Exponentialgleichungen. Wie löst man Exponentialgleichungen? Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen

Beispiele:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen, streben wir danach, sie in die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu bringen und dann zur Gleichheit der Exponenten überzugehen, das heißt:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Zum Beispiel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Wichtig! Aus derselben Logik ergeben sich zwei Anforderungen für einen solchen Übergang:
- Zahl in links und rechts sollten gleich sein;
- die Grade links und rechts müssen „rein“ sein, das heißt, es sollte keine Multiplikation, Division usw. geben.

Zum Beispiel:

Um die Gleichung auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu reduzieren, werden und verwendet.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Lösung:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wir wissen, dass \(27 = 3^3\). Unter Berücksichtigung dessen transformieren wir die Gleichung.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Durch die Eigenschaft der Wurzel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) erhalten wir, dass \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Als nächstes erhalten wir unter Verwendung der Eigenschaft des Grades \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wir wissen auch, dass \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Wenn wir dies auf die linke Seite anwenden, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Denken Sie nun daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch in verwendet werden Rückseite: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Wenn wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite anwenden, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Und jetzt sind unsere Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.
		Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Lösung: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Wir verwenden wieder die Potenzeigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in die entgegengesetzte Richtung. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Unter Verwendung der Gradeigenschaften transformieren wir: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Wir schauen uns die Gleichung genau an und stellen fest, dass sich die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Wir haben jedoch die Werte von \(t\) gefunden und benötigen \(x\). Wir kehren zu den X zurück und führen eine umgekehrte Ersetzung durch. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Lassen Sie uns die zweite Gleichung mithilfe der negativen Potenzeigenschaft transformieren ... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...und wir entscheiden bis zur Antwort. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Antwort : \(-1; 1\). Die Frage bleibt: Wie erkennt man, wann welche Methode anzuwenden ist? Dazu gehört Erfahrung. Bis Sie es bekommen, verwenden Sie es allgemeine Empfehlung um komplexe Probleme zu lösen – „Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können.“ Das heißt, suchen Sie nach einer Möglichkeit, die Gleichung im Prinzip umzuwandeln, und versuchen Sie es – was ist, wenn was passiert? Die Hauptsache ist, nur mathematisch basierte Transformationen durchzuführen. Exponentialgleichungen ohne Lösungen Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren: - positive Zahl zur Potenz gleich Null, zum Beispiel \(2^x=0\); - Eine positive Zahl ist gleich einer Potenz einer negativen Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\). Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, nimmt mit zunehmendem x die gesamte Potenz \(2^x\) nur zu: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Auch von. Es bleiben negative X übrig. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie nie Null erreichen. Der negative Abschluss hat uns also nicht gerettet. Wir kommen zu einem logischen Schluss: Eine in jedem Grad positive Zahl bleibt eine positive Zahl. Somit haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen. Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Grundlagen In der Praxis stoßen wir manchmal auf Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Basen, die nicht aufeinander reduzierbar sind, und gleichzeitig mit den gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind. Zum Beispiel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch eine beliebige Seite der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \(b^(f(x))\). Sie können auf diese Weise dividieren, weil eine positive Zahl vorliegt ist positiv zu jeder Potenz (d. h. wir dividieren nicht durch Null) Wir erhalten: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Lösung: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Hier werden wir nicht in der Lage sein, eine Fünf in eine Drei umzuwandeln oder umgekehrt (zumindest ohne die Verwendung). Das bedeutet, dass wir nicht zur Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\ kommen können. Die Indikatoren sind jedoch dieselben. Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (wir können dies tun, weil wir wissen, dass drei zu keinem Grad Null sein wird). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Merken Sie sich nun die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie von links in die entgegengesetzte Richtung. Rechts reduzieren wir einfach den Bruch. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Es scheint, dass die Dinge nicht besser geworden sind. Aber denken Sie an eine weitere Potenzeigenschaft: \(a^0=1\), mit anderen Worten: „Jede Zahl hoch zur Nullpotenz ist gleich \(1\).“ Das Umgekehrte gilt auch: „Eins kann als jede beliebige Zahl hoch null dargestellt werden.“ Machen wir uns dies zunutze, indem wir die Basis rechts und links gleich gestalten. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Lasst uns die Basen loswerden. Wir schreiben eine Antwort. Antwort : \(-7\). Manchmal ist die „Gleichheit“ von Exponenten nicht offensichtlich, aber der geschickte Einsatz der Eigenschaften von Exponenten löst dieses Problem. Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lösung: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Die Gleichung sieht sehr traurig aus... Nicht nur, dass die Basen nicht auf die gleiche Zahl reduziert werden können (sieben wird in keiner Weise gleich \(\frac(1)(3)\) sein), sondern auch die Exponenten sind unterschiedlich. .. Verwenden wir jedoch den linken Exponenten Deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Unter Berücksichtigung der Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b·c)\) transformieren wir von links: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft des negativen Grades \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren von rechts: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Die Indikatoren sind die gleichen! Nach dem uns bereits bekannten Schema lösen wir vor der Antwort. Antwort : \(2\).

Vorlesung: „Lösungsmethoden Exponentialgleichungen».

1 . Exponentialgleichungen.

Gleichungen, die Unbekannte in Exponenten enthalten, werden Exponentialgleichungen genannt. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0, a ≠ 1.

1) Bei b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine eindeutige Wurzel. Um es zu finden, muss b in der Form b = aс, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.

Exponentialgleichungen führen durch algebraische Transformationen zu Standardgleichungen, die mit folgenden Methoden gelöst werden:

1) Methode der Reduktion auf eine Basis;

2) Bewertungsmethode;

3) grafische Methode;

4) Methode zur Einführung neuer Variablen;

5) Faktorisierungsmethode;

6) indikativ – Potenzgleichungen;

7) demonstrativ mit einem Parameter.

2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.

Die Methode basiert auf der folgenden Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d. h. man muss versuchen, die Gleichung auf die Form zu reduzieren

Beispiele. Löse die Gleichung:

1 . 3x = 81;

Stellen wir die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 dar und schreiben wir die Gleichung, die dem Original entspricht: 3 x = 34; x = 4. Antwort: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">und kommen wir zur Gleichung für die Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Antwort: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 darstellen. Machen wir uns dies zunutze und transformieren die ursprüngliche Gleichung wie folgt:

, woraus 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.

5. 3x = 5. Per Definition des Logarithmus ist x = log35. Antwort: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Schreiben wir die Gleichung in der Form 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8 um, also.png" width="181" height="49 src="> Daher x – 4 =0, x = 4. Antwort: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Potenzeigenschaften schreiben wir die Gleichung in der Form 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, dann 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, also x+1 = 2, x =1. Antwort 1.

Problembank Nr. 1.

Löse die Gleichung:

Test Nr. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln
	1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test Nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Bewertungsmethode.

Wurzelsatz: Wenn die Funktion f(x) im Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, den f in diesem Intervall annimmt, dann hat die Gleichung f(x) = a eine einzige Wurzel im Intervall I.

Bei der Lösung von Gleichungen nach der Schätzmethode werden dieser Satz und die Eigenschaften der Monotonie einer Funktion verwendet.

Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 – x.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung als 4x +x = 5 um.

1. Wenn x = 1, dann ist 41+1 = 5, 5 = 5 wahr, was bedeutet, dass 1 die Wurzel der Gleichung ist.

Funktion f(x) = 4x – wächst auf R und g(x) = x – wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R, als Summe der steigenden Funktionen, dann ist x = 1 die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.

2.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung im Formular um .

