Lösung von Exponentialgleichungen mit gleichem Grad. Lösung von Exponentialgleichungen. Grundlagen

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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Grade und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl a n mal auf sich selbst passiert, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. ein n ein m = ein n + m

4. (ein n) m = ein nm

5. ein n b n = (ab) n

7. ein n / ein m \u003d ein n - m

Potenz- oder Exponentialgleichungen- Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis, sie steht immer ganz unten, und die Variable x Grad oder Maß.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Ein solches Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x = 3 ist. Damit die linke und die rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung getroffen werden sollte:

2 x = 2 3
x = 3

Um diese Gleichung zu lösen, haben wir entfernt gleiche Gründe(das heißt Zweien) und schrieb auf, was übrig blieb, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Lassen Sie uns nun unsere Lösung zusammenfassen.

Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das Gleiche ob die Basen der Gleichung rechts und links sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Optionen, um dieses Beispiel zu lösen.
2. Nachdem die Basen gleich sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Lassen Sie uns nun einige Beispiele lösen:

Fangen wir einfach an.

Die Basen auf der linken und rechten Seite sind gleich der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis verwerfen und ihre Grade gleichsetzen können.

x+2=4 Die einfachste Gleichung hat sich herausgestellt.
x=4 - 2
x=2
Antwort: x=2

Im folgenden Beispiel sehen Sie, dass die Basen unterschiedlich sind, das sind 3 und 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Zunächst übertragen wir die Neun auf die rechte Seite, wir erhalten:

Jetzt müssen Sie die gleichen Basen herstellen. Wir wissen, dass 9=3 2 . Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Wir erhalten 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 jetzt ist klar, dass die Basen auf der linken und rechten Seite gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 hat die einfachste Gleichung
3x-2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Zuerst schauen wir uns die Basen an, die Basen sind zwei und vier unterschiedlich. Und wir müssen gleich sein. Wir transformieren das Quadrupel nach der Formel (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ergänze die Gleichung:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Wir haben aus den gleichen Gründen ein Beispiel gegeben. Aber andere Nummern 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholen, hier ist die Antwort - wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern berechnen:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Wir teilen die ganze Gleichung durch 6:

Stellen Sie sich 4=2 2 vor:

2 2x \u003d 2 2 Basen sind gleich, verwerfen Sie sie und setzen Sie die Grade gleich.
2x \u003d 2 erwies sich als die einfachste Gleichung. Wir teilen es durch 2, wir bekommen
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9x - 12*3x +27= 0

Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Unsere Basen sind die gleichen, gleich 3. In diesem Beispiel ist klar, dass das erste Tripel einen doppelten (2x) Grad hat als das zweite (nur x). In diesem Fall können Sie entscheiden Substitutionsmethode. Die Zahl mit dem kleinsten Grad wird ersetzt durch:

Dann 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen alle Grade durch x in der Gleichung mit t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wir lösen durch die Diskriminante, wir erhalten:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Zurück zu Variable x.

Wir nehmen t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten, ab t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Auf der Website können Sie im Abschnitt HILFE ENTSCHEIDEN, um interessante Fragen zu stellen, wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

Einer Gruppe beitreten

Ausrüstung:

• Computer,
• Multimedia-Projektor,
• Bildschirm,
• Anhang 1(Folienpräsentation in PowerPoint) „Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen“
• Anhang 2(Lösung einer Gleichung wie „Drei verschiedene Gradbasen“ in Word)
• Anhang 3(Handzettel in Word für praktische Arbeit).
• Anhang 4(Handzettel in Word für Hausaufgaben).

Während des Unterrichts

1. Organisationsphase

• Botschaft des Unterrichtsthemas (an die Tafel geschrieben),
• die Notwendigkeit eines verallgemeinernden Unterrichts in den Klassen 10-11:

Die Phase der Vorbereitung der Schüler auf die aktive Aneignung von Wissen

Wiederholung

Definition.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Variable im Exponenten enthält (der Schüler antwortet).

