منو
رایگان
ثبت
خانه  /  جو/ نحوه محاسبه میانگین حسابی. مشکلات مرتبط با آمار توصیفی نحوه محاسبه میانگین برای داده های ناهمگن

نحوه محاسبه میانگین حسابی مشکلات مرتبط با آمار توصیفی نحوه محاسبه میانگین برای داده های ناهمگن

بیشتر از همه در معادله در عمل باید از میانگین حسابی استفاده کنیم که به عنوان میانگین حسابی ساده و وزنی قابل محاسبه است.

میانگین حسابی (SA)-nرایج ترین نوع میانگین. در مواردی استفاده می شود که حجم یک مشخصه متغیر برای کل جمعیت، مجموع مقادیر ویژگی های واحدهای فردی آن باشد. پدیده های اجتماعی با افزایش (کلیت) حجم یک ویژگی متفاوت مشخص می شوند؛ این دامنه کاربرد SA را تعیین می کند و شیوع آن را به عنوان یک شاخص کلی توضیح می دهد. به عنوان مثال: صندوق حقوق عمومی مجموع حقوق همه کارکنان است.

برای محاسبه SA، باید مجموع همه مقادیر ویژگی را بر تعداد آنها تقسیم کنید. SA به 2 شکل استفاده می شود.

اجازه دهید ابتدا یک میانگین حسابی ساده را در نظر بگیریم.

1-CA ساده (شکل اولیه و تعریف کننده) برابر است با مجموع ساده مقادیر فردی مشخصه که به طور میانگین تقسیم می شود، تقسیم بر تعداد کل این مقادیر (در صورت وجود مقادیر شاخص گروه بندی نشده مشخصه استفاده می شود):

محاسبات انجام شده را می توان به فرمول زیر تعمیم داد:

(1)

جایی که - مقدار متوسط ​​مشخصه متغیر، یعنی میانگین حسابی ساده؛

به معنای جمع، یعنی افزودن ویژگی های فردی؛

ایکس- مقادیر فردی یک ویژگی متفاوت که به آنها انواع می گویند.

n - تعداد واحدهای جمعیت

مثال 1،باید میانگین خروجی یک کارگر (مکانیک) را پیدا کرد، اگر مشخص باشد که هر 15 کارگر چند قطعه تولید کرده است، یعنی. با توجه به یک سری از Ind. مقادیر ویژگی، عدد: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

SA ساده با استفاده از فرمول (1)، عدد محاسبه می شود:

مثال 2. بیایید SA را بر اساس داده های مشروط برای 20 فروشگاه موجود در شرکت تجاری محاسبه کنیم (جدول 1). میز 1

توزیع فروشگاه های شرکت بازرگانی "وسنا" به تفکیک محدوده فروش، مربع م

فروشگاه شماره

فروشگاه شماره

برای محاسبه میانگین مساحت فروشگاه ( ) لازم است مساحت همه فروشگاه ها را جمع کنید و نتیجه حاصل را بر تعداد فروشگاه ها تقسیم کنید:

بنابراین، میانگین مساحت فروشگاه برای این گروه از شرکت های خرده فروشی 71 متر مربع است.

بنابراین، برای تعیین یک SA ساده، باید مجموع تمام مقادیر یک ویژگی معین را بر تعداد واحدهای دارای این ویژگی تقسیم کنید.

2

جایی که f 1 , f 2 , … ,f n – وزن (تکرار تکرار علائم یکسان)؛

- مجموع حاصل از بزرگی ویژگی ها و فراوانی آنها.

- تعداد کل واحدهای جمعیتی

- SA وزن شده است - باوسط گزینه هایی که چند بار تکرار می شوند یا به قول خودشان وزن های متفاوتی دارند. وزن ها تعداد واحدها در گروه های مختلف جمعیت است (گزینه های یکسان در یک گروه ترکیب می شوند). SA وزن شده است – میانگین مقادیر گروه بندی شده ایکس 1 , ایکس 2 , .., ایکس n – محاسبه شد: (2)

جایی که ایکس- گزینه ها؛

f- فرکانس (وزن).

SA وزن دار ضریب تقسیم مجموع محصولات گزینه ها و فرکانس های مربوط به آنها بر مجموع همه فرکانس ها است. فرکانس ها ( f) ظاهر شده در فرمول SA معمولا نامیده می شوند ترازو، در نتیجه SA محاسبه شده با در نظر گرفتن وزن ها وزن دار نامیده می شود.

روش محاسبه SA وزنی را با استفاده از مثال 1 که در بالا توضیح داده شد نشان خواهیم داد.برای این کار، داده های اولیه را گروه بندی کرده و در جدول قرار می دهیم.

میانگین داده های گروه بندی شده به صورت زیر تعیین می شود: ابتدا گزینه ها در فرکانس ها ضرب می شوند، سپس محصولات جمع می شوند و مجموع حاصل بر مجموع فرکانس ها تقسیم می شود.

طبق فرمول (2)، SA وزن دار برابر است، عدد:

توزیع نیروی کار برای تولید قطعات

پ

داده های ارائه شده در مثال قبلی 2 را می توان در گروه های همگن ترکیب کرد که در جدول ارائه شده است. جدول

توزیع فروشگاه های وسنا بر اساس منطقه فروش، مربع متر

بنابراین، نتیجه یکسان شد. با این حال، این در حال حاضر یک مقدار میانگین حسابی وزنی خواهد بود.

در مثال قبل میانگین حسابی را به شرط مشخص بودن فرکانس های مطلق (تعداد ذخیره ها) محاسبه کردیم. با این حال، در تعدادی از موارد، فرکانس های مطلق وجود ندارند، اما فرکانس های نسبی شناخته شده هستند، یا، به طور معمول، فرکانس هایی که نسبت یانسبت فرکانس ها در کل مجموعه

هنگام محاسبه استفاده وزنی SA فرکانس هاهنگامی که فرکانس در اعداد بزرگ و چند رقمی بیان می شود، به شما امکان می دهد محاسبات را ساده کنید. محاسبه به همین ترتیب انجام می شود ، اما از آنجایی که معلوم می شود مقدار متوسط ​​100 برابر افزایش می یابد ، نتیجه باید بر 100 تقسیم شود.

سپس فرمول میانگین وزنی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

جایی که د- فرکانس، یعنی سهم هر فرکانس در مجموع کل فرکانس ها.

(3)

در مثال 2 ما ابتدا سهم فروشگاه ها را به گروه از تعداد کل فروشگاه های شرکت وسنا تعیین می کنیم. بنابراین، برای گروه اول وزن مخصوص برابر با 10٪ است.
. ما داده های زیر را دریافت می کنیم جدول 3

هر فرد در دنیای مدرنهنگام برنامه ریزی برای گرفتن وام یا ذخیره سبزیجات برای زمستان، به طور دوره ای با مفهومی به عنوان "ارزش متوسط" روبرو می شوید. بیایید دریابیم: چیست، چه انواع و کلاس هایی وجود دارد و چرا در آمار و سایر رشته ها استفاده می شود.