1. wenn x = -1, dann , 3 = 3 ist wahr, was bedeutet, dass x = -1 die Wurzel der Gleichung ist.

2. Beweisen Sie, dass er der Einzige ist.

3. Funktion f(x) = - nimmt auf R ab, und g(x) = - x – nimmt auf R ab => h(x) = f(x)+g(x) – nimmt auf R ab, als Summe von abnehmende Funktionen. Das bedeutet, dass nach dem Wurzelsatz x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung ist. Antwort 1.

Problembank Nr. 2. Löse die Gleichung

a) 4x + 1 =6 – x;

B)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Methode zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Gleichungsglieder. Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiele. R Löse die Gleichung: 1. .

Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = „45“>

Lösung. Schreiben wir die Gleichung anders um:

Nennen wir https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationale Gleichung. Wir notieren das

Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, was bedeutet, dass 2,5 die Wurzel der Gleichung ist. Antwort: 2.5.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in der Form um und dividieren beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0. Wir erhalten die Gleichung

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Lösung . Schreiben wir die Gleichung im Formular um

und beachten Sie, dass dies der Fall ist homogene Gleichung zweiter Grad.

Teilen Sie die Gleichung durch 42x, wir erhalten

Ersetzen wir https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Antwort: 0; 0,5.

Problembank Nr. 3. Löse die Gleichung

B)

G)

Test Nr. 3 mit einer Auswahl an Antworten. Mindestniveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test Nr. 4 mit einer Auswahl an Antworten. Allgemeines Niveau.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln

5. Faktorisierungsmethode.

1. Lösen Sie die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Lösung..png" width="169" height="69"> , von wo

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Lösung. Setzen wir 6x in Klammern auf die linke Seite der Gleichung und 2x auf die rechte Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 für alle x gilt, können wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2x dividieren, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.

3.

Lösung. Lösen wir die Gleichung mit der Faktorisierungsmethode.

Wählen wir das Quadrat des Binomials aus

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.

Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test Nr. 6 Allgemeines Niveau.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential – Potenzgleichungen.

Den Exponentialgleichungen benachbart sind die sogenannten Exponentialpotenzgleichungen, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Wenn bekannt ist, dass f(x)>0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzung der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.

Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle bei der Lösung einer Exponentialgleichung berücksichtigen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Lösung. x2 +2x-8 – macht für jedes x Sinn, da es ein Polynom ist, was bedeutet, dass die Gleichung der Gesamtheit entspricht

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

B)

7. Exponentialgleichungen mit Parametern.

1. Für welche Werte des Parameters p hat Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) eine eindeutige Lösung?

Lösung. Führen wir die Ersetzung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)

Diskriminante der Gleichung (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Nullstelle hat. Dies ist in den folgenden Fällen möglich.

1. Wenn D = 0, also p = 1, dann nimmt Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0 an, daher ist t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.

2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Bedingungen des Problems werden von einer Menge von Systemen erfüllt

Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, erhalten wir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Lösung. Lassen dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)

Finden wir die Werte des Parameters a, für die mindestens eine Wurzel der Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.

Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} quadratisches Trinom f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Gleichung (4) hat eine eindeutige positive Lösung, wenn

D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 an.

Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Somit hat Gleichung (4) für a 0 eine einzige positive Wurzel . Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung

Wenn ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;

wenn a  0, dann

Vergleichen wir die Methoden zur Lösung der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein perfektes Quadrat ist; Daher wurden die Wurzeln der Gleichung (2) sofort mit der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnet und anschließend wurden Rückschlüsse auf diese Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es bei der Lösung von Gleichung (3) ratsam, Sätze über die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu verwenden und ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) mit dem Satz von Vieta gelöst werden kann.

Lassen Sie uns mehr lösen komplexe Gleichungen.

Aufgabe 3: Lösen Sie die Gleichung

Lösung. ODZ: x1, x2.

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis von Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Finden wir die Werte von a, für die mindestens eine Wurzel von die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Antwort: wenn a > – 13, a  11, a  5, dann wenn a – 13,

a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.

Literaturverzeichnis.

1. Guzeevs Grundlagen der Bildungstechnologie.

2. Guzeev-Technologie: von der Rezeption zur Philosophie.

M. „Schuldirektor“ Nr. 4, 1996

3. Guzeev und Organisationsformen der Ausbildung.

4. Guzeev und die Praxis integraler Bildungstechnologie.

M. " Öffentliche Bildung", 2001

5. Guzeev aus den Formen eines Unterrichts - Seminars.

Mathematik in der Schule Nr. 2, 1987 S. 9–11.

6. Bildungstechnologien von Seleuko.

M. „Öffentliche Bildung“, 1998

7. Episheva-Schulkinder lernen Mathematik.

M. „Aufklärung“, 1990

8. Ivanova bereitet Unterrichtsstunden vor – Workshops.

Mathematik in der Schule Nr. 6, 1990 S. 37 – 40.

9. Smirnovs Modell des Mathematikunterrichts.

Mathematik in der Schule Nr. 1, 1997 S. 32 – 36.

10. Tarasenkos Möglichkeiten, die praktische Arbeit zu organisieren.

Mathematik in der Schule Nr. 1, 1993 S. 27 – 28.

11. Über eine der Arten individueller Arbeit.

Mathematik in der Schule Nr. 2, 1994, S. 63–64.

12. Khazankin Kreative Fähigkeiten Schulkinder.

Mathematik in der Schule Nr. 2, 1989 S. 10.

13. Scanavi. Verlag, 1997

14. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis. Didaktische Materialien für

15. Krivonogov-Aufgaben in der Mathematik.

M. „Erster September“, 2002

16. Tscherkasow. Handbuch für Gymnasiasten und

Eintritt in Universitäten. „A S T – Presseschule“, 2002

17. Zhevnyak für Studienanfänger.

Minsk und die Russische Föderation „Review“, 1996

18. Schriftlich D. Wir bereiten uns auf die Prüfung in Mathematik vor. M. Rolf, 1999

19. usw. Lernen, Gleichungen und Ungleichungen zu lösen.

M. „Intellekt – Zentrum“, 2003

20. usw. Bildungs- und Schulungsmaterialien zur Vorbereitung auf die EGE.

M. „Intelligence – Center“, 2003 und 2004.

21 und andere. CMM-Optionen. Testzentrum des Verteidigungsministeriums der Russischen Föderation, 2002, 2003.

22. Goldberg-Gleichungen. „Quantum“ Nr. 3, 1971

23. Volovich M. Wie man erfolgreich Mathematik unterrichtet.

Mathematik, 1997 Nr. 3.

24 Okunev für die Lektion, Kinder! M. Bildung, 1988

25. Yakimanskaya – orientiertes Lernen in der Schule.

26. Limits arbeiten im Unterricht. M. Wissen, 1975

Was ist eine Exponentialgleichung? Beispiele.

Also eine Exponentialgleichung... Ein neues einzigartiges Exponat in unserer allgemeinen Ausstellung einer Vielzahl von Gleichungen!) Wie fast immer ist das Schlüsselwort eines neuen mathematischen Begriffs das entsprechende Adjektiv, das ihn charakterisiert. So ist es hier. Das Schlüsselwort im Begriff „Exponentialgleichung“ ist das Wort "indikativ". Was bedeutet das? Dieses Wort bedeutet, dass das Unbekannte (x) lokalisiert ist in Bezug auf alle Abschlüsse. Und nur dort! Das ist äußerst wichtig.

