Beispiele für die Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion. Komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung. Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

In „alten“ Lehrbüchern wird sie auch „Kettenregel“ genannt. Also wenn y = f (u) und u = φ (x), also

y = f (φ (x))

komplex - zusammengesetzte Funktion (Zusammensetzung von Funktionen) dann

Wo , nach der Berechnung wird berücksichtigt bei u = φ(x).

Beachten Sie, dass wir hier „unterschiedliche“ Zusammensetzungen aus denselben Funktionen genommen haben und das Ergebnis der Differenzierung natürlich von der Reihenfolge der „Mischung“ abhängt.

Die Kettenregel erstreckt sich natürlich auch auf Zusammensetzungen aus drei oder mehr Funktionen. In diesem Fall gibt es drei oder mehr „Glieder“ in der „Kette“, aus der das Derivat besteht. Hier ist eine Analogie zur Multiplikation: „Wir haben“ eine Ableitungstabelle; „dort“ – Einmaleins; „bei uns“ ist die Kettenregel und „dort“ ist die „Spalten“-Multiplikationsregel. Bei der Berechnung solcher „komplexen“ Ableitungen werden natürlich keine Hilfsargumente (u¸v usw.) eingeführt, aber nachdem man sich die Anzahl und Reihenfolge der an der Zusammensetzung beteiligten Funktionen notiert hat, werden die entsprechenden Verknüpfungen „aneinandergereiht“. in der angegebenen Reihenfolge.

. Hier werden mit „x“, um den Wert von „y“ zu erhalten, fünf Operationen ausgeführt, d. Desweiteren umgekehrte Reihenfolge sedieren. (♦) 2 ; trigonometrische Sünde(); sedieren. () 3 und schließlich logarithmisches ln.(). Deshalb

Mit den folgenden Beispielen schlagen wir „ein paar Fliegen mit einer Klappe“: Wir üben das Differenzieren komplexer Funktionen und ergänzen die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Also:

4. Für eine Potenzfunktion – y = x α – schreiben wir sie unter Verwendung der bekannten „grundlegenden logarithmischen Identität“ – b=e ln b – in der Form x α = x α ln x um, die wir erhalten

5. Kostenlos Exponentialfunktion mit der gleichen Technik, die wir haben werden

6. Für eine beliebige logarithmische Funktion erhalten wir unter Verwendung der bekannten Formel für den Übergang zu einer neuen Basis konsistent

.

7. Um den Tangens (Kotangens) zu differenzieren, verwenden wir die Regel zur Differenzierung von Quotienten:

Um die Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen zu erhalten, verwenden wir die Beziehung, die durch die Ableitungen zweier zueinander inverser Funktionen erfüllt wird, d. h. die Funktionen φ (x) und f (x), die durch die Beziehungen verbunden sind:

Das ist das Verhältnis

Daraus ergibt sich die Formel für zueinander inverse Funktionen

Und
,

Lassen Sie uns abschließend diese und einige andere Ableitungen, die ebenfalls leicht zu erhalten sind, in der folgenden Tabelle zusammenfassen.

Erste Ebene

Ableitung einer Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der x-Achse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Mengen Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinatenachse).

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn ein Mast mitten auf der Straße steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und immer noch unendlich Außerdem was wird passieren. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen infinitesimalen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass „unendlich klein“ nicht gleichbedeutend ist gleich Null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet. Es wird aufgerufen, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher zwischen negativ und positive Werte Das muss es auf jeden Fall geben. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
2. Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten mit demselben Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Umfang: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist das? Wo ist der Abschluss?“, denken Sie an das Thema „“!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein Bruch: .
   Also unseres Quadratwurzel- Dies ist nur ein Abschluss mit einem Indikator:
   .
   Wir suchen die Ableitung mithilfe der kürzlich erlernten Formel:

   Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!!“ (ungefähr ein Grad mit negativem Exponenten)

2. . Nun der Exponent:

   Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion daran. Das ist es, was „strebt“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Finden wir zunächst die Ableitung in Gesamtansicht, und ersetzen Sie dann seinen Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches Power-Funktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Großartig, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen noch nicht, wie man solche Derivate findet. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht zu weit gehen, schauen wir es uns gleich an Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller und natürlicher Logarithmus- Funktionen sind im Hinblick auf Ableitungen einzigartig einfach. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

1. an einem Punkt;
2. an einem Punkt;
3. an einem Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da dies lineare Funktion, erinnern?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dafür werden wir verwenden einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht mehr aufgeschrieben werden kann in einfacher Form. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen von Exponential- und logarithmische Funktionen erscheinen fast nie im Einheitlichen Staatsexamen, aber es würde nicht schaden, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

1. Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus auch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (wir geben die Schokolade in eine mit Umschlag und Schleife in der Aktentasche). Aber es besteht kein Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Nach vorläufiger Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsverschachtelungen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen für manche kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird leiden), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts VERSTEHEN Sie Ihre Investitionen. Im Zweifelsfall erinnere ich Sie an eine nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert von „x“ und versuchen (mental oder in einem Entwurf), diesen Wert durch den „schrecklichen Ausdruck“ zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, was bedeutet, dass die Summe die tiefste Einbettung ist.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Würfeln Sie dann den Kosinus:

5) Im fünften Schritt der Unterschied:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Formel zur Differenzierung einer komplexen Funktion werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Es scheint fehlerfrei zu sein:

1) Bilden Sie die Ableitung der Quadratwurzel.

