische Gleichungen analysieren. Machen Sie es sich bequem, machen Sie sich einen Tee und los geht's.

Die erste Gleichung sieht ziemlich normal aus:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Beachten wir sofort, dass beide Logarithmen invertierte Kopien voneinander sind. Erinnern wir uns an die wunderbare Formel:

log a b = 1/log b a

Diese Formel weist jedoch eine Reihe von Einschränkungen auf, die sich ergeben, wenn anstelle der Zahlen a und b Funktionen der Variablen x vorhanden sind:

b > 0

1 ≠ a > 0

Diese Anforderungen gelten für die Basis des Logarithmus. Andererseits muss in einem Bruch 1 ≠ a > 0 gelten, da nicht nur die Variable a im Argument des Logarithmus enthalten ist (daher a > 0), sondern der Logarithmus selbst im Nenner des Bruchs steht . Aber log b 1 = 0 und der Nenner muss ungleich Null sein, also a ≠ 1.

Die Einschränkungen für die Variable a bleiben also bestehen. Aber was passiert mit der Variablen b? Einerseits impliziert die Basis b > 0, andererseits ist die Variable b ≠ 1, da die Basis des Logarithmus von 1 verschieden sein muss. Insgesamt folgt aus der rechten Seite der Formel, dass 1 ≠ b > 0.

Aber hier liegt das Problem: Die zweite Voraussetzung (b ≠ 1) fehlt in der ersten Ungleichung, die sich mit dem Linkslogarithmus befasst. Mit anderen Worten, wenn wir diese Transformation durchführen, müssen wir separat prüfen, dass das Argument b von eins verschieden ist!

Also schauen wir es uns an. Wenden wir unsere Formel an:

[Bildunterschrift]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Wir haben also bereits aus der ursprünglichen logarithmischen Gleichung abgeleitet, dass sowohl a als auch b größer als 0 und nicht gleich 1 sein müssen. Das bedeutet, dass wir die logarithmische Gleichung leicht umkehren können:

Ich schlage vor, eine neue Variable einzuführen:

log x + 1 (x − 0,5) = t

In diesem Fall wird unsere Konstruktion wie folgt umgeschrieben:

(t 2 − 1)/t = 0

Beachten Sie, dass wir im Zähler die Differenz der Quadrate haben. Wir zeigen die Differenz der Quadrate mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformel auf:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner ungleich Null ist. Da der Zähler jedoch ein Produkt enthält, setzen wir jeden Faktor mit Null gleich:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

Wie wir sehen, passen beide Werte der Variablen t zu uns. Damit endet die Lösung jedoch nicht, denn wir müssen nicht t, sondern den Wert von x finden. Wir kehren zum Logarithmus zurück und erhalten:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Lassen Sie uns jede dieser Gleichungen in kanonische Form bringen:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Im ersten Fall verzichten wir auf das Logarithmuszeichen und setzen die Argumente gleich:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Eine solche Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat auch die erste logarithmische Gleichung keine Wurzeln. Aber mit der zweiten Gleichung ist alles viel interessanter:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Wenn wir den Anteil auflösen, erhalten wir:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es beim Lösen logarithmischer Gleichungen viel bequemer ist, alle Dezimalbrüche als gewöhnliche Brüche zu verwenden. Schreiben wir unsere Gleichung also wie folgt um:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Wir haben die folgende quadratische Gleichung vor uns, sie kann leicht mit den Formeln von Vieta gelöst werden:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Wir haben zwei Wurzeln – sie sind Kandidaten für die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Um zu verstehen, welche Wurzeln tatsächlich in die Antwort einfließen, kehren wir zum ursprünglichen Problem zurück. Jetzt überprüfen wir jede unserer Wurzeln, um zu sehen, ob sie in den Definitionsbereich passt:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Diese Anforderungen kommen einer doppelten Ungleichung gleich:

