X ortalaması. Güç ortalamalarının türleri. Tanımlayıcı İstatistiklerle İlişkili Tuzaklar

İstatistiklerde iki büyük sınıfa ayrılan çeşitli ortalama türleri kullanılır:

Güç araçları (harmonik ortalama, geometrik ortalama, aritmetik ortalama, ikinci dereceden ortalama, kübik ortalama);

Yapısal araçlar (mod, medyan).

Hesaplamak güç ortalamaları mevcut tüm karakteristik değerlerin kullanılması gereklidir. Moda Ve medyan yalnızca dağılımın yapısı tarafından belirlenir, bu nedenle bunlara yapısal, konumsal ortalamalar denir. Medyan ve mod, güç ortalamasının hesaplanmasının imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda sıklıkla ortalama bir özellik olarak kullanılır.

En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır. Altında aritmetik ortalama bir özelliğin tüm değerlerinin toplamının popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılması durumunda popülasyonun her biriminin sahip olacağı bir özelliğin değeri olarak anlaşılmaktadır. Bu değerin hesaplanması, değişen özelliğin tüm değerlerinin toplanmasına ve elde edilen miktarın popülasyondaki toplam birim sayısına bölünmesine dayanır. Örneğin, beş işçi parça üretimi için bir siparişi yerine getirirken, birincisi 5 parça, ikincisi 7, üçüncüsü 4, dördüncüsü 10, beşincisi 12 parça yaptı. Kaynak verilerde her birinin değeri olduğundan belirlemek için seçenek yalnızca bir kez meydana geldi

Bir işçinin ortalama çıktısını belirlemek için basit aritmetik ortalama formülü uygulanmalıdır:

yani örneğimizde bir işçinin ortalama çıktısı şuna eşittir:

Basit aritmetik ortalamanın yanı sıra, çalışıyorlar ağırlıklı aritmetik ortalama.Örneğin, hesaplayalım ortalama yaş Yaşları 18 ila 22 arasında değişen 20 kişilik bir gruptaki öğrenciler, xi– ortalaması alınan özelliğin çeşitleri, fi– kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans i-th toplam değer (Tablo 5.1).

Tablo 5.1

Öğrencilerin ortalama yaşı

Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

Ağırlıklı aritmetik ortalamayı seçmenin belirli bir kuralı vardır: iki göstergeye ilişkin bir dizi veri varsa, bunlardan biri için hesaplamanız gerekir.

ortalama değer ve aynı zamanda mantıksal formülünün paydasının sayısal değerleri bilinmektedir ve payın değerleri bilinmemektedir, ancak bu göstergelerin ürünü olarak bulunabilir, o zaman ortalama değer ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanmalıdır.

Bazı durumlarda, başlangıçtaki istatistiksel verilerin doğası, aritmetik ortalamanın hesaplanmasının anlamını yitirdiği ve tek genelleme göstergesinin yalnızca başka türde bir ortalama değer olabileceği şekildedir - harmonik ortalama.Şu anda, aritmetik ortalamanın hesaplama özellikleri, elektronik hesaplama teknolojisinin yaygın olarak kullanılmaya başlanması nedeniyle genel istatistiksel göstergelerin hesaplanmasındaki ilgisini kaybetmiştir. Basit ve ağırlıklı da olabilen harmonik ortalama değer, pratikte büyük önem kazanmıştır. Mantıksal bir formülün payının sayısal değerleri biliniyorsa ve paydanın değerleri bilinmiyorsa, ancak bir göstergenin diğerine kısmi bölümü olarak bulunabiliyorsa, ortalama değer harmonik kullanılarak hesaplanır. ağırlıklı ortalama formülü

Örneğin otomobilin ilk 210 km'yi 70 km/saat hızla, kalan 150 km'yi ise 75 km/saat hızla kat ettiği bilinsin. Aritmetik ortalama formülünü kullanarak bir arabanın 360 km'lik yolculuğun tamamındaki ortalama hızını belirlemek imkansızdır. Seçenekler ayrı bölümlerdeki hızlar olduğundan xj= 70 km/saat ve X2= 75 km/saat ise ve ağırlıklar (fi) yolun karşılık gelen bölümleri olarak kabul edilirse, bu durumda seçenekler ve ağırlıkların çarpımının ne fiziksel ne de ekonomik bir anlamı olacaktır. Bu durumda, bölümler yolun bölümlerini karşılık gelen hızlara (seçenekler xi) bölmekten, yani yolun ayrı bölümlerini geçmek için harcanan zamana (fi) bölmekten anlam kazanır. / xi). Yolun bölümleri fi ile gösterilirse, yolun tamamı Şfi olarak, yolun tamamında harcanan süre ise Şfi olarak ifade edilecektir. fi / xi , Daha sonra ortalama hız, tüm yolun harcanan toplam süreye bölümü olarak bulunabilir:

Örneğimizde şunu elde ederiz:

Harmonik ortalamayı kullanırken tüm seçeneklerin (f) ağırlıkları eşitse, ağırlıklı olan yerine kullanabilirsiniz basit (ağırlıklandırılmamış) harmonik ortalama:

burada xi bireysel seçeneklerdir; N– ortalaması alınan özelliğin değişken sayısı. Hız örneğinde, farklı hızlarda kat edilen yol bölümleri eşitse basit harmonik ortalama uygulanabilir.

Herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantının yerini aldığında, ortalama göstergeyle ilişkili bazı nihai, genel göstergelerin değerinin değişmeyeceği şekilde hesaplanmalıdır. Böylece, rotanın ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama değerleriyle değiştirirken ( ortalama sürat) toplam mesafe değişmemelidir.

Ortalama değerin formu (formülü), bu son göstergenin ortalama değerle ilişkisinin doğası (mekanizması) ile belirlenir, bu nedenle, seçenekleri ortalama değerleriyle değiştirirken değeri değişmemesi gereken son gösterge, isminde belirleyici gösterge. Ortalama formülünü türetmek için, ortalama gösterge ile belirleyici gösterge arasındaki ilişkiyi kullanarak bir denklem oluşturmanız ve çözmeniz gerekir. Bu denklem, ortalaması alınan özelliğin (göstergenin) değişkenlerinin ortalama değerleri ile değiştirilmesiyle oluşturulur.

İstatistiklerde aritmetik ortalama ve harmonik ortalamanın yanı sıra diğer ortalama türleri (formları) da kullanılır. Hepsi özel durumlar güç ortalaması. Aynı veri için tüm güç ortalama türlerini hesaplarsak, o zaman değerler

aynı olacaklar, kural burada geçerli büyük oran ortalama. Ortalamanın üssü arttıkça ortalama değerin kendisi de artar. Pratik araştırmalarda en sık kullanılan hesaplama formülleri çeşitli türler güç ortalama değerleri tabloda sunulmaktadır. 5.2.

Tablo 5.2

Güç türleri

Geometrik ortalama şu durumlarda kullanılır: N büyüme katsayıları, karakteristiğin bireysel değerleri ise kural olarak, dinamik serideki her seviyenin önceki seviyesine oran olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan göreceli dinamik değerlerdir. Ortalama böylece karakterize edilir ortalama katsayı büyüme. Ortalama geometrik basit formülle hesaplanır

Formül ağırlıklı geometrik ortalama aşağıdaki forma sahiptir:

Yukarıdaki formüller aynıdır, ancak biri mevcut katsayılara veya büyüme oranlarına, ikincisi ise - mutlak değerler seri seviyeleri.

Ortalama kare ikinci dereceden fonksiyonların değerleriyle yapılan hesaplamalarda kullanılır, bir özelliğin bireysel değerlerinin dağılım serisindeki aritmetik ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini ölçmek için kullanılır ve formülle hesaplanır

Ağırlıklı ortalama kare başka bir formül kullanılarak hesaplanır:

Ortalama kübik kübik fonksiyonların değerleriyle hesaplanırken kullanılır ve formülle hesaplanır

ortalama kübik ağırlıklı:

Yukarıda tartışılan tüm ortalama değerler genel bir formül olarak sunulabilir:

ortalama değer nerede; – bireysel anlam; N– incelenen popülasyonun birim sayısı; k– ortalamanın türünü belirleyen üs.

Aynı kaynak verilerini kullanırken, daha fazla k V Genel formül güç ortalaması, ortalama değer ne kadar büyük olursa. Bundan, güç ortalamalarının değerleri arasında doğal bir ilişki olduğu anlaşılmaktadır:

Yukarıda açıklanan ortalama değerler, incelenen nüfus hakkında genel bir fikir verir ve bu açıdan bunların teorik, uygulamalı ve eğitimsel önemi tartışılmaz. Ancak ortalama değerin gerçekte var olan seçeneklerin hiçbiriyle örtüşmediği görülür, bu nedenle, istatistiksel analizde, dikkate alınan ortalamalara ek olarak, çok özel bir konumu işgal eden belirli seçeneklerin değerlerinin kullanılması tavsiye edilir. sıralı (sıralanmış) nitelik değerleri serisi. Bu miktarlar arasında en sık kullanılanlar şunlardır: yapısal, veya tanımlayıcı, ortalama– mod (Mo) ve medyan (Me).