Anmerkung des Lehrers. Die Exponentialgleichungen gehören zur Klasse der transzendentalen Gleichungen. Dieser schwer auszusprechende Name deutet darauf hin, dass solche Gleichungen im Allgemeinen nicht in Form von Formeln gelöst werden können.

Sie können nur durch näherungsweise numerische Verfahren auf Computern gelöst werden. Aber was ist mit Prüfungsfragen? Der ganze Trick besteht darin, dass der Prüfer die Aufgabe so formuliert, dass sie gerade noch eine analytische Lösung zulässt. Mit anderen Worten, Sie können (und sollten!) Dinge tun wie identische Transformationen, die die gegebene Exponentialgleichung auf die einfachste Exponentialgleichung reduzieren. Dies ist die einfachste Gleichung und heißt: die einfachste Exponentialgleichung. Es ist gelöst Logarithmus.

Die Situation bei der Lösung einer Exponentialgleichung ähnelt einer Reise durch ein Labyrinth, das eigens vom Ersteller des Problems erfunden wurde. Aus diesen sehr allgemeinen Überlegungen folgen ganz konkrete Empfehlungen.

Um Exponentialgleichungen erfolgreich zu lösen, müssen Sie:

1. Kennen Sie nicht nur aktiv alle exponentiellen Identitäten, sondern finden Sie auch Wertesätze der Variablen, auf denen diese Identitäten definiert sind, damit Sie bei Verwendung dieser Identitäten keine unnötigen Wurzeln erwerben und vor allem nicht verlieren Lösungen der Gleichung.

2. Kenne aktiv alle exponentiellen Identitäten.

3. Führen Sie mathematische Transformationen von Gleichungen klar, detailliert und fehlerfrei durch (übertragen Sie Terme von einem Teil der Gleichung in einen anderen, vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern, reduzieren Sie den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner usw.). Das nennt man mathematische Kultur. Gleichzeitig sollten die Berechnungen selbst automatisch von Hand erfolgen und der Kopf über den allgemeinen roten Faden der Lösung nachdenken. Es ist notwendig, Transformationen so sorgfältig und detailliert wie möglich vorzunehmen. Nur so ist eine korrekte und fehlerfreie Lösung gewährleistet. Und denken Sie daran: Ein kleiner Rechenfehler kann einfach eine transzendente Gleichung erzeugen, die im Prinzip nicht analytisch gelöst werden kann. Es stellt sich heraus, dass Sie sich verirrt haben und gegen die Wand des Labyrinths gelaufen sind.

4. Kennen Sie die Methoden zur Lösung von Problemen (dh kennen Sie alle Wege durch das Labyrinth der Lösung). Für die richtige Orientierung in jeder Phase müssen Sie (bewusst oder intuitiv!):

• definieren Gleichungstyp;
• Merken Sie sich den entsprechenden Typ Lösungsmethode Aufgaben.

Das Stadium der Verallgemeinerung und Systematisierung des untersuchten Materials.

Der Lehrer führt zusammen mit den Schülern unter Einbeziehung eines Computers eine Übersicht durch Wiederholung aller Arten von Exponentialgleichungen und Methoden zu deren Lösung, erstellt allgemeines Schema. (Mit einem Tutorial Computer Programm L. Ya. Borevsky "Kurs Mathematik - 2000", der Autor der Präsentation in PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

Reis. eines. Die Abbildung zeigt ein allgemeines Schema aller Arten von Exponentialgleichungen.

Wie aus diesem Diagramm ersichtlich ist, besteht die Strategie zum Lösen von Exponentialgleichungen darin, diese Exponentialgleichung zunächst auf die Gleichung zu reduzieren, mit den gleichen Grundlagen , und dann - und mit denselben Exponenten.

Nachdem Sie eine Gleichung mit denselben Basen und Exponenten erhalten haben, ersetzen Sie diesen Grad durch eine neue Variable und erhalten eine einfache algebraische Gleichung (normalerweise gebrochen rational oder quadratisch) in Bezug auf diese neue Variable.