2) Bilden Sie die Ableitung der Differenz mithilfe der Regel

3) Die Ableitung eines Tripels ist Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).

4) Bilden Sie die Ableitung des Kosinus.

6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Einbettung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden die ganze Schönheit und Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie in einer Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob ein Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt, oder nicht.

Das folgende Beispiel können Sie selbst lösen.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitätsregeln und die Produktdifferenzierungsregel an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kleinerem und Schönerem überzugehen.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Beispiel nicht das Produkt von zwei, sondern von drei Funktionen zeigt. Wie finde ich die Ableitung des Produkts aus drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns zunächst an: Ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in das Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Im betrachteten Beispiel sind jedoch alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig der Reihe nach Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick besteht darin, dass wir mit „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: und mit „ve“ den Logarithmus: . Warum ist das möglich? Ist das wirklich - Das ist kein Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:

Sie können sich auch verdrehen und etwas aus Klammern setzen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort genau in dieser Form zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.

Das betrachtete Beispiel lässt sich auf die zweite Art lösen:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung; im Beispiel wird sie mit der ersten Methode gelöst.

Lassen Sie uns überlegen ähnliche Beispiele mit Brüchen.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere Möglichkeiten, hierher zu gelangen:

Oder so:

Die Lösung wird jedoch kompakter geschrieben, wenn wir zunächst die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , wobei für den gesamten Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn man es so belässt, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, anhand eines Entwurfs zu prüfen, ob die Antwort vereinfacht werden kann?

Reduzieren wir den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und beseitigen wir die dreistöckige Struktur des Bruchs:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht bei der Ermittlung der Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Methoden zur Ermittlung der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem der „schreckliche“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Folgt man der Definition, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion Δ j zum Argumentinkrement Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, diese Formel zu verwenden, um beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass wir aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterscheiden können. Es ist relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in der Tabelle aufgeführt sind. Solche Funktionen sind – zusammen mit ihren Ableitungen – recht einfach zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Zu den Elementarfunktionen zählen alle nachfolgend aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(X) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Potenz mit rationalem Exponenten	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = Sünde X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	−Sünde X(minus Sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Natürlicher Logarithmus	F(X) = log X	1/X
Beliebiger Logarithmus	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Exponentialfunktion	F(X) = e X	e X(nichts hat sich geändert)

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Selbstverständlich lassen sich Elementarfunktionen addieren, multiplizieren, dividieren – und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr besonders elementar, sondern nach bestimmten Regeln differenziert. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Die Funktionen seien gegeben F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + Sünde x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2 + Sünde X)’ = (X 2)’ + (Sünde X)’ = 2X+ cos x;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antwort:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat des Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen">entspricht dem Produkt von Ableitungen. Aber scheiß drauf! Die Ableitung eines Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist das Produkt zweier Elementarfunktionen, also ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)‘ weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− Sünde X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Faktor ist etwas komplizierter, aber allgemeines Schema das ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Faktor der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)‘ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antwort:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht erforderlich, die meisten Ableitungen werden jedoch nicht allein berechnet, sondern zur Untersuchung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen bestimmt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck faktorisieren zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der Menge, die uns interessiert, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eines der meisten komplexe Formeln- Ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es zu studieren konkrete Beispiele.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Zähler und Nenner jedes Bruchs enthalten Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Der Tradition zufolge faktorisieren wir den Zähler – das wird die Antwort erheblich vereinfachen:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2 + ln X. Es klappt F(X) = Sünde ( X 2 + ln X) – das ist eine komplexe Funktion. Es gibt auch eine Ableitung, die jedoch mit den oben besprochenen Regeln nicht gefunden werden kann.

Was soll ich machen? In solchen Fällen hilft das Ersetzen einer Variablen und einer Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären detaillierte Beschreibung jeder Schritt.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2 + ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb machen wir einen Ersatz: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen nach der Ableitung einer komplexen Funktion mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Wir führen den umgekehrten Ersatz durch: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Offensichtlich muss es ersetzt werden X 2 + ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (Sünde T)’ · T’ = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2 + ln X. Dann:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das gesamte Problem auf die Berechnung der Ableitungssumme reduziert.

