X Durchschnitt. Arten von Leistungsdurchschnitten. Fallstricke im Zusammenhang mit deskriptiver Statistik

In der Statistik werden verschiedene Arten von Durchschnittswerten verwendet, die in zwei große Klassen unterteilt werden:

Leistungsmittel (harmonisches Mittel, geometrisches Mittel, arithmetisches Mittel, quadratisches Mittel, kubisches Mittel);

Strukturelle Mittel (Modus, Median).

Berechnen Leistungsdurchschnitte Es ist notwendig, alle verfügbaren Kennwerte zu verwenden. Mode Und Median werden nur durch die Struktur der Verteilung bestimmt und werden daher strukturelle Positionsmittelwerte genannt. Der Medianwert und der Modus werden häufig als Durchschnittsmerkmal in den Populationen verwendet, in denen die Berechnung des Potenzmittelwerts unmöglich oder unpraktisch ist.

Die gebräuchlichste Art des Durchschnitts ist das arithmetische Mittel. Unter arithmetisches Mittel Unter einer Eigenschaft versteht man den Wert eines Merkmals, den jede Einheit der Grundgesamtheit hätte, wenn die Gesamtsumme aller Werte des Merkmals gleichmäßig auf alle Einheiten der Grundgesamtheit verteilt wäre. Die Berechnung dieses Wertes besteht darin, alle Werte des variierenden Merkmals zu summieren und den resultierenden Betrag durch die Gesamtzahl der Einheiten in der Grundgesamtheit zu dividieren. Zum Beispiel erfüllten fünf Arbeiter einen Auftrag zur Herstellung von Teilen, während der erste 5 Teile herstellte, der zweite – 7, der dritte – 4, der vierte – 10, der fünfte – 12. Da in den Quelldaten der Wert jedes einzelnen angegeben ist Option kam nur einmal vor, um festzustellen

Um die durchschnittliche Leistung eines Arbeiters zu ermitteln, sollte man die einfache arithmetische Durchschnittsformel anwenden:

d.h. in unserem Beispiel ist die durchschnittliche Leistung eines Arbeiters gleich

Zusammen mit dem einfachen arithmetischen Mittel lernen sie gewichteter arithmetischer Durchschnitt. Berechnen wir zum Beispiel Durchschnittsalter Studenten in einer Gruppe von 20 Personen, deren Alter zwischen 18 und 22 Jahren liegt, wobei xi– Varianten des Merkmals werden gemittelt, fi– Häufigkeit, die angibt, wie oft es auftritt i-th Gesamtwert (Tabelle 5.1).

Tabelle 5.1

Durchschnittsalter der Studierenden

Wenn wir die Formel für das gewichtete arithmetische Mittel anwenden, erhalten wir:

Für die Wahl eines gewichteten arithmetischen Mittels gibt es eine bestimmte Regel: Wenn eine Reihe von Daten zu zwei Indikatoren vorliegt, müssen Sie für einen davon berechnen

der Durchschnittswert und gleichzeitig die Zahlenwerte des Nenners seiner logischen Formel sind bekannt, und die Werte des Zählers sind unbekannt, können aber dann als Produkt dieser Indikatoren gefunden werden Durchschnittswert sollte anhand der gewichteten arithmetischen Mittelformel berechnet werden.

In einigen Fällen ist die Art der anfänglichen statistischen Daten so, dass die Berechnung des arithmetischen Durchschnitts ihre Bedeutung verliert und der einzige verallgemeinernde Indikator nur ein anderer Typ von Durchschnittswert sein kann – harmonische Mittel. Derzeit haben die rechnerischen Eigenschaften des arithmetischen Mittels aufgrund der weit verbreiteten Einführung elektronischer Rechentechnik ihre Relevanz für die Berechnung allgemeiner statistischer Indikatoren verloren. Große praktische Bedeutung hat der harmonische Mittelwert erlangt, der auch einfach und gewichtet sein kann. Wenn die Zahlenwerte des Zählers einer logischen Formel bekannt sind und die Werte des Nenners unbekannt sind, aber als Teildivision eines Indikators durch einen anderen gefunden werden können, wird der Durchschnittswert anhand der Harmonischen berechnet Formel für den gewichteten Durchschnitt.

Geben Sie beispielsweise an, dass das Auto die ersten 210 km mit einer Geschwindigkeit von 70 km/h und die restlichen 150 km mit einer Geschwindigkeit von 75 km/h zurückgelegt hat. Es ist unmöglich, die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Autos über die gesamte Fahrt von 360 km mit der arithmetischen Durchschnittsformel zu ermitteln. Da die Optionen Geschwindigkeiten in einzelnen Abschnitten sind xj= 70 km/h und X2= 75 km/h, und die Gewichte (fi) werden als entsprechende Streckenabschnitte betrachtet, dann haben die Produkte der Optionen und der Gewichte weder physikalische noch wirtschaftliche Bedeutung. Die Bedeutung der Quotienten ergibt sich in diesem Fall aus der Einteilung der Wegabschnitte in die entsprechenden Geschwindigkeiten (Optionen xi), also der Zeit, die für das Durchlaufen einzelner Wegabschnitte aufgewendet wird (fi / xi). Wenn die Abschnitte des Pfads mit fi bezeichnet werden, wird der gesamte Pfad als?fi ausgedrückt, und die auf dem gesamten Pfad verbrachte Zeit wird als?fi ausgedrückt. fi / xi , Dann ergibt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit als Quotient aus der gesamten Wegstrecke dividiert durch die insgesamt aufgewendete Zeit:

In unserem Beispiel erhalten wir:

Wenn bei Verwendung des harmonischen Mittels die Gewichte aller Optionen (f) gleich sind, können Sie anstelle des gewichteten Mittels verwenden einfaches (ungewichtetes) harmonisches Mittel:

wobei xi individuelle Optionen sind; N– Anzahl der Varianten des gemittelten Merkmals. Im Geschwindigkeitsbeispiel könnte ein einfacher harmonischer Mittelwert angewendet werden, wenn die mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten zurückgelegten Wegsegmente gleich wären.