Moda– belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin değeri. Bir varyasyon serisi ile ilgili olarak mod, sıralanan seride en sık tekrarlanan değer yani en yüksek frekansa sahip seçenektir. Moda, daha sık ziyaret edilen mağazaların, herhangi bir ürünün en yaygın fiyatının belirlenmesinde kullanılabilir. Popülasyonun önemli bir kısmının özellik karakteristiğinin boyutunu gösterir ve formülle belirlenir.

burada x0 aralığın alt sınırıdır; H– aralık boyutu; fm– aralık frekansı; fm_ 1 – önceki aralığın sıklığı; fm+ 1 – bir sonraki aralığın frekansı.

Medyan sıralanan satırın ortasında bulunan seçenek çağrılır. Ortanca, seriyi her iki tarafında da aynı sayıda nüfus birimi olacak şekilde iki eşit parçaya böler. Bu durumda popülasyondaki birimlerin yarısı değişken özellikte medyandan küçük bir değere sahipken diğer yarısı medyandan büyük bir değere sahiptir. Medyan, değeri bir dağılım serisinin elemanlarının yarısından büyük veya eşit veya aynı zamanda yarısından küçük veya eşit olan bir eleman incelenirken kullanılır. Medyan verir Genel fikir niteliğin değerlerinin nerede yoğunlaştığı, yani merkezlerinin nerede olduğu ile ilgilidir.

Medyanın tanımlayıcı doğası, popülasyondaki birimlerin yarısının sahip olduğu değişken bir özelliğin değerlerinin niceliksel sınırını karakterize etmesiyle ortaya çıkar. Ayrık bir varyasyon serisi için medyanı bulma problemi kolaylıkla çözülebilir. Serinin tüm birimleri verilirse seri numaraları, bu durumda medyan seçeneğinin sıra sayısı, tek sayıda terim n ile (n +1) / 2 olarak tanımlanır. Serinin üye sayısı çift sayı ise, medyan ikinin ortalama değeri olacaktır. sıra sayıları olan seçenekler N/ 2 ve N/ 2 + 1.

Aralık değişim serilerinde medyanı belirlerken öncelikle içinde bulunduğu aralığı (medyan aralığı) belirleyin. Bu aralık, birikmiş frekans toplamının serinin tüm frekanslarının toplamına eşit veya yarısına eşit olmasıyla karakterize edilir. Bir aralık varyasyon serisinin medyanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Nerede X0– aralığın alt sınırı; H– aralık boyutu; fm– aralık frekansı; F– serinin üye sayısı;

M -1 – verilen seriden önceki serinin birleştirilmiş terimlerinin toplamı.

Daha fazlası için medyanla birlikte tüm özellikler incelenmekte olan popülasyonun yapıları, sıralanan seride çok özel bir konuma sahip olan diğer seçenek değerlerini de kullanır. Bunlar şunları içerir: çeyrekler Ve ondalık.Çeyrekler, seriyi frekansların toplamına göre 4 eşit parçaya ve ondalık dilimleri 10 eşit parçaya böler. Üç çeyrek ve dokuz ondalık dilim vardır.

Medyan ve mod, aritmetik ortalamanın aksine, değişken bir özelliğin değerlerindeki bireysel farklılıkları ortadan kaldırmaz ve bu nedenle istatistiksel popülasyonun ek ve çok önemli özellikleridir. Uygulamada sıklıkla ortalamanın yerine veya onunla birlikte kullanılırlar. İncelenen popülasyonun değişen karakteristiklerin çok büyük veya çok küçük değerlerine sahip belirli sayıda birim içerdiği durumlarda medyan ve modun hesaplanması özellikle tavsiye edilir. Nüfusun pek karakteristik özelliği olmayan seçeneklerin bu değerleri, aritmetik ortalamanın değerini etkilerken, medyan ve mod değerlerini etkilemez, bu da ikincisini ekonomik ve istatistiksel açıdan çok değerli göstergeler haline getirir. analiz.

Aritmetik ortalama ve geometrik ortalama konusu 6-7. sınıf matematik programında yer almaktadır. Paragrafın anlaşılması oldukça kolay olduğundan hızlı bir şekilde tamamlanır ve sonunda okul yılı okul çocukları onu unutuyor. Ancak temel istatistik bilgisine ihtiyaç vardır. Birleşik Devlet Sınavını geçmek ve uluslararası SAT sınavları için. Evet ve için Gündelik Yaşam gelişmiş analitik düşünme asla acıtmaz.

Sayıların aritmetik ortalaması ve geometrik ortalaması nasıl hesaplanır?

Diyelim ki bir dizi sayı var: 11, 4 ve 3. Aritmetik ortalama, tüm sayıların toplamının verilen sayıların sayısına bölünmesiyle elde edilir. Yani 11, 4, 3 sayıları durumunda cevap 6 olacaktır. 6'yı nasıl elde edersiniz?

Çözüm: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Payda, ortalaması bulunması gereken sayıların sayısına eşit bir sayı içermelidir. Üç terim olduğundan toplam 3'e bölünebilir.

