入り口統計の平均値の計算式。 統計における平均の本質と意味。 平均の種類。 二次変動係数
講義 5. 平均値
コンセプト 平均サイズ統計では
算術平均とその性質
他のタイプの電力平均
最頻値と中央値
四分位数と十分位数
広く普及している統計では平均値があります。 平均値は、流通コスト、利益、収益性などの商業活動の定性的指標を特徴付けます。
平均- これは一般的な一般化手法の 1 つです。 平均の本質を正しく理解することで、条件における平均の特別な重要性が決まります。 市場経済、個別およびランダムの平均により、一般的かつ必要なものを識別できる場合、パターンの傾向を識別することができます。 経済発展.
平均値- これらは、研究対象の現象の一般的な条件とパターンの影響を表す一般化指標です。
平均値 (統計において) – 他のすべての条件が等しい場合、人口単位当たりの社会現象の典型的な規模またはレベルを特徴付ける一般的な指標。
平均の方法を使用すると、次のことを解決できます。 主な目標:
1.現象の発展レベルの特徴。
2. 2 つ以上のレベルの比較。
3. 社会経済現象の相互関係の研究。
4. 宇宙における社会経済現象の位置の分析。
統計的平均は、正しく統計的に組織された質量観察 (継続的および選択的) からの質量データに基づいて計算されます。 ただし、質的に均一な集団（集団現象）の集団データから計算された場合、統計的平均は客観的かつ典型的になります。 たとえば、平均を計算すると、 賃金協同組合や国営企業で調査し、その結果を全人口に拡張すると、異質な人口に基づいて計算されたため、平均値は架空のものとなり、そのような平均値はまったく意味を失います。
平均値の助けを借りて、個々の観察単位で何らかの理由で生じる特性値の差異が平滑化されます。 たとえば、営業担当者の平均生産性は、資格、勤続年数、年齢、サービス形態、健康状態など、さまざまな理由によって決まります。
平均の本質は、ランダムな要因の作用によって引き起こされる母集団の個々の単位の特性値の偏差を相殺し、主な要因の作用によって引き起こされる変化を考慮に入れるという事実にあります。 これにより、平均値が特性の典型的なレベルを反映し、個々のユニットに固有の個々の特性を抽象化することができます。
平均値は研究対象の特性の値を反映しているため、この特性と同じ次元で測定されます。
それぞれの平均値は、いずれか 1 つの特性に従って調査対象の母集団を特徴付けます。 多くの重要な特徴に従って研究対象の母集団を完全かつ包括的に理解するには、一般に、さまざまな角度から現象を説明できる平均値のシステムが必要です。
さまざまな平均があります。
算術平均。
幾何平均。
調和平均。
平均二乗;
平均的な時系列。
6.1. 方法論的指示
平均は統計指標の一種です。
平均値は平滑化されます 個人ただし、人口の個々の単位の特徴 主要なものが明らかになります、基本的、典型的で、全体を特徴づけます。
平均値 -これ 一般化する特徴づける指標 典型的なユニットごとの特性の変化の質的レベル 同種の特定の場所と時間の条件下で集計します。
一般化する指標とは、集団全体を特徴づける指標です。
同種のセットとは、特定の特性、つまり研究対象の集団全体の特性の一般的なレベルを決定する、共通の基本的な原因と発達条件の影響下でその単位が形成されるセットです。
定性的に計算された平均値 異質な集合的な、架空の、無差別な。
平均値を計算するための必須条件
- 1. 平均値は以下に基づいて計算する必要があります。
- a) 質的に均一な集団。
- b) 信頼できる大量のデータ。
- c) 比較可能なデータ（地域、時間、測定単位、計算方法などによる）。
- 2. 一般的な平均値は、個別のグループに対して計算された他の平均値、平均化される特性の個別の値、および他の指標の平均によって必ず補足されなければなりません。
これらの条件を遵守することで、現象の客観的な説明を取得し、適切な管理上の意思決定を行うことができます。
たとえば、2015 年の平均名目未払賃金は、 ロシア連邦経済全体では、15,758 ルーブルを含む 34,030 ルーブルに達しました。 繊維と衣料品の生産（これが最低給与です）、81,605ルーブル。 - コークスおよび石油製品の生産（最高賃金）。
経済実務では、彼らは次のように使用します。 異なる種類平均は、電力平均と構造平均の 2 つのグループに分類されます。
パワー平均:
- 1) 算術平均。
- 2）調和平均。
- 3）幾何平均。
- 4）二乗平均。
- 5) 平均立方体など
構造の平均： ファッション; 中央値; 四分位数。 十分位数など (第 7 章で説明します)。
平均値を計算するための特定の式の選択は、次の要素によって決まります。
- 1) から 意味論的な式、それらの。 平均化された特性の本質、その内容、最終的な（定義する）指標との関係。
- 2) 研究者が利用できるデータ。
- ３）平均化された特性のばらつき（揺らぎ）の度合い。
最後の (定義する) 索引 -これは指標、値です
これは、特性 (Xj) のすべての個別値を X の平均値に置き換えても変わりません。
定義指標は、意味式の分子または分母のいずれかにあります。
質問。 OV の平均を計算するための意味論的な式を作成するにはどうすればよいですか?
経験豊富な統計学者からのアドバイス。平均値を計算するためのセマンティック (論理) 式 相対的指標が一致する
を計算する式を使用すると、 相対的インジケータ。
意味論的な式 欠陥の平均割合計算式と一致する 構造物の相対的なサイズ(総生産量に占める欠陥の割合):
電力平均間には、次のように呼ばれる特定の定量的関係があります。 多数決：
質問。平均値を計算するための式を別の式に置き換えることはできますか?また、どのような場合に置き換えることができますか?
経験豊富な統計学者からのアドバイス。符号の変動の場合 小さい、
特性 (X|) の値が互いに近い場合、より複雑な
平均値は、より単純な値に置き換えることができます。
たとえば、幾何平均の代わりに算術平均を使用します。
この章では、算術平均と調和平均という 2 種類の平均について説明します。
他のタイプの平均については、ワークショップの次の章で学習します。
表 6.1 に、算術平均と調和平均を計算するための基本式を示します。
表6.1
算術平均と調和平均の計算
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中型タイプ |
計算式 |
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単純な算術平均 |
X は、母集団の個々の単位の平均特性の値です。 n は、調査対象の母集団のユニット数、または平均化される特性の値の数です。 次の場合に使用されます。
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加重算術平均 |
/ - 平均化される特性の特定の値を持つユニットの数、重量、共同測定者 |
|
d- 平均化された特性の特定の値を持つユニットの割合、重み |
エンディング
経済計算の実践では、平均が最もよく使用されます。 算術サイズ。
表 6.2 では、算術平均の特定の特性について説明します。これらは、計算の制御と簡素化に広く使用されています。
表6.2
算術平均の性質
|
算術平均の性質 |
式 |
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2. もし それぞれ特性の値が同じ数値だけ増加または減少すると、平均値もそれに応じて変化します。 |
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3. もし それぞれ特性の値が同じ回数だけ増加または減少すると、平均値もそれに応じて変化します |
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4. もし 重さすべてのオプションを同じ数値で乗算または除算すると、平均値は変わりません。 |
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結果: 平均を計算するとき、比重を重みとして使用できます。 |
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|
5. 個々のオプションの平均からの偏差の合計はゼロです |
 |
モーメント法による平均値の計算
算術平均の特性により、特に平均値の計算を簡素化することができます。 離散バリエーションシリーズはもちろん、 間隔行 同等の間隔をあけて。 これを例で説明してみましょう。
表6.3
|
労働者の生産高、人/人。 |
真ん中 間隔 |
従業員数・人数/ |
x-x 0、x 0 = 50 |
時 = 20 |
|
|
80以上 (80-100) |
|||||
解決。表 6.3 は、間隔変動シリーズを示しています。 等しい間隔をあけて。 属性 (x) の値として、各間隔の中央 (列 1) を取得します。
開いた区間の幅は、それに隣接する閉じた区間の幅と等しいことに同意しましょう。
通常の (単純化されていない) 方法で、従業員チームの平均生産量を計算してみましょう。
計算は表の列 3、4 に示されています。 6.3.