Jeder Durchschnittswert muss so berechnet werden, dass sich der Wert eines endgültigen, allgemeinen Indikators, der dem gemittelten Indikator zugeordnet ist, nicht ändert, wenn er jede Variante des gemittelten Merkmals ersetzt. Wenn also die tatsächlichen Geschwindigkeiten auf einzelnen Streckenabschnitten durch deren Durchschnittswerte ersetzt werden ( Durchschnittsgeschwindigkeit) sollte sich die Gesamtstrecke nicht ändern.

Die Form (Formel) des Durchschnittswerts wird durch die Art (Mechanismus) der Beziehung dieses endgültigen Indikators zum gemittelten Indikator bestimmt, daher ist der endgültige Indikator, dessen Wert sich beim Ersetzen von Optionen durch ihren Durchschnittswert nicht ändern sollte angerufen definierender Indikator. Um die Formel für den Durchschnitt abzuleiten, müssen Sie eine Gleichung erstellen und lösen, die die Beziehung zwischen dem gemittelten Indikator und dem bestimmenden Indikator verwendet. Diese Gleichung wird erstellt, indem die Varianten des gemittelten Merkmals (Indikators) durch ihren Durchschnittswert ersetzt werden.

Neben dem arithmetischen Mittel und dem harmonischen Mittel werden in der Statistik auch andere Arten (Formen) des Mittelwerts verwendet. Es sind alles Sonderfälle Leistungsdurchschnitt. Wenn wir alle Arten von Leistungsdurchschnitten für dieselben Daten berechnen, dann sind die Werte

es wird sich herausstellen, dass sie gleich sind, hier gilt die Regel Hauptsatz Durchschnitt. Mit zunehmendem Exponenten des Durchschnitts steigt auch der Durchschnittswert selbst. Die in der praktischen Forschung am häufigsten verwendeten Berechnungsformeln verschiedene Arten Leistungsdurchschnittswerte sind in der Tabelle dargestellt. 5.2.

Tabelle 5.2

Arten von Machtmitteln

Wenn vorhanden, wird das geometrische Mittel verwendet N Wachstumskoeffizienten, während die Einzelwerte des Merkmals in der Regel relative Dynamikwerte sind, die in Form von Kettenwerten im Verhältnis zur vorherigen Stufe jeder Stufe in der Dynamikreihe aufgebaut sind. Der Durchschnitt charakterisiert somit durchschnittlicher Koeffizient Wachstum. Durchschnittlich geometrisch einfach nach der Formel berechnet

Formel gewichtetes geometrisches Mittel hat die folgende Form:

Die obigen Formeln sind identisch, aber eine wird bei aktuellen Koeffizienten oder Wachstumsraten angewendet und die zweite bei absolute Werte Serienebenen.

Quadratischer Mittelwert Wird bei Berechnungen mit den Werten quadratischer Funktionen verwendet, misst den Grad der Schwankung einzelner Werte eines Merkmals um das arithmetische Mittel in der Verteilungsreihe und wird nach der Formel berechnet

Gewichteter mittlerer Quadratwert berechnet nach einer anderen Formel:

Durchschnittlicher Kubikmeter wird beim Rechnen mit Werten kubischer Funktionen verwendet und nach der Formel berechnet

durchschnittliches Kubikgewicht:

Alle oben besprochenen Durchschnittswerte können als allgemeine Formel dargestellt werden:

wo ist der Durchschnittswert; – individuelle Bedeutung; N– Anzahl der untersuchten Bevölkerungseinheiten; k– Exponent, der die Art des Durchschnitts bestimmt.

Bei Verwendung derselben Quelldaten umso mehr k V allgemeine Formel Je höher der Leistungsdurchschnitt, desto größer ist der Durchschnittswert. Daraus folgt, dass zwischen den Werten der Leistungsmittelwerte ein natürlicher Zusammenhang besteht:

Die oben beschriebenen Durchschnittswerte geben einen allgemeinen Überblick über die untersuchte Bevölkerung und unter diesem Gesichtspunkt ist ihre theoretische, angewandte und pädagogische Bedeutung unbestreitbar. Es kommt jedoch vor, dass der Durchschnittswert mit keiner der tatsächlich vorhandenen Optionen übereinstimmt. Daher empfiehlt es sich, in der statistischen Analyse zusätzlich zu den betrachteten Durchschnittswerten die Werte bestimmter Optionen zu verwenden, die eine ganz bestimmte Position in der geordnete (geordnete) Reihe von Attributwerten. Unter diesen Größen sind die am häufigsten verwendeten strukturelle, oder beschreibend, durchschnittlich– Modus (Mo) und Median (Me).