Şimdi geometrik ortalamayı bulmamız gerekiyor. Diyelim ki bir dizi sayı var: 4, 2 ve 8.

Sayıların geometrik ortalaması, kökün altında yer alan ve verilen sayıların kuvvetlerine eşit olan tüm sayıların çarpımıdır.Yani 4, 2 ve 8 sayıları durumunda cevap 4 olacaktır. ortaya çıktı:

Çözüm: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Her iki seçenekte de tam yanıtlar aldık çünkü örnek olarak özel sayılar alındı. Bu her zaman gerçekleşmez. Çoğu durumda cevabın yuvarlanması veya kökte bırakılması gerekir. Örneğin 11, 7 ve 20 sayılarının aritmetik ortalaması ≈ 12,67, geometrik ortalaması ise ∛1540'tır. 6 ve 5 sayıları için ise cevaplar sırasıyla 5,5 ve √30 olacaktır.

Aritmetik ortalama geometrik ortalamaya eşit olabilir mi?

Elbette olabilir. Ancak yalnızca iki durumda. Yalnızca birlerden veya sıfırlardan oluşan bir sayı dizisi varsa. Cevabın sayılarına bağlı olmaması da dikkat çekicidir.

Birimli ispat: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetik ortalama).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrik ortalama).

Sıfırlarla ispat: (0 + 0) / 2=0 (aritmetik ortalama).

√(0 × 0) = 0 (geometrik ortalama).

Başka seçenek yoktur ve olamaz.

Farklı çalışanların görevlerini tamamlamak için ortalama gün sayısını bulmanız gerektiğini varsayalım. Veya 10 yıllık bir zaman aralığını, belirli bir gündeki ortalama sıcaklığı hesaplamak istiyorsunuz. Bir sayı dizisinin ortalamasını çeşitli yollarla hesaplamak.

Ortalama, istatistiksel dağılımdaki bir sayı serisinin merkezinin bulunduğu merkezi eğilim ölçüsünün bir fonksiyonudur. Üçü merkezi eğilimin en yaygın kriterleridir.

Ortalama Aritmetik ortalama, bir dizi sayının toplanması ve ardından bu sayıların sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Örneğin 2, 3, 3, 5, 7 ve 10'un ortalaması 30 bölü 6,5'tir;

Medyan Bir sayı dizisinin ortalama sayısı. Sayıların yarısı Medyandan büyük değerlere sahip, sayıların yarısı da Medyandan küçük değerlere sahip. Örneğin 2, 3, 3, 5, 7 ve 10'un medyanı 4'tür.

Mod Bir sayı grubunda en yaygın sayı. Örneğin mod 2, 3, 3, 5, 7 ve 10 - 3.

Merkezi eğilim ölçüsü olan bu üç sayı dizisinin simetrik dağılımı aynıdır. Bir dizi sayının asimetrik dağılımında farklı olabilirler.

Aynı satır veya sütunda bitişik olan hücrelerin ortalamasını hesaplayın

Bu adımları takip et:

Rastgele hücrelerin ortalamasını hesaplama

Bu görevi gerçekleştirmek için işlevi kullanın ORTALAMA. Aşağıdaki tabloyu boş bir kağıda kopyalayın.

Ağırlıklı ortalamanın hesaplanması

ÖZETÜRÜN Ve miktarlar. vBu örnek, her satın alma işleminin farklı birim fiyatlarında farklı sayıda birim için olduğu üç satın alma işleminde ödenen ortalama birim fiyatı hesaplar.

Aşağıdaki tabloyu boş bir kağıda kopyalayın.

Sıfır değerler hariç sayıların ortalamasını hesaplama

Bu görevi gerçekleştirmek için işlevleri kullanın ORTALAMA Ve Eğer. Aşağıdaki tabloyu kopyalayın ve bu örnekte anlaşılmasını kolaylaştırmak için boş bir kağıda kopyalayın.

Aritmetik ortalama, belirli bir veri dizisinin ortalama değerini gösteren istatistiksel bir göstergedir. Bu gösterge, payı dizideki tüm değerlerin toplamı olan ve paydası onların sayısı olan bir kesir olarak hesaplanır. Aritmetik ortalama günlük hesaplamalarda kullanılan önemli bir katsayıdır.

Katsayının anlamı

Aritmetik ortalama, verileri karşılaştırmak ve kabul edilebilir bir değer hesaplamak için temel bir göstergedir. Örneğin, farklı mağazalar belirli bir üreticinin bir kutu birasını satıyor. Ancak bir mağazada 67 rubleye, diğerinde - 70 rubleye, üçüncüsünde - 65 rubleye ve sonuncusunda - 62 rubleye mal oluyor. Oldukça geniş bir fiyat aralığı var, bu nedenle alıcı kutunun ortalama maliyetiyle ilgilenecek ve böylece bir ürünü satın alırken maliyetlerini karşılaştırabilecektir. Şehirde bir kutu biranın ortalama fiyatı:

Ortalama fiyat = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruble.