2. 条件付き平均 (変換されたオプションの平均) を計算します。 
計算は表の 5 列目に示されています。 6.3.
3. 条件付き平均 (x) から実際の平均 (x) に移りましょう。 逆順で行った操作を実行しましょう バツ
結果は単純化された方法を使用した計算と一致します。
経験豊富な統計学者からのアドバイス。バリエーションシリーズなら 等しい間隔の場合、テーブルの列 1 と列 3 を計算する必要はありません。 列 2 (/-周波数) の直後に列 x を記入します。」この列の中央に 0 を書き込みます。この間隔の中央は x 0 となり、間隔の幅は次のようになります。 h(表6.4)。
表6.4
モーメント法による平均出力の計算
6.2. 典型的な問題の解決
問題6.1。表のデータに従って、当年の会社の従業員の平均月収を計算します。 6.5.
解決。平均値の計算は、意味論的な式を書くことから始める必要があります。
セマンティック (.論理的な) 平均給与の計算式:
平均給与のアルゴリズム（計算式）は、研究者がどのような統計データを入手できるかによって異なります。
いくつかのオプションを検討してみましょう。
私はオプションです。今年、その月の企業の労働者の賃金基金が 2804 千ルーブルに達し、72 人が企業で働いていたことがわかっている場合、意味公式 6.2 に直接代入することで平均賃金を計算できます。賃金基金と労働者数に関して私たちが知っているデータ:
結論。今年、同社の従業員は月平均3万8900ルーブルを受け取った。
オプション II。企業の個々の作業所の賃金と労働者数に関するデータは既知です (表 6.5)。
表6.5
企業の個々の作業場における月ごとの給与と従業員数
解決。平均賃金の意味的 (論理的) 式は変わっていません (式 6.2)。 ただし、意味式の分子も分母も 直接不明ですが、表のデータを使用して計算できます。 6.5.
選びましょう シンボル(表6.6)。
意味公式の分子「企業労働者の賃金基金」を計算するには、次のことが必要です。 それぞれに企業の作業場ごとに、労働者の賃金 (X) に労働者の数 (/) を乗じて、各作業場の賃金基金を取得します。 (Xf)、それらの値を合計して、企業全体の賃金基金を計算します。
計算結果を表に示します。 6.6.
表6.6
企業従業員の月平均給与の計算（算術加重平均）
この場合、企業 (X) の平均給与は次のようになります。
平均給与は平均式を使用して計算されました。 算術重みのある。
質問。平均値はどの程度の精度で計算すればよいですか?
経験豊富な統計学者からのアドバイス。平均値を計算する際の精度は、特に値が小さい場合、平均化されたインジケーターの精度よりも高くなければなりません。
私たちの場合、企業の個々のワークショップの賃金は整数 (32; 48; 39) まで正確に計算され、平均賃金はそれ以上から計算されます。 高度な最大 10 分の 1 (38.9) の精度。
質問。平均値の計算が正しいかどうかを確認することはできますか?
経験豊富な統計学者からのアドバイス。どれでも平均値は最小値より大きくなければなりません。 最大値平均化される特性 (任意の平均値の特性):
私たちの場合、この要件は満たされています。 
結果として、計算に重大な誤差はありませんでした。
結論。今年、この企業の従業員の月平均給与は 38.9 千ルーブルでした。 最も賃金が高かったのは第 2 作業場で 1 人当たり 48,000 ルーブル、最も低かった第 1 作業場は 1 人当たり 32,000 ルーブルでした。
質問。平均値を計算するにはどのような式を使用する必要がありますか? 分母意味式ですが、分子が分かりませんが、計算できますか？
経験豊富な統計学者からのアドバイス。知られているだけなら 分母意味式、分子は不明ですが計算可能、平均値は平均式を使用して計算されます 算術重み付け:
Ⅲオプション。企業の個々の作業所の労働者の月ごとの賃金と賃金基金に関するデータがわかっています(表6.7)。
表6.7
企業の個々の作業場における月ごとの給与と従業員数
解決。平均賃金の意味論的 (論理的) 式は変わりません (6.2)。
ただし、意味式の分子も分母も 直接未知。 ただし、表のデータに従って計算できます。 6.7.
意味公式の分母「企業の従業員数」を計算するには、次のことが必要です。 それぞれに賃金基金を分割するためのワークショップ（ M) をワーカー数 (X) で計算し、結果のデータを加算します。
計算結果を表に示します。 6.8.
表6.8
企業従業員の月平均給与の計算（加重調和平均）
計算は加重調和平均式を使用して行われました。
検査：
質問。のみの場合、平均値を計算するにはどのような式を使用する必要がありますか? 分子意味式、分母は分からないけど計算はできる？
経験豊富な統計学者からのアドバイス。知られているだけなら 分子意味式、分母は不明ですが計算可能、平均は平均式を使用して計算されます 高調波重み付け:
IVオプション。賃金基金や労働者数に関するデータが不明であり、計算できない可能性があります。 ただし、賃金に関する情報は企業の各作業場、つまり工場ごとに知られています。 平均特性 (xj) の値が与えられます (表 6.9)。
表6.9
企業従業員の月給
解決。この場合、平均給与は平均式を使用して計算されます。 単純な算術賃金データに基づく（労働者数に関する情報は考慮せず）：
検査：
質問。しかし、私たちが知っている場合、どのような式で平均値を計算できますか 平均化される特性の値のみ人口の個々の単位で?