Mode– der Wert eines Merkmals, das in einer bestimmten Population am häufigsten vorkommt. Bezogen auf eine Variationsreihe ist der Modus der am häufigsten vorkommende Wert der Rangreihe, also die Option mit der höchsten Häufigkeit. Mithilfe von Mode lässt sich ermitteln, welche Geschäfte häufiger besucht werden und welche Preise am häufigsten für ein Produkt gelten. Sie zeigt die Größe eines Merkmals an, das für einen erheblichen Teil der Bevölkerung charakteristisch ist, und wird durch die Formel bestimmt

wobei x0 die untere Grenze des Intervalls ist; H– Intervallgröße; fm– Intervallfrequenz; fm_ 1 – Häufigkeit des vorherigen Intervalls; fm+ 1 – Häufigkeit des nächsten Intervalls.

Median Die Option in der Mitte der Rangfolge wird aufgerufen. Der Median teilt die Reihe so in zwei gleiche Teile, dass sich auf beiden Seiten gleich viele Bevölkerungseinheiten befinden. In diesem Fall hat eine Hälfte der Einheiten in der Grundgesamtheit einen Wert des variierenden Merkmals, der kleiner als der Median ist, während die andere Hälfte einen Wert hat, der größer als dieser ist. Der Median wird verwendet, wenn ein Element untersucht wird, dessen Wert größer oder gleich oder gleichzeitig kleiner oder gleich der Hälfte der Elemente einer Verteilungsreihe ist. Der Median ergibt Grund Idee darüber, wo die Werte des Attributs konzentriert sind, also wo ihr Zentrum liegt.

Der beschreibende Charakter des Medians zeigt sich darin, dass er die quantitative Grenze der Werte eines variierenden Merkmals charakterisiert, das die Hälfte der Einheiten der Grundgesamtheit besitzt. Das Problem, den Median für eine diskrete Variationsreihe zu finden, lässt sich leicht lösen. Wenn alle Einheiten der Reihe angegeben sind Seriennummer, dann ist die Ordnungszahl der Medianoption definiert als (n +1) / 2 mit einer ungeraden Anzahl von Termen n. Wenn die Anzahl der Mitglieder der Reihe eine gerade Zahl ist, ist der Median der Durchschnittswert von zwei Optionen mit Ordnungszahlen N/ 2 und N/ 2 + 1.

Bei der Bestimmung des Medians in Intervallvariationsreihen wird zunächst das Intervall ermittelt, in dem er liegt (Medianintervall). Dieses Intervall zeichnet sich dadurch aus, dass seine kumulierte Summe der Häufigkeiten gleich oder größer als die Hälfte der Summe aller Häufigkeiten der Reihe ist. Der Median einer Intervallvariationsreihe wird mit der Formel berechnet

Wo X0– untere Grenze des Intervalls; H– Intervallgröße; fm– Intervallfrequenz; F– Anzahl der Mitglieder der Serie;

M -1 – die Summe der akkumulierten Terme der Reihe, die der gegebenen Reihe vorausgeht.

Zusammen mit dem Median für mehr volle Eigenschaften Die Strukturen der untersuchten Bevölkerung verwenden auch andere Werte von Optionen, die eine ganz bestimmte Position in der Rangliste einnehmen. Diese beinhalten Quartile Und Dezile. Quartile teilen die Reihe entsprechend der Summe der Häufigkeiten in 4 gleiche Teile und Dezile in 10 gleiche Teile. Es gibt drei Quartile und neun Dezile.

Der Median und der Modus beseitigen im Gegensatz zum arithmetischen Mittel keine individuellen Unterschiede in den Werten eines variablen Merkmals und sind daher zusätzliche und sehr wichtige Merkmale der statistischen Grundgesamtheit. In der Praxis werden sie häufig anstelle des Durchschnitts oder zusammen mit diesem verwendet. Die Berechnung des Medians und Modus empfiehlt sich insbesondere dann, wenn die untersuchte Grundgesamtheit eine bestimmte Anzahl von Einheiten mit einem sehr großen oder sehr kleinen Wert des variierenden Merkmals enthält. Diese Werte der Optionen, die für die Bevölkerung nicht sehr charakteristisch sind, beeinflussen zwar den Wert des arithmetischen Mittels, haben jedoch keinen Einfluss auf die Werte des Medians und des Modus, was letztere zu sehr wertvollen Indikatoren für wirtschaftliche und statistische Zwecke macht Analyse.

Das Thema Arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel ist im Mathematikprogramm der Klassen 6-7 enthalten. Da der Absatz recht einfach zu verstehen ist, ist er schnell und am Ende fertig Schuljahr Schulkinder vergessen ihn. Dafür sind jedoch Kenntnisse in grundlegenden Statistiken erforderlich Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens sowie für internationale SAT-Prüfungen. Ja und dafür Alltagsleben entwickelt Analytisches Denken tut nie weh.

So berechnen Sie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel von Zahlen

Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 11, 4 und 3. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Zahlen geteilt durch die Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, im Fall der Zahlen 11, 4, 3 lautet die Antwort 6. Wie kommt man auf 6?

Lösung: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Der Nenner muss eine Zahl enthalten, die der Anzahl der Zahlen entspricht, deren Durchschnitt ermittelt werden muss. Die Summe ist durch 3 teilbar, da es drei Terme gibt.