Ortalama fiyatı bilerek, ürünü nerede satın almanın karlı olduğunu ve nerede fazla ödeme yapmanız gerektiğini belirlemek kolaydır.

Homojen bir veri kümesinin analiz edildiği durumlarda istatistiksel hesaplamalarda aritmetik ortalama sürekli olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte aynı markanın bir kutu birasının fiyatıdır. Ancak farklı üreticilerin bira fiyatlarını veya bira ve limonata fiyatlarını karşılaştıramayız çünkü bu durumda değerlerin dağılımı daha büyük olacak, ortalama fiyat bulanık ve güvenilmez olacak ve hesaplamaların anlamı da artacaktır. karikatürize edilecek kadar çarpıtılacak." ortalama sıcaklık hastane civarında." Heterojen veri kümelerini hesaplamak için, her değer kendi ağırlıklandırma katsayısını aldığında ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılır.

Aritmetik ortalamanın hesaplanması

Hesaplamaların formülü son derece basittir:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

burada an miktarın değeridir, n ise değerlerin toplam sayısıdır.

Bu gösterge ne için kullanılabilir? Bunun ilk ve bariz kullanımı istatistiktir. Hemen hemen her istatistiksel çalışmada aritmetik ortalama kullanılır. Bu, Rusya'daki ortalama evlilik yaşı, bir okul çocuğunun bir dersteki ortalama notu veya günlük ortalama alışveriş harcaması olabilir. Yukarıda bahsedildiği gibi ağırlıklar dikkate alınmadan ortalamaların hesaplanması garip veya saçma değerler üretebilir.

Örneğin, başkan Rusya Federasyonu istatistiklere göre bir Rus'un ortalama maaşının 27.000 ruble olduğunu açıkladı. Rusya'da yaşayanların çoğu için bu maaş düzeyi saçma görünüyordu. Hesaplarken bir yandan oligarkların, sanayi kuruluşlarının başkanlarının, büyük bankacıların gelirlerini, diğer yandan öğretmenlerin, temizlikçilerin ve satıcıların maaşlarını hesaba katmamız şaşırtıcı değil. Örneğin muhasebeci gibi bir uzmanlık alanındaki ortalama maaşlarda bile Moskova, Kostroma ve Yekaterinburg'da ciddi farklılıklar olacaktır.

Heterojen veriler için ortalamalar nasıl hesaplanır?

Bordro durumlarında her bir değerin ağırlığının dikkate alınması önemlidir. Bu, oligarkların ve bankacıların maaşlarının örneğin 0,00001 ve satıcı maaşlarının ise 0,12 ağırlık alacağı anlamına geliyor. Bunlar birdenbire ortaya çıkan rakamlar, ancak kabaca Rus toplumunda oligarkların ve satıcıların yaygınlığını gösteriyorlar.

Dolayısıyla heterojen bir veri kümesindeki ortalamaların veya ortalama değerlerin ortalamasını hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalamanın kullanılması gerekir. Aksi takdirde Rusya'da ortalama 27.000 ruble maaş alacaksınız. Eğer bilmek istiyorsan Ortalama puanı matematikte veya seçilen hokey oyuncusunun attığı ortalama gol sayısı, o zaman aritmetik ortalama hesaplayıcı size uyacaktır.

Programımız aritmetik ortalamayı hesaplamak için basit ve kullanışlı bir hesap makinesidir. Hesaplamaları gerçekleştirmek için yalnızca parametre değerlerini girmeniz gerekir.

Birkaç örneğe bakalım

Ortalama puan hesaplaması

Birçok öğretmen bir konunun yıllık notunu belirlemek için aritmetik ortalama yöntemini kullanır. Çocuğun matematikte şu çeyrek notlarını aldığını düşünelim: 3, 3, 5, 4. Öğretmen ona yıllık olarak hangi notu verecek? Bir hesap makinesi kullanalım ve aritmetik ortalamayı hesaplayalım. Başlamak için uygun sayıda alanı seçin ve görünen hücrelere derecelendirme değerlerini girin:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Öğretmen değeri öğrencinin lehine yuvarlayacak ve öğrenci o yıl için sağlam bir B alacak.