経験豊富な統計学者からのアドバイス意味式の分子も分母も不明だが、母集団の個々の単位について平均化された特性の値がわかっている場合、平均値は平均式を使用して計算されます。 単純な算術:
ご覧のとおり、賃金は算術平均の計算式を使用して計算されます。 単純そして算術平均 重み付けされた、量的に一致しません:
経験豊富な統計学者からのアドバイス。算術平均 重み付けされた常に算術平均よりも正確な結果が得られます 単純、平均値の値を決定するより多くの要素が考慮されるためです。
私たちの場合、算術平均は 単純個々の作業場における賃金のばらつきと算術平均のみを考慮します。 重み付けされたまた、各賃金値を受け取る労働者の数も考慮されます。
問題6.2。 で昨年、オルガン音楽コンサートのチケットは800ルーブル、1000ルーブル、1200ルーブルで購入できた。 で今年、チケットの価格は100ルーブル値上がりしました。
解決。
1. 平均チケット価格を計算する 過去に年。
平均価格を表す意味のある式:
意味式の分子も分母もわかりませんが、平均される属性の値 (価格) はわかっているため、算術平均式のみを使用できます。 単純"。
検査： 
結論。昨年、オルガン音楽コンサートのチケットは1枚あたり平均967ルーブルで販売された。
2. 平均チケット価格を計算する 現在の中で年。
検査： 
のために 単純化精度を損なうことなく計算を行うには、平均値のプロパティを使用します (表 6.2、プロパティ 2)。
今年の価格が 全てチケットは100ルーブル増額され、 平均今年の価格は100ルーブルになります。 もっと 去年平均の値段：
結論。今年、オルガン音楽コンサートのチケットは1枚あたり平均1,067ルーブルで販売される。
経験豊富な統計学者からのアドバイス。もし それぞれ特性（X）の値が同じ数だけ増加（減少）すると、平均値の値も同じ数だけ増加（減少）します。
問題6.3。昨年、チケットの 33% が 1200 ルーブルで販売され、57% が 900 ルーブルで販売されたことがわかっている場合、オルガン音楽コンサートのチケットの平均価格を計算してください。 そして10％ - それぞれ800ルーブル。
解決。意味公式の分子も分母も分からず、問題の条件に従ってそれらを計算することは不可能です。
ただし、決定する 平均チケットの価格は、平均値の特性 (表 6.2) を使用すると可能です。 (J)みんな特性値( バツ) 同じ数値を乗算または除算しても、平均値は変わりません。
したがって、
結論。昨年、オルガン音楽コンサートのチケットは1枚あたり平均989ルーブルで販売された。
問題 6.2 と 6.3 の平均チケット価格が同じではない理由を説明してください。
経験豊富な統計学者からのアドバイス。比重を重み（/）として使用できます。 平均値は変わりません。
の平均値を計算してみましょう 間隔変分
問題6.4。表によると 6.10 チームの従業員のシフトごとの平均生産高を計算し、平均の種類を示します。
表6.10
生産ごとの乗務員の分布
解決。チームの従業員のシフトごとの平均生産量を計算するには、次の式を使用します。
問題の条件によれば、意味公式の分母 (旅団の労働者の数) はわかりますが、分子 (旅団の労働者によるシフトごとの生産高) はわかりませんが、次の式で求めることができます。各グループの労働者の生産高に労働者の数を掛けます。 したがって、加重算術平均の公式を適用する必要があります。
ただし、従業員の出力に関するデータは次の形式で表示されます。 間隔、それらの。 具体的に何台の生産ユニットが生産されたのかはわかりません 毎ワーカー。 私たちが知っているのは、すべての労働者が最初であるということだけです グループリリースされた製品は10未満、2番目は10から16製品などです。 各間隔からの生産値としてどの値を取得する必要がありますか?
経験豊富な統計学者からのアドバイス。データがフォームで提示されている場合 間隔系列を特徴量 (X) の値として取得します。 真ん中それぞれの間隔。
最初の間隔「最大 10」は、下限がないためオープンです。 まず、この間隔を「詰めて」みましょう。 条件付きで下限を定義します。
質問。開いた間隔を閉じるにはどうすればよいですか?
経験豊富な統計学者からのアドバイス。マグニチュード 開ける間隔は次と等しいとみなされます 隣のそれには閉じた間隔があります。
隣接する閉区間「10-16」の値は6=16-10であるため、最初の区間の下限は4=10-6となり、最初の区間は「4-10」となる。
最後の区間「22歳以上」も空いています。 彼は持っていない 上国境。 隣接する閉区間の値は 6 = 22 - 16 であるため、開区間の上限は 22 + 6 = 28 となります。最後の区間：「22-28」。
解を表に定式化してみましょう。 6.11。
単純な算術平均の式を使用して、各グループの間隔の中央を計算します。 たとえば、最初のグループ (最初の間隔) の場合:
表6.11
間隔データに基づいた従業員の平均生産量の計算
行
|
シフトごとの乗組員の生産高、個数。 |
番号 労働者、 人間 |
グループの平均生産量、個。 |
旅団労働者によるシフトごとの製品生産量、個。 |
|
(4 + 10): 2 = 7 |
7×5 = 35 |
||
|
(10 + 16): 2 = 13 |
13^-18 = 234 |
||
平均出力を表す意味のある公式:
意味上の公式と私たちが持っているデータに基づいて、加重算術平均の公式を使用して平均給与を計算します。
検査： 
結論。作業チームはシフトごとに平均 16 個の製品を生産しました。
6.3. 独立した仕事のタスク
賢くて有能な人は、何か疑問に思ったときに質問する人です。
イ・シンイン
タスク6.1。次の指標を計算するための論理 (セマンティック) 式を記述します。
- 1) ジャガイモの平均収量。
- 2) 計画完了の平均割合。
- 3) 労働者 1 人の平均給与。
- 4) プレミアム製品の平均割合。
- 5) 生産単位あたりの平均コスト。
- 6) 商品の平均価格。
- 7) 平均収益性。
タスク6.2。表に記入する 6.12、今年の各四半期について、3 チーム全体の不良品の平均割合を計算します。 計算に使用される平均値の種類に名前を付けます。 結果を分析します。
表6.12
3 つの組立チームの経済指標
ワークショップ
|
旅団 |
第1四半期 |
第Ⅱ四半期 |
||||
|
パーセント 欠陥のある 製品 |
リリース 製品、 |
パーセント 欠陥のある 製品 |
不良品の放出、個数。 |
|||
タスク6.3。表に記入する 6.13、当年の月ごとに、会社全体の 3 つの企業の平均収益性を計算します。
結果を分析します。 計算に使用した平均値を選択した理由を述べてください。
表6.13
Orpheus 社の 3 つの企業の経済指標
タスク6.4。今年のこの地域の 3 つの農業企業に関する次のデータが入手可能です。
- 1. 3 社全体の半年および年ごとの平均利回りを計算します。
- 2. 上半期と比較した下半期の平均収量の変化を研究します。 結論を導き出します。
- 3. 播種エリアの構造の変化を分析します。
- 4. 計算を表に記入します。
タスク6.5。今年 2 月の同社の 3 店舗における地域住民に対するシリアルの売上高については、次のデータが判明しています。
表6.14
今年2月のシリアル価格と販売量
計算します:
- 1) 企業全体のシリアル 1 kg の平均価格。 平均値を計算するための式の選択を正当化します。 計算を表の形式で提示します。
- ２）会社全体のシリアル総販売量に占める１号店のシェア。
結論を出します。
タスク6.6。表によると。 6.15 認証製品の平均割合を計算します。 平均値を計算する式を選択した理由を説明してください。
過去の期間において認証製品の平均割合が 70,9%.