Indem Sie diese Gleichung lösen und eine umgekehrte Substitution vornehmen, erhalten Sie am Ende eine Reihe einfacher Exponentialgleichungen, die gelöst werden Gesamtansicht Logarithmen verwenden.

Abseits stehen Gleichungen, in denen nur Produkte (privater) Potenzen auftreten. Mit Hilfe von Exponentialidentitäten ist es möglich, diese Gleichungen sofort auf eine Basis zu bringen, insbesondere auf die einfachste Exponentialgleichung.

Überlegen Sie, wie eine Exponentialgleichung mit drei verschiedenen Gradbasen gelöst wird.

(Wenn der Lehrer ein Lehrcomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Kurs für Mathematik - 2000" hat, dann arbeiten wir natürlich mit der Diskette, wenn nicht, können Sie diese Art von Gleichung für jeden Tisch daraus ausdrucken, wie unten dargestellt .)

Reis. 2. Gleichungslösungsplan.

Reis. 3. Beginnen Sie, die Gleichung zu lösen

Reis. vier. Das Ende der Lösung der Gleichung.

Praktische Arbeit leisten

Bestimme die Art der Gleichung und löse sie.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Zusammenfassung der Lektion

Eine Unterrichtsstunde benoten.

Ende des Unterrichts

Für den Lehrer

Schema der praktischen Arbeitsantworten.

Übung: Wählen Sie aus der Liste der Gleichungen die Gleichungen des angegebenen Typs aus (geben Sie die Nummer der Antwort in die Tabelle ein):

1. Drei verschiedene Basen
2. Zwei verschiedene Basen - verschiedene Exponenten
3. Potenzbasen - Potenzen einer Zahl
4. Gleiche Basen, unterschiedliche Exponenten
5. Gleiche Exponentenbasen - gleiche Exponenten
6. Produkt der Kräfte
7. Zwei verschiedene Abschlussbasen - dieselben Indikatoren
8. Die einfachsten Exponentialgleichungen

1. (Produkt der Potenzen)

2. (gleiche Basen - unterschiedliche Exponenten)

Beispiele:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Wie man Exponentialgleichungen löst

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen, bemühen wir uns, sie auf die Form \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) zu bringen und dann zur Gleichheit der Indikatoren überzugehen, das heißt:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Zum Beispiel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Wichtig! Aus derselben Logik folgen für einen solchen Übergang zwei Anforderungen:
- Nummer ein links und rechts sollten gleich sein;
- Grad links und rechts müssen "rein" sein, das heißt, es sollten keine Multiplikationen, Divisionen usw.

Zum Beispiel:

