So finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion. Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiele für Lösungen

In diesem Artikel werden wir über ein so wichtiges mathematisches Konzept wie eine komplexe Funktion sprechen und lernen, wie man die Ableitung findet komplexe Funktion.

Bevor wir lernen, die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, wollen wir das Konzept einer komplexen Funktion verstehen, was sie ist, „womit sie gegessen wird“ und „wie man sie richtig kocht“.

Betrachten Sie eine beliebige Funktion, zum Beispiel diese:

Beachten Sie, dass das Argument auf der rechten und linken Seite der Funktionsgleichung dieselbe Zahl oder denselben Ausdruck ist.

Anstelle einer Variablen können wir beispielsweise den folgenden Ausdruck eingeben: . Und dann bekommen wir die Funktion

Nennen wir den Ausdruck ein Zwischenargument und die Funktion eine äußere Funktion. Es ist nicht streng mathematische Konzepte, aber sie helfen, die Bedeutung des Konzepts einer komplexen Funktion zu verstehen.

Eine strenge Definition des Konzepts einer komplexen Funktion klingt wie folgt:

Eine Funktion sei auf einer Menge definiert und sei die Wertemenge dieser Funktion. Die Menge (oder ihre Teilmenge) sei der Definitionsbereich der Funktion. Weisen wir jedem von ihnen eine Nummer zu. Somit wird die Funktion auf der Menge definiert. Man nennt sie Funktionskomposition oder komplexe Funktion.

Wenn wir in dieser Definition unsere Terminologie verwenden, - externe Funktion ist ein Zwischenargument.

Die Ableitung einer komplexen Funktion wird nach folgender Regel ermittelt:

Um es klarer zu machen, schreibe ich diese Regel gerne wie folgt:

In diesem Ausdruck bezeichnet using eine Zwischenfunktion.

Also. Um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, benötigen Sie

1. Bestimmen Sie, welche Funktion extern ist, und finden Sie die entsprechende Ableitung aus der Ableitungstabelle.

2. Definieren Sie ein Zwischenargument.

Bei diesem Verfahren besteht die größte Schwierigkeit darin, die äußere Funktion zu finden. Hierzu wird ein einfacher Algorithmus verwendet:

A. Schreiben Sie die Gleichung der Funktion auf.

B. Stellen Sie sich vor, Sie müssen den Wert einer Funktion für einen Wert von x berechnen. Dazu setzen Sie diesen Wert von x in die Funktionsgleichung ein und erzeugen Rechenoperationen. Die letzte Aktion, die Sie ausführen, ist die externe Funktion.

Zum Beispiel in der Funktion

Die letzte Aktion ist die Potenzierung.

Finden wir die Ableitung dieser Funktion. Dazu schreiben wir ein Zwischenargument

Erste Ebene

Ableitung einer Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als sie.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der x-Achse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Mengen Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinatenachse).

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix verwendet und bedeutet „Veränderung“. Das heißt, dies ist eine Mengenänderung, eine Änderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhe nahezu gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn ein Mast mitten auf der Straße steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und immer noch unendlich Außerdem was wird passieren. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen infinitesimalen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass „unendlich klein“ nicht gleichbedeutend ist gleich Null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher zwischen negativ und positive Werte Das muss es auf jeden Fall geben. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
2. Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten mit demselben Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

1. . Sie werden es nicht glauben, aber das hier Power-Funktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist das? Wo ist der Abschluss?“, denken Sie an das Thema „“!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein Bruch: .
   Das bedeutet, dass unsere Quadratwurzel nur eine Potenz mit einem Exponenten ist:
   .
   Wir suchen die Ableitung mithilfe der kürzlich erlernten Formel:

   Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!!“ (ungefähr ein Grad mit negativem Exponenten)

2. . Nun der Exponent:

   Und nun zur Definition (schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher liegt die Funktion an diesem „Ziel“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Finden wir zunächst die Ableitung in Gesamtansicht, und ersetzen Sie dann seinen Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir so etwas wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Großartig, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeee.....Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen noch nicht, wie man solche Derivate findet. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht zu weit gehen, schauen wir es uns gleich an Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung von Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Ableitung von natürlicher Logarithmus auch ganz einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponential- und der natürliche Logarithmus sind aus abgeleiteter Sicht einzigartig einfache Funktionen. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