表6.15
Kvadrat 製品の認証に関するデータ
タスク6.7。表によると。 6.16 モーメント法を含む、チームの従業員によるシフトタスクの平均完了率を計算します。
表6.16
シフトタスク完了率による乗務員の分布
計算を表に示します。 結論を導き出します。
タスク6.8。 20% の労働者が 3 番目のカテゴリー、40% が 4 番目のカテゴリー、35% が 5 番目のカテゴリー、残りが 6 番目のカテゴリーを持つ場合、旅団内の労働者の平均賃金カテゴリーを計算します。 計算に使用される平均値の種類を示します。 ソリューションで使用した平均値のプロパティに名前を付けます。
昨年の従業員の平均賃金カテゴリーが 5.1 であった場合、旅団従業員の資格はどのように変化したでしょうか。 結論を導き出します。
タスク6.9。カフェ「オゴニョク」購入予定 50 肉1kgあたり 300 摩擦/kgと 80 kg - まで 270 摩擦/kg しかし、その業者は食肉価格を1.2倍に値上げした。
実際に肉1kgを購入した平均価格と平均購入予定価格を計算します。
計算に使用される平均値の種類に名前を付けます。 結論を導き出します。
タスク6.10。前年、この地域の人口の28％の家族一人当たりの年収は18万ルーブル、56％は26万4千ルーブル、残りは58万8千ルーブルだった。
データを表形式で表示します。 地域全体の一人当たりの平均年間世帯収入を決定します。
計算に使用される平均値の種類を示します。 結論を出します。
タスク6.11。会社の最初の事業の利益額が168.0千ルーブル、2番目の事業が228.8千ルーブル、3番目の事業が218.4千ルーブルである場合、会社全体の1株当たりの平均利益を計算します。 同社の企業の一株当たり利益はそれぞれ 6.0 倍でした。 5.2; 3.9こする。
企業の総利益に占める各企業の割合を計算します。
問題の計算を表に示します。 結論を出します。
タスク6.12。表によると。 6.17 計算する 平均年齢組織の従業員、平均値の種類を示します。
表6.17
PJSC「レコード」の従業員の年齢別分布
探検する 年齢構成組織の従業員、OB 構造を計算します。
計算を表に示します。 結論を導き出します。
タスク6.13。会社全体の製品単位の製造にかかる平均労働集約度を計算します。会社の最初の企業で生産に費やした時間が 276 千人時、2 番目の企業で 2016 千人時、 3番目 - 3666千人時。 同社の全社にわたる製品の労働集約度はそれぞれ 4.6 でした。 11.2; 9.4時間/本
計算に使用される平均値の種類を示します。
企業の製品の生産に費やされた合計時間に占める各企業の割合を計算します。 計算された OB のタイプを示します。
計算を表に示します。 結論を出します。
タスク6.14。ロシアには、コンチネンタルホッケーリーグ（KHL）の22クラブに101人の外国人が所属しており、その内訳はカナダ出身14人、アメリカ出身11人、ヨーロッパ出身76人である。 ロシアバレーボールスーパーリーグには14クラブに17人の外国人選手が所属している。 VTBユナイテッドバスケットボールリーグの10クラブには53人の外国人が所属している。 ロシアのサッカープレミアリーグには16のクラブがあり、外国人選手は131人いる。 ロシアのバンディスーパーリーグには13チームがあり、外国人選手はわずか6チーム。 注：チームはすべて男性です。
計算: 1) ロシアのクラブの外国人選手の平均数。 2）国に基づいたKHLの外国人選手の構成。 構造図を描きます。 結論を導き出します。
タスク6.15。今年 9 月の Romashka カフェの貿易と生産活動に関する次のデータが判明しています。
計算します:
- 1) Romashka カフェが 9 月に商品を購入したときの平均価格はいくらですか? 計算された平均値の種類を示します。
- 2) 月の総入庫量に占める商品の各バッチの割合 (%)。 入庫のリズムを評価します。
- 3) 10 月に商品が平均 127.81 ルーブル/個で購入された場合、商品の平均購入価格は何ルーブル、何パーセント上昇しましたか?
結論を導き出します。
- 結論。 チームの各従業員は、シフトごとに平均 48 ユニットの製品を生産しました。 簡略化された方法での平均出力のさらなる計算では、算術平均の特性を使用します。 1. 計算では、変換されたオプション (x) を平均特性 (x) の値として取得します。ここで、xq と h は任意の数値です。 経験豊富な統計学者からのアドバイス。 中心区間の中央 (x0 = 50) を x0 とし、区間の幅 (h = 20) を h とすると、最も単純化できます。
分析を目的として、要約とグループ化の結果に基づいて統計的結論を得るために、一般化指標 (平均値と相対値) が計算されます。
平均値の問題 – 統計母集団のすべての単位を 1 つの特性値で特徴付けます。
平均値は品質指標を特徴づけます 起業家活動：物流コスト、利益、収益性など
平均値- これは、さまざまな特性に応じた集団の単位の一般化された特性です。
平均値を使用すると、異なる集団の同じ形質のレベルを比較し、これらの不一致の理由を見つけることができます。
研究中の現象の分析では、平均値の役割は非常に大きくなります。 英国の経済学者 W. ペティ (1623-1687) は平均値を広く使用しました。 V. ペティは、1 人の労働者の平均的な毎日の食費のコストの尺度として平均値を使用したいと考えました。 平均値の安定性は、調査対象のプロセスの規則性を反映しています。 彼は、元のデータが十分でなくても、情報は変換できると信じていました。
英国の科学者 G. キング (1648-1712) は、英国の人口データを分析する際に平均値と相対値を使用しました。
ベルギーの統計学者 A. ケトレ (1796-1874) の理論的発展は、自然界の不一致に基づいています。 社会現象– 塊としては非常に安定していますが、純粋に個別です。
A.ケトレによると 永続的な理由研究対象の各現象に均等に作用し、これらの現象を互いに類似させ、すべての現象に共通のパターンを作成します。
A. ケトレの教えの結果は、統計分析の主な手法として平均値の特定でした。 同氏は、統計的平均は客観的な現実のカテゴリーを表すものではないと述べた。
A. ケトレは、平均的な人間についての理論の中で、平均に関する彼の見解を表明しました。 平均的な人とは、平均的な体格のすべての資質（平均的な死亡率または出生率、平均的な身長と体重、平均的な走る速度、結婚と自殺に対する平均的な傾向、善行に対する平均的な傾向など）を備えた人のことです。 A.ケトレの場合 平均的な人- これは人の理想です。 A. ケトレの平均的な人間の理論の矛盾は、ロシアの統計文献で証明されました。 XIX-XX 後半何世紀にもわたって
有名なロシアの統計学者ユー・E・ヤンソン(1835-1893)は、A・ケトレはある種の平均的な人間の自然界の存在を与えられたものとして想定しており、平均的な人々の人生はそこから逸脱していると書いている。 この会社のそして時間を与えられると、彼は運動法則の完全に機械的な見方にたどり着きます。 社会生活：動きは人の平均的な特性の徐々に増加し、タイプが徐々に回復することです。 その結果、社会体の生活のあらゆる現れがそのように平準化され、それを超えるといかなる前進も停止する。
この理論の本質は次のとおりです。 更なる発展真の量の理論として多くの統計理論家の研究に取り入れられています。 A.ケトレには、真の価値の理論を移したドイツの経済学者で統計学者のV.レクシス（1837-1914）という信奉者がいました。 経済現象 公開生活。 彼の理論は安定理論として知られています。 理想主義的な平均理論の別のバージョンは、次の哲学に基づいています。