Um die Gleichung auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu bringen, werden und verwendet.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Lösung:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wir wissen, dass \(27 = 3^3\). In diesem Sinne wandeln wir die Gleichung um.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Durch die Eigenschaft der Wurzel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) erhalten wir \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Weiter erhalten wir mit der Gradeigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wir wissen auch, dass \(a^b a^c=a^(b+c)\). Wenden wir dies auf die linke Seite an, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Denken Sie jetzt daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch in verwendet werden Rückseite: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Wenden wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite an, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		Und jetzt haben wir die Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.
		Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Lösung: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Wieder verwenden wir die Grad-Eigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in umgekehrter Richtung. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Mit den Eigenschaften des Grades transformieren wir: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Wir sehen uns die Gleichung genau an und sehen, dass sich hier die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Wir haben jedoch die Werte \(t\) gefunden, und wir brauchen \(x\). Wir kehren zum X zurück und führen die umgekehrte Substitution durch. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformiere die zweite Gleichung mit der negativen Potenzeigenschaft ... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...und löse bis zur Antwort. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Antworten : \(-1; 1\). Die Frage bleibt - wie kann man verstehen, wann man welche Methode anwendet? Es kommt mit Erfahrung. In der Zwischenzeit haben Sie es nicht verdient, zu verwenden allgemeine Empfehlung um komplexe Probleme zu lösen - "wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen - tun Sie, was Sie können." Das heißt, suchen Sie nach Möglichkeiten, wie Sie die Gleichung im Prinzip umwandeln können, und versuchen Sie es - was ist, wenn es herauskommt? Die Hauptsache ist, nur mathematisch begründete Transformationen durchzuführen. Exponentialgleichungen ohne Lösungen Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren: - eine positive Zahl hoch null ist zum Beispiel \(2^x=0\); - Eine positive Zahl hoch ist gleich einer negativen Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\). Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, dann wird die gesamte Potenz \(2^x\) nur wachsen, wenn x wächst: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Auch vorbei. Es gibt negative x. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie niemals Null erreichen. Der negative Grad hat uns also auch nicht gerettet. Wir kommen zu einem logischen Schluss: Eine positive Zahl hoch beliebiger Potenz bleibt eine positive Zahl. Somit haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen. Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen In der Praxis gibt es manchmal Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen, nicht aufeinander reduzierbaren Basen und gleichzeitig gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind. Zum Beispiel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch einen der Teile der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \ (b ^ (f (x)) \). Zahl ist in jedem Fall positiv (d. h. wir dividieren nicht durch Null). Wir erhalten: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Lösung: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Hier können wir nicht aus einer Fünf eine Drei machen oder umgekehrt (zumindest ohne Verwendung). Wir können also nicht auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) kommen. Gleichzeitig sind die Indikatoren gleich. Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (das können wir tun, weil wir wissen, dass das Tripel in keinem Grad Null sein wird). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Merken Sie sich jetzt die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie von links in umgekehrter Richtung. Rechts kürzen wir einfach den Bruch. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Es schien nicht besser zu werden. Aber denken Sie an eine andere Eigenschaft des Grades: \(a^0=1\), mit anderen Worten: "jede Zahl hoch null ist gleich \(1\)". Das Gegenteil gilt auch: "Eine Einheit kann als jede Zahl dargestellt werden, die mit Null potenziert wird." Wir verwenden dies, indem wir die Basis auf der rechten Seite mit der auf der linken Seite identisch machen. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Wir werden die Fundamente los. Wir schreiben die Antwort. Antworten : \(-7\). Manchmal ist die "Gleichheit" der Exponenten nicht offensichtlich, aber die geschickte Verwendung der Eigenschaften des Grads löst dieses Problem. Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lösung: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Die Gleichung sieht ziemlich traurig aus... Nicht nur können die Basen nicht auf die gleiche Zahl reduziert werden (sieben wird nicht gleich \(\frac(1)(3)\)), sondern auch die Indikatoren sind unterschiedlich... Verwenden wir jedoch den linken Exponenten zwei. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Berücksichtigen Sie die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformieren Sie auf der linken Seite: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft der negativen Potenz \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren nach rechts: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Die Noten sind gleich! Nach dem uns bereits bekannten Schema handelnd, entscheiden wir vor der Antwort. Antworten : \(2\).

Vorlesung: "Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen."

1 . Exponentialgleichungen.

Gleichungen, die Unbekannte im Exponenten enthalten, heißen Exponentialgleichungen. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0 und a ≠ 1.

1) Für b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 Exponentialfunktion, hat keine Lösung.

2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine einzelne Wurzel. Um es zu finden, muss b als b = añ, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.

Die Exponentialgleichungen führen durch algebraische Transformationen zu Standardgleichungen, die mit den folgenden Methoden gelöst werden:

1) Methode der Reduktion auf eine Base;

2) Bewertungsmethode;

3) grafische Methode;

4) die Methode zur Einführung neuer Variablen;

5) Faktorisierungsmethode;

6) indikativ - Potenzgleichungen;

7) Exponential mit einem Parameter.

2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.

Das Verfahren basiert auf folgender Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d.h. es muss versucht werden, die Gleichung auf die Form zu bringen

Beispiele. Löse die Gleichung:

1 . 3x=81;

Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 darstellen und die Gleichung schreiben, die dem Original 3 x = 34 entspricht; x = 4. Antwort: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> und gehe zur Gleichung für Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Antwort: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 sind. Machen wir uns das zunutze und wandeln die ursprüngliche Gleichung wie folgt um:

, woher 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.