Yenilen şekerlerin hesaplanması

Aritmetik ortalamanın bazı saçmalıklarını örnekleyelim. Masha ve Vova'nın 10 şekeri olduğunu hayal edelim. Masha 8 şeker yedi ve Vova sadece 2 şeker yedi. Her çocuk ortalama kaç şeker yedi? Bir hesap makinesi kullanarak ortalama olarak çocukların 5 şeker yediğini hesaplamak kolaydır ki bu tamamen yanlıştır ve sağduyu. Bu örnek, anlamlı veri kümeleri için aritmetik ortalamanın önemli olduğunu göstermektedir.

Çözüm

Aritmetik ortalamanın hesaplanması birçok bilimsel alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu gösterge yalnızca istatistiksel hesaplamalarda değil aynı zamanda fizik, mekanik, ekonomi, tıp veya finans alanlarında da popülerdir. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmek için hesap makinelerimizi yardımcı olarak kullanın.

Matematik ve istatistikte ortalama aritmetik (veya kolay ortalama Bir sayı kümesinin ) değeri, bu kümedeki tüm sayıların toplamının kendi sayılarına bölümüdür. Aritmetik ortalama, bir ortalamanın özellikle evrensel ve en yaygın temsilidir.

İhtiyacın olacak

• Matematik bilgisi.

Talimatlar

1. Dört sayıdan oluşan bir küme verilsin. Keşfedilmesi gerekiyor ortalama Anlam bu kit. Bunu yapmak için öncelikle bu sayıların toplamını buluyoruz. Olası sayılar 1, 3, 8, 7'dir. Toplamları S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19'dur. Sayı kümesi aynı işaretli sayılardan oluşmalıdır, aksi takdirde ortalama değeri hesaplamanın anlamı kaybolur.

2. Ortalama Anlam sayılar kümesi S sayılarının toplamının bu sayıların sayısına bölünmesine eşittir. Yani, öyle görünüyor ki ortalama Anlam eşittir: 19/4 = 4,75.

3. Bir dizi sayı için yalnızca tespit etmek de mümkündür. ortalama aritmetik ama aynı zamanda ortalama geometrik. Birkaç normal reel sayının geometrik ortalaması, çarpımları değişmeyecek şekilde bu sayıların herhangi birinin yerini alabilecek bir sayıdır. Geometrik ortalama G şu formül kullanılarak aranır: bir sayı kümesinin çarpımının N'inci kökü; burada N, kümedeki sayıdır. Aynı sayı kümesine bakalım: 1, 3, 8, 7. Bunları bulalım ortalama geometrik. Bunu yapmak için çarpımı hesaplayalım: 1*3*8*7 = 168. Şimdi 168 sayısından 4. kökü çıkarmanız gerekiyor: G = (168)^1/4 = 3,61. Böylece ortalama geometrik sayılar kümesi 3,61'dir.

Ortalama Geometrik ortalama genellikle aritmetik ortalamadan daha az kullanılır, ancak zaman içinde değişen göstergelerin ortalama değerini hesaplarken yararlı olabilir ( maaş bireysel çalışan, akademik performans göstergelerinin dinamikleri vb.).

İhtiyacın olacak

• Mühendislik hesaplayıcısı

Talimatlar

1. Ortalamayı bulmak için Geometrik seriler sayılar, önce tüm bu sayıları çarpmanız gerekir. Diyelim ki size beş göstergeden oluşan bir set verildi: 12, 3, 6, 9 ve 4. Tüm bu sayıları çarpalım: 12x3x6x9x4=7776.

2. Şimdi ortaya çıkan sayıdan, serinin eleman sayısına eşit bir kuvvetin kökünü çıkarmanız gerekiyor. Bizim durumumuzda 7776 sayısından beşinci kökü bir mühendislik hesap makinesi kullanarak çıkarmak gerekli olacaktır. Bu işlemden sonra elde edilen sayı - bu durumda 6 sayısı - ilk sayı grubunun geometrik ortalaması olacaktır.

3. Elinizde bir mühendislik hesaplayıcınız yoksa, Excel'deki SRGEOM işlevini kullanarak veya geometrik ortalama değerleri hesaplamak için özel olarak tasarlanmış çevrimiçi hesap makinelerinden birini kullanarak bir dizi sayının geometrik ortalamasını hesaplayabilirsiniz.

Not!
2 sayının her birinin geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, mühendislik hesaplayıcısına ihtiyacınız yoktur: 2. kökü çıkarın ( Kare kök) en sıradan hesap makinesini kullanarak herhangi bir sayıdan izin verilir.

Yararlı tavsiye
Aritmetik ortalamanın aksine, geometrik ortalama, incelenen göstergeler kümesindeki bireysel değerler arasındaki büyük sapmalardan ve dalgalanmalardan o kadar güçlü bir şekilde etkilenmez.

Ortalama değer, bir sayı kümesinin harmanlamalarından biridir. En büyük ve en büyük tarafından belirlenen aralığın dışında olamayacak bir sayıyı temsil eder. en düşük değerler bu sayı kümesinde. Ortalama aritmetik değer özellikle yaygın olarak kullanılan bir ortalama türüdür.