その創設者は英国の統計学者 A. ボウリー (1869 ～ 1957 年) で、平均理論の分野における最近の最も著名な理論家の 1 人です。 彼の平均の概念は、著書『Elements of Statistics』で概説されています。
A. ボーリーは平均値を定量的な側面からのみ考慮するため、量と質を分離します。 平均値（または「その関数」）の意味を決定するために、A. Boleyはマキアンの思考原理を提唱しています。 A. ボーリーは、平均値の関数は複雑なグループを表現する必要があると書きました
いくつかの素数を使用します。 統計データは単純化され、グループ化され、平均値に削減されるべきです。これらの見解は、R. Fisher (1890-1968)、J. Yule (1871 - 1951)、Frederick S. Mills (1892) などによって共有されています。
30代 XX世紀 そしてその後の年には、平均値が社会的に考慮される 重要な特徴、その情報内容はデータの均一性に依存します。
イタリア学派の最も著名な代表者である R. ベニニ (1862-1956) と C. ジーニ (1884-1965) は、統計を論理の一分野と考え、統計帰納法の適用範囲を拡大しましたが、論理の認知原理を結び付けました。統計の社会学的解釈の伝統に従って、研究されている現象の性質を伴う統計。
K. マルクスと V. I. レーニンの作品では、平均値には特別な役割が与えられています。
K. マルクスは、平均は一般的なレベルからの個人の偏差を補償し、 平均レベル平均値が質量現象の一般化特性となるのは、かなりの数の単位が取られ、これらの単位が定性的に均一である場合に限られます。 マルクスは、求められる平均値は「同じ種類の多くの異なる個別の値」の平均であるべきだと書いています。
市場経済では平均値が特別な意味を持ちます。 それは、個別的および偶発的を通じて直接的に経済発展のパターンの必要性と一般性、傾向を判断するのに役立ちます。
平均値は、一般的な条件の作用と研究対象の現象のパターンを表す一般化指標です。
統計的平均は、統計的に正しく組織化された質量観察からの質量データに基づいて計算されます。 統計的平均が質的に均一な集団（集団現象）の集団データから計算される場合、それは客観的になります。
平均値は抽象的な単位の値を特徴付けるため、抽象的です。
特性の多様性から 個々のオブジェクト平均は抽象化されます。 抽象化は科学研究の段階です。 平均値においては、個人と一般の弁証法的統一が実現される。
平均値は、個人と一般、個人と集団というカテゴリーの弁証法的理解に基づいて適用されるべきです。
中央のものは、特定の単一オブジェクトに含まれる共通のものを表示します。
集団的な社会的プロセスのパターンを特定するには、平均値が非常に重要です。
一般からの個人の逸脱は、発達の過程の現れです。
平均値は、研究対象の現象の特徴、典型、実際のレベルを反映しています。 平均値の役割は、これらのレベルと時間と空間におけるその変化を特徴付けることです。
平均値は、正常で自然な状態で形成されるため、一般的な値です。 一般的な条件全体として考えられる特定の質量現象の存在。
統計的プロセスまたは現象の客観的な特性は、平均値に反映されます。
研究対象の統計的属性の個々の値は、母集団の単位ごとに異なります。 あるタイプの個々の値の平均値は必然の産物であり、人口のすべての単位の組み合わせた行動の結果であり、繰り返される事故の塊として現れます。
いくつかの個別の現象は、すべての現象に存在する特性を持っていますが、 異なる量人の身長または年齢です。 質的に異なる、個々の現象のその他の兆候 さまざまな現象、つまり、それらはある人には存在しますが、他の人には観察されません（男性は女性にはなりません）。 平均値は、特定のセット内のすべての現象に固有の、質的に均一で量的にのみ異なる特性に対して計算されます。
平均値は研究対象の特性の値を反映しており、この特性と同じ次元で測定されます。
弁証法的唯物論の理論は、世界のすべてのものは変化し発展すると教えています。 また、平均値によって特徴付けられる特性も変化し、それに応じて平均値自体も変化します。
人生には、何か新しいものを生み出す継続的なプロセスがあります。 新しい品質を保持するものは単一の物体であり、その後これらの物体の数が増加し、新しいものは典型的には塊になります。
平均値は、調査対象の母集団を 1 つの特性のみに従って特徴付けます。 シリーズ内の研究対象集団を完全かつ包括的に表現するため 特定の兆候さまざまな角度から現象を説明できる平均値のシステムが必要です。
2. 平均の種類
資料の統計処理では、解決すべきさまざまな問題が発生するため、統計の実践ではさまざまな平均値が使用されます。 数学的統計では、次のようなさまざまな平均が使用されます。 幾何平均。 調和平均。 正方形を意味します。
上記のタイプの平均のいずれかを適用するには、調査対象の母集団を分析し、調査対象の現象の重要な内容を決定する必要があります。これはすべて、結果の意味の原則から引き出された結論に基づいて行われます。重さを量ったり、合計したりすること。
平均値の研究では、次の指標と表記法が使用されます。
平均を求めるための符号は次のように呼ばれます。 平均化された特性 x で表されます。 統計的母集団の任意の単位の平均化された特性の値は、と呼ばれます。 その個々の意味、または オプション、そして次のように表されます バツ 1 、 バツ 2 、 バツ 3 、… バツ P ; 周波数は、文字で示される特性の個々の値の再現性です。 f.
算術平均
最も一般的な媒体のタイプの 1 つは、 算術平均、 これは、平均化された特性の量が、研究対象の統計母集団の個々の単位での値の合計として形成されるときに計算されます。
算術平均を計算するには、属性のすべてのレベルの合計をその数で割ります。
いくつかのオプションが複数回発生する場合、属性のレベルの合計は、各レベルに母集団内の対応するユニット数を乗算し、その結果の積を加算することによって取得できます。この方法で計算された算術平均は、加重平均と呼ばれます。算術平均。
加重算術平均の式は次のとおりです。
ここで、х i はオプションです。
f i – 周波数または重み。
オプションの数値が異なる場合はすべて、加重平均を使用する必要があります。
算術平均は、いわば、属性の合計値を個々のオブジェクト間で均等に分配しますが、実際には属性の合計値はオブジェクトごとに異なります。
平均値の計算は、平均が計算される特性のバリエーションが間隔（から〜まで）の形式で表される場合、間隔分布系列の形式でグループ化されたデータを使用して実行されます。
算術平均のプロパティ:
1) 平均 算術和変動量は算術平均の合計に等しい: x i = y i +z i の場合、
このプロパティは、どのような場合に平均値を集計できるかを示します。
2）一方向の偏差の合計は他の方向の偏差の合計によって補償されるため、平均からの変動する特性の個々の値の偏差の代数的合計はゼロに等しくなります。
このルールは、平均が結果であることを示しています。
3) 一連のオプションすべてが同じ数値だけ増加または減少した場合、平均は同じ数値だけ増加または減少しますか?:
4) 系列のすべてのバリアントが A 倍増加または減少した場合、平均的なバリアントも A 倍増加または減少します。
5) 平均の 5 番目の特性は、平均がスケールのサイズには依存せず、スケール間の関係に依存することを示しています。 相対値だけでなく、絶対値もスケールとして取ることができます。
系列のすべての周波数を同じ数値 d で割るか乗算しても、平均は変わりません。
調和平均。算術平均を決定するには、多数のオプションと頻度、つまり値が必要です。 バツそして f.