Jetzt müssen wir das geometrische Mittel ermitteln. Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 4, 2 und 8.

Das geometrische Mittel der Zahlen ist das Produkt aller gegebenen Zahlen, das sich unter der Wurzel befindet, mit einer Potenz gleich der Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, im Fall der Zahlen 4, 2 und 8 lautet die Antwort 4. So geht's es stellte sich heraus:

Lösung: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Bei beiden Varianten erhielten wir ganze Antworten, da als Beispiel Sonderzahlen herangezogen wurden. Dies geschieht nicht immer. In den meisten Fällen muss die Antwort gerundet oder an der Wurzel belassen werden. Für die Zahlen 11, 7 und 20 beträgt beispielsweise das arithmetische Mittel ≈ 12,67 und das geometrische Mittel ∛1540. Und für die Zahlen 6 und 5 lauten die Antworten 5,5 bzw. √30.

Kann es passieren, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?

Natürlich kann es. Aber nur in zwei Fällen. Wenn es eine Zahlenreihe gibt, die nur aus Einsen oder Nullen besteht. Bemerkenswert ist auch, dass die Antwort nicht von ihrer Anzahl abhängt.

Beweis mit Einheiten: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (arithmetisches Mittel).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrisches Mittel).

Beweis mit Nullen: (0 + 0) / 2=0 (arithmetisches Mittel).

√(0 × 0) = 0 (geometrisches Mittel).

Es gibt keine andere Möglichkeit und kann es auch nicht sein.

Angenommen, Sie müssen die durchschnittliche Anzahl der Tage ermitteln, die verschiedene Mitarbeiter für die Erledigung von Aufgaben benötigen. Oder Sie möchten in einem Zeitintervall von 10 Jahren die Durchschnittstemperatur an einem bestimmten Tag berechnen. Den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen auf verschiedene Arten berechnen.

Der Mittelwert ist eine Funktion des Maßes der zentralen Tendenz, bei dem sich der Mittelpunkt einer Zahlenreihe in einer statistischen Verteilung befindet. Drei sind die häufigsten Kriterien der zentralen Tendenz.

Durchschnitt Das arithmetische Mittel wird berechnet, indem eine Reihe von Zahlen addiert und dann durch die Anzahl dieser Zahlen dividiert wird. Beispielsweise ist der Durchschnitt von 2, 3, 3, 5, 7 und 10 30 geteilt durch 6,5;

Median Die durchschnittliche Zahl einer Zahlenreihe. Die Hälfte der Zahlen hat Werte, die größer als der Median sind, und die Hälfte der Zahlen hat Werte, die kleiner als der Median sind. Beispielsweise beträgt der Median von 2, 3, 3, 5, 7 und 10 4.

Modus Die häufigste Zahl in einer Zahlengruppe. Zum Beispiel Modus 2, 3, 3, 5, 7 und 10 – 3.

Diese drei Maße der zentralen Tendenz, die symmetrische Verteilung einer Zahlenreihe, sind gleich. Bei einer asymmetrischen Verteilung mehrerer Zahlen können diese unterschiedlich sein.

Berechnen Sie den Durchschnitt der Zellen, die in derselben Zeile oder Spalte aneinandergrenzen

Folge diesen Schritten:

Berechnen des Durchschnitts zufälliger Zellen

Um diese Aufgabe auszuführen, verwenden Sie die Funktion DURCHSCHNITT. Kopieren Sie die folgende Tabelle auf ein leeres Blatt Papier.

Berechnung des gewichteten Durchschnitts

SUMMENPRODUKT Und Beträge. vIn diesem Beispiel wird der durchschnittlich gezahlte Stückpreis für drei Käufe berechnet, wobei jeder Kauf für eine unterschiedliche Anzahl von Einheiten zu unterschiedlichen Stückpreisen erfolgt.

Kopieren Sie die folgende Tabelle auf ein leeres Blatt Papier.

Berechnen des Durchschnitts von Zahlen, ohne Nullwerte

Um diese Aufgabe auszuführen, verwenden Sie die Funktionen DURCHSCHNITT Und Wenn. Kopieren Sie die Tabelle unten und denken Sie daran, dass Sie sie in diesem Beispiel zum besseren Verständnis auf ein leeres Blatt Papier kopieren.

Das arithmetische Mittel ist ein statistischer Indikator, der den Durchschnittswert eines bestimmten Datenfelds angibt. Dieser Indikator wird als Bruch berechnet, dessen Zähler die Summe aller Werte im Array ist und dessen Nenner ihre Zahl ist. Das arithmetische Mittel ist ein wichtiger Koeffizient, der in alltäglichen Berechnungen verwendet wird.

Die Bedeutung des Koeffizienten

Das arithmetische Mittel ist ein elementarer Indikator, um Daten zu vergleichen und einen akzeptablen Wert zu ermitteln. Beispielsweise verkaufen verschiedene Geschäfte eine Dose Bier eines bestimmten Herstellers. Aber in einem Geschäft kostet es 67 Rubel, in einem anderen 70 Rubel, in einem dritten 65 Rubel und im letzten 62 Rubel. Es gibt eine recht große Preisspanne, daher wird der Käufer an den durchschnittlichen Kosten der Dose interessiert sein, damit er beim Kauf eines Produkts seine Kosten vergleichen kann. Der durchschnittliche Preis für eine Dose Bier in der Stadt beträgt:

Durchschnittspreis = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 Rubel.