5. 3x = 5. Nach Definition des Logarithmus ist x = log35. Antwort: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Schreiben wir die Gleichung um als 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, d.h..png" width="181" height="49 src="> Also x - 4 =0, x = 4. Antwort: vier.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Eigenschaften von Potenzen schreiben wir die Gleichung in der Form zB x+1 = 2, x =1. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 1.

Löse die Gleichung:

Versuch Nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln
	1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test Nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Bewertungsmethode.

Der Wurzelsatz: Wenn die Funktion f (x) auf dem Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, der von f in diesem Intervall angenommen wird, dann hat die Gleichung f (x) = a eine einzelne Wurzel auf dem Intervall I.

Beim Lösen von Gleichungen durch das Schätzverfahren werden dieses Theorem und die Monotonieeigenschaften der Funktion verwendet.

Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 - x.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung um als 4x + x = 5.

1. Wenn x \u003d 1, dann 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 wahr ist, dann ist 1 die Wurzel der Gleichung.

Die Funktion f(x) = 4x wächst auf R und g(x) = x wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R als Summe der steigenden Funktionen, x = 1 ist also die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.

2.

Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um .

1. wenn x = -1, dann , 3 = 3-wahr, also ist x = -1 die Wurzel der Gleichung.

2. beweisen, dass es einzigartig ist.

3. Die Funktion f(x) = - nimmt mit R ab, und g(x) = - x - nimmt mit R ab => h(x) = f(x) + g(x) - nimmt mit R ab, als Summe von abnehmenden Funktionen. Nach dem Wurzelsatz ist also x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 2. löse die Gleichung

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Verfahren zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Terme der Gleichung. Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele. R Essensgleichung: 1. .

Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Lösung. Schreiben wir die Gleichung anders um:

Bezeichnen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationale Gleichung. Wir notieren das

Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, also ist 2,5 die Wurzel der Gleichung. Antwort: 2.5.

Lösung. Lassen Sie uns die Gleichung in der Form umschreiben und beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0 teilen. Wir erhalten die Gleichung

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, also..png" width="118" height="56">

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung - t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Lösung . Wir schreiben die Gleichung in die Form um

und beachten Sie, dass es sich um eine homogene Gleichung zweiten Grades handelt.

Teilen Sie die Gleichung durch 42x, erhalten wir

Ersetzen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Antwort: 0; 0,5.

Aufgabenbank Nr. 3. löse die Gleichung

b)

G)

Prüfung Nr. 3 mit Antwortauswahl. Mindestniveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prüfung Nr. 4 mit Antwortauswahl. Allgemeine Ebene.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln

5. Methode der Faktorisierung.

1. Löse die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Lösung..png" width="169" height="69"> , woher

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Lösung. Nehmen wir 6x auf der linken Seite der Gleichung heraus und 2x auf der rechten Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 für alle x ist, können Sie beide Seiten dieser Gleichung durch 2x teilen, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.

3.

Lösung. Wir lösen die Gleichung durch Faktorisieren.

Wir wählen das Quadrat des Binoms

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.

Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test Nr. 6 Allgemeine Ebene.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential - Potenzgleichungen.

An die Exponentialgleichungen schließen sich die sogenannten Exponentialgleichungen an, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Wenn bekannt ist, dass f(x) > 0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzen der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.

Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle beim Lösen der Potenzgleichung berücksichtigen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Lösung. x2 +2x-8 - macht für jedes x Sinn, weil ein Polynom, also die Gleichung äquivalent zur Menge ist

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponentialgleichungen mit Parametern.

1. Für welche Werte des Parameters p hat die Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) eine eindeutige Lösung?

Lösung. Führen wir die Änderung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)

Die Diskriminante von Gleichung (2) ist D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Wurzel hat. Dies ist in folgenden Fällen möglich.

1. Wenn D = 0, also p = 1, dann hat Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0, also t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.