Talimatlar

1. Aritmetik ortalamayı bulmak için kümedeki tüm sayıları toplayın ve terim sayısına bölün. Belirli hesaplama koşullarına bağlı olarak bazen sayıların her birini kümedeki değer sayısına bölüp toplamı toplamak daha kolaydır.

2. Örneğin, kafanızdaki aritmetik ortalamayı hesaplamak mümkün değilse, Windows işletim sistemindeki hesap makinesini kullanın. Program başlatma iletişim kutusundan destek alarak açabilirsiniz. Bunu yapmak için, WIN + R kısayol tuşlarına basın veya "Başlat" düğmesine tıklayın ve ana menüden "Çalıştır" komutunu seçin. Bundan sonra giriş alanına calc yazın ve klavyenizde Enter tuşuna basın veya “Tamam” düğmesine tıklayın. Aynısı ana menüden de yapılabilir - açın, "Tüm programlar" bölümüne ve "Tipik" bölümlere gidin ve "Hesap Makinesi" satırını seçin.

3. Ayarlanan sayıların tümünü, hepsinden sonra (sonuncusu hariç) klavyedeki Artı tuşuna basarak veya hesap makinesi arayüzünde ilgili düğmeye tıklayarak adım adım girin. Sayıları klavyeden veya ilgili arayüz düğmelerine tıklayarak da girebilirsiniz.

4. Kümenin son değerini girdikten sonra hesap makinesi arayüzünde eğik çizgi tuşuna basın veya bu simgeye tıklayın ve sıradaki sayıların sayısını yazın. Bundan sonra eşittir işaretine basın; hesap makinesi aritmetik ortalamayı hesaplayacak ve gösterecektir.

5. Aynı amaç için bir tablo düzenleyicinin kullanılmasına izin verilir. Microsoft Excel. Bu durumda düzenleyiciyi başlatın ve sayı dizisinin tüm değerlerini bitişik hücrelere girin. Sayının tamamını girdikten sonra Enter'a veya aşağı veya sağ ok tuşuna basarsanız, düzenleyicinin kendisi giriş odağını bitişik hücreye taşıyacaktır.

6. Girilen tüm değerleri seçin ve editör penceresinin sol alt köşesinde (durum çubuğunda) seçilen hücrelerin aritmetik ortalama değerini göreceksiniz.

7. Yalnızca ortalamayı görmek istiyorsanız, girilen son sayının yanındaki hücreye tıklayın. Ana sekmedeki Düzenleme komut grubundaki Yunanca harf sigma (Σ) görüntüsünü içeren açılır listeyi genişletin. " satırını seçin Ortalama"ve editör ortalamayı hesaplamak için gerekli formülü ekleyecektir aritmetik değer seçilen hücreye. Enter tuşuna bastığınızda değer hesaplanacaktır.

Aritmetik ortalama, matematikte ve istatistiksel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan merkezi eğilim ölçülerinden biridir. Birkaç değerin aritmetik ortalamasını bulmak çok kolaydır ancak her problemin, doğru hesaplamaları yapabilmek için bilmeniz gereken kendi nüansları vardır.

Aritmetik ortalama nedir

Aritmetik ortalama, her bir başlangıç ​​sayı dizisinin ortalama değerini tanımlar. Başka bir deyişle, belirli bir sayı kümesinden, tüm öğeler için evrensel olan ve tüm öğelerle matematiksel karşılaştırması yaklaşık olarak eşit olan bir değer seçilir. Aritmetik ortalama, tercihen finansal ve istatistiksel raporların hazırlanmasında veya benzer becerilerin niceliksel sonuçlarının hesaplanmasında kullanılır.

Aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Bir sayı dizisinin aritmetik ortalamasını bulmak, bu değerlerin cebirsel toplamını belirleyerek başlamalıdır. Örneğin, dizi 23, 43, 10, 74 ve 34 sayılarını içeriyorsa, bunların cebirsel toplamı 184'e eşit olacaktır. Yazarken aritmetik ortalama, harfle gösterilir? (mu) veya x (çizgili x). Daha sonra cebirsel toplamın dizideki sayıların sayısına bölünmesi gerekir. Söz konusu örnekte beş sayı vardı, bu nedenle aritmetik ortalama 184/5 ve 36,8 olacaktır.

Negatif sayılarla çalışmanın özellikleri

Dizi negatif sayılar içeriyorsa, benzer bir algoritma kullanılarak aritmetik ortalama bulunur. Fark yalnızca programlama ortamında hesaplama yapılırken veya sorun ek veriler içeriyorsa ortaya çıkar. Bu durumlarda sayıların aritmetik ortalamasını bulmak çeşitli işaretlerüç eyleme iner: 1. Standart yöntemi kullanarak evrensel aritmetik ortalamanın bulunması;2. Negatif sayıların aritmetik ortalamasını bulma.3. Pozitif sayıların aritmetik ortalamasının hesaplanması Her işlemin sonuçları virgülle ayrılarak yazılır.