Antwort:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil ( X 2 + ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Primzahl“. Zum Beispiel eine Primzahl aus dem Betrag gleich der Summe Schlaganfälle. Ist das klarer? Das ist gut.

Bei der Berechnung der Ableitung kommt es also darauf an, dieselben Striche gemäß den oben besprochenen Regeln zu entfernen. Als letztes Beispiel kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige Menschen in der Rolle N kann durchaus handeln eine Bruchzahl. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5. Was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas Ausgefallenes befindet? Auch hier wird das Ergebnis eine komplexe Funktion sein – solche Konstruktionen gibt man gerne an Tests Ach ja, und Prüfungen.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt machen wir einen Ersatz: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)‘ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Machen wir die umgekehrte Ersetzung: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln:

Und der Satz über die Ableitung einer komplexen Funktion, dessen Formulierung wie folgt lautet:

Angenommen, 1) die Funktion $u=\varphi (x)$ hat irgendwann $x_0$ die Ableitung $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) die Funktion $y=f(u)$ habe am entsprechenden Punkt $u_0=\varphi (x_0)$ die Ableitung $y_(u)"=f"(u)$. Dann hat die komplexe Funktion $y=f\left(\varphi (x) \right)$ am genannten Punkt auch eine Ableitung gleich dem Produkt der Ableitungen der Funktionen $f(u)$ und $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

oder, in kürzerer Schreibweise: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

In den Beispielen in diesem Abschnitt haben alle Funktionen die Form $y=f(x)$ (d. h. wir betrachten nur Funktionen einer Variablen $x$). Dementsprechend wird in allen Beispielen die Ableitung $y"$ in Bezug auf die Variable $x$ gebildet. Um zu betonen, dass die Ableitung in Bezug auf die Variable $x$ gebildet wird, wird oft $y"_x$ anstelle von $y geschrieben „$.

Die Beispiele Nr. 1, Nr. 2 und Nr. 3 beschreiben den detaillierten Prozess zum Ermitteln der Ableitung komplexer Funktionen. Beispiel Nr. 4 ist für ein umfassenderes Verständnis der Ableitungstabelle gedacht und es ist sinnvoll, sich damit vertraut zu machen.

Es ist ratsam, nach dem Studium des Materials in den Beispielen Nr. 1-3 fortzufahren unabhängige Entscheidung Beispiele Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7. Beispiele Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 enthalten kurze Lösung damit der Leser die Richtigkeit seines Ergebnisses überprüfen kann.

Beispiel Nr. 1

Finden Sie die Ableitung der Funktion $y=e^(\cos x)$.

Wir müssen die Ableitung einer komplexen Funktion $y"$ finden. Da $y=e^(\cos x)$, dann $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Zu Um die Ableitung $ \left(e^(\cos x)\right)"$ zu finden, verwenden wir Formel Nr. 6 aus der Ableitungstabelle. Um Formel Nr. 6 verwenden zu können, müssen wir berücksichtigen, dass in unserem Fall $u=\cos x$. Die weitere Lösung besteht darin, einfach den Ausdruck $\cos x$ anstelle von $u$ in Formel Nr. 6 einzusetzen:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Jetzt müssen wir den Wert des Ausdrucks $(\cos x)"$ finden. Wir wenden uns wieder der Tabelle der Ableitungen zu und wählen daraus Formel Nr. 10 aus. Wenn wir $u=x$ in Formel Nr. 10 einsetzen, erhalten wir : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Nun setzen wir die Gleichung (1.1) fort und ergänzen sie mit dem gefundenen Ergebnis:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Da $x"=1$, setzen wir die Gleichung (1.2) fort:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Aus Gleichung (1.3) gilt also: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Natürlich werden Erklärungen und Zwischengleichungen normalerweise übersprungen und die Feststellung der Ableitung in einer Zeile niedergeschrieben. wie in der Gleichheit ( 1.3) Damit ist die Ableitung einer komplexen Funktion gefunden, es bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben.

Antwort: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Beispiel Nr. 2

Finden Sie die Ableitung der Funktion $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Wir müssen die Ableitung $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ berechnen. Zunächst stellen wir fest, dass die Konstante (also die Zahl 9) aus dem Ableitungszeichen entnommen werden kann:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Wenden wir uns nun dem Ausdruck $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ zu. Um die Auswahl der gewünschten Formel aus der Ableitungstabelle zu erleichtern, stelle ich den Ausdruck vor in Frage in dieser Form: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nun ist klar, dass die Formel Nr. 2 verwendet werden muss, d.h. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Setzen wir $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ und $\alpha=12$ in diese Formel ein:

Wenn wir Gleichung (2.1) mit dem erhaltenen Ergebnis ergänzen, erhalten wir:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