Zum Beispiel diese einfachen Gleichungen:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Oder sogar diese Monster:

2 sin x = 0,5

Bitte achten Sie sofort auf eine wichtige Sache: Gründe dafür Grad (unten) – nur Zahlen. Aber in Indikatoren Grad (oben) – eine Vielzahl von Ausdrücken mit einem X. Absolut beliebig.) Alles hängt von der konkreten Gleichung ab. Wenn plötzlich x neben dem Indikator an einer anderen Stelle in der Gleichung auftaucht (z. B. 3 x = 18 + x 2), dann ist eine solche Gleichung bereits eine Gleichung gemischter Typ . Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Daher werden wir sie in dieser Lektion nicht berücksichtigen. Zur Freude der Studierenden.) Hier betrachten wir nur Exponentialgleichungen in ihrer „reinen“ Form.

Generell gilt, dass nicht alle und nicht immer auch reine Exponentialgleichungen eindeutig lösbar sind. Aber unter all der Vielfalt an Exponentialgleichungen gibt es bestimmte Arten, die gelöst werden können und sollten. Es sind diese Arten von Gleichungen, die wir betrachten werden. Und die Beispiele werden wir auf jeden Fall lösen. Also machen wir es uns bequem und los geht’s! Wie bei Computer-Shootern verläuft unsere Reise durch Level. Von einfach bis einfach, von einfach bis mittel und von mittel bis komplex. Unterwegs erwartet Sie auch ein geheimes Level – Techniken und Methoden zur Lösung nicht standardmäßiger Beispiele. Jene, von denen man in den meisten Schulbüchern nichts lesen wird... Nun ja, und am Ende erwartet einen natürlich der Endgegner in Form von Hausaufgaben.)

Level 0. Was ist die einfachste Exponentialgleichung? Einfache Exponentialgleichungen lösen.

Schauen wir uns zunächst einige grundlegende Dinge an. Irgendwo muss man doch anfangen, oder? Zum Beispiel diese Gleichung:

2 x = 2 2

Auch ohne Theorien, nach einfacher Logik und gesunder Menschenverstand Es ist klar, dass x = 2. Es gibt keinen anderen Weg, oder? Keine andere Bedeutung von X ist geeignet... Und nun richten wir unsere Aufmerksamkeit darauf Protokoll der Entscheidung diese coole Exponentialgleichung:

2 x = 2 2

X = 2

Was ist mit uns passiert? Und Folgendes geschah. Wir haben es tatsächlich genommen und ... einfach weggeworfen identische Gründe(Zweier)! Völlig rausgeworfen. Und die gute Nachricht ist: Wir haben ins Schwarze getroffen!

Ja, in der Tat, wenn es in einer Exponentialgleichung links und rechts gibt das gleiche Zahlen in beliebigen Potenzen, dann können diese Zahlen verworfen werden und einfach die Exponenten gleichgesetzt werden. Die Mathematik erlaubt es.) Und dann können Sie separat mit den Indikatoren arbeiten und eine viel einfachere Gleichung lösen. Großartig, oder?

Hier ist die Schlüsselidee zum Lösen jeder (ja, genau jeder!) Exponentialgleichung: mit Hilfe Identitätstransformationen Es ist darauf zu achten, dass links und rechts in der Gleichung übereinstimmen das gleiche Basiszahlen in verschiedenen Potenzen. Und dann können Sie sicher die gleichen Basen entfernen und die Exponenten gleichsetzen. Und arbeiten Sie mit einer einfacheren Gleichung.

Erinnern wir uns nun an die eiserne Regel: Es ist nur dann möglich, identische Basen zu entfernen, wenn die Zahlen links und rechts von der Gleichung Basiszahlen haben in stolzer Einsamkeit.

Was bedeutet es, in herrlicher Isolation? Das heißt ohne Nachbarn und Koeffizienten. Lassen Sie mich erklären.

Beispielsweise in Gl.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Dreier können nicht entfernt werden! Warum? Denn auf der linken Seite haben wir nicht nur einen einsamen Dreier, sondern arbeiten 3·3 x-5 . Eine zusätzliche Drei stört: der Koeffizient, verstehen Sie.)

Das Gleiche lässt sich über die Gleichung sagen

5 3 x = 5 2 x +5 x

Auch hier sind alle Basen gleich – fünf. Aber auf der rechten Seite haben wir keine einzige Fünferpotenz, sondern eine Summe von Potenzen!

Kurz gesagt, wir haben nur dann das Recht, identische Basen zu entfernen, wenn unsere Exponentialgleichung so und nur so aussieht:

AF (X) = ein g (X)

Diese Art von Exponentialgleichung heißt das einfachste. Oder, wissenschaftlich gesehen, kanonisch . Und egal, welche komplizierte Gleichung wir vor uns haben, wir werden sie auf die eine oder andere Weise auf genau diese einfachste (kanonische) Form reduzieren. Oder in manchen Fällen auch Gesamtheit Gleichungen dieser Art. Dann kann unsere einfachste Gleichung geschrieben werden als Gesamtansicht schreibe es so um:

F(x) = g(x)

Und alle. Dies wäre eine gleichwertige Konvertierung. In diesem Fall können f(x) und g(x) absolut beliebige Ausdrücke mit einem x sein. Was auch immer.

Vielleicht wird sich ein besonders neugieriger Student fragen: Warum um alles in der Welt verwerfen wir so einfach und einfach die gleichen Basen links und rechts und setzen die Exponenten gleich? Intuition ist Intuition, aber was ist, wenn sich dieser Ansatz in irgendeiner Gleichung und aus irgendeinem Grund als falsch herausstellt? Ist es immer legal, die gleichen Gründe wegzuwerfen? Leider gibt es hierfür keine strenge mathematische Antwort Interesse Fragen Sie müssen ziemlich tief und ernsthaft eintauchen allgemeine Theorie Geräte- und Funktionsverhalten. Und etwas konkreter – im Phänomen strenge Monotonie. Insbesondere strenge Monotonie Exponentialfunktionj= ein x. Da es sich um die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften handelt, die der Lösung von Exponentialgleichungen zugrunde liegen, ja.) Eine detaillierte Antwort auf diese Frage wird in einer separaten Speziallektion gegeben, die der Lösung komplexer nicht standardmäßiger Gleichungen unter Verwendung der Monotonie verschiedener Funktionen gewidmet ist.)

Diesen Punkt jetzt im Detail zu erklären, würde den Durchschnittsstudenten nur umhauen und ihn mit einer trockenen und schweren Theorie vorzeitig abschrecken. Ich werde das nicht tun.) Weil unser Haupt dieser Moment Aufgabe - Lernen Sie, Exponentialgleichungen zu lösen! Die einfachsten! Machen wir uns deshalb noch keine Sorgen und werfen wir mutig die gleichen Gründe weg. Das Kann, glauben Sie mir!) Und dann lösen wir die äquivalente Gleichung f(x) = g(x). In der Regel einfacher als die ursprüngliche Exponentialfunktion.

Es wird natürlich davon ausgegangen, dass die Leute bereits wissen, wie man mindestens , und Gleichungen ohne x in Exponenten löst.) Wer noch nicht weiß, wie, kann diese Seite gerne schließen, den entsprechenden Links folgen und ausfüllen die alten Lücken. Sonst wirst du es schwer haben, ja...

Ich spreche nicht von irrationalen, trigonometrischen und anderen brutalen Gleichungen, die auch im Prozess der Fundamentbeseitigung entstehen können. Aber seien Sie nicht beunruhigt, wir werden die reine Grausamkeit vorerst nicht anhand von Graden betrachten: Es ist noch zu früh. Wir werden nur die einfachsten Gleichungen trainieren.)