特性の個々の値がわかっていると仮定しましょう バツそして作品 バツ/、と周波数 fが不明な場合、平均を計算するには、積 = と表します。 バツ/;どこ：
この形式の平均は調和加重平均と呼ばれ、次のように表されます。 ×害。 上
したがって、調和平均は算術平均と同じになります。 実際の重量が不明な場合に適用されます f、そしてその作品は知られています FX = z
工事のとき FX同一または等しい単位 (m = 1) の場合、調和単純平均が使用され、次の式で計算されます。
どこ バツ– 個別のオプション。
n- 番号。
幾何平均
n 個の成長係数がある場合、平均係数の式は次のとおりです。
これが幾何平均の公式です。
幾何平均はべき乗の根に等しい n前の期間の値に対する後続の各期間の値の比率を特徴付ける成長係数の積から。
フォームで表現された値が平均化の対象となる場合 二次関数、二乗平均が適用されます。 たとえば、二乗平均平方根を使用して、パイプやホイールなどの直径を決定できます。
単純平均二乗は、属性の個々の値の二乗和をその数で割った商の平方根を取ることによって決定されます。
加重平均二乗は次と等しくなります。
3. 構造の平均。 最頻値と中央値
統計的母集団の構造を特徴付けるには、と呼ばれる指標が使用されます。 構造的な平均。これらには、最頻値と中央値が含まれます。
ファッション(M) ○ ) - 最も一般的なオプション。 ファッション理論的な分布曲線の最大点に対応する属性の値です。
ファッションは、最も頻繁に発生する、または典型的な意味を表します。
ファッションは、消費者の需要を調査し、価格を記録するために商行為に使用されます。
離散系列では、モードは最も高い周波数を持つバリアントです。 一連の間隔変動では、モードは最高の頻度 (特異性) を持つ間隔の中心の変動であるとみなされます。
間隔内で、モードである属性の値を見つける必要があります。
どこ バツ ○– モーダル間隔の下限。
h– モーダル間隔の値。
fm– モーダル区間の周波数;
フィート-1 – モーダルインターバルに先行するインターバルの頻度。
fm+1 – モーダルインターバルに続くインターバルの周波数。
モードは、グループのサイズとグループ境界の正確な位置によって異なります。
ファッション– 実際に最も頻繁に発生する数値 (明確な値) で、実際には最も広範囲に適用されます (最も一般的なタイプの購入者)。
中央値 (M eは、順序付けられた変動系列の数を 2 つの等しい部分に分割する量です。1 つの部分には、平均的な変動よりも小さい変動特性の値が含まれ、もう 1 つの部分には、より大きな値が含まれます。
中央値分布系列の残りの要素の半分以上であると同時に半分以下である要素です。
中央値の特性は、中央値からの属性値の絶対偏差の合計が他の値からの絶対偏差の合計よりも小さいことです。
中央値を使用すると、他の形式の平均を使用するよりも正確な結果を得ることができます。
間隔変動系列で中央値を求める順序は次のとおりです。特性の個々の値をランキングに従って配置します。 特定のランク付けされたシリーズの累積頻度を決定します。 蓄積された頻度データを使用して、間隔の中央値を求めます。
どこ ×私– 中央間隔の下限。
私 自分– 中央間隔の値。
f/2– 系列の周波数の半分の合計。
S 自分-1 – 中央間隔に先行する累積頻度の合計。
f 自分– 中央間隔の頻度。
中央値は系列の数を半分に分割するため、累積頻度が頻度の合計の半分または半分を超え、以前の (累積) 頻度が母集団の数の半分未満になる場所になります。
5.1. 平均という概念
平均値 -これは、現象の典型的なレベルを特徴付ける一般的な指標です。 集団の単位当たりの特性の値を表します。
平均は常に形質の量的変動を一般化します。 平均値では、ランダムな状況による集団内のユニット間の個人差が排除されます。 平均とは対照的に、集団の個々の単位の特性のレベルを特徴付ける絶対値では、異なる集団に属する単位間で特性の値を比較することはできません。 したがって、2 つの企業の従業員の報酬レベルを比較する必要がある場合、これに基づいて異なる企業の 2 人の従業員を比較することはできません。 比較対象として選択された従業員の報酬は、これらの企業では一般的ではない可能性があります。 対象企業の賃金基金の規模を比較する場合、従業員数は考慮されていないため、どこの賃金水準が高いかを判断することは不可能である。 最終的には、平均的な指標のみを比較できます。 各企業の従業員 1 人は平均していくら稼いでいますか? したがって、母集団の一般化された特性として平均値を計算する必要があります。
平均の計算は一般的な一般化手法の 1 つです。 平均指標は、調査対象の母集団のすべての単位に共通する（典型的な）ものを否定すると同時に、個々の単位の違いを無視します。 あらゆる現象とその発展には、偶然と必然性が組み合わされています。 平均値を計算する場合、法律により 多数事故は相殺され、バランスが保たれるため、現象の重要ではない特徴や、特定のケースごとの属性の定量的な値を抽象化することができます。 個々の値や変動のランダム性を抽象化する能力には、集合体の一般化特性としての平均の科学的価値があります。
平均が真に代表的なものとなるためには、特定の原則を考慮して計算する必要があります。
平均値の使用に関するいくつかの一般原則について詳しく見てみましょう。
1. 平均は、質的に均一な単位からなる集団に対して決定されなければなりません。
2. 平均は、十分に大きな数のユニットから構成される母集団に対して計算する必要があります。
3. 平均は、ユニットが正常な自然状態にある集団に対して計算されなければなりません。
4. 平均は、調査対象の指標の経済的内容を考慮して計算される必要があります。
5.2. 平均の種類と計算方法
ここで、平均値の種類、その計算の特徴、および応用分野について考えてみましょう。 平均値は、電力平均と構造平均の 2 つの大きなクラスに分類されます。
に 電力平均これらには、幾何平均、算術平均、二次平均など、最もよく知られ頻繁に使用されるタイプが含まれます。
として 構造的平均最頻値と中央値が考慮されます。
電力平均に注目してみましょう。 検出力平均は、ソース データの表現に応じて、単純にすることも、重み付けすることもできます。 単純平均これはグループ化されていないデータに基づいて計算され、次の一般的な形式になります。
ここで、X i は平均化される特性のバリアント (値) です。
n – 数値オプション。
加重平均グループ化されたデータに基づいて計算され、一般的な外観を持ちます
,
ここで、X i は平均化される特性のバリアント (値)、またはバリアントが測定される間隔の中間値です。
m – 平均次数指数。
f i – 発生回数を示す周波数 つまり値平均化特性。
例として、20 人のグループ内の生徒の平均年齢を計算してみましょう。
単純な平均公式を使用して平均年齢を計算します。
ソースデータをグループ化しましょう。 次の分布系列が得られます。
グループ化の結果、X 歳の生徒の数を示す新しい指標「頻度」が得られます。 したがって、グループ内の生徒の平均年齢は、加重平均の式を使用して計算されます。
電力平均を計算するための一般的な式には指数 (m) があります。 取得する値に応じて、次のタイプの電力平均が区別されます。
m = -1 の場合は調和平均。
m –> 0の場合は幾何平均。
m = 1 の場合は算術平均。
m = 2 の場合は二乗平均平方根。
m = 3 の場合の平均立方体。
電力平均の計算式を表に示します。 4.4.