2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Menge der Systeme erfüllt die Bedingung des Problems

Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, haben wir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Lösung. Lassen dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)

Lassen Sie uns die Werte des Parameters a finden, für die mindestens eine Wurzel der Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.

Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} quadratisches Trinom f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Gleichung (4) hat eine eindeutige positive Lösung, wenn

D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form an (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Somit hat Gleichung (4) bei a 0 eine einzige positive Wurzel . Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung

Für ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;

wenn a  0, dann

Vergleichen wir die Methoden zum Lösen der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein volles Quadrat ist; somit wurden die Wurzeln von Gleichung (2) sofort durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung berechnet, und dann wurden Schlussfolgerungen bezüglich dieser Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es ratsam, beim Lösen von Gleichung (3) Theoreme über die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms und zu verwenden ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) unter Verwendung des Vieta-Theorems gelöst werden kann.

Lassen Sie uns komplexere Gleichungen lösen.

Aufgabe 3. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. ODZ: x1, x2.

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis der Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Finden Sie die Werte von a, für die mindestens eine Wurzel von gilt die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Antwort: wenn a > - 13, a  11, a  5, dann wenn a - 13,

a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.

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Diese Lektion ist für diejenigen gedacht, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit einer Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben - linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können, ist absolut notwendig, um nicht in dem jetzt zu behandelnden Thema „hängen“ zu bleiben.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele geben:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige von ihnen mögen Ihnen komplizierter erscheinen, andere sind im Gegenteil zu einfach. Aber eines verbindet sie alle wichtiges Merkmal: Es gibt eine Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$ in ihrer Notation. Daher führen wir die Definition ein:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d.h. ein Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten - Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Definition verstanden. Jetzt stellt sich die Frage: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist einfach und komplex zugleich.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit vielen Studenten kann ich sagen, dass für die meisten Exponentialgleichungen viel einfacher sind als die gleichen Logarithmen, und noch mehr Trigonometrie.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Manchmal werden die Ersteller von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ heimgesucht, und ihr drogengeplagtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass es nicht nur für Schüler problematisch wird, sie zu lösen - sogar viele Lehrer bleiben bei solchen Problemen hängen.

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jeden von ihnen zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, mit welcher Potenz muss die Zahl 2 potenziert werden, um die Zahl 4 zu erhalten? Vielleicht das Zweite? Immerhin ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d.h. tatsächlich $x=2$. Danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte. :)

Betrachten wir die folgende Gleichung:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas schwieriger. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ das Einmaleins ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition negativer Exponenten ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich vermuten nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und die Ausgabe das folgende Ergebnis ist:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Somit wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Und das ist jetzt auch schon komplett gelöst! Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, sonst gibt es nichts als sie. Daher ist es möglich, die Basen zu „verwerfen“ und die Indikatoren dumm gleichzusetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstanden haben, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „ lineare Gleichungen“ und wiederhole es. Denn ohne eine klare Aneignung dieses Themas ist es für Sie zu früh, sich mit Exponentialgleichungen zu befassen.

\[((9)^(x))=-3\]

Na, wie entscheidest du dich? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, also kann die ursprüngliche Gleichung so umgeschrieben werden:

\[((\links(((3)^(2)) \rechts))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns, dass beim Potenzieren eines Grades die Indikatoren multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung bekommen wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn wir haben mit der Gelassenheit eines Pokémon das Minuszeichen vor die Drei hoch genau diese Drei gestellt. Und das kannst du nicht. Und deshalb. Schauen Sie sich die verschiedenen Potenzen des Tripels an:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Beim Kompilieren dieses Tablets habe ich nicht so schnell wie möglich pervertiert: Ich habe positive Grade und negative und sogar gebrochene Grade berücksichtigt ... nun, wo ist mindestens einer eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann es nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte(egal wie viel Sie mit eins multiplizieren oder durch zwei dividieren, es wird immer noch eine positive Zahl sein), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion – die Zahl $a$ – per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Nein, es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen quadratischen sehr ähnlich - es kann auch keine Wurzeln geben. Aber wenn drin quadratische Gleichungen Die Anzahl der Wurzeln wird durch die Diskriminante bestimmt (die Diskriminante ist positiv - 2 Wurzeln, negativ - keine Wurzeln), dann hängt bei Exponentialen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Damit formulieren wir die zentrale Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, es zu lösen, oder schreiben Sie sofort auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Dieses Wissen hilft uns um ein Vielfaches, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. In der Zwischenzeit genug Texte - es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