مقدار متوسط ​​- چیست؟

نام مشابه (SV) یک مشخصه تعمیم یافته مجموعه ای از پدیده های همگن است که توسط هر یک از مشخصه های متغیر کمی تعیین می شود.

با این حال، افرادی که از چنین تعاریف مبهم دور هستند، این مفهوم را به عنوان یک مقدار متوسط ​​از چیزی درک می کنند. به عنوان مثال، قبل از گرفتن وام، یک کارمند بانک قطعا از یک مشتری بالقوه می خواهد که داده هایی را در مورد میانگین درآمد سال ارائه دهد، یعنی کل مقدار پولی که یک فرد به دست می آورد. با جمع بندی درآمد کل سال و تقسیم بر تعداد ماه ها محاسبه می شود. بنابراین، بانک قادر خواهد بود تعیین کند که آیا مشتری خود می تواند بدهی خود را به موقع بازپرداخت کند یا خیر.

چرا استفاده می شود؟

به عنوان یک قاعده، مقادیر متوسط ​​به طور گسترده ای برای ارائه یک توصیف خلاصه از برخی پدیده های اجتماعی با ماهیت توده ای استفاده می شود. آنها همچنین می توانند برای محاسبات در مقیاس کوچکتر استفاده شوند، مانند مورد وام در مثال بالا.

با این حال، اغلب مقادیر متوسط ​​هنوز برای اهداف جهانی استفاده می شود. نمونه یکی از آنها محاسبه میزان برق مصرفی شهروندان در طول یک ماه تقویمی است. بر اساس داده های به دست آمده، بیشتر مشخص می شود حداکثر استانداردهابرای دسته هایی از جمعیتی که از مزایای دولت بهره مند هستند.

همچنین با استفاده از مقادیر متوسط، عمر گارانتی برخی از لوازم خانگی، خودروها، ساختمان ها و غیره توسعه می یابد.بر اساس داده های جمع آوری شده از این طریق، زمانی استانداردهای مدرن کار و استراحت تدوین شد.

تقریباً هر پدیده ای زندگی مدرن، که ماهیتی توده ای دارد، به هر نحوی لزوماً با مفهوم مورد بررسی مرتبط است.

زمینه های کاربردی

این پدیده تقریباً در تمام علوم دقیق، به ویژه علوم تجربی، کاربرد وسیعی دارد.

یافتن میانگین در پزشکی، مهندسی، آشپزی، اقتصاد، سیاست و غیره از اهمیت بالایی برخوردار است.

بر اساس داده های به دست آمده از چنین تعمیم ها، آنها داروهای درمانی، برنامه های آموزشی، ایجاد حداقل سطوح معیشتی و دستمزد، ساخت برنامه های آموزشی، تولید مبلمان، پوشاک و کفش، محصولات بهداشتی و بسیاری موارد دیگر.

در ریاضیات به این اصطلاح «مقدار متوسط» می گویند و برای حل مثال ها و مسائل مختلف به کار می رود. ساده ترین آنها جمع و تفریق با کسرهای معمولی است. از این گذشته ، همانطور که می دانید ، برای حل چنین مثال هایی لازم است هر دو کسر را به یک مخرج مشترک بیاوریم.

همچنین در ملکه علوم دقیق از اصطلاح "مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی" که از نظر معنی مشابه است، اغلب استفاده می شود. برای بیشتر افراد به عنوان «انتظار ریاضی» که بیشتر در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود، آشناتر است. شایان ذکر است که یک پدیده مشابه در هنگام انجام محاسبات آماری نیز اعمال می شود.

میانگین ارزش در آمار

با این حال، مفهوم مورد مطالعه اغلب در آمار استفاده می شود. همانطور که مشخص است، این علم خود در محاسبه و تجزیه و تحلیل ویژگی های کمی پدیده های اجتماعی توده ای تخصص دارد. بنابراین، مقدار متوسط ​​در آمار به عنوان یک روش تخصصی برای دستیابی به اهداف اصلی آن - جمع آوری و تجزیه و تحلیل اطلاعات استفاده می شود.

ماهیت این روش آماری جایگزینی مقادیر منحصر به فرد مشخصه مورد نظر با یک مقدار متوسط ​​متعادل معین است.

به عنوان مثال می توان به شوخی معروف غذایی اشاره کرد. بنابراین، در یک کارخانه معین سه شنبه ها برای ناهار، روسای آن معمولاً کاسه گوشت می خورند و کارگران عادی... کلم خورشتی. بر اساس این داده‌ها، می‌توان نتیجه گرفت که کارکنان کارخانه به‌طور متوسط ​​سه‌شنبه‌ها با رول‌های کلم غذا می‌خورند.

اگرچه این مثال کمی اغراق آمیز است، اما اشکال اصلی روش جستجو را نشان می دهد اندازه متوسط- تسطیح ویژگی های فردی اشیا یا شخصیت ها.

در مقادیر متوسط ​​از آنها نه تنها برای تجزیه و تحلیل اطلاعات جمع آوری شده، بلکه برای برنامه ریزی و پیش بینی اقدامات بعدی استفاده می شود.

همچنین برای ارزیابی نتایج به دست آمده (مثلا اجرای طرح کشت و برداشت گندم در فصل بهار و تابستان) استفاده می شود.

نحوه محاسبه صحیح

اگرچه بسته به نوع SV فرمول های مختلفی برای محاسبه آن وجود دارد، در نظریه عمومیآمار، به عنوان یک قاعده، تنها یک روش برای محاسبه مقدار متوسط ​​یک مشخصه استفاده می شود. برای انجام این کار ابتدا باید مقادیر همه پدیده ها را با هم جمع کنید و سپس مجموع حاصل را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

هنگام انجام چنین محاسباتی، شایان ذکر است که مقدار متوسط ​​همیشه همان بعد (یا واحدها) واحد فردی جمعیت را دارد.

شرایط محاسبه صحیح

فرمول مورد بحث در بالا بسیار ساده و جهانی است، بنابراین اشتباه کردن با آن تقریبا غیرممکن است. با این حال، همیشه ارزش در نظر گرفتن دو جنبه را دارد، در غیر این صورت داده های به دست آمده منعکس کننده وضعیت واقعی نیستند.


کلاس های SV

پس از یافتن پاسخ برای سؤالات اساسی: "مقدار متوسط ​​چقدر است؟"، "کجا استفاده می شود؟" و "چگونه می توانید آن را محاسبه کنید؟"، ارزش دارد که بدانید چه کلاس ها و انواع SV ها وجود دارد.

