فرمول های مقادیر میانگین آماری. ماهیت و معنای میانگین ها در آمار. انواع میانگین ها ضریب تغییرات درجه دوم

سخنرانی 5. مقادیر متوسط

مفهوم اندازه متوسطدر آمار

میانگین حسابی و خواص آن

انواع دیگر میانگین های توان

حالت و میانه

ربع ها و دهک ها

بطور گستردهدر آمار دارای مقادیر متوسط ​​هستند. مقادیر متوسط ​​شاخص های کیفی فعالیت تجاری را مشخص می کند: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.

میانگین- این یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. درک صحیح از ماهیت میانگین اهمیت ویژه آن را در شرایط تعیین می کند اقتصاد بازار، زمانی که میانگین از طریق فردی و تصادفی به ما امکان می دهد کلی و ضروری را شناسایی کنیم، گرایش الگوها را شناسایی کنیم. توسعه اقتصادی.

مقدار متوسط- اینها شاخص های تعمیم دهنده ای هستند که در آنها تأثیرات شرایط عمومی و الگوهای پدیده مورد مطالعه بیان می شود.

مقدار متوسط (در آمار) - یک شاخص کلی که اندازه یا سطح معمولی پدیده های اجتماعی در هر واحد جمعیت را مشخص می کند و همه چیزهای دیگر برابر هستند.

با استفاده از روش میانگین می توان موارد زیر را حل کرد: اهداف اصلی:

1. ویژگی های سطح توسعه پدیده ها.

2. مقایسه دو یا چند سطح.

3. بررسی روابط متقابل پدیده های اجتماعی-اقتصادی.

4. تحلیل موقعیت پدیده های اجتماعی-اقتصادی در فضا.

میانگین های آماری بر اساس داده های انبوه از مشاهده انبوه به طور صحیح سازماندهی شده آماری (مستمر و انتخابی) محاسبه می شوند. با این حال، میانگین آماری اگر از داده های انبوه برای یک جمعیت کیفی همگن (پدیده های انبوه) محاسبه شود، عینی و معمولی خواهد بود. به عنوان مثال، اگر شما میانگین را محاسبه کنید دستمزددر تعاونی ها و شرکت های دولتی، و نتیجه به کل جمعیت تعمیم داده شود، پس میانگین ساختگی است، زیرا بر اساس جمعیت ناهمگون محاسبه شده است و چنین میانگینی معنای خود را از دست می دهد.

با کمک میانگین، تفاوت‌های ارزش یک مشخصه که به دلایلی در واحدهای مشاهده‌ای منفرد ایجاد می‌شوند، هموار می‌شوند. به عنوان مثال، میانگین بهره وری یک فروشنده به دلایل زیادی بستگی دارد: صلاحیت، مدت خدمت، سن، نوع خدمات، سلامت و غیره.

ماهیت میانگین در این واقعیت نهفته است که انحرافات مقادیر مشخصه واحدهای فردی جمعیت ناشی از عملکرد عوامل تصادفی را لغو می کند و تغییرات ناشی از عملکرد عوامل اصلی را در نظر می گیرد. این به میانگین اجازه می دهد تا سطح معمولی این صفت را منعکس کند و از ویژگی های فردی ذاتی در واحدهای فردی انتزاع کند.

مقدار متوسط ​​بازتابی از مقادیر مشخصه مورد مطالعه است، بنابراین در همان بعد این مشخصه اندازه گیری می شود.

هر مقدار متوسط ​​جامعه مورد مطالعه را با توجه به هر یک از مشخصه ها مشخص می کند. برای به دست آوردن درک کامل و جامع از جمعیت مورد مطالعه با توجه به تعدادی از ویژگی های اساسی، به طور کلی لازم است سیستمی از مقادیر متوسط ​​وجود داشته باشد که بتواند پدیده را از زوایای مختلف توصیف کند.

میانگین های مختلفی وجود دارد:

میانگین حسابی؛

میانگین هندسی؛

میانگین هارمونیک؛

مربع میانگین؛

میانگین زمانی.

6.1. دستورالعمل های روش شناسی

میانگین نوعی شاخص آماری است.

مقدار متوسط ​​هموار شده است شخصیبا این حال، ویژگی های واحدهای فردی جمعیت چیز اصلی آشکار می شود، اساسی، معمولی، که کلیت را به عنوان یک کل مشخص می کند.

مقدار متوسط ​​-این تعمیم دادنمشخص کننده شاخص معمولسطح مشخصه متغیر در واحد از نظر کیفی همگنمصالح در شرایط خاص مکان و زمان.

تعمیم دادنشاخص شاخصی است که جمعیت را به عنوان یک کل مشخص می کند.

همگنمجموعه مجموعه ای است که واحدهای آن تحت تأثیر علل و شرایط اساسی مشترک شکل می گیرند که سطح کلی یک ویژگی معین را مشخص می کند، مشخصه کل جمعیت مورد مطالعه.

مقدار متوسط ​​به صورت کیفی محاسبه می شود ناهمگونمجموع، ساختگی، بی تفاوت.

شرایط اجباری برای محاسبه مقادیر متوسط

• 1. مقدار متوسط ​​باید بر اساس محاسبه شود:
  • الف) جمعیت از نظر کیفی همگن؛
  • ب) داده های قابل اعتماد عظیم؛
  • ج) داده های قابل مقایسه (بر اساس قلمرو، زمان، واحدهای اندازه گیری، روش های محاسبه و غیره).
• 2. مقدار میانگین عمومی لزوماً باید با سایر مقادیر میانگین محاسبه شده برای گروه های فردی، مقادیر فردی مشخصه متوسط ​​و میانگین سایر شاخص ها تکمیل شود.

رعایت این شرایط به ما این امکان را می دهد که یک توصیف عینی از پدیده به دست آوریم و تصمیم مدیریتی درستی بگیریم.

به عنوان مثال، در سال 2015، متوسط ​​دستمزد اسمی تعلق گرفته ماهانه در فدراسیون روسیهدر کل اقتصاد 34030 روبل از جمله 15758 روبل بود. در تولید نساجی و پوشاک (این کمترین حقوق است)، 81605 روبل. - در تولید کک و فرآورده های نفتی (بالاترین دستمزد).

در عمل اقتصادی استفاده می کنند انواع مختلفمیانگین ها که به دو گروه میانگین توان و میانگین سازه تقسیم می شوند.

میانگین توان:

• 1) میانگین حسابی؛
• 2) میانگین هارمونیک؛
• 3) میانگین هندسی؛
• 4) مربع متوسط؛
• 5) مکعب متوسط ​​و غیره

میانگین های ساختاری: روش؛ میانه؛ یک چهارم؛ دهک ها و غیره (در فصل 7 مورد بحث قرار خواهد گرفت).

انتخاب یک فرمول خاص برای محاسبه مقدار متوسط ​​بستگی به موارد زیر دارد:

• 1) از فرمول معنایی،آن ها ماهیت مشخصه میانگین، محتوای آن، رابطه با شاخص نهایی (تعیین کننده).
• 2) داده های در دسترس محقق؛
• 3) درجه تغییر (نوسان) مشخصه در حال میانگین.

نهایی (تعریف کردن) فهرست مطالب -این یک شاخص، یک مقدار است

اگر همه مقادیر فردی مشخصه (Xj) با مقدار متوسط ​​X جایگزین شوند، تغییر نمی کند.

شاخص تعیین کننده یا در صورت یا در مخرج فرمول معنایی است.

سوالچگونه یک فرمول معنایی برای محاسبه میانگین OV ایجاد کنیم؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.فرمول معنایی (منطقی) برای محاسبه مقدار میانگین از نسبت فامیلیشاخص ها مطابقت دارند

با فرمول محاسبه نسبت فامیلینشانگر

فرمول معنایی میانگین درصد عیوبمنطبق با فرمول محاسبه است اندازه نسبی سازه(سهم نقص در حجم کل تولید):

یک رابطه کمی مشخص بین میانگین های توان وجود دارد که به آن می گویند قانون اکثریت:

سوالآیا می توان یک فرمول برای محاسبه مقدار متوسط ​​را با فرمول دیگری جایگزین کرد و در چه صورت؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.اگر تغییرپذیری یک نشانه کم اهمیت،

اگر مقادیر مشخصه (X|) به یکدیگر نزدیک باشد، آنگاه یک مقدار پیچیده تر است

مقدار متوسط ​​را می توان با یک مقدار ساده تر جایگزین کرد.

برای مثال به جای میانگین هندسی از میانگین حسابی استفاده کنید.

این فصل به بررسی دو نوع میانگین می پردازد: میانگین حسابی و میانگین هارمونیک.

سایر انواع میانگین ها در فصل های بعدی کارگاه مورد بررسی قرار خواهند گرفت.

جدول 6.1 فرمول های اساسی برای محاسبه میانگین حسابی و میانگین هارمونیک را ارائه می دهد.

جدول 6.1

محاسبه میانگین حسابی و میانگین هارمونیک

نوع سایز متوسط	فرمول محاسبه
میانگین حسابی ساده	X مقدار مشخصه میانگین برای واحدهای فردی جمعیت است. n تعداد واحدهای جمعیت مورد مطالعه یا تعداد مقادیر مشخصه به طور میانگین است. استفاده می شود اگر: 1) داده ها گروه بندی نشده اند. 2) وزن همه گزینه ها (/) با یکدیگر برابر است. 3) چیزی در مورد ترازو مشخص نیست
میانگین وزنی حسابی	/ - تعداد واحدهایی که دارای یک مقدار معین از مشخصه به طور میانگین هستند، وزن، هم سنجنده
	د- نسبت واحدهایی که دارای مقدار معینی از مشخصه میانگین شده، وزن هستند

پایان یافتن

در عمل محاسبات اقتصادی، از میانگین بیشتر استفاده می شود. حسابیاندازه.

جدول 6.2 خواص معینی از میانگین حسابی را توصیف می کند که به طور گسترده برای کنترل و ساده کردن محاسبات استفاده می شود.

جدول 6.2

ویژگی های میانگین حسابی

خاصیت میانگین حسابی	فرمول
1. هرمقدار متوسط ​​نمی تواند کمتر باشد کمترین مقدارمشخصه میانگین و بیشتر بالاترین ارزشدر مجموع
2. اگر هر یکمقدار مشخصه به همان عدد افزایش یا کاهش می یابد، سپس مقدار متوسط ​​بر این اساس تغییر می کند
3. اگر هر یکمقدار مشخصه به همان تعداد دفعات افزایش یا کاهش می یابد، سپس مقدار متوسط ​​بر این اساس تغییر می کند
4. اگر وزنهمه گزینه ها در یک عدد ضرب یا تقسیم می شوند، سپس مقدار متوسط ​​تغییر نخواهد کرد
نتیجه: هنگام محاسبه میانگین می توان از وزن مخصوص به عنوان وزن استفاده کرد
5. مجموع انحراف گزینه های فردی از میانگین آنها صفر است

محاسبه مقدار متوسط ​​با استفاده از روش گشتاورها

ویژگی های میانگین حسابی این امکان را فراهم می کند که محاسبات مقادیر میانگین را به ویژه برای گسستهسری تغییرات، و همچنین برای فاصلهردیف ها با مساویدر فواصل زمانی اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

جدول 6.3

خروجی کارگران، عدد/نفر.	وسط فاصله	تعداد کارگران، افراد/	x-x 0، x 0 = 50	ساعت = 20
80 و بیشتر (80-100)

راه حل.جدول 6.3 یک سری تغییرات بازه ای با برابردر فواصل زمانی به عنوان مقدار مشخصه (x)، وسط هر بازه (ستون 1) را در نظر می گیریم.

اجازه دهید توافق کنیم که عرض بازه باز برابر با عرض بازه بسته مجاور آن باشد.

بیایید میانگین خروجی یک تیم از کارگران را به روش معمول (نه ساده) محاسبه کنیم:

محاسبات در ستون های 3 و 4 جدول ارائه شده است. 6.3.

2. محاسبه میانگین شرطی (میانگین گزینه های تبدیل شده):

محاسبات در ستون 5 جدول ارائه شده است. 6.3.

3. اجازه دهید از میانگین شرطی (x) به (x) واقعی حرکت کنیم، که برای آن به صورت برعکسبیایید عملیاتی را که با آن انجام دادیم انجام دهیم ایکس

نتیجه با محاسبه با استفاده از روش غیر ساده منطبق است.

توصیه های یک آمارشناس مجرب.اگر سری تغییرات با برابرفواصل، سپس ستون های 1 و 3 جدول نیازی به محاسبه ندارند. بلافاصله بعد از ستون 2 (/-فرکانس ها) ستون x را پر می کنیم." در مرکز این ستون 0 را می نویسیم. وسط این بازه x 0 و عرض بازه برابر خواهد شد. ساعت(جدول 6.4).

جدول 6.4

محاسبه میانگین خروجی با استفاده از روش ممان

6.2. حل مشکلات معمولی

مشکل 6.1.میانگین حقوق ماهانه کارگران شرکت در سال جاری را بر اساس داده های جدول محاسبه کنید. 6.5.

راه حل.محاسبه مقدار متوسط ​​باید با نوشتن فرمول معنایی شروع شود.

معنایی (.منطقی) فرمول متوسط ​​حقوق:

الگوریتم (فرمول محاسبه) میانگین حقوق بستگی به این دارد که محقق چه داده های آماری در اختیار دارد.

بیایید چندین گزینه را در نظر بگیریم.

گزینه I.اگر مشخص باشد که در سال جاری صندوق دستمزد کارگران شرکت برای ماه بالغ بر 2804 هزار روبل بوده است و 72 نفر در شرکت کار می کردند، می توان میانگین دستمزد را با جایگزینی مستقیم به فرمول معنایی 6.2 محاسبه کرد. داده های شناخته شده برای ما در مورد صندوق دستمزد و تعداد کارگران:

نتیجه.در این سال، کارگران این شرکت به طور متوسط ​​38.9 هزار روبل در ماه دریافت کردند.

گزینه دوماطلاعات مربوط به دستمزد و تعداد کارگران برای کارگاه های فردی شرکت شناخته شده است (جدول 6.5).

جدول 6.5

حقوق و دستمزد و تعداد کارگران در کارگاه های فردی شرکت در ماه

راه حل.فرمول معنایی (منطقی) دستمزد متوسط ​​تغییر نکرده است (فرمول 6.2). با این حال، نه صورت و نه مخرج فرمول معنایی به طور مستقیمناشناخته است، اما می توان آنها را با استفاده از داده های جدول محاسبه کرد. 6.5.

بیایید انتخاب کنیم نمادها(جدول 6.6).

برای محاسبه عدد فرمول معنایی - "صندوق دستمزد کارگران شرکت"، لازم است به هرکارگاه شرکت، دستمزد کارگران (X) را در تعداد کارگران (/) ضرب کنید و سپس، صندوق دستمزد هر کارگاه را بدست آورید. (Xf)ارزش آنها را جمع کنید، بنابراین صندوق دستمزد برای شرکت به عنوان یک کل محاسبه می شود:

نتایج محاسبات در جدول ارائه شده است. 6.6.

جدول 6.6

محاسبه میانگین حقوق کارگران شرکت در ماه (میانگین موزون حسابی)

سپس میانگین حقوق برای شرکت (X) برابر با:

میانگین حقوق با استفاده از فرمول میانگین محاسبه شد حسابیوزن دار

سوالمقدار متوسط ​​را با چه دقتی باید محاسبه کرد؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.درجه دقت در محاسبه مقدار متوسط ​​باید بالاتر از درجه دقت شاخص های میانگین باشد، به خصوص زمانی که مقادیر آنها کوچک باشد.

در مورد ما، دستمزد برای کارگاه های فردی شرکت به طور دقیق به یک عدد صحیح محاسبه می شود (32؛ 48؛ 39)، و دستمزد متوسط ​​- از بیشتر درجه بالادقت، تا یک دهم عدد (38.9).

سوالآیا می توان صحت محاسبه مقدار متوسط ​​را بررسی کرد؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.هرمقدار متوسط ​​باید بیشتر از مقدار حداقل و کمتر باشد حداکثر مقدارمشخصه در حال میانگین (ویژگی هر مقدار متوسط):

در مورد ما، این الزام برآورده شده است:

در نتیجه، هیچ اشتباه فاحشی در محاسبات وجود نداشت.

نتیجه.در این سال، میانگین حقوق کارگران شرکت در ماه 38.9 هزار روبل بود. بیشترین دستمزد در کارگاه شماره 2 - 48 هزار روبل برای هر نفر، کمترین در کارگاه شماره 1 - 32 هزار روبل برای هر نفر بود.

سوالاگر فقط از چه فرمولی برای محاسبه مقدار متوسط ​​استفاده شود مخرجفرمول معنایی، اما صورتش مشخص نیست، اما آیا می توان آن را محاسبه کرد؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.فقط اگر شناخته شود مخرجفرمول معنایی، و شمارنده مشخص نیست، اما می توان آن را محاسبه کرد، مقدار متوسط ​​با استفاده از فرمول میانگین محاسبه می شود. حسابیوزن دار:

گزینه III.اطلاعات مربوط به دستمزد و صندوق دستمزد کارگران برای کارگاه های فردی شرکت برای ماه مشخص است (جدول 6.7).

جدول 6.7

حقوق و دستمزد و تعداد کارگران در کارگاه های فردی شرکت در ماه

راه حل.فرمول معنایی (منطقی) دستمزد متوسط ​​یکسان است (6.2).

با این حال، نه صورت و نه مخرج فرمول معنایی به طور مستقیمناشناخته. اما آنها را می توان با توجه به داده های جدول محاسبه کرد. 6.7.

برای محاسبه مخرج فرمول معنایی - "تعداد کارگران شرکت"، لازم است به هرکارگاه تقسیم صندوق دستمزد ( م) با تعداد کارگران (X) و داده های حاصل را اضافه کنید:

نتایج محاسبات در جدول ارائه شده است. 6.8.

جدول 6.8

محاسبه میانگین حقوق کارگران شرکت در ماه (میانگین موزون هارمونیک)

محاسبه با استفاده از فرمول میانگین هارمونیک وزنی انجام شد.

معاینه:

سوالاگر فقط از چه فرمولی برای محاسبه مقدار متوسط ​​استفاده شود صورت کسرفرمول معنایی، اما مخرج آن مشخص نیست، اما می توان آن را محاسبه کرد؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.فقط اگر شناخته شود صورت کسرفرمول معنایی، و مخرج آن مشخص نیست، اما می توان آن را محاسبه کرد؛ میانگین با استفاده از فرمول میانگین محاسبه می شود. هارمونیکوزن دار:

گزینه IVاین امکان وجود دارد که داده های نه صندوق دستمزد و نه تعداد کارگران مشخص باشد و قابل محاسبه نباشد. با این حال، اطلاعات مربوط به دستمزد برای هر کارگاه شرکت شناخته شده است، یعنی. مقادیر مشخصه متوسط ​​(xj) آورده شده است (جدول 6.9).

جدول 6.9

حقوق کارگران شرکت در ماه

راه حل.در این حالت میانگین حقوق با استفاده از فرمول میانگین محاسبه می شود ساده حسابیبر اساس داده های دستمزد (بدون در نظر گرفتن اطلاعات در مورد تعداد کارگران):

معاینه:

سوالاما اگر بدانیم چه فرمولی می تواند مقدار متوسط ​​را محاسبه کند فقط مقادیر مشخصه ای که میانگین می شوددر واحدهای فردی جمعیت؟

توصیه های یک آمارشناس مجرباگر نه صورت‌دهنده و نه مخرج فرمول معنایی مشخص نیست، اما مقادیر مشخصه میانگین برای واحدهای فردی جامعه مشخص است، مقدار متوسط ​​با استفاده از فرمول میانگین محاسبه می‌شود. ساده حسابی:

همانطور که می بینیم، دستمزد با استفاده از فرمول میانگین حسابی محاسبه می شود سادهو میانگین حسابی وزن دار، از نظر کمی منطبق نیستند:

توصیه های یک آمارشناس مجرب.میانگین حسابی وزن دارهمیشه نتیجه دقیق تری از میانگین حسابی می دهد ساده،زیرا فاکتورهای بیشتری را در نظر می گیرد که مقدار میانگین را تعیین می کند.

در مورد ما، میانگین حسابی سادهفقط توزیع دستمزد در کارگاه های فردی و میانگین حسابی را در نظر می گیرد وزن دارهمچنین تعداد کارگرانی که هر ارزش دستمزد دریافت می کنند را در نظر می گیرد.

مشکل 6.2. که درسال گذشته، بلیت کنسرت های موسیقی ارگ را می توان با قیمت های 800، 1000 و 1200 روبل خریداری کرد. که درامسال قیمت بلیط ها 100 روبل افزایش یافته است.

راه حل.

1. میانگین قیمت بلیط را محاسبه کنید در گذشتهسال

فرمول معنی دار برای قیمت متوسط:

از آنجایی که ما عدد یا مخرج فرمول معنایی را نمی‌دانیم، اما مقادیر مشخصه‌ای را که میانگین می‌شود (قیمت) می‌دانیم، فقط می‌توانیم از فرمول میانگین حسابی استفاده کنیم. ساده".

معاینه:

نتیجه.سال گذشته، بلیت کنسرت های موسیقی ارگ به طور متوسط ​​به ازای هر قطعه 967 روبل فروخته شد.

2. میانگین قیمت بلیط را محاسبه کنید در حال حاضرسال

معاینه:

برای ساده سازیمحاسبات بدون از دست دادن دقت آنها، از ویژگی مقدار متوسط ​​استفاده می کنیم (جدول 6.2، ویژگی 2):

اگر در سال جاری قیمت ها هستند همهسپس بلیط ها 100 روبل افزایش یافت میانگینقیمت امسال 100 روبل خواهد بود. بیشتر سال گذشتهقیمت میانگین:

نتیجه.امسال، بلیط کنسرت های موسیقی ارگ به طور متوسط ​​به ازای هر قطعه 1067 روبل به فروش می رسد.

توصیه های یک آمارشناس مجرب.اگر هر یکمقدار مشخصه (X) به همان عدد افزایش می یابد (کاهش می یابد) سپس مقدار مقدار متوسط ​​به همان عدد افزایش می یابد (کاهش می یابد).

مشکل 6.3.اگر می دانید که در سال گذشته 33 درصد از بلیط ها با قیمت 1200 روبل فروخته شده است، میانگین قیمت بلیت های کنسرت های موسیقی ارگان را محاسبه کنید، 57 درصد - 900 روبل. و هر کدام 10٪ - 800 روبل.

راه حل.ما صورت یا مخرج فرمول معنایی را نمی دانیم و محاسبه آنها با توجه به شرایط مسئله غیرممکن است:

با این حال، تعیین کنید میانگینقیمت بلیط ها در صورت استفاده از ویژگی میانگین ارزش امکان پذیر است (جدول 6.2): ​​در صورت وزن ها (ج) همهمقادیر مشخصه ( ایکس) در یک عدد ضرب یا تقسیم کنید، مقدار متوسط ​​تغییر نخواهد کرد.

از این رو،

نتیجه.سال گذشته، بلیت کنسرت های موسیقی ارگ به طور متوسط ​​برای هر قطعه 989 روبل فروخته شد.

توضیح دهید که چرا میانگین قیمت بلیط در مسائل 6.2 و 6.3 یکسان نیست.

توصیه های یک آمارشناس مجرب.وزن مخصوص را می توان به عنوان وزن (/) استفاده کرد. مقدار متوسط ​​تغییر نخواهد کرد.

بیایید مقدار متوسط ​​را در محاسبه کنیم فاصلهمتغیر

مشکل 6.4.طبق جدول 6.10 میانگین خروجی کارگران تیم در هر شیفت را محاسبه کنید و نوع میانگین را نشان دهید.

جدول 6.10

توزیع کارکنان خدمه بر اساس تولید

راه حل.برای محاسبه میانگین خروجی کارگران یک تیم در هر شیفت، از فرمول زیر استفاده می کنیم:

با توجه به شرایط مسئله، مخرج فرمول معنایی (تعداد کارگران در تیپ) را می دانیم، اما شمارنده (خروجی تولید توسط کارگران تیپ در هر شیفت) نیست، اما می توان آن را با ضرب تولید کارگران برای هر گروه در تعداد کارگران. بنابراین لازم است از فرمول میانگین حسابی موزون استفاده شود:

با این حال، داده های مربوط به خروجی کارگر در فرم ارائه شده است فواصل،آن ها ما به طور مشخص نمی دانیم که چند واحد تولیدی تولید شده است هرکارگر. ما فقط می دانیم که هر کارگری اولین است گروه هاکمتر از 10 محصول منتشر کرد، دومی - از 10 تا 16 محصول و غیره. چه مقدار باید به عنوان ارزش تولید از هر بازه در نظر گرفته شود؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.اگر داده ها در فرم ارائه شده باشد فاصلهسری، سپس به عنوان مقدار ویژگی (X) می گیریم وسطهر بازه

اولین فاصله "تا 10" باز است، زیرا محدودیت پایینی ندارد. ابتدا بیایید این فاصله را "ببندیم"، مشروطتعیین حد پایین آن

سوالچگونه یک بازه باز را ببندیم؟

توصیه های یک آمارشناس مجرب.اندازه باز کنفاصله برابر در نظر گرفته شده است همسایهیک فاصله بسته با آن وجود دارد.

مقدار بازه بسته مجاور "10-16" 6=16-10 است، بنابراین حد پایین بازه اول 4 = 10-6 خواهد بود پس اولین بازه "4-10" است.

آخرین بازه "22 و بالاتر" نیز باز است. او ندارد بالامرز ها. مقدار بازه بسته مجاور 6 = 22 - 16 است، بنابراین، حد بالایی بازه باز 22 + 6 = 28 خواهد بود. آخرین فاصله: "22-28".

بیایید راه حل را در جدول رسمی کنیم. 6.11.

وسط فاصله هر گروه را با استفاده از فرمول میانگین حسابی ساده محاسبه می کنیم. به عنوان مثال، برای گروه اول (فاصله اول):

جدول 6.11

محاسبه میانگین خروجی کارگران بر اساس داده های بازه ای

ردیف

خروجی کارگران خدمه در هر شیفت، عدد.	عدد کارگران، انسان	میانگین خروجی برای گروه، عدد.	خروجی محصول توسط کارگران تیپ در هر شیفت، عدد.
		(4 + 10): 2 = 7	7 x-5 = 35
		(10 + 16): 2 = 13	13^-18 = 234

فرمول معنی دار برای خروجی متوسط:

بر اساس فرمول معنایی و داده هایی که داریم، میانگین حقوق را با استفاده از فرمول میانگین حسابی موزون محاسبه می کنیم:

معاینه:

نتیجه.تیم های کاری به طور متوسط ​​16 محصول در هر شیفت تولید کردند.

6.3. وظایف برای کار مستقل

باهوش و توانا کسی است که وقتی به چیزی شک می کند بپرسد.

لی شین این

وظیفه 6.1.یک فرمول منطقی (معنی) برای محاسبه شاخص های زیر بنویسید:

• 1) متوسط ​​عملکرد سیب زمینی؛
• 2) میانگین درصد تکمیل طرح.
• 3) میانگین حقوق یک کارگر.
• 4) میانگین درصد محصولات ممتاز؛
• 5) هزینه متوسط ​​هر واحد تولید؛
• 6) قیمت متوسط ​​کالا.
• 7) سودآوری متوسط.

وظیفه 6.2.پر کردن جدول 6.12، برای هر سه ماهه سال جاری میانگین درصد محصولات معیوب را برای کل سه تیم محاسبه کنید. نوع مقادیر متوسط ​​مورد استفاده برای محاسبه را نام ببرید. نتایج خود را تجزیه و تحلیل کنید.

جدول 6.12

شاخص های اقتصادی برای سه تیم مونتاژ

کارگاه ها

تیپ	ربع 1			سه ماهه دوم
	درصد معیوب محصولات	رهایی محصولات،		درصد معیوب محصولات	انتشار محصولات معیوب، عدد.

وظیفه 6.3.پر کردن جدول 6.13، برای هر ماه از سال جاری میانگین سودآوری برای سه شرکت کل شرکت را محاسبه کنید.

نتایج خود را تجزیه و تحلیل کنید. دلایلی را برای انتخاب مقادیر متوسط ​​مورد استفاده برای محاسبه ذکر کنید.

جدول 6.13

شاخص های اقتصادی برای سه شرکت از شرکت Orpheus

وظیفه 6.4.داده های زیر برای سه شرکت کشاورزی در منطقه در سال جاری موجود است:

• 1. میانگین بازدهی کل سه شرکت را برای هر نیم سال و سال محاسبه کنید.
• 2. بررسی تغییر میانگین عملکرد در نیمه دوم سال نسبت به نیمه اول. نتیجه گیری کن.
• 3. تغییر در ساختار مناطق کاشته شده را تجزیه و تحلیل کنید.
• 4. محاسبات خود را در یک جدول کامل کنید.

وظیفه 6.5.اطلاعات زیر از فروش حبوبات به جمعیت منطقه در سه فروشگاه این شرکت برای بهمن ماه سال جاری مشخص است:

جدول 6.14

قیمت و حجم فروش حبوبات بهمن ماه سال جاری

محاسبه:

• 1) قیمت متوسط ​​1 کیلوگرم غلات برای کل شرکت. انتخاب فرمول برای محاسبه مقدار متوسط ​​را توجیه کنید. محاسبات را در قالب یک جدول ارائه دهید.
• 2) سهم فروشگاه شماره 1 از حجم کل حبوبات فروخته شده برای کل شرکت.

نتیجه گیری کنید.

وظیفه 6.6.طبق جدول. 6.15 میانگین درصد محصولات تایید شده را محاسبه کنید. دلایل انتخاب فرمول محاسبه مقدار متوسط ​​را بیاورید.

در مورد پویایی کیفیت محصول نتیجه گیری کنید اگر در دوره گذشته میانگین درصد محصولات گواهی شده بود. 70,9%.

جدول 6.15

داده های مربوط به صدور گواهینامه محصولات کوادرات

وظیفه 6.7.طبق جدول. 6.16 میانگین درصد تکمیل یک کار شیفتی توسط کارگران تیم، از جمله روش لحظه ها را محاسبه کنید.

جدول 6.16

توزیع کارکنان خدمه بر اساس درصد انجام وظیفه شیفتی

محاسبات خود را در یک جدول ارائه دهید. نتیجه گیری کن.

وظیفه 6.8.میانگین دستمزد کارگران یک تیپ را در صورتی محاسبه کنید که 20 درصد کارگران دسته سوم، 40 درصد دسته چهارم، 35 درصد دسته پنجم و بقیه دارای رده ششم هستند. نوع مقدار متوسط ​​مورد استفاده برای محاسبه را مشخص کنید. ویژگی مقدار متوسطی را که در حل خود استفاده کرده اید نام ببرید.

اگر سال گذشته میانگین دستمزد کارگران 5.1 بود، صلاحیت کارگران تیپ چگونه تغییر کرد؟ نتیجه گیری کن.

وظیفه 6.9.کافه "Ogonyok" برنامه ریزی برای خرید 50 کیلوگرم گوشت در هر 300 مالش./کیلوگرم و 80 کیلوگرم - توسط 270 مالش / کیلوگرم با این حال، تامین کننده قیمت گوشت را 1.2 برابر افزایش داد.

میانگین قیمتی که 1 کیلوگرم گوشت واقعاً خریداری شده و میانگین قیمت خرید برنامه ریزی شده چقدر بوده است را محاسبه کنید.

نوع مقدار متوسط ​​مورد استفاده برای محاسبه را نام ببرید. نتیجه گیری کن.

وظیفه 6.10.در سال گذشته، 28٪ از جمعیت منطقه درآمد سالانه برای هر عضو خانواده 180 هزار روبل، 56٪ - 264 هزار روبل و بقیه - 588 هزار روبل داشتند.

داده ها را به شکل جدول ارائه دهید. میانگین درآمد سرانه سالانه خانواده برای کل منطقه را تعیین کنید.

نوع مقدار متوسط ​​مورد استفاده برای محاسبه را مشخص کنید. نتیجه گیری کنید.

وظیفه 6.11.میانگین سود هر سهم را برای کل شرکت محاسبه کنید، اگر میزان سود برای اولین شرکت شرکت 168.0 هزار روبل باشد، برای دوم - 228.8 هزار روبل، برای سوم - 218.4 هزار روبل. سود هر سهم برای شرکت های شرکت به ترتیب 6.0 بود. 5.2; 3.9 مالش.

سهم هر بنگاه از کل سود شرکت را محاسبه کنید.

محاسبات مسئله را در جدولی ارائه دهید. نتیجه گیری کنید.

وظیفه 6.12.طبق جدول. 6.17 محاسبه میانگین سنکارگران سازمان، نشان دهنده نوع ارزش متوسط ​​است.

جدول 6.17

توزیع کارگران PJSC "Record" بر اساس سن

کاوش کنید ساختار سنیکارگران سازمان، محاسبه ساختار OB.

محاسبات خود را در یک جدول ارائه دهید. نتیجه گیری کن.

وظیفه 6.13.میانگین شدت کار تولید یک واحد محصول را برای کل شرکت محاسبه کنید، اگر زمان صرف شده برای تولید در اولین شرکت شرکت 276 هزار نفر ساعت باشد، در دوم - 2016 هزار نفر ساعت، در سوم - 3666 هزار نفر-ساعت. شدت کار محصول در شرکت های شرکت به ترتیب 4.6 بود. 11.2; 9.4 ساعت / قطعه

نوع مقدار متوسط ​​مورد استفاده برای محاسبه را مشخص کنید.

سهم هر شرکت از کل زمان صرف شده برای تولید محصولات شرکت را محاسبه کنید. نوع OB محاسبه شده را مشخص کنید.

محاسبات خود را در یک جدول ارائه دهید. نتیجه گیری کنید.

وظیفه 6.14.در روسیه، 101 خارجی در 22 باشگاه لیگ قاره ای هاکی (KHL) وجود دارد، از جمله: 14 از کانادا، 11 از ایالات متحده آمریکا، 76 از اروپا. در 14 باشگاه سوپرلیگ والیبال روسیه 17 بازیکن خارجی حضور دارند. 53 خارجی در 10 باشگاه لیگ بسکتبال VTB United حضور دارند. در لیگ برتر فوتبال روسیه 16 باشگاه وجود دارد که 131 باشگاه خارجی دارند. در سوپرلیگ باندی روسیه 13 تیم حضور دارند و تنها 6 تیم خارجی. توجه: تمامی تیم ها مرد هستند.

محاسبه: 1) میانگین تعداد بازیکنان خارجی در باشگاه های روسیه؛ 2) ساختار بازیکنان خارجی در KHL بر اساس کشور. نمودار ساختار را رسم کنید. نتیجه گیری کن.

وظیفه 6.15.اطلاعات زیر از فعالیت های تجاری و تولیدی کافه رومشک در شهریور ماه سال جاری مشخص است:

محاسبه:

• 1) کافه رومشک در شهریور ماه به طور میانگین با چه قیمتی اجناس خریده است؟ نوع میانگین محاسبه شده را مشخص کنید.
• 2) سهم (سهم) هر دسته کالا در کل حجم دریافتی ماه (بر حسب درصد). ریتم دریافت کالا را ارزیابی کنید.
• 3) اگر در ماه اکتبر کالا به طور متوسط ​​127.81 روبل در قطعه خریداری شده باشد، میانگین قیمت خرید کالا چند روبل و درصد افزایش یافته است؟

نتیجه گیری کن.

• نتیجه. هر کارگر در تیم به طور متوسط ​​48 واحد محصول در هر شیفت تولید می کرد. در محاسبات بیشتر میانگین خروجی به صورت ساده شده، از خواص میانگین حسابی استفاده خواهیم کرد. 1. در محاسبات، گزینه های تبدیل شده (x) را به عنوان مقدار مشخصه متوسط ​​(x) در نظر می گیریم: که در آن xq و h هر عددی هستند. توصیه های یک آمارشناس مجرب. اگر وسط بازه مرکزی (50 = x0) را x0 و عرض بازه (h = 20) را h در نظر بگیریم، بیشترین ساده سازی را می توان به دست آورد.

به منظور تجزیه و تحلیل و به دست آوردن نتایج آماری بر اساس نتایج حاصل از جمع بندی و گروه بندی، شاخص های تعمیم دهنده - مقادیر متوسط ​​و نسبی محاسبه می شود.

مشکل میانگین ها - مشخص کردن تمام واحدهای یک جامعه آماری با یک مقدار مشخصه.

مقادیر متوسط ​​شاخص های کیفیت را مشخص می کند فعالیت کارآفرینی: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.

مقدار متوسط- این یک ویژگی تعمیم دهنده واحدهای جمعیت با توجه به برخی ویژگی های مختلف است.

مقادیر متوسط ​​به شما امکان می دهد سطوح یک صفت را در جمعیت های مختلف مقایسه کنید و دلایل این اختلافات را بیابید.

در تجزیه و تحلیل پدیده های مورد مطالعه، نقش مقادیر متوسط ​​بسیار زیاد است. اقتصاددان انگلیسی دبلیو پتی (1623-1687) به طور گسترده ای از مقادیر متوسط ​​استفاده می کرد. V. Petty می خواست از مقادیر متوسط ​​به عنوان معیاری برای هزینه مخارج متوسط ​​غذای روزانه یک کارگر استفاده کند. پایداری مقدار متوسط ​​بازتابی از منظم بودن فرآیندهای مورد مطالعه است. او معتقد بود که اطلاعات را می توان تغییر داد، حتی اگر داده های اصلی کافی وجود نداشته باشد.

دانشمند انگلیسی G. King (1648-1712) هنگام تجزیه و تحلیل داده های جمعیت انگلستان از مقادیر متوسط ​​و نسبی استفاده کرد.

تحولات نظری آماردان بلژیکی A. Quetelet (1796-1874) بر اساس ناسازگاری طبیعت است. پدیده های اجتماعی- بسیار پایدار در توده، اما صرفا فردی.

به گفته A. Quetelet دلایل دائمیروی هر پدیده ای که مورد مطالعه قرار می گیرد به طور یکسان عمل کرده و این پدیده ها را شبیه به یکدیگر می کند و الگوهای مشترکی برای همه آنها ایجاد می کند.

نتیجه آموزه های A. Quetelet شناسایی مقادیر میانگین به عنوان تکنیک اصلی تجزیه و تحلیل آماری بود. او گفت که میانگین های آماری مقوله ای از واقعیت عینی را نشان نمی دهند.

A. Quetelet نظرات خود را در مورد میانگین در نظریه خود درباره انسان معمولی بیان کرد. یک فرد متوسط، فردی است که تمام ویژگی های یک جثه متوسط ​​(میانگین مرگ و میر یا زاد و ولد، میانگین قد و وزن، میانگین سرعت دویدن، متوسط ​​تمایل به ازدواج و خودکشی، به سمت کارهای خوب و ...) را دارد. برای A. Quetelet یک فرد معمولی- این ایده آل یک فرد است. ناسازگاری نظریه A. Quetelet در مورد انسان متوسط ​​در ادبیات آماری روسیه در اواخر XIX-XXقرن ها

یو. ای. یانسون (1893-1835) آماردان مشهور روسی نوشت که A. Quetelet وجود یک نوع انسان معمولی را در طبیعت به عنوان چیزی داده شده فرض می کند که زندگی افراد عادی را از آن منحرف کرده است. این شرکتو زمان داده شده، و این او را به دیدی کاملاً مکانیکی از قوانین حرکت سوق می دهد زندگی اجتماعی: حرکت عبارت است از افزایش تدریجی خصوصیات متوسط ​​یک فرد، ترمیم تدریجی نوع. در نتیجه، چنین تسطیح همه مظاهر حیات بدن اجتماعی، که فراتر از آن هر حرکت رو به جلو متوقف می شود.

جوهر این نظریه خود را پیدا کرده است پیشرفتهای بعدیدر آثار تعدادی از نظریه پردازان آماری به عنوان نظریه کمیت های واقعی. A. Quetelet پیروانی داشت - اقتصاددان و آماردان آلمانی V. Lexis (1837-1914) که نظریه ارزش های واقعی را به پدیده های اقتصادی زندگی عمومی. نظریه او به نظریه ثبات معروف است. نسخه دیگری از نظریه ایده آلیستی میانگین ها مبتنی بر فلسفه است

بنیانگذار آن آماردان انگلیسی A. Bowley (1869-1957) است - یکی از برجسته ترین نظریه پردازان زمان های اخیر در زمینه نظریه میانگین ها. مفهوم او از میانگین ها در کتاب «عناصر آمار» مشخص شده است.

A. Boley مقادیر متوسط ​​را فقط از جنبه کمی در نظر می گیرد و در نتیجه کمیت را از کیفیت جدا می کند. A. Boley با تعیین معنای مقادیر متوسط ​​(یا "عملکرد آنها") اصل تفکر ماکیان را مطرح می کند. A. Boley نوشت که تابع مقادیر متوسط ​​باید یک گروه پیچیده را بیان کند

با استفاده از چند عدد اول داده های آماری باید ساده، گروه بندی و به میانگین تقلیل داده شوند.این دیدگاه ها: به اشتراک گذاشته شده توسط R. Fisher (1890-1968)، J. Yule (1871 - 1951)، Frederick S. Mills (1892)، و غیره.

در دهه 30 قرن XX و سالهای بعد میانگین ارزش اجتماعی در نظر گرفته می شود مشخصه قابل توجهکه محتوای اطلاعاتی آن به همگنی داده ها بستگی دارد.

برجسته ترین نمایندگان مکتب ایتالیایی، آر. بنینی (1862-1956) و سی. جینی (1965-1884) که آمار را شاخه ای از منطق می دانستند، دامنه کاربرد استقراء آماری را گسترش دادند، اما شناختی را به هم مرتبط کردند. اصول منطق و آمار با ماهیت پدیده های مورد مطالعه با پیروی از سنت های تفسیر جامعه شناختی از آمار.

در آثار ک. مارکس و وی. آی. لنین به ارزش های متوسط ​​نقش ویژه ای داده شده است.

ک. مارکس استدلال کرد که میانگین انحرافات فردی از سطح عمومی را جبران می کند و سطح متوسطتنها در صورتی که تعداد قابل توجهی از واحدها گرفته شود و این واحدها از نظر کیفی همگن باشند، به یک مشخصه تعمیم دهنده یک پدیده جرم تبدیل می شود. مارکس نوشت که مقدار متوسط ​​یافت شده باید میانگین «...بسیاری از مقادیر مختلف فردی از یک نوع» باشد.

ارزش متوسط ​​در اقتصاد بازار اهمیت ویژه ای پیدا می کند. کمک می کند تا به طور مستقیم از طریق فردی و تصادفی، گرایش الگوی توسعه اقتصادی ضروری و کلی مشخص شود.

مقادیر متوسطشاخص های تعمیم دهنده ای هستند که در آنها عملکرد شرایط عمومی و الگوی پدیده مورد مطالعه بیان می شود.

میانگین‌های آماری بر اساس داده‌های انبوه از مشاهدات انبوه سازمان‌یافته آماری محاسبه می‌شوند. اگر میانگین آماری از داده های انبوه برای یک جمعیت از نظر کیفی همگن (پدیده های انبوه) محاسبه شود، آنگاه عینی خواهد بود.

مقدار متوسط ​​انتزاعی است، زیرا ارزش یک واحد انتزاعی را مشخص می کند.

از تنوع صفت اشیاء فردیمیانگین انتزاع شده است. انتزاع مرحله تحقیق علمی است. در مقدار متوسط، وحدت دیالکتیکی فرد و کلی تحقق می یابد.

مقادیر متوسط ​​باید بر اساس درک دیالکتیکی از مقوله های فردی و عمومی، فردی و توده اعمال شود.

وسط چیزی مشترک را نشان می دهد که در یک شی واحد خاص موجود است.

برای شناسایی الگوها در فرآیندهای اجتماعی انبوه، مقدار متوسط ​​از اهمیت بالایی برخوردار است.

انحراف فرد از امر کلی، جلوه ای از روند توسعه است.

مقدار متوسط ​​نشان دهنده سطح مشخصه، معمولی و واقعی پدیده های مورد مطالعه است. وظیفه مقادیر متوسط ​​مشخص کردن این سطوح و تغییرات آنها در زمان و مکان است.

میانگین یک مقدار مشترک است زیرا در حالت عادی، طبیعی، شرایط عمومیوجود یک پدیده توده ای خاص به عنوان یک کل در نظر گرفته شده است.

ویژگی عینی یک فرآیند یا پدیده آماری با مقدار متوسط ​​منعکس می شود.

مقادیر فردی ویژگی آماری مورد مطالعه برای هر واحد جامعه متفاوت است. مقدار متوسط ​​ارزشهای فردی یک نوع محصول ضرورت است که نتیجه عملکرد ترکیبی همه واحدهای جمعیت است که در انبوهی از تصادفات تکراری آشکار می شود.

برخی از پدیده های فردی دارای ویژگی هایی هستند که در همه پدیده ها وجود دارد، اما در مقادیر مختلفقد یا سن یک فرد است. سایر علائم یک پدیده فردی، از نظر کیفی متفاوت است پدیده های مختلفیعنی در بعضی وجود دارند و در بعضی دیگر رعایت نمی شوند (مرد زن نمی شود). مقدار متوسط ​​برای ویژگی هایی محاسبه می شود که از نظر کیفی همگن هستند و فقط از نظر کمی متفاوت هستند که در همه پدیده های یک مجموعه مشخص ذاتی هستند.

مقدار متوسط ​​بازتابی از مقادیر مشخصه مورد مطالعه است و در همان بعد این مشخصه اندازه گیری می شود.

نظریه ماتریالیسم دیالکتیکی می آموزد که همه چیز در جهان تغییر می کند و توسعه می یابد. و همچنین ویژگی هایی که با مقادیر متوسط ​​مشخص می شوند تغییر می کنند و بر این اساس خود میانگین ها نیز تغییر می کنند.

در زندگی یک روند مداوم برای خلق چیز جدید وجود دارد. حامل کیفیت جدید اجسام منفرد هستند، سپس تعداد این اجسام افزایش می یابد و جدید به جرم تبدیل می شود.

مقدار متوسط ​​جامعه مورد مطالعه را تنها بر اساس یک مشخصه مشخص می کند. برای نمایش کامل و جامع جمعیت مورد مطالعه در یک سری نشانه های خاصداشتن سیستمی از مقادیر متوسط ​​که بتواند پدیده را از زوایای مختلف توصیف کند، ضروری است.

2. انواع معدل

در پردازش آماری مواد، مشکلات مختلفی به وجود می آید که باید حل شوند و به همین دلیل از مقادیر متوسط ​​مختلفی در عمل آماری استفاده می شود. آمار ریاضی از میانگین های مختلفی استفاده می کند، مانند: میانگین حسابی; میانگین هندسی؛ میانگین هارمونیک؛ مربع متوسط

به منظور اعمال یکی از انواع میانگین بالا، لازم است جامعه مورد مطالعه را تجزیه و تحلیل کرد، محتوای مادی پدیده مورد مطالعه را تعیین کرد، همه اینها بر اساس نتایج حاصل از اصل معنی دار بودن نتایج انجام می شود. وزن کردن یا جمع کردن

در بررسی میانگین ها از شاخص ها و نمادهای زیر استفاده می شود.

علامتی که با آن میانگین پیدا می شود نامیده می شود مشخصه متوسط و با x نشان داده می شود. مقدار مشخصه میانگین برای هر واحد از جامعه آماری نامیده می شود معنای فردی آن،یا گزینه ها،و به عنوان نشان داده شده است ایکس 1 ، ایکس 2 ، ایکس 3 ،… ایکس پ ; فرکانس تکرارپذیری مقادیر فردی یک مشخصه است که با حرف مشخص می شود f.

میانگین حسابی

یکی از رایج ترین انواع رسانه ها است میانگین حسابی، که زمانی محاسبه می شود که حجم مشخصه میانگین به عنوان مجموع مقادیر آن در واحدهای مجزا از جامعه آماری مورد مطالعه تشکیل شود.

برای محاسبه میانگین حسابی، مجموع تمام سطوح صفت بر تعداد آنها تقسیم می شود.

اگر برخی از گزینه ها چندین بار اتفاق بیفتند، مجموع سطوح ویژگی را می توان با ضرب هر سطح در تعداد واحدهای مربوطه در جامعه و سپس جمع کردن محصولات حاصل به دست آورد؛ میانگین حسابی محاسبه شده به این ترتیب وزن دار نامیده می شود. میانگین حسابی.

فرمول میانگین موزون حسابی به شرح زیر است:

جایی که x i گزینه ها هستند،

f i - فرکانس ها یا وزن ها.

در تمام مواردی که گزینه ها دارای اعداد مختلف هستند، باید از میانگین وزنی استفاده شود.

میانگین حسابی، همانطور که بود، به طور مساوی بین اشیاء منفرد ارزش کل ویژگی را توزیع می کند، که در واقعیت برای هر یک از آنها متفاوت است.

محاسبه مقادیر متوسط ​​با استفاده از داده های گروه بندی شده در قالب سری های توزیع بازه ای انجام می شود، زمانی که انواع مشخصه ای که از آن میانگین محاسبه می شود در قالب فواصل (از - تا) ارائه می شود.

ویژگی های میانگین حسابی:

1) متوسط جمع حسابیمقادیر متغیر برابر است با مجموع میانگین های حسابی: اگر x i = y i +z i، آنگاه

این ویژگی نشان می دهد که در چه مواردی می توان مقادیر میانگین را خلاصه کرد.

2) مجموع جبری انحرافات مقادیر فردی یک مشخصه متغیر از میانگین برابر با صفر است، زیرا مجموع انحرافات در یک جهت با مجموع انحرافات در جهت دیگر جبران می شود:

این قانون نشان می دهد که میانگین نتیجه است.

3) اگر همه گزینه های یک سری به یک عدد کم یا زیاد شوند، آیا میانگین به همان عدد افزایش یا کاهش می یابد؟:

4) اگر همه انواع سری A بار کم یا زیاد شوند، میانگین آن نیز به میزان A افزایش یا کاهش می یابد:

5) پنجمین خاصیت میانگین به ما نشان می دهد که به اندازه مقیاس ها بستگی ندارد، بلکه به رابطه بین آنها بستگی دارد. نه تنها مقادیر نسبی، بلکه مطلق را نیز می توان به عنوان مقیاس در نظر گرفت.

اگر تمام فرکانس های سری در یک عدد d تقسیم یا ضرب شوند، میانگین تغییر نخواهد کرد.

میانگین هارمونیکبرای تعیین میانگین حسابی، لازم است تعدادی گزینه و فرکانس، یعنی مقادیر داشته باشیم. ایکسو f.

اجازه دهید فرض کنیم که ارزش های فردی مشخصه شناخته شده است ایکسو کار می کند ایکس/،و فرکانس ها fناشناخته هستند، سپس برای محاسبه میانگین، حاصلضرب = را نشان می دهیم ایکس/؛جایی که:

میانگین در این شکل میانگین وزنی هارمونیک نامیده می شود و نشان داده می شود x آسیب بالا

بر این اساس، میانگین هارمونیک با میانگین حسابی یکسان است. زمانی که وزن واقعی ناشناخته باشد قابل اجرا است f، و کار معلوم است fx = z

وقتی کار می کند fxواحدهای یکسان یا مساوی (m = 1)، از میانگین هارمونیک ساده استفاده می شود که با فرمول محاسبه می شود:

جایی که ایکس- گزینه های جداگانه؛

n- عدد.

میانگین هندسی

اگر n ضریب رشد وجود داشته باشد، فرمول میانگین ضریب این است:

این فرمول میانگین هندسی است.

میانگین هندسی برابر با ریشه توان است nاز حاصل ضرب ضرایب رشد که نسبت ارزش هر دوره بعدی به مقدار دوره قبلی را مشخص می کند.

اگر مقادیر بیان شده در فرم مشمول میانگین گیری باشد توابع درجه دوم، مربع میانگین اعمال می شود. به عنوان مثال، با استفاده از ریشه میانگین مربع، می توانید قطر لوله ها، چرخ ها و غیره را تعیین کنید.

میانگین مربع ساده با گرفتن جذر ضریب تقسیم مجموع مجذور مقادیر فردی ویژگی بر تعداد آنها تعیین می شود.

میانگین وزنی مربع برابر است با:

3. میانگین های ساختاری. حالت و میانه

برای توصیف ساختار یک جامعه آماری از شاخص هایی استفاده می شود که نامیده می شوند میانگین های ساختاریاینها شامل حالت و میانه است.

مد (M O ) - رایج ترین گزینه روشمقدار مشخصه ای است که با حداکثر نقطه منحنی توزیع نظری مطابقت دارد.

مد نشان دهنده متداول ترین یا معمول ترین معنای است.

مد در عمل تجاری برای مطالعه تقاضای مصرف کننده و ثبت قیمت ها استفاده می شود.

در یک سری گسسته، حالت نوع با بالاترین فرکانس است. در یک سری تغییرات بازه ای، حالت به عنوان نوع مرکزی بازه در نظر گرفته می شود که دارای بالاترین فرکانس (خاصیت) است.

در این بازه، باید مقدار ویژگی که mode است را پیدا کنید.

جایی که ایکس O- حد پایین بازه مودال؛

ساعت- مقدار فاصله مودال؛

f m- فرکانس فاصله مودال؛

f t-1 - فرکانس فاصله قبل از مدال.

f m+1 - فرکانس بازه پس از یک حالت.

حالت بستگی به اندازه گروه ها و موقعیت دقیق مرزهای گروه دارد.

روش- عددی که در واقع اغلب اتفاق می افتد (مقدار معینی است)، در عمل گسترده ترین کاربرد را دارد (متداول ترین نوع خریدار).

میانه (M هکمیتی است که تعداد یک سری تغییرات مرتب شده را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند: یک قسمت دارای مقادیر مشخصه متغیر است که کوچکتر از نوع متوسط ​​است و دیگری دارای مقادیر بزرگتر است.

میانهعنصری است که بزرگتر یا مساوی و در عین حال کمتر یا مساوی نیمی از عناصر باقیمانده از سری توزیع است.

خاصیت میانه این است که مجموع انحرافات مطلق مقادیر مشخصه از میانه کمتر از هر مقدار دیگری است.

استفاده از میانه به شما امکان می دهد تا نتایج دقیق تری نسبت به سایر اشکال میانگین ها بدست آورید.

ترتیب یافتن میانه در یک سری تغییرات بازه ای به شرح زیر است: مقادیر فردی مشخصه را بر اساس رتبه بندی مرتب می کنیم. ما فرکانس های انباشته شده را برای یک سری رتبه بندی شده مشخص می کنیم. با استفاده از داده های فرکانس انباشته شده، فاصله میانی را پیدا می کنیم:

جایی که x من- حد پایین بازه میانه؛

من من- مقدار فاصله متوسط؛

f/2– نصف مجموع فرکانس های سری؛

اس من-1 - مجموع فرکانس های انباشته شده قبل از بازه میانه.

f من- فرکانس بازه میانه.

میانه تعداد یک سری را به نصف تقسیم می کند، بنابراین، جایی است که فرکانس انباشته شده نصف یا بیشتر از نیمی از مجموع فرکانس ها است و فرکانس قبلی (انباشته شده) کمتر از نصف تعداد جمعیت است.

5.1. مفهوم میانگین

مقدار متوسط ​​-این یک شاخص کلی است که سطح معمولی این پدیده را مشخص می کند. ارزش یک مشخصه در واحد جمعیت را بیان می کند.

میانگین همیشه تغییرات کمی یک صفت را تعمیم می دهد، یعنی. در مقادیر متوسط، تفاوت های فردی بین واحدها در جامعه به دلیل شرایط تصادفی حذف می شود. برخلاف میانگین، قدر مطلق که سطح یک ویژگی یک واحد از جمعیت را مشخص می کند، به فرد اجازه نمی دهد مقادیر یک ویژگی را در بین واحدهای متعلق به جمعیت های مختلف مقایسه کند. بنابراین، اگر شما نیاز به مقایسه سطوح دستمزد کارگران در دو شرکت دارید، نمی توانید دو کارمند شرکت های مختلف را بر این اساس مقایسه کنید. غرامت کارگرانی که برای مقایسه انتخاب شده اند ممکن است برای این شرکت ها معمولی نباشد. اگر اندازه صندوق های دستمزد را در شرکت های مورد نظر مقایسه کنیم، تعداد کارکنان در نظر گرفته نمی شود و بنابراین، تعیین اینکه سطح دستمزد در کجا بالاتر است غیرممکن است. در نهایت، فقط شاخص های میانگین را می توان با هم مقایسه کرد، یعنی. یک کارمند به طور متوسط ​​در هر شرکت چقدر درآمد دارد؟ بنابراین، نیاز به محاسبه مقدار متوسط ​​به عنوان یک مشخصه تعمیم دهنده جامعه وجود دارد.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. شاخص میانگین آنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه مشترک (معمول) است رد می کند، در حالی که در عین حال تفاوت های واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی از شانس و ضرورت وجود دارد. هنگام محاسبه میانگین ها، به موجب قانون اعداد بزرگحوادث لغو، متعادل می شوند، بنابراین می توان از ویژگی های بی اهمیت پدیده، از مقادیر کمی ویژگی در هر مورد خاص انتزاع کرد. توانایی انتزاع از تصادفی بودن مقادیر و نوسانات فردی، ارزش علمی میانگین ها به عنوان ویژگی های تعمیم دهنده کل است.

برای اینکه میانگین واقعا معرف باشد، باید با در نظر گرفتن اصول خاصی محاسبه شود.

اجازه دهید در مورد برخی از اصول کلی برای استفاده از میانگین ها صحبت کنیم.
1. میانگین باید برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن تعیین شود.
2. میانگین باید برای جمعیتی که از تعداد کافی واحد تشکیل شده است محاسبه شود.
3. میانگین باید برای جمعیتی که واحدهای آن در حالت عادی و طبیعی هستند محاسبه شود.
4. میانگین باید با در نظر گرفتن محتوای اقتصادی شاخص مورد مطالعه محاسبه شود.

5.2. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

اکنون انواع مقادیر متوسط، ویژگی های محاسبه آنها و زمینه های کاربرد را در نظر می گیریم. مقادیر متوسط ​​به دو دسته بزرگ تقسیم می شوند: میانگین توان، میانگین ساختاری.

به میانگین تواناینها شامل شناخته شده ترین و پرکاربردترین انواع، مانند میانگین هندسی، میانگین حسابی و میانگین درجه دوم است.

مانند میانگین های ساختاریحالت و میانه در نظر گرفته شده است.

بیایید روی میانگین های توان تمرکز کنیم. میانگین توان، بسته به ارائه داده های منبع، می تواند ساده یا وزنی باشد. متوسط ​​سادهبر اساس داده های گروه بندی نشده محاسبه می شود و به شکل کلی زیر است:

که در آن X i نوع (مقدار) مشخصه ای است که به طور میانگین می شود.

n – گزینه شماره.

میانگین وزنیبر اساس داده های گروه بندی شده محاسبه می شود و ظاهری کلی دارد

,

که در آن X i متغیر (مقدار) مشخصه‌ای است که به طور میانگین می‌شود یا مقدار وسط بازه‌ای است که در آن متغیر اندازه‌گیری می‌شود.
m - شاخص درجه متوسط؛
f i - فرکانس نشان می دهد که چند بار رخ می دهد مقدار i-eمشخصه میانگین

اجازه دهید به عنوان مثال محاسبه میانگین سنی دانش آموزان در یک گروه 20 نفره را مثال بزنیم:

ما میانگین سنی را با استفاده از فرمول میانگین ساده محاسبه می کنیم:

بیایید داده های منبع را گروه بندی کنیم. ما سری توزیع زیر را دریافت می کنیم:

در نتیجه گروه بندی، یک شاخص جدید - فراوانی به دست می آوریم که تعداد دانش آموزان X سال را نشان می دهد. بنابراین میانگین سنی دانش آموزان گروه با استفاده از فرمول میانگین موزون محاسبه می شود:

فرمول های عمومی برای محاسبه میانگین توان دارای توان (m) هستند. بسته به مقداری که می گیرد، انواع میانگین های توان زیر متمایز می شوند:
میانگین هارمونیک اگر m = -1;
میانگین هندسی، اگر m –> 0;
میانگین حسابی اگر m = 1;
ریشه میانگین مربع اگر m = 2;
مکعب متوسط ​​اگر m = 3 باشد.

فرمول های میانگین توان در جدول آورده شده است. 4.4.

اگر همه انواع میانگین ها را برای همان داده های اولیه محاسبه کنید، مقادیر آنها متفاوت خواهد بود. قانون اکثریت میانگین ها در اینجا اعمال می شود: با افزایش توان m، مقدار میانگین مربوطه نیز افزایش می یابد:

در عمل آماری، میانگین های حسابی و میانگین وزنی هارمونیک بیشتر از سایر انواع میانگین های وزنی استفاده می شود.

جدول 5.1

انواع وسایل قدرت

نوعی قدرت میانگین	فهرست مطالب درجه (متر)	فرمول محاسبه
		ساده	وزن دار
هارمونیک	-1
هندسی	0
حسابی	1
درجه دوم	2
مکعبی	3

میانگین هارمونیک بیشتر است طراحی پیچیدهنسبت به میانگین حسابی میانگین هارمونیک زمانی برای محاسبات استفاده می شود که از واحدهای جمعیت - حامل های مشخصه - به عنوان وزن استفاده نمی شود، بلکه حاصل ضرب این واحدها با مقادیر مشخصه (یعنی m = Xf) است. در مواردی مانند تعیین هزینه های متوسط ​​نیروی کار، زمان، مواد در واحد تولید، به ازای هر قسمت برای دو (سه، چهار و غیره) شرکت، کارگرانی که در ساخت و تولید مشغول هستند، باید از هارمونیک ساده استفاده کرد. از همان نوع محصول, همان قطعه , محصول .

شرط اصلی برای فرمول محاسبه مقدار متوسط ​​این است که تمام مراحل محاسبه دارای یک توجیه واقعی و معنادار باشد. مقدار متوسط ​​حاصل باید جایگزین مقادیر فردی ویژگی برای هر شی شود بدون اینکه ارتباط بین شاخص های فردی و خلاصه را مختل کند. به عبارت دیگر، مقدار میانگین باید به گونه ای محاسبه شود که وقتی هر مقدار شاخص میانگین شده با مقدار متوسط ​​آن جایگزین می شود، برخی از شاخص های خلاصه نهایی بدون تغییر باقی می مانند. موضوع مرتبطیا به روشی دیگر با میانگین . این مجموع نامیده می شود تعریف کردناز آنجایی که ماهیت رابطه آن با مقادیر فردی فرمول خاص برای محاسبه مقدار متوسط ​​را تعیین می کند. اجازه دهید این قانون را با استفاده از مثال میانگین هندسی نشان دهیم.

فرمول میانگین هندسی

اغلب هنگام محاسبه مقدار متوسط ​​بر اساس دینامیک نسبی فردی استفاده می شود.

میانگین هندسی اگر دنباله ای از دینامیک نسبی زنجیره داده شود، به عنوان مثال نشان دهنده افزایش تولید نسبت به سطح سال قبل باشد، استفاده می شود: i 1, i 2, i 3,..., i n. بدیهی است که حجم تولید در سال گذشته بر اساس سطح اولیه آن (q 0) و افزایش متعاقب آن طی سالها تعیین می شود:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

با در نظر گرفتن q n به عنوان شاخص تعیین کننده و جایگزینی مقادیر فردی شاخص های دینامیک با مقادیر متوسط، به رابطه می رسیم.

از اینجا

5.3. میانگین های ساختاری

از نوع خاصی از میانگین ها - میانگین های ساختاری - برای مطالعه استفاده می شود ساختار داخلیمجموعه ای از توزیع مقادیر ویژگی، و همچنین برای تخمین مقدار متوسط ​​(نوع توان)، در صورتی که محاسبه آن با توجه به داده های آماری موجود قابل انجام نباشد (به عنوان مثال، اگر در مثال در نظر گرفته شده هیچ داده ای در مورد هر دو حجم وجود نداشته باشد. میزان تولید و میزان هزینه های گروهی از شرکت ها).

شاخص ها اغلب به عنوان میانگین های ساختاری استفاده می شوند روش -بیشترین مقدار تکرار شده صفت – and میانه ها -مقدار مشخصه ای که توالی مرتب مقادیر آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. در نتیجه، برای نیمی از واحدهای جمعیت، مقدار ویژگی از سطح میانه تجاوز نمی کند و برای نیمی دیگر از آن کمتر نیست.

اگر مشخصه مورد مطالعه دارای مقادیر گسسته باشد، پس هیچ مشکل خاصی در محاسبه حالت و میانه وجود ندارد. اگر داده های مربوط به مقادیر ویژگی X در قالب فواصل مرتب شده تغییر آن (سری بازه) ارائه شود، محاسبه حالت و میانه تا حدودی پیچیده تر می شود. از آنجایی که مقدار میانه کل جمعیت را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند، به یکی از بازه های مشخصه X ختم می شود. با استفاده از درون یابی، مقدار میانه در این بازه میانه پیدا می شود:

,

که در آن X Me حد پایین بازه میانه است.
h من - ارزش آن؛
(مجموع m) / 2 - نیمی از تعداد کل مشاهدات یا نیمی از حجم شاخصی که به عنوان وزن در فرمول های محاسبه مقدار میانگین (به صورت مطلق یا نسبی) استفاده می شود.
S Me-1 - مجموع مشاهدات (یا حجم ویژگی وزنی) جمع آوری شده قبل از شروع فاصله متوسط.
m Me - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزنی در بازه میانه (همچنین به صورت مطلق یا نسبی).

در مثال ما، حتی سه مقدار متوسط ​​را می توان به دست آورد - بر اساس تعداد شرکت ها، حجم تولید و کل هزینه های تولید:

بنابراین، در نیمی از شرکت ها هزینه هر واحد تولید بیش از 125.19 هزار روبل است، نیمی از حجم کل محصولات با هزینه هر محصول بیش از 124.79 هزار روبل تولید می شود. و 50٪ از کل هزینه ها زمانی تشکیل می شود که هزینه یک محصول بالاتر از 125.07 هزار روبل باشد. همچنین توجه داشته باشید که تمایل خاصی به افزایش هزینه وجود دارد، زیرا Me 2 = 124.79 هزار روبل، و سطح متوسط ​​123.15 هزار روبل است.

هنگام محاسبه مقدار معین یک مشخصه بر اساس داده های یک سری بازه، باید به این واقعیت توجه کرد که فواصل یکسان هستند، زیرا شاخص تکرارپذیری مقادیر مشخصه X به این بستگی دارد. یک سری بازه ای با فواصل مساوی، بزرگی حالت به صورت تعیین می شود

که در آن X Mo مقدار کمتر بازه مودال است.
m Mo - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزن در بازه مودال (به صورت مطلق یا نسبی).
m Mo -1 - برای فاصله قبل از مودال یکسان است.
m Mo + 1 - برای فاصله بعد از مودال یکسان است.
h - مقدار فاصله تغییر مشخصه در گروه ها.

برای مثال ما می توانیم سه را محاسبه کنیم معانی مودالبر اساس تعداد شرکت ها، حجم تولید و میزان هزینه ها. در هر سه مورد، فاصله مودال یکسان است، زیرا برای همان بازه تعداد شرکت ها، حجم تولید و مقدار کل هزینه های تولید بیشترین است:

بنابراین، اغلب شرکت هایی با سطح هزینه 126.75 هزار روبل وجود دارد، اغلب محصولات با سطح هزینه 126.69 هزار روبل تولید می شوند و اغلب هزینه های تولید با سطح هزینه 123.73 هزار روبل توضیح داده می شود.

5.4. شاخص های تنوع

شرایط خاصی که هر یک از اشیاء مورد مطالعه در آن قرار دارد و همچنین ویژگی های توسعه خود (اجتماعی، اقتصادی و غیره) با سطوح عددی مربوطه شاخص های آماری بیان می شود. بدین ترتیب، تغییر،آن ها اختلاف بین سطوح یک شاخص در اشیاء مختلف ماهیت عینی دارد و به درک ماهیت پدیده مورد مطالعه کمک می کند.

روش های مختلفی برای اندازه گیری تغییرات آماری استفاده می شود.

ساده ترین روش محاسبه شاخص است محدوده تنوع H به عنوان تفاوت بین حداکثر (X max) و حداقل (Xmin) مقادیر مشاهده شده مشخصه:

H=X حداکثر - X دقیقه.

با این حال، دامنه تغییرات فقط مقادیر شدید صفت را نشان می دهد. تکرارپذیری مقادیر میانی در اینجا در نظر گرفته نمی شود.

مشخصه های دقیق تر، شاخص های تغییرپذیری نسبت به سطح متوسط ​​ویژگی هستند. ساده ترین شاخص از این نوع است میانگین انحراف خطی L به عنوان میانگین حسابی انحراف مطلق یک مشخصه از سطح متوسط ​​آن:

هنگامی که مقادیر منفرد X قابل تکرار هستند، از فرمول میانگین حسابی وزنی استفاده کنید:

(به یاد بیاورید که مجموع جبری انحرافات از سطح متوسط ​​صفر است.)

شاخص میانگین انحراف خطی به طور گسترده در عمل استفاده می شود. به عنوان مثال، با کمک آن، ترکیب کارگران، ریتم تولید، یکنواختی عرضه مواد مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد و سیستم های مشوق های مادی توسعه می یابد. اما متاسفانه این شاخص محاسبات احتمالی را پیچیده می کند و استفاده از روش های آمار ریاضی را پیچیده می کند. بنابراین، در آمار تحقیق علمیشاخصی که اغلب برای اندازه گیری تغییرات استفاده می شود واریانس ها

واریانس مشخصه (s 2) بر اساس میانگین توان درجه دوم تعیین می شود:

.

شاخص s برابر نامیده می شود میانگین انحراف مربع.

که در نظریه عمومیآمار، شاخص پراکندگی برآوردی از شاخص تئوری احتمال به همین نام و (به عنوان مجموع انحرافات مجذور) تخمینی از پراکندگی در آمار ریاضیکه امکان استفاده از مفاد این رشته های نظری را برای تحلیل فرآیندهای اقتصادی-اجتماعی ممکن می سازد.

اگر تغییرات از تعداد کمی از مشاهدات گرفته شده از یک جمعیت نامحدود تخمین زده شود، آنگاه مقدار متوسط ​​مشخصه با مقداری خطا تعیین می شود. مقدار محاسبه شده پراکندگی معلوم می شود که به سمت کاهش تغییر می کند. برای به دست آوردن یک تخمین بی طرفانه، واریانس نمونه به دست آمده با استفاده از فرمول های داده شده قبلی باید در مقدار n / (n - 1) ضرب شود. در نتیجه، با تعداد کمی از مشاهدات (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

معمولاً، در حال حاضر برای n> (15÷20)، اختلاف بین تخمین های مغرضانه و بی طرفانه ناچیز می شود. به همین دلیل، سوگیری معمولاً در فرمول اضافه کردن واریانس در نظر گرفته نمی شود.

اگر چند نمونه از جمعیت عمومی گرفته شود و هر بار مقدار میانگین یک مشخصه تعیین شود، مشکل ارزیابی متغیر بودن میانگین ها به وجود می آید. تخمین واریانس مقدار متوسطتنها بر اساس یک مشاهده نمونه با استفاده از فرمول امکان پذیر است

,

که در آن n حجم نمونه است. s 2 - واریانس مشخصه محاسبه شده از داده های نمونه.

اندازه نامیده میشود میانگین خطای نمونه گیریو مشخصه انحراف مقدار میانگین نمونه ویژگی X از مقدار میانگین واقعی آن است. شاخص خطای متوسط ​​برای ارزیابی پایایی نتایج مشاهده نمونه استفاده می شود.

شاخص های پراکندگی نسبیبرای مشخص کردن اندازه‌گیری متغیر بودن مشخصه مورد مطالعه، شاخص‌های تغییرپذیری در مقادیر نسبی محاسبه می‌شوند. آنها امکان مقایسه ماهیت پراکندگی در توزیع های مختلف را فراهم می کنند (واحدهای مختلف مشاهده یک ویژگی در دو جمعیت، با معانی مختلفمیانگین ها، هنگام مقایسه جمعیت های مختلف). محاسبه شاخص های اندازه گیری پراکندگی نسبی به عنوان نسبت شاخص پراکندگی مطلق به میانگین حسابی، ضرب در 100٪ انجام می شود.

1. ضریب نوسانمنعکس کننده نوسان نسبی مقادیر شدید مشخصه در اطراف میانگین است

.

2. خاموشی خطی نسبی نسبت میانگین مقدار علامت انحراف مطلق از مقدار متوسط ​​را مشخص می کند.

.

3. ضریب تغییرات:

رایج ترین معیار تغییرپذیری است که برای ارزیابی معمولی بودن مقادیر میانگین استفاده می شود.

در آمار، جمعیت هایی با ضریب تغییرات بیشتر از 30-35٪ ناهمگن در نظر گرفته می شوند.

این روش ارزیابی تنوع نیز دارای یک اشکال قابل توجه است. در واقع، اجازه دهید، برای مثال، جمعیت اصلی کارگران با میانگین تجربه 15 سال، با انحراف معیار s = 10 سال، 15 سال دیگر "بزرگتر" شوند. اکنون = 30 سال، و انحراف معیار هنوز 10 است. جمعیت ناهمگن قبلی (10/15 × 100 = 66.7٪، بنابراین در طول زمان کاملاً همگن است (10/30 × 100 = 33.3٪).

بویارسکی A.Ya. مطالعات نظری در آمار: شنبه. علمی ترودوف - M.: آمار، 1974. صص 19-57.

قبلی

مبحث 5. مقادیر متوسط ​​به عنوان شاخص های آماری

مفهوم ارزش متوسط. دامنه میانگین ها در تحقیقات آماری

مقادیر متوسط ​​در مرحله پردازش و خلاصه سازی داده های آماری اولیه به دست آمده استفاده می شود. نیاز به تعیین مقادیر متوسط ​​به این دلیل است که، به عنوان یک قاعده، مقادیر فردی از یک ویژگی برای واحدهای مختلف جمعیت مورد مطالعه یکسان نیست.

اندازه متوسطشاخصی نامیده می شود که ارزش تعمیم یافته یک مشخصه یا گروهی از ویژگی ها را در جمعیت مورد مطالعه مشخص می کند.

اگر جمعیتی با ویژگی های کیفی همگن مورد مطالعه قرار گیرد، آنگاه مقدار متوسط ​​در اینجا عمل می کند میانگین معمولی. به عنوان مثال، برای گروه‌هایی از کارگران در یک صنعت خاص با سطح درآمد ثابت، متوسط ​​هزینه‌های معمولی برای نیازهای اولیه تعیین می‌شود، یعنی. میانگین معمولی مقادیر کیفی همگن ویژگی را در یک جمعیت معین تعمیم می دهد، که سهم هزینه های کارگران این گروه برای کالاهای اساسی است.

هنگام مطالعه جمعیتی با ویژگی های کیفی ناهمگن، غیرمعمول بودن شاخص های متوسط ​​ممکن است به منصه ظهور برسد. به عنوان مثال، اینها میانگین شاخص های درآمد سرانه ملی تولید شده (مختلف گروه های سنی، متوسط ​​عملکرد دانه در سراسر روسیه (مناطق مختلف مناطق آب و هواییو انواع غلات)، میانگین نرخ زاد و ولد برای تمام مناطق کشور، میانگین دما برای یک دوره معین و غیره. در اینجا، مقادیر متوسط ​​مقادیر ناهمگون کیفی ویژگی‌ها یا مجموعه‌های فضایی سیستمیک (جامعه بین‌المللی، قاره، ایالت، منطقه، منطقه، و غیره) یا مجموعات پویا که در طول زمان (قرن، دهه، سال، فصل و غیره) گسترش یافته‌اند را تعمیم می‌دهند. ) . چنین مقادیر میانگینی نامیده می شوند میانگین های سیستم.

بنابراین، اهمیت مقادیر متوسط ​​در تابع تعمیم آنها نهفته است. مقدار متوسط ​​جایگزین می شود عدد بزرگمقادیر فردی یک مشخصه، تشخیص خواص عمومی، ذاتی در تمام واحدهای جمعیت است. این به نوبه خود به ما امکان می دهد تا از علل تصادفی اجتناب کنیم و الگوهای کلی را به دلایل رایج شناسایی کنیم.

انواع مقادیر متوسط ​​و روش های محاسبه آنها

در مرحله پردازش آماری می توان انواع مسائل تحقیقی را تنظیم کرد که برای حل آنها باید میانگین مناسب انتخاب شود. در این مورد، لازم است با قانون زیر هدایت شود: کمیت هایی که صورت و مخرج میانگین را نشان می دهند باید از نظر منطقی با یکدیگر مرتبط باشند.

میانگین های توان;

میانگین های ساختاری.

اجازه دهید کنوانسیون های زیر را معرفی کنیم:

مقادیری که میانگین برای آنها محاسبه می شود.

میانگین، جایی که نوار بالا نشان می دهد که میانگین گیری مقادیر فردی انجام می شود.

فرکانس (تکرارپذیری مقادیر مشخصه فردی).

میانگین های مختلف از فرمول کلیمیانگین توان:

(5.1)

وقتی k = 1 - میانگین حسابی؛ k = -1 - میانگین هارمونیک. k = 0 - میانگین هندسی. k = -2 - ریشه میانگین مربع.

مقادیر متوسط ​​می توانند ساده یا وزن دار باشند. میانگین های موزوناینها مقادیری هستند که در نظر می گیرند که برخی از انواع مقادیر ویژگی ممکن است اعداد مختلفی داشته باشند و بنابراین هر گزینه باید در این عدد ضرب شود. به عبارت دیگر، "مقیاس" تعداد واحدهای کل در گروه های مختلف است، یعنی. هر گزینه با فرکانس خود "وزن" می شود. فرکانس f نامیده می شود وزن آمارییا وزن متوسط

میانگین حسابی- رایج ترین نوع میانگین. زمانی استفاده می‌شود که محاسبه بر روی داده‌های آماری گروه‌بندی‌نشده انجام می‌شود، جایی که باید میانگین ترم را بدست آورید. میانگین حسابی مقدار متوسط ​​یک مشخصه است که با به دست آوردن آن حجم کل مشخصه در مجموع بدون تغییر باقی می ماند.

فرمول میانگین حسابی (ساده) دارای فرم است

که در آن n اندازه جمعیت است.

به عنوان مثال، متوسط ​​حقوق کارکنان یک شرکت به عنوان میانگین حسابی محاسبه می شود:

شاخص های تعیین کننده در اینجا حقوق هر کارمند و تعداد کارکنان شرکت است. هنگام محاسبه میانگین، مقدار کل دستمزد ثابت باقی ماند، اما به طور مساوی بین همه کارکنان توزیع شد. به عنوان مثال، شما باید میانگین حقوق کارگران یک شرکت کوچک با استخدام 8 نفر را محاسبه کنید:

هنگام محاسبه مقادیر میانگین، مقادیر فردی مشخصه که به طور متوسط ​​​​تکرار می شود، می تواند تکرار شود، بنابراین مقدار متوسط ​​با استفاده از داده های گروه بندی شده محاسبه می شود. در این مورد ما در مورددر مورد استفاده میانگین وزنی حسابی، که دارای فرم است

(5.3)

بنابراین، ما باید میانگین قیمت سهام برخی را محاسبه کنیم شرکت سهامیدر معاملات بورس مشخص است که معاملات طی 5 روز (5 نوبت معاملاتی) انجام شده است، تعداد سهام فروخته شده به نرخ فروش به شرح زیر توزیع شده است:

1 - 800 ak. - 1010 روبل.

2 - 650 ak. - 990 روبل.

3 - 700 ak. - 1015 روبل.

4 - 550 ak. - 900 روبل.

5 - 850 ak. - 1150 روبل.

نسبت اولیه برای تعیین میانگین قیمت سهام، نسبت کل مبلغ معاملات (TVA) به تعداد سهام فروخته شده (KPA) است:

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3,634,500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

در این حالت میانگین قیمت سهام برابر بود

دانستن خصوصیات میانگین حسابی ضروری است که هم برای استفاده و هم برای محاسبه آن بسیار مهم است. ما می‌توانیم سه ویژگی اصلی را که بیشترین استفاده گسترده از میانگین حسابی را در محاسبات آماری و اقتصادی تعیین می‌کنند، تشخیص دهیم.

خاصیت یک (صفر): مجموع انحرافات مثبت مقادیر فردی یک مشخصه از مقدار متوسط ​​آن برابر با مجموع انحرافات منفی است. این یک ویژگی بسیار مهم است، زیرا نشان می دهد که هرگونه انحراف (هم + و هم -) ناشی از دلایل تصادفی متقابلاً لغو می شود.

اثبات:

خاصیت دو (حداقل): مجموع انحرافات مجذور مقادیر فردی یک مشخصه از میانگین حسابی کمتر از هر عدد دیگری (a) است، یعنی. حداقل تعداد وجود دارد

اثبات

بیایید مجموع انحرافات مجذور متغیر a را جمع آوری کنیم:

(5.4)

برای یافتن منتهی الیه این تابع، لازم است مشتق آن را نسبت به a با صفر برابر کنیم:

از اینجا دریافت می کنیم:

(5.5)

در نتیجه، حداکثر مجموع مجذور انحرافات در . این حداکثر یک حداقل است، زیرا یک تابع نمی تواند حداکثر داشته باشد.

خاصیت سه: میانگین حسابی یک مقدار ثابت برابر است با این ثابت: برای a = const.

در کنار این سه مهمترین خواصمیانگین حسابی به اصطلاح وجود دارد خواص طراحی، که به تدریج به دلیل استفاده از فناوری رایانه الکترونیکی اهمیت خود را از دست می دهند:

اگر مقدار منفرد ویژگی هر واحد در یک عدد ثابت ضرب یا تقسیم شود، میانگین حسابی به همان مقدار افزایش یا کاهش می یابد.

اگر وزن (فرکانس) هر مقدار مشخصه بر یک عدد ثابت تقسیم شود، میانگین حسابی تغییر نخواهد کرد.

اگر مقادیر فردی ویژگی هر واحد به همان مقدار کاهش یا افزایش یابد، میانگین حسابی به همان مقدار کاهش یا افزایش می یابد.

میانگین هارمونیک. این میانگین را میانگین حسابی معکوس می نامند زیرا این مقدار زمانی که k = -1 استفاده می شود.

میانگین هارمونیک سادهزمانی استفاده می شود که وزن مقادیر مشخصه ها یکسان باشد. فرمول آن را می توان از فرمول پایه با جایگزینی k = -1 بدست آورد:

مثلاً باید محاسبه کنیم سرعت متوسطدو خودرو که یک مسیر را طی کرده اند اما با در سرعت های مختلف: اول - با سرعت 100 کیلومتر در ساعت، دوم - 90 کیلومتر در ساعت. با استفاده از روش میانگین هارمونیک، سرعت متوسط ​​را محاسبه می کنیم:

در عمل آماری بیشتر از وزن هارمونیک استفاده می شود که فرمول آن دارای فرم است

این فرمول در مواردی استفاده می شود که وزن (یا حجم پدیده ها) برای هر صفت برابر نباشد. در نسبت اولیه برای محاسبه میانگین، صورت مشخص است، اما مخرج نامشخص است.