同じ初期データに対してすべての種類の平均を計算すると、それらの値は異なることがわかります。 ここでは平均値の多数決の法則が適用されます。つまり、指数 m が増加すると、対応する平均値も増加します。
統計実務では、算術平均と調和加重平均が、他のタイプの加重平均よりも頻繁に使用されます。
表5.1
動力手段の種類
| 力の種類 平均 |
索引 度(メートル) |
計算式 | |
| 単純 | 加重 | ||
| 高調波 | -1 | ||
| 幾何学的な | 0 |  |
 |
| 算術 | 1 | ||
| 二次関数 | 2 | ||
| キュービック | 3 | ||
調和平均にはさらに多くの値があります 複雑なデザイン算術平均よりも。 調和平均は、母集団の単位（特性のキャリア）が重みとして使用されるのではなく、これらの単位と特性の値の積（つまり、m = Xf）が計算に使用されます。 平均調和単純は、例えば、製造に従事する 2 社 (3 社、4 社など) の企業、労働者の 1 部品あたり、生産単位あたりの人件費、時間、材料の平均コストを決定する場合に使用する必要があります。同じの 製品の種類、同じ部品、製品。
平均値を計算する式の主な要件は、計算のすべての段階に実際に意味のある正当性があることです。 結果として得られる平均値は、個別インジケーターと概要インジケーターの間の接続を中断することなく、各オブジェクトの属性の個別の値を置き換える必要があります。 言い換えれば、平均値は、平均化されたインジケーターの個々の値がその平均値に置き換えられたときに、最終的な要約インジケーターの一部が変更されないように計算する必要があります。 関連トピックまたは別の方法で平均化された を使用します。 この合計を次のように呼びます。 定義する個々の値との関係の性質によって、平均値を計算するための特定の式が決まるためです。 幾何平均の例を使用して、この規則を示してみましょう。
幾何平均の公式
個々の相対的なダイナミクスに基づいて平均値を計算する場合に最もよく使用されます。
幾何平均は、一連の連鎖相対動態が与えられる場合に使用され、たとえば、前年のレベルと比較した生産の増加を示します: i 1、i 2、i 3、...、i n。 明らかに、昨年の生産量は、初期レベル (q 0) とその後の長年にわたる増加によって決まります。
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n 。
q n を決定指標として取り、ダイナミクス指標の個々の値を平均値に置き換えると、次の関係が得られます。
ここから 
5.3. 構造の平均
研究には特別なタイプの平均、構造平均が使用されます。 内部構造利用可能な統計データに従って計算を実行できない場合 (たとえば、考慮された例で両方のボリュームにデータがなかった場合)、属性値の一連の分布、および平均値 (パワー タイプ) の推定に使用されます。企業グループの生産量とコストの額）。
指標は構造的な平均として最もよく使用されます。 ファッション -最も頻繁に繰り返される属性の値 – そして 中央値 –値の順序付けされたシーケンスを 2 つの等しい部分に分割する特性の値。 その結果、母集団の半分のユニットでは、属性の値は中央値レベルを超えず、残りの半分ではそれより小さくなりません。
研究対象の特性が離散値を持つ場合、最頻値と中央値を計算するのに特別な困難はありません。 属性 X の値に関するデータが、その変化の順序付けられた間隔 (間隔シリーズ) の形式で表される場合、最頻値と中央値の計算は多少複雑になります。 中央値は母集団全体を 2 つの等しい部分に分割するため、最終的に特性 X の区間の 1 つに収まります。内挿を使用すると、中央値の値はこの中央値区間で求められます。
,
ここで、X Me は中央値間隔の下限です。
h Me – その価値。
(合計 m)/2 – 平均値 (絶対的または相対的) を計算する式の重みとして使用される観測値の総数の半分、またはインジケーターのボリュームの半分。
S Me-1 – 中央値間隔の開始前に蓄積された観測値 (または重み付け属性の量) の合計。
m Me – 中央値間隔における観測値または重み付け特性の量 (絶対値または相対値でも)。
この例では、企業数、生産量、総生産コストに基づいて、3 つの中央値も取得できます。
したがって、企業の半数では、生産単位あたりのコストが125.19千ルーブルを超え、製品の総量の半分は、製品あたりのコストが124.79千ルーブルを超えて生産されています。 1つの製品のコストが125.07千ルーブルを超える場合、総コストの50％が形成されます。 Me 2 = 124.79千ルーブルであり、平均レベルは123.15千ルーブルであるため、コストが増加する傾向があることにも注意してください。
間隔系列のデータに基づいて特性の最頻値を計算する場合、特性 X の値の再現性指標はこれに依存するため、間隔が同一であるという事実に注意する必要があります。等間隔の間隔系列の場合、モードの大きさは次のように決定されます。
ここで、X Mo はモーダル間隔の下限値です。
m Mo – モーダル区間内の重み付け特性の観測値またはボリューム (絶対的または相対的)。
m Mo -1 – モーダル区間に先行する区間についても同じ。
m Mo+1 – モーダル区間に続く区間でも同じ。
h – グループ内の特性の変化間隔の値。
この例では、次の 3 つを計算できます。 様相の意味企業の数、生産量、コストの額に基づいて決定されます。 3 つのケースすべてで、モーダル間隔は同じです。これは、同じ間隔では企業数、生産量、生産コストの合計が最大となるためです。
したがって、ほとんどの場合、126.75千ルーブルのコストレベルの企業があり、ほとんどの場合、126.69千ルーブルのコストレベルで製品が生産され、ほとんどの場合、生産コストは123.73千ルーブルのコストレベルで説明されます。
5.4. 変動指標
研究対象のそれぞれが置かれている特定の条件と、それ自体の発展の特徴（社会的、経済的など）は、対応する統計指標の数値レベルによって表現されます。 したがって、 変化、それらの。 異なるオブジェクトにおける同じ指標のレベル間の不一致は本質的に客観的であり、研究対象の現象の本質を理解するのに役立ちます。
統計の変動を測定するために使用される方法がいくつかあります。
最も簡単なのはインジケーターを計算することです 変化の範囲特性の最大値 (X max) と最小値 (X min) の観測値の差としての H:
H=X 最大 - X 最小。
ただし、変動範囲は特性の極端な値のみを示します。 ここでは中間値の再現性は考慮されていません。
より厳格な特性は、属性の平均レベルに対する変動性の指標となります。 このタイプの最も単純なインジケーターは次のとおりです。 平均線形偏差 L は、平均レベルからの特性の絶対偏差の算術平均です。
個々の X 値が反復可能な場合は、加重算術平均の式を使用します。
(平均レベルからの偏差の代数和はゼロであることを思い出してください。)
平均線形偏差指標は実際に広く使用されています。 その助けを借りて、たとえば、労働者の構成、生産のリズム、資材の供給の均一性が分析され、物質的なインセンティブのシステムが開発されます。 しかし、残念ながら、この指標は確率計算を複雑にし、数学的統計手法の使用を複雑にします。 したがって、統計的には 科学研究変動を測定するために最もよく使用される指標は次のとおりです。 差異。
特性の分散 (s 2) は、二次べき乗平均に基づいて決定されます。
.
に等しいインジケータは呼び出されます 平均 二乗偏差.
で 一般理論統計では、分散指標は同じ名前の確率理論指標の推定値であり、(偏差の二乗和として) 分散の推定値です。 数学的統計、これにより、これらの理論的分野の規定を使用して社会経済プロセスを分析することが可能になります。
無制限の母集団から得られた少数の観測値から変動が推定される場合、特性の平均値は多少の誤差を伴って決定されます。 分散の計算値は、減少する方向にシフトしていることがわかります。 不偏推定値を取得するには、前に指定した式を使用して取得した標本分散に値 n / (n - 1) を乗算する必要があります。 その結果、観測数は少ないですが (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
通常、既に n > (15÷20) の場合、偏りのある推定値と偏りのない推定値の間の差異は重要ではなくなります。 同じ理由で、分散を加算する式では通常、バイアスは考慮されません。
一般母集団からいくつかのサンプルが採取され、そのたびに特性の平均値が決定される場合、平均のばらつきを評価するという問題が生じます。 差異の推定 平均値次の式を使用すると、たった 1 つのサンプル観測に基づいてそれが可能になります。
,
ここで、n はサンプルサイズです。 s 2 – サンプルデータから計算された特性の分散。
マグニチュード 
と呼ばれます 平均サンプリング誤差これは、属性 X のサンプル平均値の真の平均値からの偏差の特性です。 平均誤差指標は、サンプルの観察結果の信頼性を評価するために使用されます。
相対分散インジケーター。研究対象の特性の変動性の尺度を特徴付けるために、変動性の指標が相対値で計算されます。 これらにより、異なる分布 (2 つの集団における同じ特性の異なる観察単位) における分散の性質を比較することが可能になります。 さまざまな意味異なる母集団を比較する場合の平均）。 相対分散指標の計算は、算術平均に対する絶対分散指標の比率に 100% を乗じて実行されます。
1. 振動係数平均を中心とした特性の極値の相対的な変動を反映します
.
2. 相対線形シャットダウンは、平均値からの絶対偏差の符号の平均値の割合を特徴付けます。
.