Wenn Sie den Durchschnittspreis kennen, können Sie leicht feststellen, wo sich der Kauf eines Produkts lohnt und wo Sie zu viel bezahlen müssen.

Das arithmetische Mittel wird in statistischen Berechnungen ständig verwendet, wenn ein homogener Datensatz analysiert wird. Im obigen Beispiel ist dies der Preis einer Dose Bier derselben Marke. Allerdings können wir den Preis von Bier verschiedener Hersteller oder die Preise von Bier und Limonade nicht vergleichen, da in diesem Fall die Streuung der Werte größer ist, der Durchschnittspreis unscharf und unzuverlässig ist und die eigentliche Bedeutung der Berechnungen verloren geht bis zur Karikatur verzerrt werden.“ Durchschnittstemperatur rund um das Krankenhaus. Zur Berechnung heterogener Datensätze wird ein gewichtetes arithmetisches Mittel verwendet, wobei jeder Wert einen eigenen Gewichtungskoeffizienten erhält.

Berechnung des arithmetischen Mittels

Die Berechnungsformel ist denkbar einfach:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

Dabei ist an der Wert der Menge und n die Gesamtzahl der Werte.

Wofür kann dieser Indikator verwendet werden? Die erste und offensichtliche Verwendung findet sich in der Statistik. Fast jede statistische Studie verwendet das arithmetische Mittel. Dabei kann es sich um das durchschnittliche Heiratsalter in Russland, die durchschnittliche Fachnote eines Schulkindes oder die durchschnittlichen Ausgaben für Lebensmittel pro Tag handeln. Wie oben erwähnt, kann die Berechnung von Durchschnittswerten ohne Berücksichtigung von Gewichten zu seltsamen oder absurden Werten führen.

Zum Beispiel der Präsident Russische Föderation gab eine Erklärung ab, dass laut Statistik das Durchschnittsgehalt eines Russen 27.000 Rubel beträgt. Für die meisten Einwohner Russlands schien diese Gehaltshöhe absurd. Es ist nicht verwunderlich, wenn wir bei der Berechnung einerseits die Einkommen von Oligarchen, Chefs von Industrieunternehmen, Großbankiers und andererseits die Gehälter von Lehrern, Reinigungskräften und Verkäufern berücksichtigen. Sogar die durchschnittlichen Gehälter in einem Fachgebiet, beispielsweise Buchhalter, werden in Moskau, Kostroma und Jekaterinburg gravierende Unterschiede aufweisen.

So berechnen Sie Durchschnittswerte für heterogene Daten

Bei der Gehaltsabrechnung ist es wichtig, die Gewichtung jedes Werts zu berücksichtigen. Das bedeutet, dass die Gehälter von Oligarchen und Bankern beispielsweise eine Gewichtung von 0,00001 und die Gehälter von Verkäufern eine Gewichtung von 0,12 erhalten würden. Dies sind Zahlen aus heiterem Himmel, aber sie veranschaulichen grob die Verbreitung von Oligarchen und Verkäufern in der russischen Gesellschaft.

Um den Durchschnitt von Durchschnittswerten oder Durchschnittswerten in einem heterogenen Datensatz zu berechnen, ist es daher erforderlich, den arithmetisch gewichteten Durchschnitt zu verwenden. Ansonsten erhalten Sie in Russland ein durchschnittliches Gehalt von 27.000 Rubel. Wenn Sie Ihre wissen wollen durchschnittliche Bewertung B. in Mathematik oder die durchschnittliche Anzahl der vom ausgewählten Eishockeyspieler erzielten Tore, dann ist der arithmetische Durchschnittsrechner genau das Richtige für Sie.

Unser Programm ist ein einfacher und komfortabler Rechner zur Berechnung des arithmetischen Durchschnitts. Um die Berechnungen durchzuführen, müssen Sie lediglich die Parameterwerte eingeben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an

Berechnung der durchschnittlichen Punktzahl

Viele Lehrer verwenden die arithmetische Durchschnittsmethode, um die Jahresnote für ein Fach zu ermitteln. Stellen wir uns vor, dass das Kind in Mathematik die folgenden Viertelnoten erhalten hat: 3, 3, 5, 4. Welche Jahresnote wird ihm der Lehrer geben? Lassen Sie uns einen Taschenrechner verwenden und das arithmetische Mittel berechnen. Wählen Sie zunächst die entsprechende Anzahl an Feldern aus und geben Sie die Bewertungswerte in die angezeigten Zellen ein:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Der Lehrer rundet den Wert zugunsten des Schülers auf und der Schüler erhält für das Jahr ein solides B.

Berechnung der verzehrten Süßigkeiten

Lassen Sie uns einige der Absurditäten des arithmetischen Durchschnitts veranschaulichen. Stellen wir uns vor, Mascha und Wowa hätten 10 Bonbons gehabt. Mascha aß 8 Bonbons und Wowa nur 2. Wie viele Bonbons aß jedes Kind im Durchschnitt? Mit einem Taschenrechner lässt sich leicht berechnen, dass Kinder im Durchschnitt 5 Süßigkeiten gegessen haben, was völlig falsch ist und gesunder Menschenverstand. Dieses Beispiel zeigt, dass das arithmetische Mittel für aussagekräftige Datensätze wichtig ist.