Wie man Exponentialgleichungen löst

Also formulieren wir das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem zuvor verwendeten "naiven" Algorithmus ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Wenn anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck steht, erhalten wir außerdem eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90% der Fälle. Was ist dann mit den anderen 10%? Die restlichen 10 % sind leicht "schizophrene" Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Mit welcher Potenz müssen Sie 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? In der ersten? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. In dieser Sekunde? Weder noch: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Was dann?

Sachkundige Studenten haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es unmöglich ist, „schön“ zu lösen, ist „schwere Artillerie“ mit dem Fall verbunden - Logarithmen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mithilfe von Logarithmen jede positive Zahl als Potenz jeder anderen positiven Zahl (mit Ausnahme von Eins) dargestellt werden kann:

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich Sie immer: Diese Formel (es ist auch die logarithmische Grundidentität oder, wenn Sie so wollen, die Definition des Logarithmus) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie tauchte auf. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite so reduzieren wollen, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort bekommen: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele mit einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn irgendwo ein Fehler wäre? Ich beeile mich, Sie zu erfreuen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine ziemlich typische Situation. Also gewöhn dich dran. :)

Nun lösen wir analog die verbleibenden zwei Gleichungen:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rechtspfeil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir waren es, die den Multiplikator in das Argument des Logarithmus eingeführt haben. Aber niemand hindert uns daran, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

In diesem Fall sind alle drei Optionen richtig - es ist nur verschiedene Formen Aufzeichnungen mit der gleichen Nummer. Welche Sie in dieser Entscheidung auswählen und aufschreiben, liegt bei Ihnen.

So haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ strikt positiv sind. Jedoch harte Realität unsere Welt ist so ähnlich einfache Aufgaben trifft dich sehr, sehr selten. Häufiger werden Sie auf Folgendes stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Na, wie entscheidest du dich? Kann man das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen lassen sich schnell und einfach auf die einfachen Formeln reduzieren, die wir bereits betrachtet haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebra-Kurs merken können. Und natürlich gibt es hier keine Regeln für das Arbeiten mit Abschlüssen. Ich werde jetzt über all das sprechen. :)

Transformation von Exponentialgleichungen

Das erste, woran man sich erinnern sollte, ist, dass jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie sein mag, auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden muss – genau die, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten, das Schema zum Lösen einer Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:

1. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Mach irgendeinen dummen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens "Transform the Equation";
3. Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke wie $((4)^(x))=4$ oder so ähnlich. Darüber hinaus kann eine Anfangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig liefern.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar - sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt schreiben. Auch beim dritten Punkt scheint es mehr oder weniger klar zu sein - wir haben oben schon eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was sind die Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich auf Folgendes hinweisen. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Die Gleichung setzt sich aus Exponentialfunktionen mit gleicher Basis zusammen. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs - sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei ihrer Lösung wird uns eine Technik wie die Auswahl stabiler Ausdrücke helfen.

Hervorheben eines stabilen Ausdrucks

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier werden in unterschiedlichem Maße angehoben. Aber all diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher müssen die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen beachtet werden:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Einfach ausgedrückt, die Addition von Exponenten kann in ein Produkt von Potenzen umgewandelt werden, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Potenzen aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt, beide Teile der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, also im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf die einfachste reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir beim Lösen den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und sogar aus der Klammer genommen) - das ist der stabile Ausdruck. Es kann als neue Variable bezeichnet werden, oder Sie können es einfach genau ausdrücken und eine Antwort erhalten. In jedem Fall lautet das Kernprinzip der Lösung wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die sich leicht von allen Exponentialfunktionen unterscheiden lässt.