3. 変動係数:
平均値の典型性を評価するために使用されるばらつきの最も一般的な尺度です。
統計では、変動係数が 30 ～ 35% を超える集団は不均一であるとみなされます。
変動を評価するこの方法には、重大な欠点もあります。 実際、たとえば、平均経験が 15 年、標準偏差が s = 10 年の元の労働者の母集団が、さらに 15 歳「年をとる」とします。 現在 = 30 年が経過し、標準偏差は依然として 10 です。以前は不均一だった母集団 (10/15 × 100) =
66.7%)、したがって、時間の経過とともに非常に均一であることがわかります (10/30 × 100 = 33.3%)。
ボヤルスキーA.Ya。 統計学における理論的研究: 科学的 トルドフ – M.: 統計、1974 年。 19–57ページ。
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トピック5. 統計指標としての平均値
平均値の概念。 統計調査における平均の範囲
平均値は、得られた一次統計データを加工して集計する段階で使用されます。 平均値を決定する必要があるのは、原則として、研究対象の母集団の異なる単位における同じ特性の個々の値は同じではないという事実によるものです。
平均サイズ研究対象の母集団における特性または特性のグループの一般化された値を特徴付ける指標と呼ばれます。
質的に均一な特性を持つ母集団を研究する場合、平均値は次のように機能します。 典型的な平均。 たとえば、一定の収入レベルを持つ特定の産業の労働者のグループの場合、基本的な必需品に対する典型的な平均支出が決定されます。 典型的な平均は、特定の集団における属性の定性的に均一な値を一般化したもので、これは、このグループの労働者間の必需品に対する支出の割合です。
質的に不均一な特性を持つ母集団を研究する場合、平均指標の非典型性が浮き彫りになることがあります。 たとえば、これらは、一人当たりの国民所得の平均的な指標です（さまざまな 年齢グループ）、ロシア全土（さまざまな地域）の平均穀物収量 気候帯各種穀物など）、全国各地の平均出生率、一定期間の平均気温など。 ここで、平均値は、特性または体系的な空間的集合体（国際社会、大陸、州、地域、地域など）、または時間の経過とともに拡張される動的集合体（世紀、10年、年、季節など）の定性的に不均質な値を一般化します。 ）。 このような平均値はと呼ばれます システムの平均.
したがって、平均値の重要性は、その一般化機能にあります。 平均値が置き換えられます 大きな数特性の個々の値、検出 一般的なプロパティ、人口のすべての単位に固有のものです。 これにより、ランダムな原因を回避し、一般的な原因による一般的なパターンを特定できるようになります。
平均値の種類とその計算方法
統計処理の段階では、さまざまな研究課題が設定され、その解決のためには適切な平均値を選択する必要があります。 この場合、次のルールに従う必要があります。平均の分子と分母を表す数量は、論理的に相互に関連している必要があります。
電力平均;
構造的平均.
次の規則を導入しましょう。
平均が計算される数量。
平均。上のバーは、個々の値の平均化が行われることを示します。
周波数（個々の特性値の再現性）。
さまざまな平均値は次から導出されます。 一般式電力平均:
(5.1)
k = 1 の場合 - 算術平均。 k = -1 - 調和平均。 k = 0 - 幾何平均。 k = -2 - 二乗平均平方根。
平均値は単純または重み付けできます。 加重平均これらは、属性値の一部のバリアントが異なる数値を持つ可能性があることを考慮した値であり、したがって各オプションにこの数値を乗算する必要があります。 言い換えれば、「スケール」はさまざまなグループ内の集合単位の数です。 各オプションは、その頻度によって「重み付け」されます。 周波数 f は次のように呼ばれます。 統計的重みまたは平均体重。
算術平均- 最も一般的なタイプの平均。 これは、グループ化されていない統計データに対して計算が実行され、平均項を取得する必要がある場合に使用されます。 算術平均は、特性の平均値であり、これを取得すると、集合体内の特性の総体積は変化しません。
算術平均 (単純) の公式は次の形式になります。
ここで、n は人口サイズです。
たとえば、企業の従業員の平均給与は算術平均として計算されます。
ここでの決定指標は、各従業員の給与と企業の従業員数です。 平均を計算するとき、賃金の総額は変わりませんが、すべての従業員に均等に分配されます。 たとえば、8 人を雇用する中小企業の従業員の平均給与を計算する必要があります。
平均値を計算する場合、平均化される特性の個々の値が繰り返される可能性があるため、グループ化されたデータを使用して平均値が計算されます。 この場合 私たちが話しているのは使用について 加重算術平均、次の形式があります
(5.3)
したがって、いくつかの企業の平均株価を計算する必要があります。 合資会社証券取引所の取引で。 取引は 5 日以内に実行され (5 回の取引)、販売レートで売却された株数は次のように分布したことがわかっています。
1 - 800 ak. - 1010 こすります。
2 - 650ak。 - 990摩擦。
3 - 700ak。 - 1015 こすります。
4 - 550 ak. - 900摩擦。
5 - 850 ak. - 1150摩擦。
株式の平均価格を決定するための最初の比率は、総取引額 (TVA) と売却された株式数 (KPA) の比率です。
OSS = 1010・800+990・650+1015・700+900・550+1150・850= 3,634,500;
KPA = 800+650+700+550+850=3550。
この場合、平均株価は次のようになります。
算術平均の特性を知る必要があります。これは、その使用と計算の両方において非常に重要です。 統計的および経済的計算における算術平均の広範な使用を最も決定づけた 3 つの主要な特性を区別することができます。
特性 1 (ゼロ): 特性の個々の値の平均値からの正の偏差の合計は、負の偏差の合計に等しい。 これは、ランダムな理由によって引き起こされる偏差 (+ と - の両方) が相互に相殺されることを示すため、非常に重要な特性です。
証拠：
特性 2 (最小): 算術平均からの特性の個々の値の偏差の 2 乗の合計は、他の数値 (a) からの偏差よりも小さくなります。 最低数があります。
証拠。
変数 a からの偏差の二乗和をコンパイルしましょう。
(5.4)
この関数の極値を見つけるには、a に関する関数の導関数をゼロとみなす必要があります。
ここから次のことが得られます。
(5.5)
その結果、偏差の二乗和の極値は で達成されます。 関数は最大値を持つことができないため、この極値は最小値です。
特性 3: 定数値の算術平均は、この定数に等しい: a = const の場合。
この３つ以外にも 最も重要なプロパティいわゆる算術平均があります デザインプロパティ、電子コンピュータ技術の使用により、その重要性が徐々に失われています。
各ユニットの属性の個々の値を定数で乗算または除算すると、算術平均は同じ量だけ増加または減少します。
各属性値の重み (度数) を定数で割った場合、算術平均は変わりません。
各ユニットの属性の個々の値が同じ量だけ減少または増加した場合、算術平均は同じ量だけ減少または増加します。
調和平均。 この値は k = -1 の場合に使用されるため、この平均は逆算術平均と呼ばれます。
単純調和平均属性値の重みが同じ場合に使用されます。 その式は、k = -1 を代入することで基本式から導き出すことができます。
たとえば、次のように計算する必要があります。 平均速度同じルートを走行した 2 台の車ですが、 さまざまな速度で：最初 - 100 km / hの速度で、2番目 - 90 km / hの速度で。 調和平均法を使用して、平均速度を計算します。
統計の実践では、調和重み付けされたものがより頻繁に使用され、その式は次の形式になります。
この公式は、各属性の重み (または現象のボリューム) が等しくない場合に使用されます。 平均を計算するための初期比率では、分子はわかっていますが、分母はわかりません。