1 ≠ x > 0,5

Von hier aus sehen wir sofort, dass die Wurzel x = −1,5 nicht zu uns passt, x = 1 aber ganz gut zu uns passt. Daher ist x = 1 die endgültige Lösung der logarithmischen Gleichung.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Log x 25 + Log 125 x 5 = Log 25 x 625

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass alle Logarithmen unterschiedliche Grundlagen und unterschiedliche Argumente haben. Was tun mit solchen Strukturen? Beachten Sie zunächst, dass die Zahlen 25, 5 und 625 Fünferpotenzen sind:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Machen wir uns nun die wunderbare Eigenschaft des Logarithmus zunutze. Der Punkt ist, dass Sie Potenzen aus einem Argument in Form von Faktoren extrahieren können:

log a b n = n ∙ log a b

Auch für den Fall, dass b durch eine Funktion ersetzt wird, unterliegt diese Transformation Einschränkungen. Aber für uns ist b nur eine Zahl und es ergeben sich keine zusätzlichen Einschränkungen. Schreiben wir unsere Gleichung um:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Wir haben eine Gleichung mit drei Termen erhalten, die das Log-Zeichen enthalten. Darüber hinaus sind die Argumente aller drei Logarithmen gleich.

Es ist an der Zeit, die Logarithmen umzukehren, um sie auf die gleiche Basis zu bringen – 5. Da die Variable b eine Konstante ist, treten keine Änderungen im Definitionsbereich auf. Wir schreiben einfach um:

[Bildunterschrift]

Wie erwartet tauchten im Nenner die gleichen Logarithmen auf. Ich schlage vor, die Variable zu ersetzen:

log 5 x = t

In diesem Fall wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

Schreiben wir den Zähler aus und öffnen die Klammern:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Kehren wir zu unserer Fraktion zurück. Der Zähler muss Null sein:

[Bildunterschrift]

Und der Nenner ist von Null verschieden:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Die letzten Anforderungen werden automatisch erfüllt, da sie alle an ganze Zahlen „gebunden“ sind und alle Antworten irrational sind.

Also, gebrochene rationale Gleichung gelöst, werden die Werte der Variablen t gefunden. Kehren wir zur Lösung der logarithmischen Gleichung zurück und erinnern uns daran, was t ist:

[Bildunterschrift]

Wir reduzieren diese Gleichung auf die kanonische Form und erhalten eine Zahl mit irrationalem Grad. Lassen Sie sich davon nicht verwirren – selbst solche Argumente können gleichgesetzt werden:

[Bildunterschrift]

Wir haben zwei Wurzeln. Genauer gesagt, zwei Kandidatenantworten – überprüfen wir sie auf Übereinstimmung mit dem Definitionsbereich. Da die Basis des Logarithmus die Variable x ist, benötigen wir Folgendes:

1 ≠ x > 0;

Mit dem gleichen Erfolg behaupten wir, dass x ≠ 1/125, sonst wird die Basis des zweiten Logarithmus zu Eins. Schließlich ist x ≠ 1/25 für den dritten Logarithmus.

Insgesamt haben wir vier Einschränkungen erhalten:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Die Frage ist nun: Erfüllen unsere Wurzeln diese Anforderungen? Natürlich befriedigen sie! Weil 5 hoch zu jeder Potenz größer als Null ist und die Anforderung x > 0 automatisch erfüllt ist.

Andererseits gilt: 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, was bedeutet, dass diese Einschränkungen für unsere Wurzeln (die, ich möchte Sie daran erinnern, eine irrationale Zahl im Exponenten haben) sind auch zufrieden, und beide Antworten sind Lösungen für das Problem.

Wir haben also die endgültige Antwort. Wichtige Punkte Bei diesem Problem gibt es zwei:

1. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie einen Logarithmus umdrehen, wenn Argument und Basis vertauscht sind. Solche Transformationen führen zu unnötigen Einschränkungen des Definitionsbereichs.
2. Haben Sie keine Angst, Logarithmen umzuwandeln: Sie können sie nicht nur umdrehen, sondern auch mit der Summenformel öffnen und im Allgemeinen mit allen Formeln ändern, die Sie beim Lösen studiert haben logarithmische Ausdrücke. Denken Sie jedoch immer daran: Manche Transformationen erweitern den Definitionsbereich, andere schränken ihn ein.