Doğal ve ondalık kesirler

Bir sayı dizisi sunuluyorsa ondalık sayılarçözüm, tamsayıların aritmetik ortalamasını hesaplama yöntemine göre gerçekleştirilir, ancak sonucun doğruluğu için toplamın azaltılması, problemin gereklerine göre gerçekleştirilir.Doğal kesirlerle çalışırken, bunlar dizideki sayıların çarpımı olan ortak bir paydaya indirgenir. Sonucun payı, başlangıçtaki kesirli elemanların verilen paylarının toplamı olacaktır.

Sayıların geometrik ortalaması yalnızca sayıların mutlak değerine değil aynı zamanda sayılarına da bağlıdır. Geometrik ortalama ile ortalamayı karıştırmak imkansızdır aritmetik sayılar farklı metodolojilere dayanmalarından kaynaklanmaktadır. Bu durumda geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan küçük veya ona eşittir.

İhtiyacın olacak

• Mühendislik hesaplayıcısı.

Talimatlar

1. Genel durumda sayıların geometrik ortalamasının, bu sayıların çarpılması ve sayı sayısına karşılık gelen kuvvetin kökünün alınmasıyla bulunduğunu düşünün. Örneğin, beş sayının geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, o zaman beşinci kökü çarpımdan çıkarmanız gerekecektir.

2. 2 sayının geometrik ortalamasını bulmak için temel kuralı kullanın. Çarpımlarını bulun, ardından kök derecesine karşılık gelen iki sayısının karekökünü alın. Diyelim ki 16 ve 4 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için çarpımları 16 4 = 64'ü bulun. Ortaya çıkan sayıdan karekökü?64=8'i alın. Bu istenilen değer olacaktır. Lütfen bu 2 sayının aritmetik ortalamasının 10'dan büyük ve 10'a eşit olduğunu unutmayın. Kökün tamamı çıkarılmazsa toplamı gereken sıraya yuvarlayın.

3. 2'den fazla sayının geometrik ortalamasını bulmak için temel kuralı da kullanın. Bunu yapmak için geometrik ortalamasını bulmanız gereken tüm sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan üründen sayıların sayısına eşit olan gücün kökünü çıkarın. Diyelim ki 2, 4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için çarpımlarını bulun. 2 4 64=512. 3 sayının geometrik ortalamasının sonucunu bulmak gerektiğinden, çarpımdan üçüncü kökü çıkarın. Bunu sözlü olarak yapmak zordur, bu nedenle bir mühendislik hesap makinesi kullanın. Bu amaçla “x^y” butonu bulunmaktadır. 512 numarasını çevirin, “x^y” tuşuna basın, ardından 3 sayısını çevirin ve “1/x” tuşuna basarak 1/3 değerini bulun, “=” tuşuna basın. Üçüncü köke karşılık gelen 512'yi 1/3'ün gücüne çıkardığımız sonucu elde ederiz. 512^1/3=8'i alın. Bu 2,4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasıdır.

4. Bir mühendislik hesap makinesinin desteğiyle geometrik ortalamayı başka bir yöntem kullanarak bulabilirsiniz. Klavyenizdeki günlük düğmesini bulun. Daha sonra tüm sayıların logaritmasını alıp toplamlarını bulup sayı sayısına bölün. Ortaya çıkan sayıdan antilogaritmayı alın. Bu sayıların geometrik ortalaması olacaktır. Diyelim ki aynı 2, 4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için hesap makinesinde bir dizi işlem gerçekleştirin. 2 numarayı çevirin, ardından log tuşuna basın, “+” tuşuna basın, 4 numarayı çevirin ve log ve tekrar “+” tuşuna basın, 64'ü tuşlayın, log ve “=” tuşuna basın. Sonuç sayı olacaktır toplamına eşit ondalık logaritmalar 2, 4 ve 64 sayıları. Ortaya çıkan sayıyı 3'e bölün, çünkü bu geometrik ortalamanın arandığı sayıların sayısıdır. Toplamdan, kayıt düğmesini değiştirerek antilogaritmayı alın ve aynı log anahtarını kullanın. Sonuç 8 sayısı olacaktır, bu istenen geometrik ortalamadır.

Not!
Ortalama değer en büyük değerden büyük olamaz çok sayıda dahil ve en küçüğünden daha küçüktür.

Yararlı tavsiye
İÇİNDE matematiksel istatistik Bir miktarın ortalama değerine matematiksel beklenti denir.