Abschluss

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist in vielen wissenschaftlichen Bereichen weit verbreitet. Dieser Indikator ist nicht nur in statistischen Berechnungen beliebt, sondern auch in der Physik, Mechanik, Wirtschaft, Medizin oder Finanzen. Nutzen Sie unsere Rechner als Assistenten zur Lösung von Aufgaben rund um die Berechnung des arithmetischen Mittels.

In Mathematik und Statistik Durchschnitt Rechnen (oder einfach Durchschnitt) einer Zahlenmenge ist die Summe aller Zahlen dieser Menge dividiert durch ihre Anzahl. Das arithmetische Mittel ist eine besonders universelle und gebräuchlichste Darstellung eines Durchschnitts.

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• Kenntnisse in Mathematik.

Anweisungen

1. Gegeben sei eine Menge von vier Zahlen. Muss entdeckt werden Durchschnitt Bedeutung dieses Kit. Dazu ermitteln wir zunächst die Summe aller dieser Zahlen. Mögliche Zahlen sind 1, 3, 8, 7. Ihre Summe ist S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Die Zahlenmenge muss aus Zahlen gleichen Vorzeichens bestehen, sonst verliert die Berechnung des Durchschnittswerts ihren Sinn.

2. Durchschnitt Bedeutung Die Zahlenmenge ist gleich der Summe der Zahlen S dividiert durch die Anzahl dieser Zahlen. Das heißt, es stellt sich heraus Durchschnitt Bedeutung entspricht: 19/4 = 4,75.

3. Für eine Reihe von Zahlen ist es auch möglich, nicht nur zu erkennen Durchschnitt Arithmetik, aber auch Durchschnitt geometrisch. Das geometrische Mittel mehrerer regulärer reeller Zahlen ist eine Zahl, die jede dieser Zahlen ersetzen kann, sodass sich ihr Produkt nicht ändert. Der geometrische Mittelwert G wird mithilfe der Formel ermittelt: N-te Wurzel des Produkts einer Menge von Zahlen, wobei N die Zahl in der Menge ist. Schauen wir uns die gleichen Zahlen an: 1, 3, 8, 7. Finden wir sie Durchschnitt geometrisch. Berechnen wir dazu das Produkt: 1*3*8*7 = 168. Nun müssen Sie aus der Zahl 168 die 4. Wurzel ziehen: G = (168)^1/4 = 3,61. Auf diese Weise Durchschnitt die geometrische Zahlenmenge ist 3,61.

Durchschnitt Das geometrische Mittel wird im Allgemeinen seltener verwendet als das arithmetische Mittel, kann jedoch bei der Berechnung des Durchschnittswerts von Indikatoren, die sich im Laufe der Zeit ändern, nützlich sein ( Lohn einzelner Mitarbeiter, Dynamik akademischer Leistungsindikatoren usw.).

Du wirst brauchen

• Technischer Rechner

Anweisungen

1. Um den Durchschnitt zu finden geometrische Reihe Zahlen, zuerst müssen Sie alle diese Zahlen multiplizieren. Nehmen wir an, Sie erhalten einen Satz von fünf Indikatoren: 12, 3, 6, 9 und 4. Multiplizieren wir alle diese Zahlen: 12x3x6x9x4=7776.

2. Aus der resultierenden Zahl müssen Sie nun die Wurzel einer Potenz ziehen, die der Anzahl der Elemente der Reihe entspricht. In unserem Fall muss aus der Zahl 7776 die fünfte Wurzel mit einem technischen Taschenrechner gezogen werden. Die nach dieser Operation erhaltene Zahl – in diesem Fall die Zahl 6 – ist das geometrische Mittel für die anfängliche Zahlengruppe.

3. Wenn Sie keinen technischen Rechner zur Hand haben, können Sie den geometrischen Mittelwert einer Zahlenreihe mit der SRGEOM-Funktion in Excel oder mit einem der Online-Rechner berechnen, die speziell für die Berechnung geometrischer Mittelwerte entwickelt wurden.

Beachten Sie!
Wenn Sie jeweils das geometrische Mittel zweier Zahlen ermitteln müssen, benötigen Sie keinen technischen Taschenrechner: Extrahieren Sie die 2. Wurzel ( Quadratwurzel) aus einer beliebigen Zahl ist mit dem gängigsten Taschenrechner zulässig.

Hilfreicher Rat
Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird das geometrische Mittel nicht so stark von großen Abweichungen und Schwankungen zwischen einzelnen Werten im untersuchten Indikatorensatz beeinflusst.

Durchschnitt Der Wert ist eine der Zusammenstellungen einer Reihe von Zahlen. Stellt eine Zahl dar, die nicht außerhalb des durch das größte und festgelegten Bereichs liegen darf niedrigsten Werte in dieser Zahlenmenge. Durchschnitt Der arithmetische Wert ist eine besonders häufig verwendete Art des Durchschnitts.

Anweisungen

1. Addieren Sie alle Zahlen in der Menge und dividieren Sie sie durch die Anzahl der Terme, um das arithmetische Mittel zu erhalten. Abhängig von bestimmten Berechnungsbedingungen ist es manchmal einfacher, jede der Zahlen durch die Anzahl der Werte in der Menge zu dividieren und die Summe zu summieren.