اول از همه، این پدیده به 2 کلاس تقسیم می شود. اینها میانگین های ساختاری و توانی هستند.

انواع SV های قدرت

هر یک از کلاس های فوق به نوبه خود به انواعی تقسیم می شوند. کلاس آرام بخش چهار دارد.

  • میانگین حسابی رایج ترین نوع SV است. این عبارت میانگینی است که در تعیین حجم کل مشخصه مورد نظر در مجموعه ای از داده ها به طور مساوی بین همه واحدهای این مجموعه توزیع می شود.

    این نوع به زیرگروه تقسیم می شود: SV حسابی ساده و وزن دار.

  • میانگین هارمونیک شاخصی است که معکوس میانگین حسابی ساده است که از مقادیر متقابل مشخصه مورد بررسی محاسبه می شود.

    در مواردی استفاده می شود که مقادیر فردی ویژگی و محصول مشخص باشد، اما داده های فرکانس مشخص نیست.

  • میانگین هندسی اغلب برای تجزیه و تحلیل نرخ رشد پدیده های اقتصادی استفاده می شود. این امکان را فراهم می کند که محصول مقادیر فردی یک مقدار معین را بدون تغییر حفظ کنید و نه مجموع.

    همچنین می تواند ساده و متعادل باشد.

  • میانگین کمیت درجه دومدر محاسبه استفاده می شود شاخص های فردیشاخص هایی مانند ضریب تغییرات، مشخص کننده ریتم تولید و غیره.

    همچنین برای محاسبه قطر متوسط ​​لوله ها، چرخ ها، میانگین اضلاع مربع و ارقام مشابه استفاده می شود.

    مانند سایر انواع میانگین ها، ریشه میانگین مربع می تواند ساده و وزن دار باشد.

انواع کمیت های ساختاری

علاوه بر SV های متوسط، انواع ساختاری اغلب در آمار استفاده می شود. آنها برای محاسبه ویژگی های نسبی مقادیر یک مشخصه متفاوت مناسب تر هستند ساختار داخلیردیف های توزیع

دو نوع از این قبیل وجود دارد.


به منظور تجزیه و تحلیل و به دست آوردن نتایج آماری بر اساس نتایج حاصل از جمع بندی و گروه بندی، شاخص های تعمیم دهنده - مقادیر متوسط ​​و نسبی محاسبه می شود.

مشکل میانگین ها - مشخص کردن تمام واحدهای یک جامعه آماری با یک مقدار مشخصه.

مقادیر متوسط ​​شاخص های کیفیت را مشخص می کند فعالیت کارآفرینی: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.

مقدار متوسط- این یک ویژگی تعمیم دهنده واحدهای جمعیت با توجه به برخی ویژگی های مختلف است.

مقادیر متوسط ​​به شما امکان می دهد سطوح یک صفت را در جمعیت های مختلف مقایسه کنید و دلایل این اختلافات را بیابید.

در تجزیه و تحلیل پدیده های مورد مطالعه، نقش مقادیر متوسط ​​بسیار زیاد است. اقتصاددان انگلیسی دبلیو پتی (1623-1687) به طور گسترده ای از مقادیر متوسط ​​استفاده می کرد. V. Petty می خواست از مقادیر متوسط ​​به عنوان معیاری برای هزینه مخارج متوسط ​​غذای روزانه یک کارگر استفاده کند. پایداری مقدار متوسط ​​بازتابی از منظم بودن فرآیندهای مورد مطالعه است. او معتقد بود که اطلاعات را می توان تغییر داد، حتی اگر داده های اصلی کافی وجود نداشته باشد.

دانشمند انگلیسی G. King (1648-1712) هنگام تجزیه و تحلیل داده های جمعیت انگلستان از مقادیر متوسط ​​و نسبی استفاده کرد.

تحولات نظری آماردان بلژیکی A. Quetelet (1796-1874) بر اساس ناسازگاری طبیعت است. پدیده های اجتماعی- بسیار پایدار در توده، اما صرفا فردی.

به گفته A. Quetelet دلایل دائمیروی هر پدیده ای که مورد مطالعه قرار می گیرد به طور یکسان عمل کرده و این پدیده ها را شبیه به یکدیگر می کند و الگوهای مشترکی برای همه آنها ایجاد می کند.

نتیجه آموزه های A. Quetelet شناسایی مقادیر میانگین به عنوان تکنیک اصلی تجزیه و تحلیل آماری بود. او گفت که میانگین های آماری مقوله ای از واقعیت عینی را نشان نمی دهند.

A. Quetelet نظرات خود را در مورد میانگین در نظریه خود درباره انسان معمولی بیان کرد. یک فرد متوسط، فردی است که تمام ویژگی های یک جثه متوسط ​​(میانگین مرگ و میر یا زاد و ولد، میانگین قد و وزن، میانگین سرعت دویدن، متوسط ​​تمایل به ازدواج و خودکشی، به سمت کارهای خوب و ...) را دارد. برای A. Quetelet یک فرد معمولی- این ایده آل یک فرد است. ناسازگاری نظریه A. Quetelet در مورد انسان متوسط ​​در ادبیات آماری روسیه در اواخر XIX-XXقرن ها

یو. ای. یانسون (1893-1835) آماردان مشهور روسی نوشت که A. Quetelet وجود یک نوع انسان معمولی را در طبیعت به عنوان چیزی داده شده فرض می کند که زندگی افراد عادی را از آن منحرف کرده است. این شرکتو زمان داده شده، و این او را به دیدی کاملاً مکانیکی از قوانین حرکت سوق می دهد زندگی اجتماعی: حرکت عبارت است از افزایش تدریجی خصوصیات متوسط ​​یک فرد، ترمیم تدریجی نوع. در نتیجه، چنین تسطیح همه مظاهر حیات بدن اجتماعی، که فراتر از آن هر حرکت رو به جلو متوقف می شود.

جوهر این نظریه خود را پیدا کرده است پیشرفتهای بعدیدر آثار تعدادی از نظریه پردازان آماری به عنوان نظریه کمیت های واقعی. A. Quetelet پیروانی داشت - اقتصاددان و آماردان آلمانی V. Lexis (1837-1914) که نظریه ارزش های واقعی را به پدیده های اقتصادی زندگی عمومی. نظریه او به نظریه ثبات معروف است. نسخه دیگری از نظریه ایده آلیستی میانگین ها مبتنی بر فلسفه است

بنیانگذار آن آماردان انگلیسی A. Bowley (1869-1957) است - یکی از برجسته ترین نظریه پردازان زمان های اخیر در زمینه نظریه میانگین ها. مفهوم او از میانگین ها در کتاب «عناصر آمار» مشخص شده است.