Schauen wir uns nun Gleichungen an, die einen zusätzlichen Aufwand erfordern, um sie auf das einfachste zu reduzieren. Der Unterscheidung halber nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen. Also, lasst uns zum nächsten Level übergehen!

Level 1. Einfache Exponentialgleichungen. Lasst uns die Abschlüsse erkennen! Natürliche Indikatoren.

Die wichtigsten Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen sind: Regeln für den Umgang mit Abschlüssen. Ohne dieses Wissen und diese Fähigkeiten wird nichts funktionieren. Ach. Wenn es also Probleme mit den Abschlüssen gibt, dann sind Sie zunächst herzlich willkommen. Darüber hinaus benötigen wir auch . Diese Transformationen (zwei davon!) sind die Grundlage für die Lösung aller mathematischen Gleichungen im Allgemeinen. Und nicht nur demonstrative. Wer es also vergessen hat, schaut sich auch den Link an: Ich stelle sie nicht einfach da rein.

Aber Operationen mit Kräften und Identitätstransformationen allein reichen nicht aus. Persönliche Beobachtungsgabe und Einfallsreichtum sind ebenfalls erforderlich. Wir brauchen die gleichen Gründe, nicht wahr? Also untersuchen wir das Beispiel und suchen nach ihnen in expliziter oder verschleierter Form!

Zum Beispiel diese Gleichung:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Erster Blick darauf Gründe. Sie sind anders! Drei und siebenundzwanzig. Aber für Panik und Verzweiflung ist es noch zu früh. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

27 = 3 3

Die Nummern 3 und 27 sind graduell verwandt! Und nahestehende.) Deshalb haben wir jedes Recht zu schreiben:

27 x +2 = (3 3) x+2

Lassen Sie uns nun unser Wissen über verbinden Aktionen mit Graden(Und ich habe dich gewarnt!). Da gibt es eine sehr nützliche Formel:

(a m) n = a mn

Wenn Sie es jetzt in die Tat umsetzen, funktioniert es großartig:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Das Originalbeispiel sieht nun so aus:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Großartig, die Grundlagen der Abschlüsse haben sich eingeebnet. Das ist es, was wir wollten. Die halbe Miete ist geschafft.) Jetzt starten wir die grundlegende Identitätstransformation – verschieben Sie 3 3(x +2) nach rechts. Niemand hat die elementaren Operationen der Mathematik aufgehoben, ja.) Wir erhalten:

3 2 x = 3 3(x +2)

Was gibt uns diese Art von Gleichung? Und die Tatsache, dass unsere Gleichung jetzt reduziert wird zur kanonischen Form: Links und rechts stehen die gleichen Zahlen (Dreier) in Potenzen. Darüber hinaus befinden sich beide drei in herrlicher Isolation. Entfernen Sie ruhig die Tripel und erhalten Sie:

2x = 3(x+2)

Wir lösen das und erhalten:

X = -6

Das ist es. Das ist die richtige Antwort.)

Lassen Sie uns nun über die Lösung nachdenken. Was hat uns in diesem Beispiel gerettet? Das Wissen um die Kräfte der Drei hat uns gerettet. Wie genau? Wir identifiziert Nummer 27 enthält eine verschlüsselte Drei! Dieser Trick (Verschlüsselung derselben Basis unter verschiedene Zahlen) ist eine der beliebtesten Exponentialgleichungen! Es sei denn, es ist das beliebteste. Ja, und übrigens auch auf die gleiche Weise. Deshalb sind Beobachtung und die Fähigkeit, Potenzen anderer Zahlen in Zahlen zu erkennen, in Exponentialgleichungen so wichtig!

Praktische Ratschläge:

Sie müssen die Potenz beliebter Zahlen kennen. In Gesicht!

Natürlich kann jeder zwei auf die siebte Potenz oder drei auf die fünfte Potenz erhöhen. Nicht in meinem Kopf, aber zumindest in einem Entwurf. Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger nicht notwendig, eine Potenz zu erhöhen, sondern vielmehr herauszufinden, welche Zahl und in welcher Potenz sich hinter der Zahl verbirgt, beispielsweise 128 oder 243. Und das ist komplizierter als die einfache Potenzierung, Sie werden zustimmen. Spüren Sie den Unterschied, wie man so schön sagt!

Da die Fähigkeit, Abschlüsse persönlich anzuerkennen, nicht nur auf diesem, sondern auch auf den nächsten nützlich sein wird, ist hier eine kleine Aufgabe für Sie:

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen die Zahlen sind:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Antworten (natürlich zufällig):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Seien Sie nicht überrascht, dass es mehr Antworten als Aufgaben gibt. Beispielsweise sind 2 8, 4 4 und 16 2 alle 256.

Level 2. Einfache Exponentialgleichungen. Lasst uns die Abschlüsse erkennen! Negative und gebrochene Indikatoren.

Auf diesem Niveau nutzen wir bereits unser Wissen über Studienabschlüsse voll aus. Wir beziehen nämlich negative und gebrochene Indikatoren in diesen faszinierenden Prozess ein! Ja Ja! Wir müssen unsere Macht steigern, oder?

Zum Beispiel diese schreckliche Gleichung:

Auch hier gilt der erste Blick den Grundlagen. Die Gründe sind unterschiedlich! Und dieses Mal sind sie einander nicht im Entferntesten ähnlich! 5 und 0,04... Und um die Basen zu eliminieren, werden dieselben benötigt... Was tun?

Macht nichts! Tatsächlich ist alles gleich, nur ist der Zusammenhang zwischen der Fünf und 0,04 optisch schlecht erkennbar. Wie können wir rauskommen? Kommen wir zur Zahl 0,04 als gewöhnlichem Bruch! Und dann, sehen Sie, wird alles gut.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Es stellt sich heraus, dass 0,04 1/25 ist! Nun, wer hätte das gedacht!)

Und wie? Ist es jetzt einfacher, den Zusammenhang zwischen den Zahlen 5 und 1/25 zu erkennen? Das ist es...

Und nun nach den Handlungsregeln mit Abschlüssen mit negativer Indikator Sie können mit ruhiger Hand schreiben:

Das ist großartig. Also kamen wir zur gleichen Basis – fünf. Jetzt ersetzen wir die unbequeme Zahl 0,04 in der Gleichung durch 5 -2 und erhalten:

Auch hier können wir gemäß den Regeln für Operationen mit Graden jetzt schreiben:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Für alle Fälle möchte ich Sie daran erinnern (falls es jemand nicht weiß), dass die Grundregeln für den Umgang mit Abschlüssen gelten beliebig Indikatoren! Auch für negative. Nehmen Sie also gerne die Indikatoren (-2) und (x-1) und multiplizieren Sie sie gemäß der entsprechenden Regel. Unsere Gleichung wird immer besser:

Alle! Außer einsamen Fünfern gibt es in den Mächten links und rechts nichts anderes. Die Gleichung wird auf die kanonische Form reduziert. Und dann - entlang der gerändelten Schiene. Wir entfernen die Fünfer und setzen die Indikatoren gleich:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Das Beispiel ist fast gelöst. Übrig bleibt nur noch die Grundschulmathematik – öffnen Sie (richtig!) die Klammern und sammeln Sie alles auf der linken Seite ein:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Wir lösen dies und erhalten zwei Wurzeln:

X 1 = 1; X 2 = 3

Das ist alles.)