2. Verwenden Sie beispielsweise den im Windows-Betriebssystem enthaltenen Taschenrechner, wenn die Berechnung des arithmetischen Mittels im Kopf nicht möglich ist. Sie können es mit Unterstützung über den Programmstartdialog öffnen. Drücken Sie dazu die „Hotkeys“ WIN + R oder klicken Sie auf die Schaltfläche „Start“ und wählen Sie im Hauptmenü den Befehl „Ausführen“. Geben Sie anschließend calc in das Eingabefeld ein und drücken Sie die Eingabetaste auf Ihrer Tastatur oder klicken Sie auf die Schaltfläche „OK“. Dasselbe kann über das Hauptmenü erfolgen: Öffnen Sie es, gehen Sie zum Abschnitt „Alle Programme“ und zu den Segmenten „Typisch“ und wählen Sie die Zeile „Rechner“.

3. Geben Sie alle Zahlen des Satzes Schritt für Schritt ein, indem Sie nach allen Zahlen (außer der letzten) die Plus-Taste auf der Tastatur drücken oder indem Sie auf die entsprechende Schaltfläche in der Rechneroberfläche klicken. Sie können Zahlen auch über die Tastatur oder durch Klicken auf die entsprechenden Schnittstellenschaltflächen eingeben.

4. Drücken Sie die Schrägstrichtaste oder klicken Sie auf dieses Symbol in der Rechneroberfläche, nachdem Sie den letzten Wert des Satzes eingegeben haben, und geben Sie die Anzahl der Zahlen in der Folge ein. Drücken Sie anschließend das Gleichheitszeichen und der Rechner berechnet das arithmetische Mittel und zeigt es an.

5. Für denselben Zweck ist die Verwendung eines Tabelleneditors zulässig. Microsoft Excel. Starten Sie in diesem Fall den Editor und geben Sie alle Werte der Zahlenfolge in die angrenzenden Zellen ein. Wenn Sie nach Eingabe der gesamten Zahl die Eingabetaste oder die Abwärts- oder Rechtspfeiltaste drücken, verschiebt der Editor selbst den Eingabefokus auf die angrenzende Zelle.

6. Wählen Sie alle eingegebenen Werte aus und in der unteren linken Ecke des Editorfensters (in der Statusleiste) sehen Sie den arithmetischen Mittelwert für die ausgewählten Zellen.

7. Klicken Sie auf die Zelle neben der zuletzt eingegebenen Zahl, wenn Sie nur den Durchschnitt sehen möchten. Erweitern Sie die Dropdown-Liste mit dem Bild des griechischen Buchstabens Sigma (Σ) in der Befehlsgruppe Bearbeiten auf der Registerkarte Haupt. Wählen Sie die Zeile „ Durchschnitt„Und der Editor fügt die erforderliche Formel zur Berechnung des Durchschnitts ein arithmetischer Wert in die ausgewählte Zelle. Drücken Sie die Eingabetaste und der Wert wird berechnet.

Das arithmetische Mittel ist eines der Maße der zentralen Neigung, das in der Mathematik und in statistischen Berechnungen weit verbreitet ist. Es ist sehr einfach, den arithmetischen Durchschnitt für mehrere Werte zu ermitteln, aber jedes Problem hat seine eigenen Nuancen, die Sie kennen müssen, um korrekte Berechnungen durchführen zu können.

Was ist ein arithmetisches Mittel?

Das arithmetische Mittel definiert den Durchschnittswert für jede anfängliche Zahlenreihe. Mit anderen Worten, aus einer bestimmten Menge von Zahlen wird ein für alle Elemente universeller Wert ausgewählt, dessen mathematischer Vergleich mit allen Elementen ungefähr gleich ist. Der arithmetische Durchschnitt wird vorzugsweise bei der Erstellung finanzieller und statistischer Berichte oder zur Berechnung der quantitativen Ergebnisse ähnlicher Fähigkeiten verwendet.

So ermitteln Sie das arithmetische Mittel

Um das arithmetische Mittel für eine Reihe von Zahlen zu ermitteln, sollte man zunächst die algebraische Summe dieser Werte bestimmen. Wenn das Array beispielsweise die Zahlen 23, 43, 10, 74 und 34 enthält, beträgt ihre algebraische Summe 184. Beim Schreiben wird das arithmetische Mittel durch den Buchstaben ? (mu) oder x (x mit einer Linie). Als nächstes sollte die algebraische Summe durch die Anzahl der Zahlen im Array geteilt werden. Im betrachteten Beispiel gab es fünf Zahlen, daher beträgt das arithmetische Mittel 184/5 und beträgt 36,8.

Merkmale der Arbeit mit negativen Zahlen

Wenn das Array negative Zahlen enthält, wird das arithmetische Mittel mit einem ähnlichen Algorithmus ermittelt. Der Unterschied besteht nur bei Berechnungen in der Programmierumgebung oder wenn das Problem zusätzliche Daten enthält. In diesen Fällen ist das Ermitteln des arithmetischen Mittels von Zahlen mit verschiedene Zeichen läuft auf drei Aktionen hinaus: 1. Ermitteln des universellen arithmetischen Mittels mit der Standardmethode;2. Ermitteln des arithmetischen Mittels negativer Zahlen.3. Berechnung des arithmetischen Mittels positiver Zahlen. Die Ergebnisse jeder Aktion werden durch Kommas getrennt geschrieben.