1. an einem Punkt;
2. an einem Punkt;
3. an einem Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da dies lineare Funktion, erinnern?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen die Ableitung der Funktion bereits, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dafür werden wir verwenden einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht mehr aufgeschrieben werden kann in einfacher Form. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um beispielsweise einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte ausführen umgekehrte Reihenfolge.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte leicht in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadriert man es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

1. Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus auch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (wir geben die Schokolade in eine mit Umschlag und Schleife in der Aktentasche). Aber es gibt keinen Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Reihenfolge der Aktion festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Nach vorläufiger Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsverschachtelungen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen für manche kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird darunter leiden), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts VERSTEHEN Sie Ihre Investitionen. Im Zweifelsfall erinnere ich Sie an eine nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert von „x“ und versuchen (mental oder in einem Entwurf), diesen Wert durch den „schrecklichen Ausdruck“ zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, was bedeutet, dass die Summe die tiefste Einbettung ist.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Würfeln Sie dann den Kosinus:

5) Im fünften Schritt der Unterschied:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Formel zur Differenzierung einer komplexen Funktion werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Es scheint keine Fehler zu geben:

1) Bilden Sie die Ableitung der Quadratwurzel.

2) Bilden Sie die Ableitung der Differenz mithilfe der Regel

3) Die Ableitung eines Tripels ist Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).

4) Bilden Sie die Ableitung des Kosinus.

6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Einbettung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden die ganze Schönheit und Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie in einer Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob ein Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt, oder nicht.

Das folgende Beispiel ist für unabhängige Entscheidung.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitätsregeln und die Produktdifferenzierungsregel an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kleinerem und Schönerem überzugehen.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Beispiel nicht das Produkt von zwei, sondern von drei Funktionen zeigt. Wie finde ich die Ableitung des Produkts aus drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns zunächst an: Ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in das Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Im betrachteten Beispiel sind jedoch alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig der Reihe nach Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick besteht darin, dass wir mit „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: und mit „ve“ den Logarithmus: . Warum ist das möglich? Ist das wirklich - Das ist kein Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:

Man kann immer noch pervers sein und etwas aus Klammern herausnehmen, aber hinein in diesem Fall Es ist besser, die Antwort in diesem Formular zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.

Das betrachtete Beispiel lässt sich auf die zweite Art lösen:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung; im Beispiel wird sie mit der ersten Methode gelöst.

Lassen Sie uns überlegen ähnliche Beispiele mit Brüchen.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere Möglichkeiten, hierher zu gelangen:

Oder so:

Die Lösung wird jedoch kompakter geschrieben, wenn wir zunächst die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , wobei für den gesamten Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn man es so belässt, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, anhand eines Entwurfs zu prüfen, ob die Antwort vereinfacht werden kann.

Reduzieren wir den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und beseitigen wir die dreistöckige Struktur des Bruchs:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht bei der Ermittlung der Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Methoden zur Ermittlung der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem der „schreckliche“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Funktionen eines komplexen Typs passen nicht immer zur Definition einer komplexen Funktion. Wenn es eine Funktion der Form y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 gibt, dann kann sie im Gegensatz zu y = sin 2 x nicht als komplex betrachtet werden.

Dieser Artikel zeigt das Konzept einer komplexen Funktion und ihre Identifizierung. Lassen Sie uns mit Formeln zum Finden der Ableitung mit Lösungsbeispielen im Fazit arbeiten. Die Verwendung der Ableitungstabelle und der Differenzierungsregeln verkürzt die Zeit zum Finden der Ableitung erheblich.

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Grundlegende Definitionen

Definition 1

Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument auch eine Funktion ist.

Es wird so bezeichnet: f (g (x)). Wir haben, dass die Funktion g (x) als Argument f (g (x)) betrachtet wird.

Definition 2

Wenn es eine Funktion f gibt und diese eine Kotangensfunktion ist, dann ist g(x) = ln x die natürliche Logarithmusfunktion. Wir stellen fest, dass die komplexe Funktion f (g (x)) als arctg(lnx) geschrieben wird. Oder eine Funktion f, die eine Funktion in der 4. Potenz ist, wobei g (x) = x 2 + 2 x - 3 als vollständige rationale Funktion betrachtet wird, erhalten wir, dass f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Offensichtlich kann g(x) komplex sein. Aus dem Beispiel y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 wird deutlich, dass der Wert von g die Kubikwurzel des Bruchs hat. Dieser Ausdruck kann als y = f (f 1 (f 2 (x))) bezeichnet werden. Daraus folgt, dass f eine Sinusfunktion ist und f 1 eine darunter liegende Funktion ist Quadratwurzel, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - gebrochene rationale Funktion.

Definition 3

Der Verschachtelungsgrad wird von jedem bestimmt natürliche Zahl und wird geschrieben als y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definition 4

Das Konzept der Funktionskomposition bezieht sich auf die Anzahl der verschachtelten Funktionen entsprechend den Bedingungen des Problems. Verwenden Sie zur Lösung die Formel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion der Form

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion der Form y = (2 x + 1) 2.

Lösung

Die Bedingung zeigt, dass f eine Quadrierungsfunktion ist und g(x) = 2 x + 1 als lineare Funktion betrachtet wird.

Wenden wir die Ableitungsformel für eine komplexe Funktion an und schreiben wir:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Es ist notwendig, die Ableitung mit einer vereinfachten Originalform der Funktion zu finden. Wir bekommen:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Von hier aus haben wir das

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Die Ergebnisse waren die gleichen.

Bei der Lösung von Problemen dieser Art ist es wichtig zu verstehen, wo sich die Funktion der Form f und g (x) befindet.

Beispiel 2

Sie sollten die Ableitungen komplexer Funktionen der Form y = sin 2 x und y = sin x 2 finden.

Lösung

Die erste Funktionsschreibweise besagt, dass f die Quadrierungsfunktion und g(x) die Sinusfunktion ist. Dann verstehen wir das

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Der zweite Eintrag zeigt, dass f eine Sinusfunktion ist und g(x) = x 2 eine Potenzfunktion bezeichnet. Daraus folgt, dass wir das Produkt einer komplexen Funktion schreiben als

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Die Formel für die Ableitung y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) wird geschrieben als y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung der Funktion y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Lösung

Dieses Beispiel zeigt die Schwierigkeit beim Schreiben und Bestimmen der Position von Funktionen. Dann bezeichne y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) wobei f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) die Sinusfunktion ist, die Funktion der Erhöhung bis 3 Grad, Funktion mit Logarithmus und Basis e, Arkustangens und lineare Funktion.

Aus der Formel zur Definition einer komplexen Funktion haben wir das

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Wir bekommen, was wir finden müssen

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) als Ableitung des Sinus gemäß der Ableitungstabelle, dann f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) als Ableitung einer Potenzfunktion, dann f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) als logarithmische Ableitung, dann f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) als Ableitung des Arkustangens, dann ist f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Wenn Sie die Ableitung f 4 (x) = 2 x finden, entfernen Sie 2 aus dem Vorzeichen der Ableitung, indem Sie die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion mit einem Exponenten gleich 1 verwenden, dann f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Wir kombinieren die Zwischenergebnisse und erhalten das

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Die Analyse solcher Funktionen erinnert an Nistpuppen. Differenzierungsregeln können nicht immer explizit mithilfe einer Ableitungstabelle angewendet werden. Oft müssen Sie eine Formel verwenden, um Ableitungen komplexer Funktionen zu finden.

Es gibt einige Unterschiede zwischen komplexem Erscheinungsbild und komplexen Funktionen. Mit einer klaren Unterscheidungsfähigkeit wird es besonders einfach sein, Derivate zu finden.

Beispiel 4

Es ist notwendig, darüber nachzudenken, ein solches Beispiel zu nennen. Wenn es eine Funktion der Form y = t g 2 x + 3 t g x + 1 gibt, dann kann sie als komplexe Funktion der Form g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 betrachtet werden . Offensichtlich ist es notwendig, die Formel für eine komplexe Ableitung zu verwenden:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Eine Funktion der Form y = t g x 2 + 3 t g x + 1 gilt nicht als komplex, da sie die Summe von t g x 2, 3 t g x und 1 hat. Betrachtet man jedoch t g x 2 als komplexe Funktion, dann erhalten wir eine Potenzfunktion der Form g (x) = x 2 und f, die eine Tangensfunktion ist. Differenzieren Sie dazu nach Betrag. Wir verstehen das

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 weil 2 x

Kommen wir zur Ermittlung der Ableitung einer komplexen Funktion (t g x 2)“:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Wir erhalten, dass y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funktionen eines komplexen Typs können in komplexen Funktionen enthalten sein, und komplexe Funktionen selbst können es sein Komponentenfunktionen komplexer Typ.

Beispiel 5

Betrachten Sie zum Beispiel eine komplexe Funktion der Form y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Diese Funktion kann als y = f (g (x)) dargestellt werden, wobei der Wert von f eine Funktion des Logarithmus zur Basis 3 ist und g (x) als Summe zweier Funktionen der Form h (x) = betrachtet wird x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 und k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Offensichtlich ist y = f (h (x) + k (x)).

Betrachten Sie die Funktion h(x). Dies ist das Verhältnis l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 zu m (x) = e x 2 + 3 3

Wir haben, dass l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) die Summe zweier Funktionen n (x) = x 2 + 7 und p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , wobei p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) eine komplexe Funktion mit dem numerischen Koeffizienten 3 und p 1 eine Würfelfunktion ist, p 2 durch eine Kosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 durch eine lineare Funktion.

Wir haben herausgefunden, dass m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) die Summe zweier Funktionen q (x) = e x 2 und r (x) = 3 3 ist, wobei q (x) = q 1 (q 2 (x)) ist eine komplexe Funktion, q 1 ist eine Funktion mit einer Exponentialfunktion, q 2 (x) = x 2 ist eine Potenzfunktion.

Dies zeigt, dass h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3). (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Wenn man zu einem Ausdruck der Form k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) übergeht, ist klar, dass die Funktion in Form eines komplexen s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) mit einer rationalen ganzen Zahl t (x) = x 2 + 1, wobei s 1 eine Quadrierungsfunktion und s 2 (x) = ln x logarithmisch mit ist Basis e.

Daraus folgt, dass der Ausdruck die Form k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) annimmt.

Dann verstehen wir das

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Anhand der Strukturen der Funktion wurde deutlich, wie und welche Formeln zur Vereinfachung des Ausdrucks bei der Differenzierung verwendet werden müssen. Um sich mit solchen Problemen und dem Konzept ihrer Lösung vertraut zu machen, ist es notwendig, sich dem Punkt der Differentiation einer Funktion zuzuwenden, also ihrer Ableitung zu finden.

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Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiele für Lösungen

In dieser Lektion lernen wir, wie man findet Ableitung einer komplexen Funktion. Die Lektion ist eine logische Fortsetzung der Lektion Wie finde ich die Ableitung?, in dem wir die einfachsten Ableitungen untersuchten und uns außerdem mit den Differenzierungsregeln und einigen technischen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut machten. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte in diesem Artikel nicht ganz klar sind, lesen Sie zunächst die obige Lektion. Bitte kommen Sie in eine ernste Stimmung – der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis muss man sich sehr oft, ich würde sogar sagen, fast immer mit der Ableitung einer komplexen Funktion befassen, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir schauen uns die Tabelle zur Regel (Nr. 5) zur Differenzierung einer komplexen Funktion an:

Lass es uns herausfinden. Achten wir zunächst auf den Eintrag. Hier haben wir zwei Funktionen – und, und die Funktion ist, bildlich gesprochen, in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieses Typs (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – interne (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben enthalten sein. Ich verwende die informellen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie Folgendes:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „X“, sondern einen ganzen Ausdruck, daher wird es nicht funktionieren, die Ableitung direkt aus der Tabelle zu finden. Wir bemerken auch, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass der Sinus nicht „in Stücke gerissen“ werden kann:

In diesem Beispiel wird aus meinen Erläuterungen bereits intuitiv klar, dass eine Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt Was Sie tun müssen, um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, ist: verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Im Fall von einfache Beispiele Es scheint klar, dass unter dem Sinus ein Polynom eingebettet ist. Was aber, wenn nicht alles offensichtlich ist? Wie lässt sich genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Um dies zu erreichen, schlage ich die Verwendung der folgenden Technik vor, die im Kopf oder im Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, wir müssen den Wert des Ausdrucks at auf einem Taschenrechner berechnen (anstelle von eins kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? Erstens Sie müssen die folgende Aktion ausführen: Daher ist das Polynom eine interne Funktion:

Zweitens muss gefunden werden, also wird Sinus eine externe Funktion sein:

Nachdem wir AUSVERKAUFT Bei internen und externen Funktionen ist es an der Zeit, die Regel der Differenzierung komplexer Funktionen anzuwenden.

Beginnen wir mit der Entscheidung. Aus dem Unterricht Wie finde ich die Ableitung? Wir erinnern uns, dass der Entwurf einer Lösung für jede Ableitung immer so beginnt: Wir schließen den Ausdruck in Klammern und setzen oben rechts einen Strich:

Anfangs Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), schauen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln sind auch anwendbar, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Bitte beachten Sie die innere Funktion hat sich nicht verändert, wir rühren es nicht an.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Endergebnis der Anwendung der Formel sieht folgendermaßen aus:

Der konstante Faktor steht üblicherweise am Anfang des Ausdrucks:

Sollte es zu Missverständnissen kommen, schreiben Sie die Lösung auf Papier und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie immer schreiben wir auf:

Lassen Sie uns herausfinden, wo wir eine externe und wo eine interne Funktion haben. Dazu versuchen wir (gedanklich oder im Entwurf), den Wert des Ausdrucks bei zu berechnen. Was sollten Sie zuerst tun? Zunächst müssen Sie berechnen, was die Basis ist: Daher ist das Polynom die interne Funktion:

Und erst dann wird die Potenzierung durchgeführt, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Gemäß der Formel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion ermitteln, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die benötigte Formel in der Tabelle: . Wir wiederholen noch einmal: Jede Tabellenformel gilt nicht nur für „X“, sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion wie folgt:

Ich betone noch einmal, dass sich unsere interne Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der externen Funktion bilden:

Jetzt müssen wir nur noch eine ganz einfache Ableitung der internen Funktion finden und das Ergebnis ein wenig anpassen:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Um Ihr Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, gebe ich ein Beispiel ohne Kommentare, versuche es selbst herauszufinden, begründe, wo die externe und wo die interne Funktion ist, warum werden die Aufgaben auf diese Weise gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu differenzieren, muss sie als Kraft dargestellt werden. Daher bringen wir die Funktion zunächst in die für die Differenzierung geeignete Form:

Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe der drei Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an:

Wir stellen den Grad wieder als Wurzel (Wurzel) dar und wenden für die Ableitung der inneren Funktion eine einfache Regel zur Differenzierung der Summe an:

Bereit. Sie können den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch aufschreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn Sie umständliche lange Ableitungen erhalten, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht, verwirrt zu werden, einen unnötigen Fehler zu machen, und es wird für den Lehrer unpraktisch sein, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion die Regel zum Differenzieren eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung wird wie eine lustige Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differentiation vor – wir verschieben das Minus aus dem Ableitungszeichen und erhöhen den Kosinus in den Zähler:

Der Kosinus ist eine interne Funktion, die Potenzierung eine externe Funktion.
Nutzen wir unsere Regel:

Wir finden die Ableitung der internen Funktion und setzen den Kosinus wieder nach unten:

Bereit. Im betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich nicht in den Zeichen zu verwirren. Versuchen Sie es übrigens mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir uns Fälle angesehen, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Derivate, bei denen, ähnlich wie bei Nistpuppen, ineinander 3 oder sogar 4-5 Funktionen auf einmal verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns die Anhänge dieser Funktion verstehen. Versuchen wir, den Ausdruck anhand des experimentellen Werts zu berechnen. Wie würden wir mit einem Taschenrechner rechnen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Einbettung ist:

Dieser Arkussinus von Eins sollte dann quadriert werden:

Und schließlich potenzieren wir sieben:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Einbettungen, wobei die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Beginnen wir mit der Entscheidung

Gemäß der Regel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion bilden. Wir schauen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von „x“ einen komplexen Ausdruck haben, was die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion ist also wie folgt:

Unter dem Strich haben wir wieder eine komplexe Funktion! Aber es ist schon einfacher. Es ist leicht zu überprüfen, dass die innere Funktion der Arkussinus und die äußere Funktion der Grad ist. Gemäß der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion müssen Sie zunächst die Ableitung der Potenz bilden.