A. Boley مقادیر متوسط ​​را فقط از جنبه کمی در نظر می گیرد و در نتیجه کمیت را از کیفیت جدا می کند. A. Boley با تعیین معنای مقادیر متوسط ​​(یا "عملکرد آنها") اصل تفکر ماکیان را مطرح می کند. A. Boley نوشت که تابع مقادیر متوسط ​​باید یک گروه پیچیده را بیان کند

با استفاده از چند عدد اول داده های آماری باید ساده، گروه بندی و به میانگین تقلیل داده شوند.این دیدگاه ها: به اشتراک گذاشته شده توسط R. Fisher (1890-1968)، J. Yule (1871 - 1951)، Frederick S. Mills (1892)، و غیره.

در دهه 30 قرن XX و سالهای بعد میانگین ارزش اجتماعی در نظر گرفته می شود مشخصه قابل توجهکه محتوای اطلاعاتی آن به همگنی داده ها بستگی دارد.

برجسته ترین نمایندگان مکتب ایتالیایی، آر. بنینی (1862-1956) و سی. جینی (1965-1884) که آمار را شاخه ای از منطق می دانستند، دامنه کاربرد استقراء آماری را گسترش دادند، اما شناختی را به هم مرتبط کردند. اصول منطق و آمار با ماهیت پدیده های مورد مطالعه با پیروی از سنت های تفسیر جامعه شناختی از آمار.

در آثار ک. مارکس و وی. آی. لنین به ارزش های متوسط ​​نقش ویژه ای داده شده است.

ک. مارکس استدلال کرد که میانگین انحرافات فردی از سطح عمومی را جبران می کند و سطح متوسطتنها در صورتی که تعداد قابل توجهی از واحدها گرفته شود و این واحدها از نظر کیفی همگن باشند، به یک مشخصه تعمیم دهنده یک پدیده جرم تبدیل می شود. مارکس نوشت که مقدار متوسط ​​یافت شده باید میانگین «...بسیاری از مقادیر مختلف فردی از یک نوع» باشد.

ارزش متوسط ​​در اقتصاد بازار اهمیت ویژه ای پیدا می کند. به تعیین گرایش الگوی ضروری و کلی کمک می کند توسعه اقتصادیمستقیماً از طریق مفرد و تصادفی.

مقادیر متوسطشاخص های تعمیم دهنده ای هستند که در آنها عملکرد شرایط عمومی و الگوی پدیده مورد مطالعه بیان می شود.

میانگین‌های آماری بر اساس داده‌های انبوه از مشاهدات انبوه سازمان‌یافته آماری محاسبه می‌شوند. اگر میانگین آماری از داده های انبوه برای یک جمعیت از نظر کیفی همگن (پدیده های انبوه) محاسبه شود، آنگاه عینی خواهد بود.

مقدار متوسط ​​انتزاعی است، زیرا ارزش یک واحد انتزاعی را مشخص می کند.

از تنوع صفت اشیاء فردیمیانگین انتزاع شده است. انتزاع یک مرحله است تحقیق علمی. در مقدار متوسط، وحدت دیالکتیکی فرد و کلی تحقق می یابد.

مقادیر متوسط ​​باید بر اساس درک دیالکتیکی از مقوله های فردی و عمومی، فردی و توده اعمال شود.

وسط چیزی مشترک را نشان می دهد که در یک شی واحد خاص موجود است.

برای شناسایی الگوها در فرآیندهای اجتماعی انبوه، مقدار متوسط ​​از اهمیت بالایی برخوردار است.

انحراف فرد از امر کلی، جلوه ای از روند توسعه است.

مقدار متوسط ​​نشان دهنده سطح مشخصه، معمولی و واقعی پدیده های مورد مطالعه است. وظیفه مقادیر متوسط ​​مشخص کردن این سطوح و تغییرات آنها در زمان و مکان است.

میانگین یک مقدار مشترک است زیرا در حالت عادی، طبیعی، شرایط عمومیوجود یک پدیده توده ای خاص به عنوان یک کل در نظر گرفته شده است.

ویژگی عینی یک فرآیند یا پدیده آماری با مقدار متوسط ​​منعکس می شود.

مقادیر فردی ویژگی آماری مورد مطالعه برای هر واحد جامعه متفاوت است. مقدار متوسط ​​ارزشهای فردی یک نوع محصول ضرورت است که نتیجه عملکرد ترکیبی همه واحدهای جمعیت است که در انبوهی از تصادفات تکراری آشکار می شود.

برخی از پدیده های فردی دارای ویژگی هایی هستند که در همه پدیده ها وجود دارد، اما در مقادیر مختلفقد یا سن یک فرد است. سایر علائم یک پدیده فردی، از نظر کیفی متفاوت است پدیده های مختلفیعنی در بعضی وجود دارند و در بعضی دیگر رعایت نمی شوند (مرد زن نمی شود). مقدار متوسط ​​برای ویژگی هایی محاسبه می شود که از نظر کیفی همگن هستند و فقط از نظر کمی متفاوت هستند که در همه پدیده های یک مجموعه مشخص ذاتی هستند.

مقدار متوسط ​​بازتابی از مقادیر مشخصه مورد مطالعه است و در همان بعد این مشخصه اندازه گیری می شود.

نظریه ماتریالیسم دیالکتیکی می آموزد که همه چیز در جهان تغییر می کند و توسعه می یابد. و همچنین ویژگی هایی که با مقادیر متوسط ​​مشخص می شوند تغییر می کنند و بر این اساس خود میانگین ها نیز تغییر می کنند.

در زندگی یک روند مداوم برای خلق چیز جدید وجود دارد. حامل کیفیت جدید اجسام منفرد هستند، سپس تعداد این اجسام افزایش می یابد و جدید به جرم تبدیل می شود.

مقدار متوسط ​​جامعه مورد مطالعه را تنها بر اساس یک مشخصه مشخص می کند. برای نمایش کامل و جامع جمعیت مورد مطالعه در یک سری نشانه های خاصداشتن سیستمی از مقادیر متوسط ​​که بتواند پدیده را از زوایای مختلف توصیف کند، ضروری است.

2. انواع معدل

در پردازش آماری مواد، مشکلات مختلفی به وجود می آید که باید حل شوند و به همین دلیل از مقادیر متوسط ​​مختلفی در عمل آماری استفاده می شود. آمار ریاضیاز میانگین های مختلف استفاده می کند، مانند: میانگین حسابی; میانگین هندسی؛ میانگین هارمونیک؛ مربع متوسط

به منظور اعمال یکی از انواع میانگین بالا، لازم است جامعه مورد مطالعه را تجزیه و تحلیل کرد، محتوای مادی پدیده مورد مطالعه را تعیین کرد، همه اینها بر اساس نتایج حاصل از اصل معنی دار بودن نتایج انجام می شود. وزن کردن یا جمع کردن

در بررسی میانگین ها از شاخص ها و نمادهای زیر استفاده می شود.

علامتی که با آن میانگین پیدا می شود نامیده می شود مشخصه متوسط و با x نشان داده می شود. مقدار مشخصه میانگین برای هر واحد از جامعه آماری نامیده می شود معنای فردی آن،یا گزینه ها،و به عنوان نشان داده شده است ایکس 1 ، ایکس 2 ، ایکس 3 ،… ایکس پ ; فرکانس تکرارپذیری مقادیر فردی یک مشخصه است که با حرف مشخص می شود f.

میانگین حسابی

یکی از رایج ترین انواع رسانه ها است میانگین حسابی، که زمانی محاسبه می شود که حجم مشخصه میانگین به عنوان مجموع مقادیر آن در واحدهای مجزا از جامعه آماری مورد مطالعه تشکیل شود.

برای محاسبه میانگین حسابی، مجموع تمام سطوح صفت بر تعداد آنها تقسیم می شود.


اگر برخی از گزینه ها چندین بار اتفاق بیفتند، مجموع سطوح ویژگی را می توان با ضرب هر سطح در تعداد واحدهای مربوطه در جامعه و سپس جمع کردن محصولات حاصل به دست آورد؛ میانگین حسابی محاسبه شده به این ترتیب وزن دار نامیده می شود. میانگین حسابی.

فرمول میانگین موزون حسابی به شرح زیر است:


جایی که x i گزینه ها هستند،

f i - فرکانس ها یا وزن ها.

در تمام مواردی که گزینه ها دارای اعداد مختلف هستند، باید از میانگین وزنی استفاده شود.

میانگین حسابی، همانطور که بود، به طور مساوی بین اشیاء منفرد ارزش کل ویژگی را توزیع می کند، که در واقعیت برای هر یک از آنها متفاوت است.

محاسبه مقادیر متوسط ​​با استفاده از داده های گروه بندی شده در قالب سری های توزیع بازه ای انجام می شود، زمانی که انواع مشخصه ای که از آن میانگین محاسبه می شود در قالب فواصل (از - تا) ارائه می شود.

ویژگی های میانگین حسابی:

1) متوسط جمع حسابیمقادیر متغیر برابر است با مجموع میانگین های حسابی: اگر x i = y i +z i، آنگاه


این ویژگی نشان می دهد که در چه مواردی می توان مقادیر میانگین را خلاصه کرد.

2) مجموع جبری انحرافات مقادیر فردی یک مشخصه متغیر از میانگین برابر با صفر است، زیرا مجموع انحرافات در یک جهت با مجموع انحرافات در جهت دیگر جبران می شود:


این قانون نشان می دهد که میانگین نتیجه است.

3) اگر همه گزینه های یک سری به یک عدد کم یا زیاد شوند، آیا میانگین به همان عدد افزایش یا کاهش می یابد؟:


4) اگر همه انواع سری A بار کم یا زیاد شوند، میانگین آن نیز به میزان A افزایش یا کاهش می یابد:


5) پنجمین خاصیت میانگین به ما نشان می دهد که به اندازه مقیاس ها بستگی ندارد، بلکه به رابطه بین آنها بستگی دارد. نه تنها مقادیر نسبی، بلکه مطلق را نیز می توان به عنوان مقیاس در نظر گرفت.

اگر تمام فرکانس های سری در یک عدد d تقسیم یا ضرب شوند، میانگین تغییر نخواهد کرد.


میانگین هارمونیکبرای تعیین میانگین حسابی، لازم است تعدادی گزینه و فرکانس، یعنی مقادیر داشته باشیم. ایکسو f.

اجازه دهید فرض کنیم که ارزش های فردی مشخصه شناخته شده است ایکسو کار می کند ایکس/،و فرکانس ها fناشناخته هستند، سپس برای محاسبه میانگین، حاصلضرب = را نشان می دهیم ایکس/؛جایی که:



میانگین در این شکل میانگین وزنی هارمونیک نامیده می شود و نشان داده می شود x آسیب بالا

بر این اساس، میانگین هارمونیک با میانگین حسابی یکسان است. زمانی که وزن واقعی ناشناخته باشد قابل اجرا است f، و کار معلوم است fx = z

وقتی کار می کند fxواحدهای یکسان یا مساوی (m = 1)، از میانگین هارمونیک ساده استفاده می شود که با فرمول محاسبه می شود:


جایی که ایکس- گزینه های جداگانه؛

n- عدد.

میانگین هندسی

اگر n ضریب رشد وجود داشته باشد، فرمول میانگین ضریب این است:


این فرمول میانگین هندسی است.

میانگین هندسی برابر با ریشه توان است nاز حاصل ضرب ضرایب رشد که نسبت ارزش هر دوره بعدی به مقدار دوره قبلی را مشخص می کند.

اگر مقادیر بیان شده در فرم مشمول میانگین گیری باشد توابع درجه دوم، مربع میانگین اعمال می شود. به عنوان مثال، با استفاده از ریشه میانگین مربع، می توانید قطر لوله ها، چرخ ها و غیره را تعیین کنید.

میانگین مربع ساده با گرفتن جذر ضریب تقسیم مجموع مجذور مقادیر فردی ویژگی بر تعداد آنها تعیین می شود.


میانگین وزنی مربع برابر است با:

3. میانگین های ساختاری. حالت و میانه

برای توصیف ساختار یک جامعه آماری از شاخص هایی استفاده می شود که نامیده می شوند میانگین های ساختاریاینها شامل حالت و میانه است.

مد (M O ) - رایج ترین گزینه روشمقدار مشخصه ای است که با حداکثر نقطه منحنی توزیع نظری مطابقت دارد.

مد نشان دهنده متداول ترین یا معمول ترین معنای است.

مد در عمل تجاری برای مطالعه تقاضای مصرف کننده و ثبت قیمت ها استفاده می شود.

در یک سری گسسته، حالت نوع با بالاترین فرکانس است. در یک سری تغییرات بازه ای، حالت به عنوان نوع مرکزی بازه در نظر گرفته می شود که دارای بالاترین فرکانس (خاصیت) است.

در این بازه، باید مقدار ویژگی که mode است را پیدا کنید.


جایی که ایکس O- حد پایین بازه مودال؛

ساعت- مقدار فاصله مودال؛

f m- فرکانس فاصله مودال؛

f t-1 - فرکانس فاصله قبل از مدال.

f m+1 - فرکانس بازه پس از یک حالت.

حالت بستگی به اندازه گروه ها و موقعیت دقیق مرزهای گروه دارد.

روش- عددی که در واقع اغلب اتفاق می افتد (مقدار معینی است)، در عمل گسترده ترین کاربرد را دارد (متداول ترین نوع خریدار).

میانه (M هکمیتی است که تعداد یک سری تغییرات مرتب شده را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند: یک قسمت دارای مقادیر مشخصه متغیر است که کوچکتر از نوع متوسط ​​است و دیگری دارای مقادیر بزرگتر است.

میانهعنصری است که بزرگتر یا مساوی و در عین حال کمتر یا مساوی نیمی از عناصر باقیمانده از سری توزیع است.

خاصیت میانه این است که مجموع انحرافات مطلق مقادیر مشخصه از میانه کمتر از هر مقدار دیگری است.

استفاده از میانه به شما امکان می دهد تا نتایج دقیق تری نسبت به سایر اشکال میانگین ها بدست آورید.

ترتیب یافتن میانه در یک سری تغییرات بازه ای به شرح زیر است: مقادیر فردی مشخصه را بر اساس رتبه بندی مرتب می کنیم. ما فرکانس های انباشته شده را برای یک سری رتبه بندی شده مشخص می کنیم. با استفاده از داده های فرکانس انباشته شده، فاصله میانی را پیدا می کنیم:


جایی که x من- حد پایین بازه میانه؛

من من- مقدار فاصله متوسط؛

f/2– نصف مجموع فرکانس های سری؛

اس من-1 - مجموع فرکانس های انباشته شده قبل از بازه میانه.

f من- فرکانس بازه میانه.

میانه تعداد یک سری را به نصف تقسیم می کند، بنابراین، جایی است که فرکانس انباشته شده نصف یا بیشتر از نیمی از مجموع فرکانس ها است و فرکانس قبلی (انباشته شده) کمتر از نصف تعداد جمعیت است.


مقدار متوسط ​​یک شاخص کلی است که سطح معمولی یک پدیده را مشخص می کند. ارزش یک مشخصه در واحد جمعیت را بیان می کند.

مقدار متوسط:

1) معمولی ترین مقدار ویژگی برای جمعیت؛

2) حجم صفت جمعیت، به طور مساوی بین واحدهای جمعیت توزیع شده است.

مشخصه ای که مقدار متوسط ​​برای آن محاسبه می شود در آمار «متوسط» نامیده می شود.

میانگین همیشه تغییرات کمی یک صفت را تعمیم می دهد، یعنی. در مقادیر متوسط، تفاوت های فردی بین واحدها در جامعه به دلیل شرایط تصادفی حذف می شود. برخلاف میانگین، قدر مطلق که سطح یک ویژگی یک واحد از جمعیت را مشخص می کند، به فرد اجازه نمی دهد مقادیر یک ویژگی را در بین واحدهای متعلق به جمعیت های مختلف مقایسه کند. بنابراین، اگر شما نیاز به مقایسه سطوح دستمزد کارگران در دو شرکت دارید، نمی توانید دو کارمند شرکت های مختلف را بر این اساس مقایسه کنید. غرامت کارگرانی که برای مقایسه انتخاب شده اند ممکن است برای این شرکت ها معمولی نباشد. اگر اندازه صندوق های دستمزد را در شرکت های مورد نظر مقایسه کنیم، تعداد کارکنان در نظر گرفته نمی شود و بنابراین، تعیین اینکه سطح دستمزد در کجا بالاتر است غیرممکن است. در نهایت، فقط شاخص های میانگین را می توان با هم مقایسه کرد، یعنی. یک کارمند به طور متوسط ​​در هر شرکت چقدر درآمد دارد؟ بنابراین، نیاز به محاسبه مقدار متوسط ​​به عنوان یک مشخصه تعمیم دهنده جامعه وجود دارد.

توجه به این نکته ضروری است که در طول فرآیند میانگین‌گیری، مقدار کل سطوح ویژگی یا مقدار نهایی آن (در مورد محاسبه سطوح متوسط ​​در یک سری دینامیک) باید بدون تغییر باقی بماند. به عبارت دیگر، هنگام محاسبه مقدار میانگین، حجم مشخصه مورد مطالعه نباید تحریف شود و عباراتی که هنگام محاسبه میانگین جمع آوری می شود، لزوماً باید منطقی باشد.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. شاخص میانگین آنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه مشترک (معمول) است رد می کند، در حالی که در عین حال تفاوت های واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی از شانس و ضرورت وجود دارد. هنگام محاسبه میانگین ها، به موجب قانون اعداد بزرگحوادث لغو، متعادل می شوند، بنابراین می توان از ویژگی های بی اهمیت پدیده، از مقادیر کمی ویژگی در هر مورد خاص انتزاع کرد. توانایی انتزاع از تصادفی بودن مقادیر و نوسانات فردی، ارزش علمی میانگین ها به عنوان ویژگی های تعمیم دهنده کل است.

برای اینکه میانگین واقعا معرف باشد، باید با در نظر گرفتن اصول خاصی محاسبه شود.

بیایید به برخی نگاه کنیم اصول کلیاستفاده از مقادیر متوسط

1. میانگین باید برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن تعیین شود.

2. میانگین باید برای جمعیتی که از تعداد کافی واحد تشکیل شده است محاسبه شود.

3. میانگین باید برای جمعیتی که واحدهای آن در حالت عادی و طبیعی هستند محاسبه شود.

4. میانگین باید با در نظر گرفتن محتوای اقتصادی شاخص مورد مطالعه محاسبه شود.

5.2. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

اکنون انواع مقادیر متوسط، ویژگی های محاسبه آنها و زمینه های کاربرد را در نظر می گیریم. مقادیر متوسط ​​به دو دسته بزرگ تقسیم می شوند: میانگین توان، میانگین ساختاری.

میانگین توان شامل شناخته شده ترین و پرکاربردترین انواع مانند میانگین هندسی، میانگین حسابی و میانگین مربع است.

مد و میانه به عنوان میانگین های ساختاری در نظر گرفته می شوند.

بیایید روی میانگین های توان تمرکز کنیم. میانگین توان، بسته به ارائه داده های منبع، می تواند ساده یا وزنی باشد. متوسط ​​سادهبر اساس داده های گروه بندی نشده محاسبه می شود و به شکل کلی زیر است:

,

که در آن X i نوع (مقدار) مشخصه ای است که به طور میانگین می شود.

n – گزینه شماره.

میانگین وزنیبر اساس داده های گروه بندی شده محاسبه می شود و ظاهری کلی دارد

,

که در آن X i متغیر (مقدار) مشخصه‌ای است که به طور میانگین می‌شود یا مقدار وسط بازه‌ای است که در آن متغیر اندازه‌گیری می‌شود.

m - شاخص درجه متوسط؛

f i - فرکانس نشان می دهد که چند بار رخ می دهد مقدار i-eمشخصه میانگین

اگر همه انواع میانگین ها را برای همان داده های اولیه محاسبه کنید، مقادیر آنها متفاوت خواهد بود. قانون اکثریت میانگین ها در اینجا اعمال می شود: با افزایش توان m، مقدار میانگین مربوطه نیز افزایش می یابد:

در عمل آماری، میانگین های حسابی و میانگین وزنی هارمونیک بیشتر از سایر انواع میانگین های وزنی استفاده می شود.

انواع وسایل قدرت

نوعی قدرت
میانگین

فهرست مطالب
درجه (متر)

فرمول محاسبه

ساده

وزن دار

هارمونیک

هندسی

حسابی

درجه دوم

مکعبی

میانگین هارمونیک بیشتر است طراحی پیچیدهنسبت به میانگین حسابی میانگین هارمونیک زمانی برای محاسبات استفاده می شود که از واحدهای جمعیت - حامل های مشخصه - به عنوان وزن استفاده نمی شود، بلکه حاصل ضرب این واحدها با مقادیر مشخصه (یعنی m = Xf) است. در مواردی مانند تعیین میانگین هزینه نیروی کار، زمان، مواد در واحد تولید، به ازای هر قسمت برای دو (سه، چهار و غیره) شرکت، کارگرانی که در ساخت و تولید مشغول هستند، باید از هارمونیک ساده استفاده کرد. از همان نوع محصول، همان قطعه، محصول.

شرط اصلی برای فرمول محاسبه مقدار متوسط ​​این است که تمام مراحل محاسبه دارای یک توجیه واقعی و معنادار باشد. مقدار متوسط ​​حاصل باید جایگزین مقادیر فردی ویژگی برای هر شی شود بدون اینکه ارتباط بین شاخص های فردی و خلاصه را مختل کند. به عبارت دیگر، مقدار میانگین باید به گونه ای محاسبه شود که وقتی هر مقدار شاخص میانگین شده با مقدار متوسط ​​آن جایگزین می شود، برخی از شاخص های خلاصه نهایی بدون تغییر باقی می مانند. موضوع مرتبطیا به روشی دیگر با میانگین گیری. این مجموع نامیده می شود تعریف کردناز آنجایی که ماهیت رابطه آن با مقادیر فردی فرمول خاص برای محاسبه مقدار متوسط ​​را تعیین می کند. اجازه دهید این قانون را با استفاده از مثال میانگین هندسی نشان دهیم.

فرمول میانگین هندسی

اغلب هنگام محاسبه مقدار متوسط ​​بر اساس دینامیک نسبی فردی استفاده می شود.

اگر دنباله ای از دینامیک نسبی زنجیره داده شود، میانگین هندسی استفاده می شود که به عنوان مثال، افزایش حجم تولید را در مقایسه با سطح نشان می دهد. پارسال: i 1, i 2, i 3,…, i n. بدیهی است که حجم تولید در سال گذشتهبا سطح اولیه آن (q 0) و افزایش بعدی در طول سال تعیین می شود:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

با در نظر گرفتن q n به عنوان شاخص تعیین کننده و جایگزینی مقادیر فردی شاخص های دینامیک با مقادیر متوسط، به رابطه می رسیم.

از اینجا



یک نوع خاص از مقادیر میانگین - میانگین‌های ساختاری - برای مطالعه ساختار داخلی سری توزیع مقادیر مشخصه و همچنین برای تخمین مقدار متوسط ​​(نوع قدرت) استفاده می‌شود، در صورتی که با توجه به داده‌های آماری موجود، محاسبه را نمی توان انجام داد (به عنوان مثال، اگر در مثال در نظر گرفته شده هیچ داده ای برای حجم تولید و میزان هزینه ها توسط گروهی از شرکت ها وجود نداشت).

شاخص ها اغلب به عنوان میانگین های ساختاری استفاده می شوند روش -بیشترین مقدار تکرار شده صفت – and میانه ها -مقدار مشخصه ای که توالی مرتب مقادیر آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. در نتیجه، برای نیمی از واحدهای جمعیت، مقدار ویژگی از سطح میانه تجاوز نمی کند و برای نیمی دیگر از آن کمتر نیست.

اگر مشخصه مورد مطالعه دارای مقادیر گسسته باشد، پس هیچ مشکل خاصی در محاسبه حالت و میانه وجود ندارد. اگر داده های مربوط به مقادیر ویژگی X در قالب فواصل مرتب شده تغییر آن (سری بازه) ارائه شود، محاسبه حالت و میانه تا حدودی پیچیده تر می شود. از آنجایی که مقدار میانه کل جمعیت را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند، به یکی از بازه های مشخصه X ختم می شود. با استفاده از درون یابی، مقدار میانه در این بازه میانه پیدا می شود:

,

که در آن X Me حد پایین بازه میانه است.

h من - ارزش آن؛

(مجموع m) / 2 - نیمی از تعداد کل مشاهدات یا نیمی از حجم شاخصی که به عنوان وزن در فرمول های محاسبه مقدار میانگین (به صورت مطلق یا نسبی) استفاده می شود.

S Me-1 - مجموع مشاهدات (یا حجم ویژگی وزنی) جمع آوری شده قبل از شروع فاصله متوسط.

m Me - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزنی در بازه میانه (همچنین به صورت مطلق یا نسبی).

هنگام محاسبه معنای معینمشخصه با توجه به داده های یک سری بازه، لازم است به این واقعیت توجه شود که فواصل یکسان هستند، زیرا شاخص تکرارپذیری مقادیر مشخصه X به این بستگی دارد. برای یک سری بازه ای با فواصل مساوی، بزرگی حالت به صورت تعیین می شود

,

که در آن X Mo مقدار کمتر بازه مودال است.

m Mo - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزن در بازه مودال (به صورت مطلق یا نسبی).

m Mo-1 - برای فاصله قبل از مودال یکسان است.

m Mo + 1 - برای فاصله بعد از مودال یکسان است.

h - مقدار فاصله تغییر مشخصه در گروه ها.

وظیفه 1

داده های زیر برای گروه شرکت های صنعتی برای سال گزارش موجود است

№

شرکت ها

حجم محصول، میلیون روبل.

میانگین تعداد کارمندان، افراد.

سود، هزار روبل

197,7

10,0

13,5

22,8

1500

136,2

465,5

18,4

1412

97,6

296,2

12,6

1200

44,4

584,1

22,0

1485

146,0

480,0

119,0

1420

110,4

57805

21,6

1390

138,7

204,7

30,6

466,8

19,4

1375

111,8

292,2

113,6

1200

49,6

423,1

17,6

1365

105,8

192,6

30,7

360,5

14,0

1290

64,8

280,3

10,2

33,3

گروه بندی شرکت ها برای مبادله محصولات با در نظر گرفتن فواصل زمانی زیر الزامی است:

    تا 200 میلیون روبل

    از 200 تا 400 میلیون روبل.

  1. از 400 تا 600 میلیون روبل.

    برای هر گروه و برای همه با هم، تعداد شرکت ها، حجم تولید، میانگین تعداد کارکنان، متوسط ​​تولید به ازای هر کارمند را تعیین کنید. نتایج گروه بندی را در قالب یک جدول آماری ارائه دهید. نتیجه گیری را تدوین کنید.

    راه حل

    ما شرکت ها را بر اساس مبادله محصول گروه بندی می کنیم، تعداد شرکت ها، حجم تولید و میانگین تعداد کارکنان را با استفاده از فرمول میانگین ساده محاسبه می کنیم. نتایج گروه بندی و محاسبات در یک جدول خلاصه شده است.

    گروه بندی بر اساس حجم محصول

    №

    شرکت ها

    حجم محصول، میلیون روبل.

    میانگین هزینه سالانه دارایی های ثابت، میلیون روبل.

    خواب متوسط

    تعداد آبدار کارمندان، مردم.

    سود، هزار روبل

    میانگین تولید به ازای هر کارمند

    1 گروه

    تا 200 میلیون روبل

    1,8,12

    197,7

    204,7

    192,6

    10,0

    9,4

    8,8

    900

    817

    13,5

    30,6

    30,7

    28,2

    2567

    74,8

    0,23

    سطح متوسط

    198,3

    24,9

    گروه 2

    از 200 تا 400 میلیون روبل.

    4,10,13,14

    196,2

    292,2

    360,5

    280,3

    12,6

    113,6

    14,0

    10,2

    1200

    1200

    1290

    44,4

    49,6

    64,8

    33,3

    1129,2

    150,4

    4590

    192,1

    0,25

    سطح متوسط

    282,3

    37,6

    1530

    64,0

    3 گروه

    از 400 تا

    600 میلیون

    2,3,5,6,7,9,11

    592

    465,5

    584,1

    480,0

    578,5

    466,8

    423,1

    22,8

    18,4

    22,0

    119,0

    21,6

    19,4

    17,6

    1500

    1412

    1485

    1420

    1390

    1375

    1365

    136,2

    97,6

    146,0

    110,4

    138,7

    111,8

    105,8

    3590

    240,8

    9974

    846,5

    0,36

    سطح متوسط

    512,9

    34,4

    1421

    120,9

    کل در مجموع

    5314,2

    419,4

    17131

    1113,4

    0,31

    به طور متوسط

    379,6

    59,9

    1223,6

    79,5

    نتیجه. بنابراین در جمعیت مورد نظر بزرگترین عددشرکت ها از نظر تولید در گروه سوم قرار گرفتند - هفت یا نیمی از شرکت ها. میانگین بهای تمام شده سالانه دارایی های ثابت نیز در این گروه قرار دارد و همچنین ارزش بزرگمیانگین تعداد کارکنان 9974 نفر است که بنگاه های گروه اول کمترین سود را دارند.

    وظیفه 2

    داده های زیر در مورد شرکت های این شرکت موجود است

    تعداد شرکتی که در شرکت گنجانده شده است

    من یک چهارم

    سه ماهه دوم

    خروجی محصول، هزار روبل.

    روزهای انسانی کار شده توسط کارگران

    میانگین خروجی هر کارگر در روز، مالش.

    59390,13

رایج ترین نوع میانگین، میانگین حسابی است.

میانگین حسابی ساده

میانگین حسابی ساده عبارت متوسطی است که در تعیین آن حجم کل یک ویژگی معین در داده ها به طور مساوی بین همه واحدهای موجود در جامعه معین توزیع می شود. بنابراین، متوسط ​​تولید سالانهمحصولات به ازای هر کارگر - این مقدار حجم محصولاتی است که بر روی هر کارگر می افتد اگر کل حجم خروجی در به همان درجهبین کلیه کارکنان سازمان توزیع می شود. میانگین حسابی مقدار ساده با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

میانگین حسابی ساده- برابر است با نسبت مجموع مقادیر فردی یک مشخصه به تعداد ویژگی ها در مجموع

مثال 1 . یک تیم 6 کارگر ماهانه 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 هزار روبل دریافت می کند.

حقوق متوسط ​​را پیدا کنید
راه حل: (3 + 3.2 + 3.3 + 3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 هزار روبل.

میانگین وزنی حسابی

اگر حجم مجموعه داده بزرگ باشد و نشان دهنده یک سری توزیع باشد، میانگین حسابی وزنی محاسبه می شود. به این ترتیب میانگین موزون قیمت هر واحد تولید تعیین می شود: هزینه کل تولید (مجموع محصولات مقدار آن بر قیمت یک واحد تولید) بر مقدار کل تولید تقسیم می شود.

بیایید این را به شکل فرمول زیر تصور کنیم:

میانگین وزنی حسابی- برابر با نسبت (مجموع حاصل از مقدار یک ویژگی به فراوانی تکرار این ویژگی) به (مجموع بسامدهای همه ویژگی ها) هنگامی که انواعی از جامعه مورد مطالعه رخ می دهد استفاده می شود. تعداد دفعات نابرابر

مثال 2 . میانگین حقوق کارگران کارگاه در ماه را بیابید

میانگین حقوق را می توان با تقسیم کل بدست آورد دستمزدبرای تعداد کل کارگران:

پاسخ: 3.35 هزار روبل.

میانگین حسابی برای سری های بازه ای

هنگام محاسبه میانگین حسابی برای یک سری تغییرات بازه ای، ابتدا میانگین هر بازه را به عنوان نصف مجموع حد بالا و پایین و سپس میانگین کل سری تعیین کنید. در مورد بازه های باز، مقدار بازه پایین یا بالایی با اندازه فواصل مجاور آنها تعیین می شود.

میانگین های محاسبه شده از سری های بازه ای تقریبی هستند.

مثال 3. تعريف كردن میانگین سندانش آموزان عصر

میانگین های محاسبه شده از سری های بازه ای تقریبی هستند. درجه تقریب آنها به میزان نزدیک شدن توزیع واقعی واحدهای جمعیتی در بازه به توزیع یکنواخت بستگی دارد.

هنگام محاسبه میانگین ها، نه تنها از مقادیر مطلق، بلکه نسبی (فرکانس) نیز می توان به عنوان وزن استفاده کرد:

میانگین حسابی دارای تعدادی ویژگی است که ماهیت آن را به طور کامل نشان می دهد و محاسبات را ساده می کند:

1. حاصل ضرب میانگین با مجموع فرکانس ها همیشه برابر است با مجموع حاصلضرب های متغیر بر اساس فرکانس ها، یعنی.

2. میانگین حسابی مجموع مقادیر متغیر برابر است با مجموع میانگین حسابی این مقادیر:

3. مجموع جبری انحرافات مقادیر فردی یک مشخصه از میانگین برابر با صفر است:

4. مجموع انحرافات مجذور گزینه ها از میانگین کمتر از مجذور انحرافات از هر مقدار دلخواه دیگر است.