Jetzt lasst uns noch einmal darüber nachdenken. Auch in diesem Beispiel mussten wir die gleiche Zahl in unterschiedlichem Ausmaß erkennen! Nämlich eine verschlüsselte Fünf in der Zahl 0,04 zu sehen. Und dieses Mal - in negativer Grad! Wie haben wir das gemacht? Auf Anhieb – auf keinen Fall. Aber nach dem Übergang von Dezimal 0,04 zum gemeinsamen Bruch 1/25 und das war’s! Und dann lief die ganze Entscheidung wie am Schnürchen.)

Daher noch ein grüner Praxistipp.

Wenn eine Exponentialgleichung Dezimalbrüche enthält, gehen wir von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen über. IN gewöhnliche Brüche Es ist viel einfacher, Potenzen vieler beliebter Zahlen zu erkennen! Nach der Erkennung gehen wir von Brüchen zu Potenzen mit negativen Exponenten über.

Bedenken Sie, dass dieser Trick sehr, sehr oft in Exponentialgleichungen vorkommt! Aber die Person ist nicht im Thema. Er schaut zum Beispiel auf die Zahlen 32 und 0,125 und regt sich auf. Ohne dass er es weiß, handelt es sich dabei um ein und dieselben beiden, nur in unterschiedlichem Ausmaß ... Aber Sie wissen es bereits!)

Löse die Gleichung:

In! Es sieht nach stillem Horror aus... Doch der Schein trügt. Dies ist die einfachste Exponentialgleichung, auch wenn sie entmutigend ist Aussehen. Und jetzt werde ich es dir zeigen.)

Schauen wir uns zunächst alle Zahlen in den Basen und Koeffizienten an. Sie sind natürlich unterschiedlich, ja. Aber wir werden trotzdem ein Risiko eingehen und versuchen, sie zu schaffen identisch! Versuchen wir es zu erreichen die gleiche Anzahl in verschiedenen Potenzen. Darüber hinaus sind die Zahlen vorzugsweise so klein wie möglich. Beginnen wir also mit der Dekodierung!

Nun, bei den vier ist sofort alles klar – es ist 2 2. Okay, das ist schon etwas.)

Bei einem Bruchteil von 0,25 ist es noch unklar. Muss geprüft werden. Lassen Sie uns praktische Ratschläge nutzen – wechseln Sie von einem Dezimalbruch zu einem gewöhnlichen Bruch:

0,25 = 25/100 = 1/4

Schon viel besser. Denn jetzt ist deutlich zu erkennen, dass 1/4 2 -2 ist. Großartig, und die Zahl 0,25 entspricht auch zwei.)

So weit, ist es gut. Aber die schlechteste Zahl von allen bleibt – Quadratwurzel aus zwei! Was tun mit diesem Pfeffer? Kann es auch als Zweierpotenz dargestellt werden? Und wer weiß...

Nun, lasst uns noch einmal in unseren Wissensschatz über Abschlüsse eintauchen! Dieses Mal vernetzen wir zusätzlich unser Wissen Über Wurzeln. Aus dem Kurs der 9. Klasse hätten Sie und ich lernen sollen, dass jede Wurzel, wenn gewünscht, immer in einen Abschluss umgewandelt werden kann mit einem Bruchindikator.

So:

In unserem Fall:

Wow! Es stellt sich heraus, dass die Quadratwurzel aus zwei 2 1/2 ist. Das ist es!

Das ist in Ordnung! Es stellte sich heraus, dass alle unsere unbequemen Nummern tatsächlich eine verschlüsselte Zwei waren.) Ich behaupte nicht, irgendwo sehr raffiniert verschlüsselt. Aber wir verbessern auch unsere Professionalität bei der Lösung solcher Chiffren! Und dann ist schon alles klar. In unserer Gleichung ersetzen wir die Zahlen 4, 0,25 und die Wurzel aus zwei durch Zweierpotenzen:

Alle! Die Basen aller Grade im Beispiel wurden gleich – zwei. Und jetzt werden Standardaktionen mit Graden verwendet:

Binein = Bin + N

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Für die linke Seite erhält man:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Für die rechte Seite wird es sein:

Und jetzt sieht unsere böse Gleichung so aus:

Für diejenigen, die nicht genau herausgefunden haben, wie diese Gleichung zustande kam: Es geht hier nicht um Exponentialgleichungen. Die Frage betrifft Aktionen mit Abschlüssen. Ich habe Sie gebeten, es denjenigen, die Probleme haben, dringend zu wiederholen!

Hier ist die Ziellinie! Die kanonische Form der Exponentialgleichung wurde erhalten! Und wie? Habe ich Sie davon überzeugt, dass nicht alles so beängstigend ist? ;) Wir entfernen die Zweien und setzen die Indikatoren gleich:

Jetzt müssen Sie es nur noch lösen Lineargleichung. Wie? Natürlich mit Hilfe identischer Transformationen.) Entscheiden Sie, was los ist! Multiplizieren Sie beide Seiten mit zwei (um den Bruch 3/2 zu entfernen), verschieben Sie die Terme mit X nach links, ohne X nach rechts, bringen Sie ähnliche ein, zählen Sie – und Sie werden glücklich sein!

Es sollte alles schön werden:

X=4

Denken wir nun noch einmal über die Lösung nach. In diesem Beispiel hat uns der Übergang von geholfen Quadratwurzel Zu Grad mit Exponent 1/2. Darüber hinaus hat uns nur eine so raffinierte Transformation geholfen, überall die gleiche Basis (zwei) zu erreichen, was die Situation gerettet hat! Und wenn es das nicht gäbe, hätten wir jede Chance, für immer zu erstarren und diesem Beispiel nie gewachsen zu sein, ja...

Deshalb vernachlässigen wir nicht den nächsten praktischen Rat:

Wenn eine Exponentialgleichung Wurzeln enthält, gehen wir von Wurzeln zu Potenzen mit gebrochenen Exponenten über. Sehr oft klärt erst eine solche Transformation die weitere Situation.

Natürlich sind negative und gebrochene Potenzen viel komplizierter natürliche Grade. Zumindest was die visuelle Wahrnehmung und insbesondere die Erkennung von rechts nach links betrifft!

Es ist klar, dass die direkte Potenzierung von beispielsweise zwei auf -3 oder vier auf -3/2 kein so großes Problem darstellt. Für Kenner.)

Aber gehen Sie zum Beispiel und merken Sie das sofort

0,125 = 2 -3

Oder

Hier zählen nur Übung und reiche Erfahrung, ja. Und natürlich eine klare Vorstellung, Was ist ein negativer und gebrochener Grad? Und auch praktische Ratschläge! Ja, ja, dieselben Grün.) Ich hoffe, dass sie Ihnen trotzdem dabei helfen, sich in der Vielfalt der Studienabschlüsse besser zurechtzufinden und Ihre Erfolgschancen deutlich erhöhen! Lassen Sie uns sie also nicht vernachlässigen. Ich bin nicht umsonst Grün Ich schreibe manchmal.)

Aber wenn Sie sich auch mit so exotischen Potenzen wie negativen und gebrochenen Potenzen kennenlernen, werden Ihre Fähigkeiten beim Lösen von Exponentialgleichungen enorm erweitert und Sie werden in der Lage sein, mit fast jeder Art von Exponentialgleichungen umzugehen. Wenn nicht, dann 80 Prozent aller Exponentialgleichungen – ganz sicher! Ja, ja, ich mache keine Witze!

Damit ist unser erster Teil unserer Einführung in Exponentialgleichungen zu seinem logischen Abschluss gekommen. Und als Zwischentraining schlage ich traditionell vor, ein wenig Selbstreflexion durchzuführen.)

Übung 1.

Damit meine Worte zur Entschlüsselung von Negativ und Teilkräfte Nicht umsonst schlage ich vor, dass Sie spielen ein kleines Spiel!