In dieser Situation wird häufig ein Fehler gemacht, wenn der Löser im ersten Schritt die Formel $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ anstelle der Formel wählt $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Der Punkt ist, dass die Ableitung der externen Funktion an erster Stelle stehen muss. Um zu verstehen, welche Funktion außerhalb des Ausdrucks $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ liegt, stellen Sie sich vor, dass Sie den Wert des Ausdrucks $\arctg^(12)(4\cdot 5^) berechnen x)$ bei einem bestimmten Wert $x$. Zuerst berechnen Sie den Wert von $5^x$, multiplizieren dann das Ergebnis mit 4 und erhalten $4\cdot 5^x$. Nun nehmen wir aus diesem Ergebnis den Arkustangens und erhalten $\arctg(4\cdot 5^x)$. Dann erhöhen wir die resultierende Zahl auf die zwölfte Potenz und erhalten $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Die letzte Aktion, d.h. Die Potenzierung mit 12 wird eine externe Funktion sein. Und von hier aus müssen wir beginnen, die Ableitung zu finden, was in Gleichung (2.2) durchgeführt wurde.

Jetzt müssen wir $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ finden. Wir verwenden Formel Nr. 19 der Ableitungstabelle und ersetzen darin $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Vereinfachen wir den resultierenden Ausdruck ein wenig und berücksichtigen dabei $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Gleichheit (2.2) wird nun zu:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Es bleibt noch $(4\cdot \ln x)"$ zu finden. Nehmen wir die Konstante (d. h. 4) aus dem Ableitungszeichen: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Um $(\ln x)"$ zu finden, verwenden wir Formel Nr. 8 und setzen darin $u=x$ ein: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x „$. Da $x"=1$, dann $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Wenn wir das erhaltene Ergebnis in Formel (2.3) einsetzen, erhalten wir:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Ableitung einer komplexen Funktion am häufigsten in einer Zeile steht, wie in der letzten Gleichung beschrieben. Daher ist es bei der Erstellung von Standardberechnungen oder Kontrollarbeiten überhaupt nicht erforderlich, die Lösung so detailliert zu beschreiben.

Antwort: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie $y"$ der Funktion $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Lassen Sie uns zunächst die Funktion $y$ leicht transformieren und die Wurzel (Wurzel) als Potenz ausdrücken: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Beginnen wir nun mit der Suche nach der Ableitung. Da $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, dann:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Lassen Sie uns Formel Nr. 2 aus der Ableitungstabelle verwenden und darin $u=\sin(5\cdot 9^x)$ und $\alpha=\frac(3)(7)$ einsetzen:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Setzen wir die Gleichung (3.1) mit dem erhaltenen Ergebnis fort:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Jetzt müssen wir $(\sin(5\cdot 9^x))"$ finden. Dazu verwenden wir Formel Nr. 9 aus der Ableitungstabelle und setzen darin $u=5\cdot 9^x$ ein:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Nachdem wir Gleichung (3.2) mit dem erhaltenen Ergebnis ergänzt haben, haben wir:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Es bleibt noch $(5\cdot 9^x)"$ zu finden. Nehmen wir zunächst die Konstante (die Zahl $5$) außerhalb des Ableitungszeichens, d. h. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Um die Ableitung $(9^x)"$ zu finden, wenden Sie Formel Nr. 5 der Ableitungstabelle an und setzen Sie darin $a=9$ und $u=x$ ein: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Da $x"=1$, dann $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Jetzt können wir die Gleichung (3.3) fortsetzen:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Wir können wieder von Potenzen zu Radikalen (d. h. Wurzeln) zurückkehren und $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ in der Form $\ schreiben frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Dann wird die Ableitung in dieser Form geschrieben:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Antwort: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Beispiel Nr. 4

Zeigen Sie, dass die Formeln Nr. 3 und Nr. 4 der Ableitungstabelle ein Sonderfall der Formel Nr. 2 dieser Tabelle sind.

Formel Nr. 2 der Ableitungstabelle enthält die Ableitung der Funktion $u^\alpha$. Wenn wir $\alpha=-1$ in Formel Nr. 2 einsetzen, erhalten wir:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Da $u^(-1)=\frac(1)(u)$ und $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ ist, kann Gleichung (4.1) wie folgt umgeschrieben werden: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Dies ist Formel Nr. 3 der Ableitungstabelle.

Wenden wir uns noch einmal der Formel Nr. 2 der Ableitungstabelle zu. Ersetzen wir $\alpha=\frac(1)(2)$ darin:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Da $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ und $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, dann kann Gleichheit (4.2) wie folgt umgeschrieben werden:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Die resultierende Gleichung $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ist Formel Nr. 4 der Ableitungstabelle. Wie Sie sehen, werden die Formeln Nr. 3 und Nr. 4 der Ableitungstabelle aus Formel Nr. 2 durch Einsetzen des entsprechenden $\alpha$-Werts erhalten.