Wir alle kennen Gleichungen Grundschulklassen. Dort haben wir auch gelernt, die einfachsten Beispiele zu lösen, und wir müssen zugeben, dass sie sogar in Anwendung finden höhere Mathematik. Mit Gleichungen ist alles einfach, auch mit quadratischen Gleichungen. Wenn Sie Probleme mit diesem Thema haben, empfehlen wir Ihnen dringend, es zu lesen.

Wahrscheinlich haben Sie auch schon Logarithmen durchgemacht. Wir halten es jedoch für wichtig, denjenigen, die es noch nicht wissen, zu sagen, was es ist. Ein Logarithmus entspricht der Potenz, mit der die Basis erhöht werden muss, um die Zahl rechts vom Logarithmuszeichen zu erhalten. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, anhand dessen Ihnen alles klar wird.

Wenn Sie 3 in die vierte Potenz erhöhen, erhalten Sie 81. Ersetzen Sie nun die Zahlen durch Analogie und Sie werden endlich verstehen, wie Logarithmen gelöst werden. Jetzt müssen nur noch die beiden besprochenen Konzepte kombiniert werden. Zunächst scheint die Situation äußerst kompliziert zu sein, doch bei näherer Betrachtung ergibt sich ein klares Bild. Wir sind sicher, dass Sie nach diesem kurzen Artikel in diesem Teil des Einheitlichen Staatsexamens keine Probleme mehr haben werden.

Heutzutage gibt es viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Wir informieren Sie über die einfachsten, effektivsten und am besten anwendbaren Aufgaben im Rahmen des Einheitlichen Staatsexamens. Die Lösung logarithmischer Gleichungen muss von vorne beginnen. einfaches Beispiel. Die einfachsten logarithmischen Gleichungen bestehen aus einer Funktion und einer darin enthaltenen Variablen.

Es ist wichtig zu beachten, dass x innerhalb des Arguments steht. A und b müssen Zahlen sein. In diesem Fall können Sie die Funktion einfach durch eine Potenz einer Zahl ausdrücken. Es sieht aus wie das.

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung mit dieser Methode lösen, erhalten Sie natürlich die richtige Antwort. Das Problem für die allermeisten Studierenden besteht dabei darin, dass sie nicht verstehen, was woher kommt. Dadurch muss man Fehler in Kauf nehmen und erhält nicht die gewünschten Punkte. Der beleidigendste Fehler wird sein, wenn Sie die Buchstaben verwechseln. Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, müssen Sie sich diese Standardschulformel merken, da sie schwer zu verstehen ist.

Um es einfacher zu machen, können Sie auf eine andere Methode zurückgreifen – die kanonische Form. Die Idee ist äußerst einfach. Konzentrieren Sie sich wieder auf das Problem. Denken Sie daran, dass der Buchstabe a eine Zahl ist, keine Funktion oder Variable. A ist ungleich eins und größer als null. Es gibt keine Einschränkungen für b. Erinnern wir uns nun an eine von allen Formeln. B kann wie folgt ausgedrückt werden.

Daraus folgt, dass alle Originalgleichungen mit Logarithmen in der Form dargestellt werden können:

Jetzt können wir die Logarithmen weglassen. Es klappt einfaches Design, was wir bereits früher gesehen haben.

Der Vorteil dieser Formel liegt darin, dass sie in einer Vielzahl von Fällen und nicht nur für die einfachsten Designs verwendet werden kann.

Machen Sie sich keine Sorgen wegen OOF!