Drücken Sie Zahlen als Zweierpotenzen aus:

Antworten (in Unordnung):

Passiert? Großartig! Dann machen wir eine Kampfmission – lösen Sie die einfachsten und einfachsten Exponentialgleichungen!

Aufgabe 2.

Lösen Sie die Gleichungen (alle Antworten sind ein Durcheinander!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Antworten:

x = 16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Passiert? Tatsächlich ist es viel einfacher!

Dann lösen wir das nächste Spiel:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Antworten:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Und diese Beispiele sind noch übrig? Großartig! Du wächst! Dann finden Sie hier noch weitere Beispiele zum Knabbern:

Antworten:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Und ist das entschieden? Na ja, Respekt! Ich ziehe meinen Hut.) Die Lektion war also nicht umsonst, und Erste Ebene Das Lösen von Exponentialgleichungen kann als erfolgreich gemeistert gelten. Die nächsten Level und komplexere Gleichungen stehen bevor! Und neue Techniken und Ansätze. Und nicht standardmäßige Beispiele. Und neue Überraschungen.) All das steht in der nächsten Lektion!

Ist etwas schief gelaufen? Dies bedeutet, dass die Probleme höchstwahrscheinlich in liegen. Oder im . Oder beides gleichzeitig. Ich bin hier machtlos. Ich kann rein Noch einmal Ich kann nur eines empfehlen: Seien Sie nicht faul und folgen Sie den Links.)

Fortsetzung folgt.)

Exponentialgleichungen lösen. Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was Exponentialgleichung? Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen enthalten sind Indikatoren einige Grade. Und nur dort! Es ist wichtig.

Da bist du ja Beispiele für Exponentialgleichungen:

3 x 2 x = 8 x+3

Beachten Sie! In den Gradbasen (unten) - nur Zahlen. IN Indikatoren Grad (oben) – eine Vielzahl von Ausdrücken mit einem X. Wenn in der Gleichung plötzlich ein X an einer anderen Stelle als einem Indikator auftaucht, zum Beispiel:

Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Hier werden wir uns damit befassen Exponentialgleichungen lösen in seiner reinsten Form.

Tatsächlich werden selbst reine Exponentialgleichungen nicht immer eindeutig gelöst. Es gibt jedoch bestimmte Arten von Exponentialgleichungen, die gelöst werden können und sollten. Dies sind die Typen, die wir berücksichtigen werden.

Einfache Exponentialgleichungen lösen.

Lassen Sie uns zunächst etwas ganz Grundlegendes lösen. Zum Beispiel:

Auch ohne Theorien ist durch einfache Auswahl klar, dass x = 2. Nichts weiter, oder!? Kein anderer Wert von X funktioniert. Schauen wir uns nun die Lösung dieser kniffligen Exponentialgleichung an:

Was haben wir getan? Tatsächlich haben wir einfach die gleichen Basen (Triples) weggeworfen. Völlig rausgeworfen. Und die gute Nachricht ist: Wir haben den Nagel auf den Kopf getroffen!

In der Tat, wenn es in einer Exponentialgleichung links und rechts gibt das gleiche Zahlen in beliebigen Potenzen, diese Zahlen können entfernt und die Exponenten ausgeglichen werden. Mathematik erlaubt. Es bleibt eine viel einfachere Gleichung zu lösen. Großartig, oder?)

Erinnern wir uns jedoch fest daran: Sie können Basen nur entfernen, wenn die Basennummern links und rechts in hervorragender Isolation sind! Ohne Nachbarn und Koeffizienten. Sagen wir in den Gleichungen:

2 x +2 x+1 = 2 3, oder

Zweier können nicht entfernt werden!

Nun, das Wichtigste haben wir gemeistert. Wie man von bösen Exponentialausdrücken zu einfacheren Gleichungen übergeht.

„Das sind die Zeiten!“ - du sagst. „Wer würde so eine primitive Lektion über Tests und Prüfungen erteilen?“

Ich muss zustimmen. Niemand wird. Aber jetzt wissen Sie, wohin Sie bei der Lösung kniffliger Beispiele zielen müssen. Es muss in die Form gebracht werden, dass links und rechts die gleiche Basisnummer steht. Dann wird alles einfacher. Eigentlich ist dies ein Klassiker der Mathematik. Wir nehmen das Originalbeispiel und transformieren es in das gewünschte uns Geist. Natürlich nach den Regeln der Mathematik.

Schauen wir uns Beispiele an, die einige zusätzliche Anstrengungen erfordern, um sie auf das Einfachste zu reduzieren. Nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen.

Einfache Exponentialgleichungen lösen. Beispiele.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen gelten folgende Hauptregeln: Aktionen mit Graden. Ohne Kenntnis dieser Maßnahmen wird nichts funktionieren.

Zu Handlungen mit Abschlüssen muss man persönliche Beobachtungsgabe und Einfallsreichtum hinzufügen. Brauchen wir die gleichen Basiszahlen? Daher suchen wir sie im Beispiel in expliziter oder verschlüsselter Form.

Mal sehen, wie das in der Praxis gemacht wird?

Lassen Sie uns ein Beispiel geben:

2 2x - 8 x+1 = 0

Der erste scharfe Blick ist auf Gründe. Sie... Sie sind anders! Zwei und acht. Aber es ist noch zu früh, um entmutigt zu werden. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

Zwei und acht sind im Grad verwandt.) Es ist durchaus möglich zu schreiben:

8 x+1 = (2 3) x+1

Wenn wir uns an die Formel aus Operationen mit Graden erinnern:

(a n) m = a nm ,

das klappt super:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Das ursprüngliche Beispiel sah folgendermaßen aus:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Wir übertragen 2 3 (x+1) rechts (niemand hat die elementaren Operationen der Mathematik gestrichen!), erhalten wir:

2 2x = 2 3(x+1)

Das ist praktisch alles. Entfernen der Sockel:

Wir lösen dieses Monster und bekommen

Das ist die richtige Antwort.

In diesem Beispiel hat uns die Kenntnis der Zweierkräfte geholfen. Wir identifiziert in acht gibt es eine verschlüsselte Zwei. Diese Technik (Kodierung gemeinsamer Basen unter verschiedenen Zahlen) ist eine sehr beliebte Technik in Exponentialgleichungen! Ja, und auch in Logarithmen. Sie müssen Potenzen anderer Zahlen in Zahlen erkennen können. Dies ist äußerst wichtig für die Lösung von Exponentialgleichungen.

Tatsache ist, dass es kein Problem ist, eine beliebige Zahl in eine beliebige Potenz zu erhöhen. Multiplizieren Sie, sogar auf dem Papier, und das war's. Beispielsweise kann jeder die Zahl 3 in die fünfte Potenz erhöhen. (243 wird funktionieren, wenn Sie die Multiplikationstabelle kennen.) Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger nicht notwendig, zu potenzieren, sondern umgekehrt ... Finden Sie es heraus welche Zahl in welchem ​​Ausmaß verbirgt sich hinter der Zahl 243, oder sagen wir 343... Hier hilft Ihnen kein Taschenrechner weiter.

Sie müssen die Potenzen einiger Zahlen vom Sehen kennen, oder ... Lasst uns üben?

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen die Zahlen sind:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Antworten (natürlich durcheinander!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Wenn man genau hinschaut, kann man es sehen seltsame Tatsache. Es gibt deutlich mehr Antworten als Aufgaben! Nun, es kommt vor ... Zum Beispiel 2 6, 4 3, 8 2 – das ist alles 64.