Natürliche und dezimale Brüche

Wenn ein Array von Zahlen dargestellt wird Dezimalzahlen, die Lösung erfolgt nach der Methode der Berechnung des arithmetischen Mittels ganzer Zahlen, die Reduktion der Summe erfolgt jedoch entsprechend den Anforderungen des Problems an die Genauigkeit des Ergebnisses. Bei der Arbeit mit natürlichen Brüchen sollten dies der Fall sein auf einen gemeinsamen Nenner reduziert, den man mit der Anzahl der Zahlen im Array multipliziert. Der Zähler des Ergebnisses ist die Summe der angegebenen Zähler der anfänglichen Bruchelemente.

Das geometrische Mittel der Zahlen hängt nicht nur vom Absolutwert der Zahlen selbst ab, sondern auch von ihrer Anzahl. Es ist unmöglich, das geometrische Mittel und den Mittelwert zu verwechseln Arithmetische Zahlen, aus der Tatsache, dass sie auf unterschiedlichen Methoden basieren. In diesem Fall ist das geometrische Mittel immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.

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• Technischer Rechner.

Anweisungen

1. Bedenken Sie, dass im allgemeinen Fall das geometrische Mittel der Zahlen ermittelt wird, indem diese Zahlen multipliziert und daraus die Wurzel der Potenz gezogen wird, die der Anzahl der Zahlen entspricht. Wenn Sie beispielsweise das geometrische Mittel von fünf Zahlen ermitteln müssen, müssen Sie die fünfte Wurzel aus dem Produkt ziehen.

2. Um das geometrische Mittel zweier Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie die Grundregel. Finden Sie ihr Produkt und ziehen Sie dann die Quadratwurzel aus der Zahl zwei, die dem Grad der Wurzel entspricht. Nehmen wir an, um das geometrische Mittel der Zahlen 16 und 4 zu ermitteln, ermitteln Sie deren Produkt 16 4 = 64. Ziehen Sie aus der resultierenden Zahl die Quadratwurzel?64=8. Dies wird der gewünschte Wert sein. Bitte beachten Sie, dass das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen größer und gleich 10 ist. Wenn die Wurzel nicht vollständig gezogen wird, runden Sie die Summe auf die erforderliche Reihenfolge.

3. Um das geometrische Mittel von mehr als 2 Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie ebenfalls die Grundregel. Ermitteln Sie dazu das Produkt aller Zahlen, für die Sie den geometrischen Mittelwert ermitteln müssen. Extrahieren Sie aus dem resultierenden Produkt die Wurzel der Potenz, die der Anzahl der Zahlen entspricht. Nehmen wir an, um das geometrische Mittel der Zahlen 2, 4 und 64 zu ermitteln, ermitteln Sie deren Produkt. 2 4 64=512. Da das Ergebnis des geometrischen Mittels von drei Zahlen ermittelt werden muss, ziehen Sie die dritte Wurzel aus dem Produkt. Es ist schwierig, dies verbal zu bewerkstelligen. Benutzen Sie daher einen Taschenrechner. Zu diesem Zweck gibt es einen Button „x^y“. Wählen Sie die Nummer 512, drücken Sie die Taste „x^y“, wählen Sie dann die Nummer 3 und drücken Sie die Taste „1/x“, um den Wert 1/3 zu finden, drücken Sie die Taste „=“. Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir 512 mit 1/3 potenzieren, was der dritten Wurzel entspricht. Erhalten Sie 512^1/3=8. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen 2,4 und 64.

4. Mit der Unterstützung eines technischen Rechners können Sie das geometrische Mittel mit einer anderen Methode ermitteln. Suchen Sie die Protokollschaltfläche auf Ihrer Tastatur. Anschließend logarithmieren Sie alle Zahlen, ermitteln deren Summe und dividieren sie durch die Anzahl der Zahlen. Bilden Sie aus der resultierenden Zahl den Antilogarithmus. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen. Nehmen wir an, um das geometrische Mittel der gleichen Zahlen 2, 4 und 64 zu ermitteln, führen Sie eine Reihe von Operationen auf dem Taschenrechner aus. Wählen Sie die Nummer 2, drücken Sie dann die Protokolltaste, drücken Sie die Taste „+“, wählen Sie die Nummer 4 und drücken Sie erneut Protokoll und „+“, wählen Sie 64, drücken Sie Protokoll und „=“. Das Ergebnis wird die Zahl sein gleich der Summe dezimale Logarithmen Zahlen 2, 4 und 64. Teilen Sie die resultierende Zahl durch 3, da dies die Anzahl der Zahlen ist, anhand derer das geometrische Mittel gesucht wird. Nehmen Sie aus der Summe den Antilogarithmus, indem Sie die Registertaste umschalten und dieselbe Logarithmustaste verwenden. Das Ergebnis ist die Zahl 8, das ist der gewünschte geometrische Mittelwert.

Beachten Sie!
Der Durchschnittswert kann nicht größer sein als der Höchstwert große Zahl enthalten und kleiner als das kleinste.

Hilfreicher Rat
IN mathematische Statistik Der Durchschnittswert einer Größe wird als mathematischer Erwartungswert bezeichnet.