Die gute Nachricht ist, dass fast jede Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck zulässt.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Solche Ausdrücke können sehr schwierig sein, und es kann ziemlich schwierig sein, sie zu unterscheiden. Schauen wir uns also ein anderes Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft? Hier sind verschiedene Basen - 5 und 0,2. Aber versuchen wir mal, eine Potenz zur Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden und ihn auf das Übliche bringen:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, erschien die Zahl 5 immer noch, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator negativ umgeschrieben. Und jetzt erinnern wir uns an einen wesentliche Regeln Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig geschummelt. Denn für ein vollständiges Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit einer Fraktion zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

In diesem Fall müssen Sie jedoch in der Lage sein, einen Abschluss auf einen anderen Abschluss anzuheben (ich erinnere Sie daran: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht "umdrehen" - vielleicht wird es für jemanden einfacher. :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung umgeschrieben als:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher zu lösen ist als die zuvor betrachtete: Hier müssen Sie nicht einmal einen stabilen Ausdruck herausgreifen - alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur zu bedenken, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung! Wir haben die endgültige Antwort: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich einen Trick anmerken, der uns alle Berechnungen stark vereinfacht hat:

Achten Sie bei Exponentialgleichungen darauf, loszuwerden Dezimalbrüche, konvertieren Sie sie in normal. Dadurch können Sie die gleichen Grundlagen der Abschlüsse sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Gehen wir zu mehr über komplexe Gleichungen, in der es verschiedene Basen gibt, die im Allgemeinen nicht mit Hilfe von Graden aufeinander reduziert werden.

Verwenden der Exponenteneigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welche Grundlage zu führen ist. Wo sind die festen Ausdrücke? Wo sind die Gemeinsamkeiten? Davon gibt es nichts.

Aber lass uns versuchen, den anderen Weg zu gehen. Wenn nicht bereit gleichen Grundlagen, können Sie versuchen, sie zu finden, indem Sie die verfügbaren Basen berücksichtigen.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Aber Sie können immerhin das Gegenteil tun - die Zahl 21 aus den Zahlen 7 und 3 bilden. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten aus dem Produkt entfernt und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Kommen wir nun zur zweiten Gleichung. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In diesem Fall erwiesen sich die Brüche als irreduzibel, aber wenn etwas reduziert werden kann, reduzieren Sie es unbedingt. Dabei ergeben sich oft interessante Gründe, mit denen Sie bereits arbeiten können.

Leider ist uns nichts eingefallen. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Zur Erinnerung: Um das Minuszeichen im Exponenten loszuwerden, musst du nur den Bruch „umdrehen“. Schreiben wir also die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach rausgenommen Gesamtpunktzahl aus dem Klammerprodukt nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, und in letzterem einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, offensichtlich: es sind Potenzen der gleichen Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Somit wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Gleichzeitig können Sie rechts auch einen Abschluss mit derselben Basis erhalten, für den es ausreicht, nur den Bruch zu „umdrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Schließlich nimmt unsere Gleichung die Form an:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung. Seine Hauptidee läuft darauf hinaus, dass wir selbst bei unterschiedlichen Gründen versuchen, diese Gründe durch Haken oder Gauner auf denselben zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Transformationen von Gleichungen und die Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann zu verwenden? Wie kann man verstehen, dass man in einer Gleichung beide Seiten durch etwas teilen muss und in einer anderen - die Basis der Exponentialfunktion in Faktoren zerlegen muss?

Die Antwort auf diese Frage ergibt sich aus der Erfahrung. Versuchen Sie sich zuerst einfache Gleichungen, und verkomplizieren Sie dann die Aufgaben nach und nach - und sehr bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede Exponentialgleichung aus demselben USE oder jede unabhängige / Testarbeit zu lösen.

Und um Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe zu helfen, schlage ich vor, auf meiner Website eine Reihe von Gleichungen für herunterzuladen unabhängige Entscheidung. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst überprüfen können.