Gehen wir davon aus, dass Sie die Informationen zur Vertrautheit mit Zahlen zur Kenntnis genommen haben.) Ich möchte Sie auch daran erinnern, dass wir zur Lösung von Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen verwenden alle Vorrat an mathematischem Wissen. Einschließlich derjenigen aus der Unter- und Mittelschicht. Du bist nicht direkt zur High School gegangen, oder?)

Beim Lösen von Exponentialgleichungen hilft es beispielsweise oft, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu setzen (Hallo in die 7. Klasse!). Schauen wir uns ein Beispiel an:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Und wieder gilt der erste Blick dem Fundament! Die Grundlagen der Grade sind unterschiedlich... Drei und Neun. Aber wir wollen, dass sie gleich sind. Nun ja, in diesem Fall ist der Wunsch vollkommen erfüllt!) Denn:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Es gelten die gleichen Regeln für den Umgang mit Abschlüssen:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Das ist toll, du kannst es aufschreiben:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Und was dann!? Dreier kann man nicht wegwerfen... Sackgasse?

Gar nicht. Denken Sie an die universellste und mächtigste Entscheidungsregel alle Mathe-Aufgaben:

Wenn Sie nicht wissen, was Sie brauchen, tun Sie, was Sie können!

Schauen Sie, alles wird klappen).

Was steckt in dieser Exponentialgleichung? Kann Tun? Ja, auf der linken Seite schreit es geradezu danach, aus der Klammer genommen zu werden! Der Gesamtmultiplikator von 3 2x deutet dies deutlich an. Versuchen wir es, dann werden wir sehen:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Das Beispiel wird immer besser!

Wir erinnern uns, dass wir zum Eliminieren von Gründen einen reinen Grad ohne Koeffizienten benötigen. Die Zahl 70 stört uns. Teilen wir also beide Seiten der Gleichung durch 70, erhalten wir:

Hoppla! Alles ist besser geworden!

Dies ist die endgültige Antwort.

Es kommt jedoch vor, dass das Rollen auf der gleichen Basis erreicht wird, ihre Beseitigung jedoch nicht möglich ist. Dies geschieht in anderen Arten von Exponentialgleichungen. Lassen Sie uns diesen Typ beherrschen.

Ersetzen einer Variablen beim Lösen von Exponentialgleichungen. Beispiele.

Lösen wir die Gleichung:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Zuerst – wie immer. Kommen wir zu einer Basis. Zu einer Zwei.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Wir erhalten die Gleichung:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Und hier hängen wir ab. Die bisherigen Techniken werden nicht funktionieren, egal wie man es betrachtet. Wir müssen eine weitere leistungsstarke und universelle Methode aus unserem Arsenal herausholen. Es heißt Variablenersatz.

Der Kern der Methode ist überraschend einfach. Anstelle eines komplexen Symbols (in unserem Fall - 2 x) schreiben wir ein anderes, einfacheres (zum Beispiel - t). Solch ein scheinbar bedeutungsloser Ersatz führt zu erstaunlichen Ergebnissen!) Alles wird einfach klar und verständlich!

Also lass

Dann ist 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

In unserer Gleichung ersetzen wir alle Potenzen durch x durch t:

Na, fällt dir das ein?) Hast du die quadratischen Gleichungen schon vergessen? Wenn wir die Diskriminante auflösen, erhalten wir:

Die Hauptsache hier ist, nicht aufzuhören, wie es passiert ... Das ist noch nicht die Antwort, wir brauchen x, nicht t. Kehren wir zu den X zurück, d. h. Wir machen einen umgekehrten Ersatz. Zuerst für t 1:

Das ist,

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten von t 2:

Hm... 2 x links, 1 x rechts... Problem? Gar nicht! Es reicht aus, sich daran zu erinnern (bei Operationen mit Kräften, ja...), dass es sich um eine Einheit handelt beliebig Zahl hoch zur Null. Beliebig. Was auch immer benötigt wird, wir installieren es. Wir brauchen eine Zwei. Bedeutet:

Das ist es jetzt. Wir haben 2 Wurzeln:

Das ist die Antwort.

Bei Exponentialgleichungen lösen Am Ende hat man manchmal einen seltsamen Gesichtsausdruck. Typ:

Sieben können nicht durch eine einfache Kraft in zwei umgewandelt werden. Sie sind keine Verwandten... Wie können wir das sein? Jemand könnte verwirrt sein... Aber die Person, die auf dieser Website das Thema „Was ist ein Logarithmus“ gelesen hat? , lächelt nur sparsam und schreibt mit fester Hand die absolut richtige Antwort auf:

In den Aufgaben „B“ des Einheitlichen Staatsexamens kann eine solche Antwort nicht erfolgen. Dort ist eine bestimmte Nummer erforderlich. Aber bei Aufgaben „C“ ist es einfach.

Diese Lektion enthält Beispiele für die Lösung der häufigsten Exponentialgleichungen. Lassen Sie uns die wichtigsten Punkte hervorheben.

Praktische Ratschläge:

1. Zunächst schauen wir uns an Gründe Grad. Wir fragen uns, ob es möglich ist, sie herzustellen identisch. Versuchen wir dies durch aktive Nutzung zu erreichen Aktionen mit Graden. Vergessen Sie nicht, dass Zahlen ohne x auch in Potenzen umgewandelt werden können!

2. Wir versuchen, die Exponentialgleichung auf die Form zu bringen, in der links und rechts vorhanden sind das gleiche Zahlen in beliebigen Potenzen. Wir gebrauchen Aktionen mit Graden Und Faktorisierung. Was in Zahlen zählbar ist, das zählen wir.

3. Wenn der zweite Tipp nicht funktioniert, versuchen Sie es mit der Variablenersetzung. Das Ergebnis kann eine Gleichung sein, die leicht gelöst werden kann. Am häufigsten - quadratisch. Oder Bruchzahl, die ebenfalls auf Quadrat reduziert wird.

4. Um Exponentialgleichungen erfolgreich zu lösen, müssen Sie die Potenzen einiger Zahlen visuell kennen.

Wie üblich sind Sie am Ende der Lektion aufgefordert, eine kleine Entscheidung zu treffen.) Auf eigene Faust. Von einfach bis komplex.

Exponentialgleichungen lösen:

Schwieriger:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 · 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Finden Sie das Produkt aus Wurzeln:

2 3er + 2 x = 9

Passiert?

Na dann das komplizierteste Beispiel(entschied sich jedoch im Kopf...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Was ist interessanter? Dann ist das hier für Sie böses Beispiel. Ziemlich verlockend für den erhöhten Schwierigkeitsgrad. Lassen Sie mich darauf hinweisen, dass Sie in diesem Beispiel Einfallsreichtum und die universellste Regel zur Lösung aller mathematischen Probleme retten.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ein einfacheres Beispiel zur Entspannung):

9 2 x - 4 3 x = 0

Und zum Dessert. Finden Sie die Summe der Wurzeln der Gleichung:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dies ist eine Gleichung gemischten Typs! Was wir in dieser Lektion nicht berücksichtigt haben. Warum sie in Betracht ziehen, sie müssen gelöst werden!) Diese Lektion reicht völlig aus, um die Gleichung zu lösen. Nun, Sie brauchen Einfallsreichtum... Und möge Ihnen die siebte Klasse helfen (das ist ein Hinweis!).

Antworten (in Unordnung, durch Semikolon getrennt):

1; 2; 3; 4; es gibt keine Lösungen; 2; -2; -5; 4; 0.

Ist alles erfolgreich? Großartig.