Vielen erfahrenen Mathematikern wird auffallen, dass wir dem Definitionsbereich keine Beachtung geschenkt haben. Die Regel läuft darauf hinaus, dass F(x) notwendigerweise größer als 0 ist. Nein, diesen Punkt haben wir nicht übersehen. Jetzt sprechen wir über einen weiteren gravierenden Vorteil der kanonischen Form.

Hier wird es keine zusätzlichen Wurzeln geben. Wenn eine Variable nur an einer Stelle erscheint, ist kein Gültigkeitsbereich erforderlich. Dies geschieht automatisch. Um dieses Urteil zu überprüfen, versuchen Sie, mehrere einfache Beispiele zu lösen.

So lösen Sie logarithmische Gleichungen mit unterschiedlichen Basen

Dabei handelt es sich bereits um komplexe logarithmische Gleichungen, und der Lösungsansatz muss speziell sein. Hier ist es selten möglich, sich auf die berüchtigte kanonische Form zu beschränken. Beginnen wir mit unserem ausführliche Geschichte. Wir haben die folgende Konstruktion.

Achten Sie auf den Bruch. Es enthält den Logarithmus. Wenn Sie dies in einer Aufgabe sehen, sollten Sie sich einen interessanten Trick merken.

Was bedeutet das? Jeder Logarithmus kann als Quotient zweier Logarithmen mit einer geeigneten Basis dargestellt werden. Und diese Formel hat einen Sonderfall, der auf dieses Beispiel anwendbar ist (wir meinen, wenn c=b).

Dies ist genau der Bruch, den wir in unserem Beispiel sehen. Auf diese Weise.

Im Wesentlichen haben wir den Bruch umgedreht und einen bequemeren Ausdruck erhalten. Denken Sie an diesen Algorithmus!

Jetzt brauchen wir, dass die logarithmische Gleichung nicht enthalten ist verschiedene Gründe. Stellen wir die Basis als Bruch dar.

In der Mathematik gibt es eine Regel, nach der man aus einer Basis einen Abschluss ableiten kann. Es ergibt sich folgende Konstruktion.

Es scheint, was hindert uns jetzt daran, unseren Ausdruck in die kanonische Form zu bringen und ihn einfach zu lösen? Nicht so einfach. Vor dem Logarithmus sollten keine Brüche stehen. Lassen Sie uns diese Situation beheben! Als Grade dürfen Brüche verwendet werden.

Jeweils.

Wenn die Basen gleich sind, können wir die Logarithmen entfernen und die Ausdrücke selbst gleichsetzen. Auf diese Weise wird die Situation viel einfacher als sie war. Wird bleiben Elementargleichung, das jeder von uns schon in der 8. oder sogar 7. Klasse zu lösen wusste. Sie können die Berechnungen selbst durchführen.

Wir haben die einzig richtige Wurzel dieser logarithmischen Gleichung erhalten. Beispiele für die Lösung einer logarithmischen Gleichung sind recht einfach, nicht wahr? Jetzt sind Sie in der Lage, auch die komplexesten Aufgaben zur Vorbereitung und zum Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens selbstständig zu bewältigen.

Was ist das Ergebnis?

Bei allen logarithmischen Gleichungen beginnen wir bei eins wichtige Regel. Es ist notwendig, so zu handeln, dass der Ausdruck maximal wird einfache Ansicht. In diesem Fall haben Sie eine bessere Chance, die Aufgabe nicht nur richtig, sondern auch auf die einfachste und logischste Art und Weise zu lösen. Genau so arbeiten Mathematiker immer.

Wir raten dringend davon ab, schwierige Wege zu suchen, insbesondere in diesem Fall. Merken Sie sich ein paar einfache Regeln, mit dem Sie jeden Ausdruck umwandeln können. Reduzieren Sie beispielsweise zwei oder drei Logarithmen auf die gleiche Basis oder leiten Sie eine Potenz von der Basis ab und gewinnen Sie dabei.

Denken Sie auch daran, dass das Lösen logarithmischer Gleichungen ständige Übung erfordert. Nach und nach werden Sie zu immer komplexeren Strukturen übergehen und so alle Problemvarianten des Einheitlichen Staatsexamens souverän lösen. Bereiten Sie sich rechtzeitig auf Ihre Prüfungen vor und wünschen Ihnen viel Erfolg!

Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist eine logarithmische Gleichung?

Dies ist eine Gleichung mit Logarithmen. Ich bin überrascht, oder?) Dann werde ich es klarstellen. Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen gefunden werden innerhalb von Logarithmen. Und nur dort! Es ist wichtig.

Hier sind einige Beispiele logarithmische Gleichungen:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nun ja, du verstehst... )

Beachten Sie! Es werden die unterschiedlichsten Ausdrücke mit X's lokalisiert ausschließlich innerhalb von Logarithmen. Wenn plötzlich irgendwo in der Gleichung ein X auftaucht draußen, Zum Beispiel:

log 2 x = 3+x,

das wird eine Gleichung sein gemischter Typ. Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Übrigens gibt es Gleichungen, bei denen die Logarithmen innerhalb liegen nur Zahlen. Zum Beispiel:

Was kann ich sagen? Sie haben Glück, wenn Sie darauf stoßen! Logarithmus mit Zahlen ist irgendeine Zahl. Und alle. Um eine solche Gleichung zu lösen, reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen. Kenntnis spezieller Regeln und speziell für die Lösung angepasster Techniken logarithmische Gleichungen, hier nicht erforderlich.

Also, Was ist eine logarithmische Gleichung?- Wir haben es herausgefunden.

Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Lösung logarithmische Gleichungen- Die Sache ist eigentlich nicht ganz einfach. Unser Abschnitt besteht also aus vier... Ein angemessenes Maß an Wissen zu allen möglichen verwandten Themen ist erforderlich. Darüber hinaus gibt es in diesen Gleichungen eine Besonderheit. Und diese Funktion ist so wichtig, dass sie getrost als Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen bezeichnet werden kann. Mit diesem Problem werden wir uns in der nächsten Lektion ausführlich befassen.

Machen Sie sich vorerst keine Sorgen. Wir werden den richtigen Weg gehen von einfach bis komplex. An konkrete Beispiele. Die Hauptsache ist, sich mit einfachen Dingen zu befassen und nicht faul zu sein, den Links zu folgen, ich habe sie aus einem bestimmten Grund dort platziert ... Und alles wird für Sie klappen. Notwendig.

Beginnen wir mit den elementarsten und einfachsten Gleichungen. Um sie zu lösen, ist es ratsam, eine Vorstellung vom Logarithmus zu haben, mehr aber nicht. Einfach keine Ahnung Logarithmus, eine Entscheidung treffen logarithmisch Gleichungen - irgendwie sogar umständlich... Sehr gewagt, würde ich sagen).

Die einfachsten logarithmischen Gleichungen.

Dies sind Gleichungen der Form:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Lösungsprozess jede logarithmische Gleichung besteht im Übergang von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne Logarithmen. In den einfachsten Gleichungen erfolgt dieser Übergang in einem Schritt. Deshalb sind sie die einfachsten.)

Und solche logarithmischen Gleichungen sind überraschend einfach zu lösen. Überzeugen Sie sich selbst.

Lösen wir das erste Beispiel:

log 3 x = log 3 9

Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie fast nichts wissen, ja... reine Intuition!) Was brauchen wir? besonders gefällt Ihnen dieses Beispiel nicht? Was-was... Ich mag keine Logarithmen! Rechts. Also lasst uns sie loswerden. Wir schauen uns das Beispiel genau an und in uns entsteht ein natürliches Verlangen... Geradezu unwiderstehlich! Nehmen Sie Logarithmen und werfen Sie sie ganz weg. Und was gut ist, ist das Kann Tun! Mathematik erlaubt. Logarithmen verschwinden die Antwort ist:

Großartig, oder? Das kann (und sollte) immer gemacht werden. Die Eliminierung von Logarithmen auf diese Weise ist eine der Hauptmethoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik heißt diese Operation Potenzierung. Natürlich gibt es Regeln für eine solche Liquidation, aber es gibt nur wenige. Erinnern:

Sie können Logarithmen bedenkenlos eliminieren, wenn sie Folgendes haben:

a) die gleichen Zahlenbasen

c) Logarithmen von links nach rechts sind rein (ohne Koeffizienten) und befinden sich in hervorragender Isolation.

Lassen Sie mich den letzten Punkt klarstellen. Sagen wir in der Gleichung

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logarithmen können nicht entfernt werden. Die beiden auf der rechten Seite erlauben es nicht. Der Koeffizient, wissen Sie ... Im Beispiel

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Es ist auch unmöglich, die Gleichung zu potenzieren. Auf der linken Seite gibt es keinen einsamen Logarithmus. Es gibt zwei davon.

Kurz gesagt, Sie können Logarithmen entfernen, wenn die Gleichung so und nur so aussieht:

log a (.....) = log a (.....)

In Klammern stehen möglicherweise Auslassungspunkte irgendwelche Ausdrücke. Einfach, superkomplex, alles Mögliche. Was auch immer. Wichtig ist, dass wir nach Eliminierung der Logarithmen übrig bleiben einfachere Gleichung. Es wird natürlich vorausgesetzt, dass Sie bereits wissen, wie man lineare, quadratische, gebrochene, exponentielle und andere Gleichungen ohne Logarithmen löst.)

Jetzt können Sie das zweite Beispiel ganz einfach lösen:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Eigentlich wird es im Kopf entschieden. Wir potenzieren, wir bekommen:

Nun, ist es sehr schwierig?) Wie Sie sehen können, logarithmisch Teil der Lösung der Gleichung ist nur bei der Eliminierung von Logarithmen ... Und dann kommt die Lösung der verbleibenden Gleichung ohne sie. Eine triviale Angelegenheit.

Lösen wir das dritte Beispiel:

log 7 (50x-1) = 2

Wir sehen, dass links ein Logarithmus steht:

Erinnern wir uns daran, dass dieser Logarithmus eine Zahl ist, auf die die Basis erhöht werden muss (d. h. sieben), um einen sublogarithmischen Ausdruck zu erhalten, d. h. (50x-1).

Aber diese Zahl ist zwei! Nach Gl. Das ist:

Das ist im Grunde alles. Logarithmus verschwunden,Übrig bleibt eine harmlose Gleichung:

Wir haben diese logarithmische Gleichung nur basierend auf der Bedeutung des Logarithmus gelöst. Ist es noch einfacher, Logarithmen zu eliminieren?) Ich stimme zu. Wenn man aus zwei einen Logarithmus macht, kann man dieses Beispiel übrigens durch Elimination lösen. Jede Zahl kann logarithmiert werden. Darüber hinaus so, wie wir es brauchen. Eine sehr nützliche Technik zum Lösen logarithmischer Gleichungen und (insbesondere!) Ungleichungen.

Sie wissen nicht, wie man aus einer Zahl einen Logarithmus macht!? Macht nichts. Abschnitt 555 beschreibt diese Technik ausführlich. Sie können es beherrschen und in vollem Umfang nutzen! Dadurch wird die Anzahl der Fehler erheblich reduziert.

Die vierte Gleichung wird (per Definition) auf völlig ähnliche Weise gelöst:

Das ist es.

Fassen wir diese Lektion zusammen. Wir haben uns anhand von Beispielen die Lösung einfachster logarithmischer Gleichungen angesehen. Es ist sehr wichtig. Und das nicht nur, weil solche Gleichungen in Tests und Prüfungen auftauchen. Tatsache ist, dass selbst die bösesten und kompliziertesten Gleichungen zwangsläufig auf die einfachsten reduziert werden!

Tatsächlich sind die einfachsten Gleichungen der letzte Teil der Lösung beliebig Gleichungen. Und dieser letzte Teil muss genau verstanden werden! Und weiter. Lesen Sie diese Seite unbedingt bis zum Ende durch. Da gibt es eine Überraschung...)

Jetzt entscheiden wir selbst. Lasst uns sozusagen besser werden...)

Finden Sie die Wurzel (oder die Summe der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichungen:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 · 7 + 2

Antworten (natürlich durcheinander): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Was, nicht alles klappt? Das passiert. Mach dir keine Sorge! Abschnitt 555 erläutert die Lösung für alle diese Beispiele klar und detailliert. Da wirst du es auf jeden Fall herausfinden. Außerdem erlernen Sie nützliche praktische Techniken.

Es hat alles geklappt!? Alle Beispiele für „one left“?) Herzlichen Glückwunsch!

Es ist Zeit, Ihnen die bittere Wahrheit zu enthüllen. Die erfolgreiche Lösung dieser Beispiele garantiert nicht den Erfolg bei der Lösung aller anderen logarithmischen Gleichungen. Sogar die einfachsten wie diese. Ach.

Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung (auch der elementarsten!) besteht aus zwei gleiche Teile. Die Gleichung lösen und mit ODZ arbeiten. Einen Teil beherrschen wir – das Lösen der Gleichung selbst. Es ist nicht so schwer Rechts?

Für diese Lektion habe ich speziell Beispiele ausgewählt, bei denen DL keinen Einfluss auf die Antwort hat. Aber nicht jeder ist so nett wie ich, oder?...)

Daher ist es zwingend erforderlich, den anderen Teil zu beherrschen. ODZ. Dies ist das Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen. Und das nicht, weil es schwierig ist – dieser Teil ist sogar einfacher als der erste. Aber weil die Leute ODZ einfach vergessen. Oder sie wissen es nicht. Oder beides). Und sie fallen aus heiterem Himmel ...

In der nächsten Lektion werden wir uns mit diesem Problem befassen. Dann können Sie getrost entscheiden beliebig einfache logarithmische Gleichungen lösen und recht solide Aufgaben lösen.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Logarithmische Ausdrücke, Lösungsbeispiele. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen befassen. Bei den Aufgaben geht es darum, die Bedeutung eines Ausdrucks herauszufinden. Es ist zu beachten, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Was das Einheitliche Staatsexamen betrifft, wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen, bei angewandten Problemen und auch bei Aufgaben im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen verwendet.

Lassen Sie uns Beispiele geben, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Grundlegende logarithmische Identität:

Eigenschaften von Logarithmen, die man sich immer merken muss:

*Logarithmus des Produkts gleich der Summe Logarithmen von Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus eines Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus eines Exponenten ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.

* * *

*Übergang zu einer neuen Stiftung

* * *

Weitere Eigenschaften:

* * *

Die Berechnung von Logarithmen hängt eng mit der Verwendung von Exponenteneigenschaften zusammen.

Lassen Sie uns einige davon auflisten:

Der Kern dieser Eigenschaft besteht darin, dass sich bei der Übertragung des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten in das Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Eine Folgerung aus dieser Eigenschaft:

* * *

Bei der Potenzierung bleibt die Basis gleich, die Exponenten werden jedoch multipliziert.

* * *

Wie Sie gesehen haben, ist das Konzept eines Logarithmus selbst einfach. Die Hauptsache ist, was benötigt wird gute Übung, was eine gewisse Fähigkeit verleiht. Natürlich sind Formelkenntnisse erforderlich. Wenn die Fähigkeit zur Umrechnung elementarer Logarithmen nicht entwickelt ist, können Sie beim Lösen einfacher Aufgaben leicht einen Fehler machen.

Üben Sie, lösen Sie zunächst die einfachsten Beispiele aus dem Mathematikkurs und gehen Sie dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie „hässliche“ Logarithmen gelöst werden; diese werden im Einheitlichen Staatsexamen nicht auftauchen, aber sie sind von Interesse, verpassen Sie sie nicht!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.