Es gibt ein Problem? Kein Problem! Im Sonderabschnitt 555 werden alle diese Exponentialgleichungen mit gelöst ausführliche Erläuterungen. Was, warum und warum. Und natürlich gibt es noch weitere wertvolle Informationen zum Arbeiten mit allen möglichen Exponentialgleichungen. Nicht nur diese.)

Eine letzte lustige Frage, die es zu bedenken gilt. In dieser Lektion haben wir mit Exponentialgleichungen gearbeitet. Warum habe ich hier kein Wort über ODZ verloren? Bei Gleichungen ist das übrigens eine sehr wichtige Sache ...

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

1º. Exponentialgleichungen werden Gleichungen genannt, die eine Variable in einem Exponenten enthalten.

Die Lösung von Exponentialgleichungen basiert auf der Potenzeigenschaft: Zwei Potenzen mit derselben Basis sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind.

2º. Grundlegende Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen:

1) Die einfachste Gleichung hat eine Lösung;

2) eine Gleichung der zur Basis logarithmischen Form A auf Form reduzieren;

3) eine Gleichung der Form ist äquivalent zur Gleichung;

4) Gleichung der Form ist äquivalent zur Gleichung.

5) eine Gleichung der Form wird durch Substitution auf eine Gleichung reduziert und dann wird ein Satz einfacher Exponentialgleichungen gelöst;

6) Gleichung mit Kehrwerten durch Substitution reduzieren sie auf eine Gleichung und lösen dann eine Reihe von Gleichungen;

7) Gleichungen homogen in Bezug auf ein g(x) Und b g(x) angesichts dessen Art Durch Ersetzen werden sie auf eine Gleichung reduziert und anschließend wird ein Satz von Gleichungen gelöst.

Klassifizierung von Exponentialgleichungen.

1. Gleichungen werden gelöst, indem man zu einer Basis geht.

Beispiel 18. Lösen Sie die Gleichung .

Lösung: Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass alle Potenzbasen Potenzen der Zahl 5 sind: .

2. Gleichungen werden durch Übergabe an einen Exponenten gelöst.

Diese Gleichungen werden gelöst, indem die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt wird , die mithilfe der Proportionalitätseigenschaft auf ihre einfachste Form reduziert wird.

Beispiel 19. Lösen Sie die Gleichung:

3. Gleichungen werden gelöst, indem der gemeinsame Faktor aus Klammern entfernt wird.

Wenn sich jeder Exponent in einer Gleichung um eine bestimmte Zahl vom anderen unterscheidet, werden die Gleichungen gelöst, indem der Exponent mit dem kleinsten Exponenten in Klammern gesetzt wird.

Beispiel 20. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung: Nehmen wir den Grad mit dem kleinsten Exponenten aus den Klammern auf der linken Seite der Gleichung:

Beispiel 21. Lösen Sie die Gleichung

Lösung: Gruppieren wir die Terme, die Potenzen mit der Basis 4 enthalten, auf der linken Seite der Gleichung separat, auf der rechten Seite mit der Basis 3 und setzen wir dann die Potenzen mit dem kleinsten Exponenten aus den Klammern:

4. Gleichungen, die sich auf quadratische (oder kubische) Gleichungen reduzieren lassen.

Die folgenden Gleichungen werden auf eine quadratische Gleichung für die neue Variable y reduziert:

a) die Art der Substitution, in diesem Fall;

b) die Art der Substitution und .

Beispiel 22. Lösen Sie die Gleichung .

Lösung: Lassen Sie uns eine Variable ändern und lösen quadratische Gleichung:

.

Antwort: 0; 1.

5. Gleichungen, die bezüglich Exponentialfunktionen homogen sind.

Eine Gleichung der Form ist eine homogene Gleichung zweiten Grades bezüglich der Unbekannten ein x Und b x. Solche Gleichungen werden reduziert, indem man zunächst beide Seiten durch dividiert und sie dann in quadratische Gleichungen einsetzt.

Beispiel 23. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung: Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch:

Durch Setzen erhalten wir eine quadratische Gleichung mit Wurzeln.

Das Problem besteht nun darin, eine Reihe von Gleichungen zu lösen . Aus der ersten Gleichung finden wir das. Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, da für jeden Wert X.

Antwort: -1/2.

6. Rationale Gleichungen bezüglich Exponentialfunktionen.

Beispiel 24. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung: Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs durch 3x und statt zwei erhalten wir eine Exponentialfunktion:

7. Gleichungen der Form .

Solche Gleichungen mit einer Menge akzeptable Werte(ODZ), bestimmt durch die Bedingung, durch Logarithmieren beider Seiten der Gleichung auf eine äquivalente Gleichung reduziert werden, die wiederum einem Satz von zwei Gleichungen bzw. äquivalent sind.

Beispiel 25. Lösen Sie die Gleichung: .

.

Didaktisches Material.

Lösen Sie die Gleichungen:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Finden Sie das Produkt der Wurzeln der Gleichung .

27. Finden Sie die Summe der Wurzeln der Gleichung .

Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

28. , wo x 0- Wurzel der Gleichung;

29. , wo x 0– ganze Wurzel der Gleichung .

Löse die Gleichung:

31. ; 32. .

Antworten: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Thema Nr. 8.

Exponentielle Ungleichheiten.

1º. Eine Ungleichung, die eine Variable im Exponenten enthält, heißt exponentielle Ungleichheit.

2º. Lösung exponentielle Ungleichheiten Typ basiert auf den folgenden Aussagen:

wenn, dann ist die Ungleichung äquivalent zu;

wenn, dann ist die Ungleichung äquivalent zu.

Beim Lösen exponentieller Ungleichungen werden dieselben Techniken verwendet wie beim Lösen exponentieller Gleichungen.

Beispiel 26. Ungleichung lösen (Methode des Übergangs zu einer Basis).

Lösung: Weil , dann kann die gegebene Ungleichung geschrieben werden als: . Da ist diese Ungleichung äquivalent zur Ungleichung .

Wenn wir die letzte Ungleichung lösen, erhalten wir .

Beispiel 27. Lösen Sie die Ungleichung: ( indem man den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnimmt).

Lösung: Nehmen wir die Klammern auf der linken Seite der Ungleichung und auf der rechten Seite der Ungleichung heraus und dividieren beide Seiten der Ungleichung durch (-2), wobei wir das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändern:

Seitdem ändert sich beim Übergang zur Ungleichheit der Indikatoren das Vorzeichen der Ungleichheit wieder ins Gegenteil. Wir bekommen. Somit ist die Menge aller Lösungen dieser Ungleichung das Intervall.

Beispiel 28. Ungleichung lösen ( durch Einführung einer neuen Variablen).

Lösung: Sei . Dann nimmt diese Ungleichung die Form an: oder , dessen Lösung das Intervall ist.

Von hier. Da die Funktion zunimmt, dann .

Didaktisches Material.

Geben Sie die Menge der Lösungen für die Ungleichung an:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Bei welchen Werten X Liegen die Punkte im Funktionsgraphen unterhalb der Geraden?

7. Bei welchen Werten X Liegen die Punkte auf dem Funktionsgraphen mindestens bis zur Geraden?

Lösen Sie die Ungleichung:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Geben Sie die größte ganzzahlige Lösung der Ungleichung an .

14. Finden Sie das Produkt der größten ganzzahligen und der kleinsten ganzzahligen Lösung der Ungleichung .

Lösen Sie die Ungleichung:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Finden Sie die Domäne der Funktion:

27. ; 28. .

29. Finden Sie die Menge der Argumentwerte, für die die Werte jeder der Funktionen größer als 3 sind:

Und .

Antworten: 11,3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )