Ich werde die Prüfungsprofilebene lösen. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik auf Grund- und Spezialniveau

ist eine Pflichtprüfung für Absolventen der 11. Klasse. Statistisch gesehen ist es das Schwierigste.

Wir empfehlen Ihnen, sich damit vertraut zu machen allgemeine Informationen Informieren Sie sich über die Prüfung und beginnen Sie sofort mit der Vorbereitung. Die Prüfung 2019 unterscheidet sich nicht vom Vorjahr – dies gilt sowohl für die Basis- als auch für die Spezialprüfung.

Grundniveau des Einheitlichen Staatsexamens

Diese Option ist für Absolventen in zwei Fällen geeignet, wenn:

1. Sie benötigen keine Mathematikkenntnisse, um an einer Universität zu studieren.
2. Sie beabsichtigen nicht, Ihr Studium nach dem Abschluss fortzusetzen.

Wenn Ihr gewähltes Fachgebiet ein Fachgebiet mit dem Fach „Mathematik“ hat, ist die Grundstufe nicht Ihre Option.

Grundlegende Prüfungsbewertung

Die Formel zur Umrechnung von Primärergebnissen in Testergebnisse wird jedes Jahr aktualisiert und wird nach der frühen Phase des Einheitlichen Staatsexamens bekannt. Es wurde bereits ein Dekret von Rosobrnadzor erlassen, das die Übereinstimmung der Grund- und Prüfungsergebnisse in allen Fächern für 2019 offiziell festlegt.

Um das grundlegende Einheitliche Staatsexamen in Mathematik mit mindestens der Note „C“ zu bestehen, müssen laut Verordnung 12 Hauptpunkte erreicht werden. Das ist gleichwertig korrekte Ausführung beliebige 12 Aufgaben. Die maximale Anfangspunktzahl beträgt 20.

Grundlegende Prüfungsstruktur

Der Mathematik-Grundtest 2019 besteht aus 20 kurzen Antwortfragen, bei denen es sich um eine ganze Zahl oder eine endliche Zahl handelt. Dezimal oder eine Folge von Zahlen. Die Antwort muss entweder berechnet oder eine der vorgeschlagenen Optionen ausgewählt werden.

Profilniveau des Einheitlichen Staatsexamens

Dieses Einheitliche Staatsexamen im Jahr 2019 unterscheidet sich nicht vom Einheitlichen Staatsexamen im letzten Jahr.

Es handelt sich um die Profilstufe, die Absolventen für die Zulassung zu Universitäten bestehen müssen, da in den allermeisten Fachrichtungen Mathematik als Hauptfach für die Zulassung angegeben ist.

Bewertung des Profiltests

Hier gibt es nichts Konkretes: Sie sammeln wie gewohnt Startpunkte, die dann in Testergebnisse umgewandelt werden. Und bereits anhand eines 100-Punkte-Systems können Sie die Note für die Prüfung ermitteln.

Für die Zulassung zur Prüfung genügt die Erreichung von 6 Hauptpunkten. Dazu müssen Sie mindestens 6 Aufgaben aus Teil 1 lösen. Die maximale Anfangspunktzahl beträgt 32.

Aufbau des Profiltests

Im Jahr 2019 besteht die Prüfung zum Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik auf Profilebene aus zwei Teilen mit 19 Aufgaben.

• Teil 1: 8 Aufgaben (1–8) im einfachen Schwierigkeitsgrad mit einer kurzen Antwort.
• Teil 2: 4 Aufgaben (9–12) höheres Level Schwierigkeitsgrad mit kurzer Antwort und 7 Aufgaben (13–19) mit erhöhtem und hohem Schwierigkeitsgrad mit ausführlicher Antwort.

Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen

• Passieren Unified State Exam-Tests kostenlos online ohne Registrierung und SMS. Die vorgestellten Prüfungen sind in Komplexität und Aufbau identisch mit den tatsächlichen Prüfungen der entsprechenden Jahre.

• Herunterladen Demoversionen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik, mit denen Sie sich besser auf die Prüfung vorbereiten und diese leichter bestehen können. Alle vorgeschlagenen Tests wurden vom Bundesinstitut für Pädagogische Messungen (FIPI) zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen entwickelt und genehmigt. Im selben FIPI sind alle offiziell Optionen für das einheitliche Staatsexamen.
• Kasse Mit grundlegenden Formeln zur Vorbereitung auf die Prüfung helfen sie dabei, Ihr Gedächtnis aufzufrischen, bevor Sie mit dem Absolvieren der Demo- und Testoptionen beginnen.

Die Aufgaben, die Sie höchstwahrscheinlich sehen werden, werden in der Prüfung nicht auftauchen, aber es wird Aufgaben geben, die den Demo-Aufgaben ähneln, zum gleichen Thema oder einfach mit unterschiedlichen Nummern.

Allgemeine Zahlen zum Einheitlichen Staatsexamen

Jahr	Minimum Ergebnis des Einheitlichen Staatsexamens	Durchschnittsnote	Zahl der Teilnehmer	Fehlgeschlagen, %	Menge< 100 Punkte	Dauer- Prüfungsdauer, min.
2009	21
2010	21	43,35	864 708	6,1	160	240
2011	24	47,49	738 746	4,9	205	240
2012	24	44,6	831 068	7,5	56	240
2013	24	48,7	803 741	6,2	538	240
2014	20	46,4				240
2015	27	45,4				235
2016	27					235
2017	27					235

Viele Bewerber machen sich Gedanken darüber, wie sie sich vor der Zulassung selbstständig die notwendigen Kenntnisse aneignen können, um Prüfungen erfolgreich zu bestehen. Im Jahr 2017 greifen sie oft auf das Internet zurück, um eine Lösung zu finden. Es gibt viele Lösungen, aber es dauert lange, die wirklich lohnenswerten zu finden. Glücklicherweise gibt es bekannte und bewährte Systeme. Eine davon ist, dass ich das Einheitliche Staatsexamen von Dmitry Gushchin lösen werde.

Das Bildungssystem von Dmitry Gushchin mit dem Titel „Lösung des Einheitlichen Staatsexamens“ beinhaltet eine umfassende Vorbereitung auf die bevorstehende Prüfung. Dmitry Gushchin hat das notwendige Wissen geschaffen und versucht, es kostenlos zur Verfügung zu stellen, damit die zukünftige Generation Prüfungen erfolgreich bestehen kann. Das System ist für das unabhängige Studium von Fächern konzipiert. Ich werde lösen, dass das Einheitliche Staatsexamen auf einer einheitlichen Präsentation von Informationen basiert, die nacheinander, Thema für Thema, in das Gehirn des Schülers passen.

Einheitliches Staatsexamen 2017 in Mathematik, Grundstufe

Dmitry Gushchin verpflichtet sich, bei Prüfungen wie der OGE und dem Einheitlichen Staatsexamen zu helfen, indem er eine sehr gängige Technik anwendet. Es liegt darin, dass alle neuen Erkenntnisse thematisch dargestellt und systematisiert werden. Der Schüler kann leicht auswählen, was er wiederholen muss, um den Stoff endgültig zu festigen.

Aufgaben sind für die Grund- und Fortgeschrittenenstufen verfügbar. Ein markantes Beispiel für solche Aufgaben ist die Mathematik. Die Hauptstufe (Grundstufe) umfasst den allgemeinen Schulwissensbestand. Es erfordert das Wissen, das sich jeder Schüler in 11 Jahren aneignet. Die Profilstufe richtet sich an Absolventen von Fachschulen mit Schwerpunkt auf einem bestimmten Fachgebiet.

Ein interessantes Merkmal des Systems ist seine Ähnlichkeit mit einer echten Prüfung. Im Falle einer Abschlussprüfung werden die Aufgaben im Unified State Exam-Format eingereicht. Der Schüler kann sein Endergebnis auch nach der Prüfung erfahren. Dies trägt dazu bei, eine Person zu motivieren, neue Ziele zu erreichen und neues Material zu lernen. Das Verständnis Ihrer tatsächlichen Chancen in der Prüfung hilft Ihnen, Ihre Gedanken zu sammeln und zu verstehen, was genau Sie lernen müssen.

Es werden unter anderem die beliebtesten Themen im Bereich „Lösen des Einheitlichen Staatsexamens“ angeboten. Die russische Sprache von Dmitry Gushchin umfasst Regeln der Grammatik, Zeichensetzung und Syntax sowie des Wortschatzes. Die Chemie enthält Beispiele zur Lösung spezifischer Probleme, spezielle Formeln. Außerdem umfasst der Abschnitt Chemie verschiedene Verbindungen und Konzepte zu chemischen Substanzen. Der Abschnitt Biologie deckt die Lebensaktivität aller Königreiche lebender Organismen ab. Es enthält wichtige Theorien, die Ihnen letztendlich dabei helfen, die Prüfung zu bestehen.

Die nächste Funktion besteht darin, dass Ihr Fortschritt aufgezeichnet wird und Sie Ihren Fortschritt verfolgen können. Dieser Ansatz hilft Ihnen, sich selbst zu motivieren, auch wenn Sie keine Lust mehr auf das Lernen haben. Ihre eigenen Ergebnisse zwingen Sie immer dazu, mehr zu tun.

Das System verfügt auch über Kriterien zur Bewertung der Arbeit. Sie sorgen für eine geplante und durchdachte Prüfungsvorbereitung. Der zukünftige Student wird sie jederzeit lesen und verstehen können, worauf der Prüfer achten wird. Dies ist wichtig, um bestimmten wichtigen Aspekten der Arbeit Aufmerksamkeit zu schenken. Im Allgemeinen ist sich der Student der Wichtigkeit seiner Wahl bewusst und erinnert sich an die Bewertungskriterien.

Der Videokurs „Get an A“ beinhaltet alle notwendigen Themen, um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik mit 60-65 Punkten erfolgreich zu bestehen. Vollständig alle Aufgaben 1-13 des Profileinheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Auch zum Bestehen der Grundprüfung in Mathematik geeignet. Wenn Sie das Einheitliche Staatsexamen mit 90-100 Punkten bestehen möchten, müssen Sie Teil 1 in 30 Minuten und ohne Fehler lösen!

Vorbereitungskurs für das Einheitliche Staatsexamen für die Klassen 10-11 sowie für Lehrer. Alles, was Sie zum Lösen von Teil 1 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (die ersten 12 Aufgaben) und Aufgabe 13 (Trigonometrie) benötigen. Und das sind mehr als 70 Punkte beim Einheitlichen Staatsexamen, auf die weder ein 100-Punkte-Student noch ein Geisteswissenschaftler verzichten können.

Die ganze nötige Theorie. Schnelle Lösungen, Fallstricke und Geheimnisse des Einheitlichen Staatsexamens. Alle aktuellen Aufgaben von Teil 1 aus der FIPI Task Bank wurden analysiert. Der Kurs entspricht vollständig den Anforderungen des Einheitlichen Staatsexamens 2018.

Der Kurs umfasst 5 große Themen zu je 2,5 Stunden. Jedes Thema wird von Grund auf einfach und klar vermittelt.

Hunderte von Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen. Textaufgaben und Wahrscheinlichkeitstheorie. Einfache und leicht zu merkende Algorithmen zur Lösung von Problemen. Geometrie. Theorie, Referenzmaterial, Analyse aller Arten von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens. Stereometrie. Knifflige Lösungen, nützliche Spickzettel, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Trigonometrie von Grund auf bis zum Problem 13. Verstehen statt pauken. Klare Erklärungen komplexer Konzepte. Algebra. Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Funktion und Ableitung. Eine Grundlage zur Lösung komplexer Probleme von Teil 2 des Einheitlichen Staatsexamens.

Sekundarschulbildung

Linie UMK G. K. Muravin. Algebra und Prinzipien der mathematischen Analysis (10-11) (ausführlich)

UMK Merzlyak-Linie. Algebra und Anfänge der Analysis (10-11) (U)

Mathematik

Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik (Profilebene): Aufgaben, Lösungen und Erklärungen

Wir analysieren Aufgaben und lösen Beispiele mit dem Lehrer

Die Prüfung auf Profilniveau dauert 3 Stunden 55 Minuten (235 Minuten).

Mindestschwelle- 27 Punkte.

Die Prüfungsarbeit besteht aus zwei Teilen, die sich in Inhalt, Komplexität und Anzahl der Aufgaben unterscheiden.

Das bestimmende Merkmal jedes Teils der Arbeit ist die Form der Aufgaben:

• Teil 1 enthält 8 Aufgaben (Aufgaben 1-8) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs;
• Teil 2 enthält 4 Aufgaben (Aufgaben 9–12) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs und 7 Aufgaben (Aufgaben 13–19) mit einer detaillierten Antwort (eine vollständige Aufzeichnung der Lösung mit Begründung für die Lösung). ergriffene Maßnahmen).

Panova Swetlana Anatolewna, Mathematiklehrer der höchsten Schulkategorie, Berufserfahrung 20 Jahre:

„Um einen Schulabschluss zu erhalten, muss ein Absolvent zwei Pflichtprüfungen in Form des Einheitlichen Staatsexamens bestehen, darunter Mathematik.“ Gemäß dem Konzept zur Entwicklung des Mathematikunterrichts in der Russischen Föderation ist das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik in zwei Stufen unterteilt: Grund- und Spezialprüfung. Heute werden wir uns die Optionen auf Profilebene ansehen.“

Aufgabe Nr. 1- testet die Fähigkeit der Teilnehmer des Einheitlichen Staatsexamens, die im Kurs der 5. bis 9. Klasse erworbenen Fähigkeiten in elementarer Mathematik in praktischen Aktivitäten anzuwenden. Der Teilnehmer muss über Rechenkenntnisse verfügen, mit rationalen Zahlen arbeiten, Dezimalzahlen runden und eine Maßeinheit in eine andere umrechnen können.

Beispiel 1. In der Wohnung, in der Peter wohnt, wurde ein Kaltwasserdurchflussmesser (Zähler) installiert. Am 1. Mai zeigte der Zähler einen Verbrauch von 172 Kubikmetern an. m Wasser und am ersten Juni - 177 Kubikmeter. m. Wie viel sollte Peter im Mai für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis 1 Kubikmeter beträgt? m kaltes Wasser sind 34 Rubel 17 Kopeken? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an.

Lösung:

1) Ermitteln Sie die pro Monat verbrauchte Wassermenge:

177 - 172 = 5 (Kubikmeter)

2) Finden wir heraus, wie viel Geld sie für verschwendetes Wasser bezahlen:

34,17 5 = 170,85 (Rubel)

Antwort: 170,85.

Aufgabe Nr. 2- ist eine der einfachsten Prüfungsaufgaben. Die Mehrheit der Absolventen meistert es erfolgreich, was auf Kenntnisse über die Definition des Funktionsbegriffs hinweist. Aufgabentyp Nr. 2 gemäß Anforderungskodifikator ist eine Aufgabe zur Anwendung erworbener Kenntnisse und Fähigkeiten in praktischen Tätigkeiten und Alltagsleben. Aufgabe Nr. 2 besteht darin, verschiedene reale Beziehungen zwischen Größen mithilfe von Funktionen zu beschreiben und ihre Diagramme zu interpretieren. Aufgabe Nr. 2 testet die Fähigkeit, in Tabellen, Diagrammen und Grafiken dargestellte Informationen zu extrahieren. Absolventen müssen in der Lage sein, den Wert einer Funktion aus dem Wert des Arguments auf verschiedene Arten zur Spezifikation der Funktion zu bestimmen und das Verhalten und die Eigenschaften der Funktion anhand ihres Graphen zu beschreiben. Sie müssen auch in der Lage sein, das Beste zu finden oder kleinster Wert und erstellen Sie Diagramme der untersuchten Funktionen. Fehler, die beim Lesen der Problembedingungen und beim Lesen des Diagramms gemacht werden, sind zufällig.

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Beispiel 2. Die Abbildung zeigt die Veränderung des Wechselkurses einer Aktie eines Bergbauunternehmens in der ersten Aprilhälfte 2017. Am 7. April kaufte der Geschäftsmann 1.000 Aktien dieses Unternehmens. Am 10. April verkaufte er drei Viertel der erworbenen Aktien und am 13. April alle restlichen Aktien. Wie viel hat der Geschäftsmann durch diese Operationen verloren?

Lösung:

2) 1000 · 3/4 = 750 (Aktien) – machen 3/4 aller gekauften Aktien aus.

6) 247500 + 77500 = 325000 (Rubel) – der Geschäftsmann erhielt nach dem Verkauf 1000 Aktien.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (Rubel) – der Geschäftsmann hat durch alle Operationen verloren.

Antwort: 15000.

Aufgabe Nr. 3- ist eine Aufgabe auf der Grundebene des ersten Teils, die die Fähigkeit testet, Aktionen auszuführen geometrische Formen zu den Inhalten der Lehrveranstaltung „Planimetrie“. Aufgabe 3 testet die Fähigkeit, die Fläche einer Figur auf kariertem Papier zu berechnen, die Fähigkeit, Gradmaße von Winkeln zu berechnen, Umfänge zu berechnen usw.

Beispiel 3. Ermitteln Sie die Fläche eines auf kariertem Papier gezeichneten Rechtecks ​​mit einer Zellengröße von 1 cm x 1 cm (siehe Abbildung). Geben Sie Ihre Antwort in Quadratzentimetern an.

Lösung: Um die Fläche einer bestimmten Figur zu berechnen, können Sie die Peak-Formel verwenden:

Um die Fläche eines gegebenen Rechtecks ​​zu berechnen, verwenden wir die Peak-Formel:

S= B +	G
	2

wo B = 10, G = 6, also

S = 18 +	6
	2

Antwort: 20.

Lesen Sie auch: Einheitliches Staatsexamen in Physik: Probleme zu Schwingungen lösen

Aufgabe Nr. 4- das Ziel des Kurses „Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“. Geprüft wird die Fähigkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in der einfachsten Situation zu berechnen.

Beispiel 4. Auf dem Kreis sind 5 rote und 1 blauer Punkt markiert. Bestimmen Sie, welche Polygone größer sind: diejenigen, bei denen alle Eckpunkte rot sind, oder diejenigen, bei denen einer der Eckpunkte blau ist. Geben Sie in Ihrer Antwort an, wie viele es von einigen mehr gibt als von anderen.

Lösung: 1) Verwenden wir die Formel für die Anzahl der Kombinationen von N Elemente von k:

deren Eckpunkte alle rot sind.

3) Ein Fünfeck mit allen Eckpunkten rot.

4) 10 + 5 + 1 = 16 Polygone mit allen roten Eckpunkten.

die rote Oberteile oder ein blaues Oberteil haben.

die rote Oberteile oder ein blaues Oberteil haben.

8) Ein Sechseck mit roten Eckpunkten und einem blauen Eckpunkt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 Polygone mit allen roten Eckpunkten oder einem blauen Eckpunkt.

10) 42 – 16 = 26 Polygone unter Verwendung des blauen Punktes.

11) 26 – 16 = 10 Polygone – wie viele Polygone mehr gibt es, bei denen einer der Eckpunkte ein blauer Punkt ist, als Polygone, bei denen alle Eckpunkte nur rot sind?

Antwort: 10.

Aufgabe Nr. 5- Die Grundstufe des ersten Teils prüft die Fähigkeit, einfache Gleichungen (irrationale, exponentielle, trigonometrische, logarithmische) zu lösen.

Beispiel 5. Lösen Sie Gleichung 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Lösung. Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichung durch 5 3 + X≠ 0, wir erhalten

2 3 + X	= 0,4 oder		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

woraus folgt, dass 3 + X = 1, X = –2.

Antwort: –2.

Aufgabe Nr. 6 in der Planimetrie, um geometrische Größen (Längen, Winkel, Flächen) zu finden und reale Situationen in der Sprache der Geometrie zu modellieren. Studium konstruierter Modelle unter Verwendung geometrischer Konzepte und Theoreme. Die Ursache von Schwierigkeiten liegt in der Regel in Unkenntnis oder falscher Anwendung der notwendigen Theoreme der Planimetrie.

Fläche eines Dreiecks ABC entspricht 129. DE– Mittellinie parallel zur Seite AB. Finden Sie die Fläche des Trapezes EIN BETT.

Lösung. Dreieck CDEähnlich einem Dreieck TAXI in zwei Winkeln, da der Winkel am Scheitelpunkt C allgemein, Winkel СDE gleich Winkel TAXI als die entsprechenden Winkel bei DE || AB Sekante A.C.. Als DE ist die Mittellinie eines Dreiecks nach der Bedingung, dann nach der Eigenschaft der Mittellinie | DE = (1/2)AB. Dies bedeutet, dass der Ähnlichkeitskoeffizient 0,5 beträgt. Die Flächen ähnlicher Figuren werden daher als Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten in Beziehung gesetzt

Somit, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Aufgabe Nr. 7- prüft die Anwendung der Ableitung auf das Studium einer Funktion. Eine erfolgreiche Umsetzung erfordert aussagekräftige, nicht formale Kenntnisse des Konzepts der Ableitung.

Beispiel 7. Zum Graphen der Funktion j = F(X) am Abszissenpunkt X 0 Es wird eine Tangente gezeichnet, die senkrecht zu der Linie steht, die durch die Punkte (4; 3) und (3; –1) dieses Diagramms verläuft. Finden F′( X 0).

Lösung. 1) Lassen Sie uns die Gleichung einer Geraden verwenden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, und die Gleichung einer Geraden finden, die durch die Punkte (4; 3) und (3; –1) verläuft.

(j – j 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(j 2 – j 1)

(j – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(j – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–j + 3 = –4X+ 16| · (-1)

j – 3 = 4X – 16

j = 4X– 13, wo k 1 = 4.

2) Finden Sie die Steigung der Tangente k 2, die senkrecht zur Linie steht j = 4X– 13, wo k 1 = 4, nach der Formel:

3) Der Tangentenwinkel ist die Ableitung der Funktion am Tangentialpunkt. Bedeutet, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Antwort: –0,25.

Aufgabe Nr. 8- testet die Kenntnisse der Prüfungsteilnehmer über elementare Stereometrie, die Fähigkeit, Formeln zur Ermittlung von Flächen und Volumina von Figuren, Diederwinkeln anzuwenden, die Volumina ähnlicher Figuren zu vergleichen, Aktionen mit geometrischen Figuren, Koordinaten und Vektoren usw. durchzuführen.

Das Volumen eines um eine Kugel umschriebenen Würfels beträgt 216. Finden Sie den Radius der Kugel.

Lösung. 1) V Würfel = A 3 (wo A– Länge der Würfelkante), also

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Da die Kugel in einen Würfel eingeschrieben ist, bedeutet dies, dass die Länge des Durchmessers der Kugel gleich der Länge der Kante des Würfels ist D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Aufgabe Nr. 9- erfordert vom Absolventen die Fähigkeit, algebraische Ausdrücke umzuwandeln und zu vereinfachen. Aufgabe Nr. 9 mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad und kurzer Antwort. Die Aufgaben aus dem Abschnitt „Berechnungen und Transformationen“ im Einheitlichen Staatsexamen sind in mehrere Typen unterteilt:

Transformation numerischer rationaler Ausdrücke;

Konvertieren algebraischer Ausdrücke und Brüche;

Konvertierung irrationaler Zahlen-/Buchstabenausdrücke;

Aktionen mit Grad;

Konvertieren logarithmischer Ausdrücke;

1. Konvertieren numerischer/buchstabiger trigonometrischer Ausdrücke.

Beispiel 9. Berechnen Sie tanα, wenn bekannt ist, dass cos2α = 0,6 und

3π	< α < π.
4

Lösung. 1) Lassen Sie uns die Doppelargumentformel verwenden: cos2α = 2 cos 2 α – 1 und finden

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Dies bedeutet tan 2 α = ± 0,5.

3) Nach Bedingung

3π	< α < π,
4

das bedeutet, dass α der Winkel des zweiten Viertels und tgα ist< 0, поэтому tgα = –0,5.

Antwort: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Aufgabe Nr. 10- testet die Fähigkeit der Studierenden, erworbene frühe Kenntnisse und Fähigkeiten in praktischen Aktivitäten und im Alltag anzuwenden. Wir können sagen, dass es sich um Probleme der Physik und nicht der Mathematik handelt, aber alle notwendigen Formeln und Größen sind in der Bedingung angegeben. Die Probleme laufen darauf hinaus, eine lineare oder quadratische Gleichung oder eine lineare oder quadratische Ungleichung zu lösen. Daher ist es notwendig, solche Gleichungen und Ungleichungen lösen und die Antwort bestimmen zu können. Die Antwort muss als ganze Zahl oder als endlicher Dezimalbruch angegeben werden.

Zwei Massenkörper M= jeweils 2 kg, Bewegung mit gleicher Geschwindigkeit v= 10 m/s im Winkel von 2α zueinander. Die Energie (in Joule), die bei ihrem absolut unelastischen Zusammenstoß freigesetzt wird, wird durch den Ausdruck bestimmt Q = mv 2 sin 2 α. In welchem ​​kleinsten Winkel 2α (in Grad) müssen sich die Körper bewegen, damit durch den Zusammenstoß mindestens 50 Joule freigesetzt werden?
Lösung. Um das Problem zu lösen, müssen wir die Ungleichung Q ≥ 50 im Intervall 2α ∈ (0°; 180°) lösen.

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Da α ∈ (0°; 90°) ist, lösen wir nur

Stellen wir die Lösung der Ungleichung grafisch dar:

Da nach der Bedingung α ∈ (0°; 90°) gilt, bedeutet dies 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Aufgabe Nr. 11- ist typisch, erweist sich jedoch für Studierende als schwierig. Die Hauptschwierigkeitsquelle ist die Konstruktion eines mathematischen Modells (Aufstellen einer Gleichung). Aufgabe Nr. 11 testet die Fähigkeit, Textaufgaben zu lösen.

Beispiel 11. Während der Frühlingsferien musste die Elftklässlerin Vasya 560 Übungsaufgaben lösen, um sich auf das Einheitliche Staatsexamen vorzubereiten. Am 18. März, am letzten Schultag, löste Vasya fünf Aufgaben. Dann löste er jeden Tag die gleiche Anzahl an Problemen mehr wie am Vortag. Bestimmen Sie, wie viele Probleme Vasya am 2. April, dem letzten Tag der Feiertage, gelöst hat.

Lösung: Bezeichnen wir A 1 = 5 – die Anzahl der Probleme, die Vasya am 18. März gelöst hat, D– tägliche Anzahl der von Vasya gelösten Aufgaben, N= 16 – Anzahl der Tage vom 18. März bis einschließlich 2. April, S 16 = 560 – Gesamtzahl der Aufgaben, A 16 – die Anzahl der Probleme, die Vasya am 2. April gelöst hat. Da wir wissen, dass Vasya jeden Tag die gleiche Anzahl an Problemen mehr gelöst hat als am Vortag, können wir Formeln verwenden, um die Summe zu ermitteln arithmetische Folge:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Antwort: 65.

Aufgabe Nr. 12- Sie testen die Fähigkeit der Schüler, Operationen mit Funktionen durchzuführen und die Ableitung auf das Studium einer Funktion anwenden zu können.

Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion j= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Lösung: 1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: X + 9 > 0, X> –9, also x ∈ (–9; ∞).

2) Finden Sie die Ableitung der Funktion:

4) Der gefundene Punkt gehört zum Intervall (–9; ∞). Bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung der Funktion und stellen wir das Verhalten der Funktion in der Abbildung dar:

Der gewünschte Maximalpunkt X = –8.

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Aufgabe Nr. 13-erhöhter Komplexitätsgrad mit detaillierter Antwort, Prüfung der Fähigkeit, Gleichungen zu lösen, die unter den Aufgaben mit detaillierter Antwort mit erhöhtem Komplexitätsgrad am erfolgreichsten gelöst werden.

a) Lösen Sie die Gleichung 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zum Segment gehören.

Lösung: a) Sei log 3 (2cos X) = T, dann 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

	log 3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ weil |cos X| ≤ 1,
	log 3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

dann weil X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Finden Sie die Wurzeln, die auf dem Segment liegen.

Die Abbildung zeigt, dass die Wurzeln des angegebenen Segments dazu gehören

11π	Und	13π	.
6		6

Antwort: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; B)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Aufgabe Nr. 14-Fortgeschrittenenstufe bezieht sich auf Aufgaben im zweiten Teil mit ausführlicher Antwort. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Punkte. Im ersten Punkt muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Punkt berechnet werden.

Der Durchmesser des Grundkreises des Zylinders beträgt 20, die Erzeugende des Zylinders beträgt 28. Die Ebene schneidet ihre Grundfläche entlang der Sehnen der Längen 12 und 16. Der Abstand zwischen den Sehnen beträgt 2√197.

a) Beweisen Sie, dass die Mittelpunkte der Grundflächen des Zylinders auf einer Seite dieser Ebene liegen.

b) Bestimmen Sie den Winkel zwischen dieser Ebene und der Ebene der Zylinderbasis.

Lösung: a) Eine Sehne der Länge 12 hat einen Abstand = 8 vom Mittelpunkt des Grundkreises, und eine Sehne der Länge 16 hat ebenfalls einen Abstand von 6. Daher ist der Abstand zwischen ihren Projektionen auf eine Ebene parallel zum Die Basen der Zylinder sind entweder 8 + 6 = 14 oder 8 − 6 = 2.

Dann ist der Abstand zwischen den Akkorden entweder

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Je nach Bedingung wurde der zweite Fall realisiert, bei dem die Projektionen der Sehnen auf einer Seite der Zylinderachse liegen. Dies bedeutet, dass die Achse diese Ebene innerhalb des Zylinders nicht schneidet, das heißt, die Basen liegen auf einer Seite davon. Was bewiesen werden musste.

b) Bezeichnen wir die Zentren der Basen als O 1 und O 2. Zeichnen wir von der Mitte der Basis mit einer Sehne der Länge 12 eine Mittelsenkrechte zu dieser Sehne (sie hat die Länge 8, wie bereits erwähnt) und von der Mitte der anderen Basis zur anderen Sehne. Sie liegen in derselben Ebene β, senkrecht zu diesen Sehnen. Nennen wir den Mittelpunkt der kleineren Sehne B, der größeren Sehne A und die Projektion von A auf die zweite Basis - H (H ∈ β). Dann sind AB,AH ∈ β und damit AB,AH senkrecht zur Sehne, also der Schnittgeraden der Grundfläche mit der gegebenen Ebene.

Dies bedeutet, dass der erforderliche Winkel gleich ist

∠ABH = arctan	AH.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Aufgabe Nr. 15- erhöhter Komplexitätsgrad mit detaillierter Antwort, testet die Fähigkeit zur Lösung von Ungleichungen, die bei Aufgaben mit detaillierter Antwort mit erhöhtem Komplexitätsgrad am erfolgreichsten gelöst wird.

Beispiel 15. Ungleichung lösen | X 2 – 3X| Protokoll 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Lösung: Der Definitionsbereich dieser Ungleichung ist das Intervall (–1; +∞). Betrachten Sie drei Fälle getrennt:

1) Lass X 2 – 3X= 0, d.h. X= 0 oder X= 3. In diesem Fall wird diese Ungleichung wahr, daher werden diese Werte in die Lösung einbezogen.

2) Lass es jetzt X 2 – 3X> 0, d.h. X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Darüber hinaus kann diese Ungleichung umgeschrieben werden als ( X 2 – 3X) Protokoll 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 und dividiere durch einen positiven Ausdruck X 2 – 3X. Wir erhalten log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 oder X≤ –0,5. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs haben wir X ∈ (–1; –0,5].

3) Abschließend überlegen Sie X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). In diesem Fall wird die ursprüngliche Ungleichung in die Form (3) umgeschrieben X – X 2) Protokoll 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Nach Division durch positiv 3 X – X 2 , wir erhalten log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Unter Berücksichtigung der Region haben wir X ∈ (0; 1].

Durch die Kombination der erhaltenen Lösungen erhalten wir X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Antwort: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Aufgabe Nr. 16- Fortgeschrittenenstufe bezieht sich auf Aufgaben im zweiten Teil mit ausführlicher Antwort. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen, Koordinaten und Vektoren auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Punkte. Im ersten Punkt muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Punkt berechnet werden.

IN gleichschenkligen Dreiecks ABC mit einem Winkel von 120° am Scheitelpunkt A wird eine Winkelhalbierende BD gezeichnet. Das Rechteck DEFH ist in das Dreieck ABC eingeschrieben, sodass die Seite FH auf dem Segment BC und der Scheitelpunkt E auf dem Segment AB liegt. a) Beweisen Sie, dass FH = 2DH. b) Finden Sie die Fläche des Rechtecks ​​DEFH, wenn AB = 4.

Lösung: A)

1) ΔBEF – rechteckig, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, dann EF = BE aufgrund der Eigenschaft des Schenkels, der dem Winkel von 30° gegenüberliegt.

2) Sei EF = DH = X, dann BE = 2 X, BF = X√3 nach dem Satz des Pythagoras.

3) Da ΔABC gleichschenklig ist, bedeutet dies ∠B = ∠C = 30˚.

BD ist die Winkelhalbierende von ∠B, was ∠ABD = ∠DBC = 15˚ bedeutet.

4) Betrachten Sie ΔDBH – rechteckig, weil DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Antwort: 24 – 12√3.

Aufgabe Nr. 17- eine Aufgabe mit einer detaillierten Antwort, diese Aufgabe testet die Anwendung von Wissen und Fähigkeiten in praktischen Aktivitäten und im Alltag, die Fähigkeit, mathematische Modelle zu erstellen und zu erforschen. Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Textaufgabe mit wirtschaftlichem Inhalt.

Beispiel 17. Die Eröffnung eines Depots in Höhe von 20 Millionen Rubel ist für vier Jahre geplant. Am Ende eines jeden Jahres erhöht die Bank die Einlage um 10 % im Vergleich zur Höhe zu Jahresbeginn. Darüber hinaus füllt der Anleger zu Beginn des dritten und vierten Jahres die Einlage jährlich um auf X Millionen Rubel, wo X - ganz Nummer. Finden Höchster Wert X, bei dem die Bank über einen Zeitraum von vier Jahren weniger als 17 Millionen Rubel auf die Einlage einzahlen wird.

Lösung: Am Ende des ersten Jahres beträgt der Beitrag 20 + 20 · 0,1 = 22 Millionen Rubel und am Ende des zweiten Jahres 22 + 22 · 0,1 = 24,2 Millionen Rubel. Zu Beginn des dritten Jahres beträgt der Beitrag (in Millionen Rubel) (24,2 + X) und am Ende - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Zu Beginn des vierten Jahres beträgt der Beitrag (26,62 + 2,1). X), und am Ende - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Gemäß der Bedingung müssen Sie die größte ganze Zahl x finden, für die die Ungleichung gilt

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Die größte ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 24.

Antwort: 24.

Aufgabe Nr. 18- eine Aufgabe mit erhöhtem Komplexitätsgrad und detaillierter Antwort. Diese Aufgabe ist für die kompetitive Auswahl an Hochschulen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung der Bewerber gedacht. Eine Aufgabe hoher Komplexität ist eine Aufgabe, die nicht auf der Verwendung einer Lösungsmethode, sondern auf einer Kombination verschiedener Methoden basiert. Um Aufgabe 18 erfolgreich abzuschließen, benötigen Sie neben soliden mathematischen Kenntnissen auch hohes Niveau mathematische Kultur.

Bei was A System der Ungleichheiten

	X 2 + j 2 ≤ 2ja – A 2 + 1
	j + A ≤ |X| – A

hat genau zwei Lösungen?

Lösung: Dieses System kann im Formular umgeschrieben werden

	X 2 + (j– A) 2 ≤ 1
	j ≤ |X| – A

Wenn wir auf der Ebene die Lösungsmenge der ersten Ungleichung zeichnen, erhalten wir das Innere eines Kreises (mit einer Grenze) vom Radius 1 und dem Mittelpunkt im Punkt (0, A). Die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung ist der Teil der Ebene, der unter dem Funktionsgraphen liegt j = | X| – A, und letzteres ist der Graph der Funktion
j = | X| , nach unten verschoben um A. Die Lösung dieses Systems ist der Schnittpunkt der Lösungsmengen für jede der Ungleichungen.

Folglich wird dieses System nur in dem in Abb. gezeigten Fall zwei Lösungen haben. 1.

Die Berührungspunkte des Kreises mit den Linien sind die beiden Lösungen des Systems. Jede der Geraden ist in einem Winkel von 45° zu den Achsen geneigt. Es ist also ein Dreieck PQR– rechteckige Gleichschenkel. Punkt Q hat Koordinaten (0, A) und der Punkt R– Koordinaten (0, – A). Darüber hinaus die Segmente PR Und PQ gleich dem Radius des Kreises gleich 1. Das bedeutet

Qr= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Antwort: A =	√2	.
	2

Aufgabe Nr. 19- eine Aufgabe mit erhöhtem Komplexitätsgrad und detaillierter Antwort. Diese Aufgabe ist für die kompetitive Auswahl an Hochschulen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung der Bewerber gedacht. Eine Aufgabe hoher Komplexität ist eine Aufgabe, die nicht auf der Verwendung einer Lösungsmethode, sondern auf einer Kombination verschiedener Methoden basiert. Um Aufgabe 19 erfolgreich abzuschließen, müssen Sie in der Lage sein, nach einer Lösung zu suchen, verschiedene Ansätze aus den bekannten auszuwählen und die untersuchten Methoden zu modifizieren.

Lassen Sn Summe P Terme einer arithmetischen Folge ( ein p). Es ist bekannt, dass S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Geben Sie die Formel an P Laufzeit dieser Progression.

b) Finden Sie die kleinste absolute Summe S n.

c) Finden Sie den kleinsten P, bei welchem S n wird das Quadrat einer ganzen Zahl sein.

Lösung: a) Das ist offensichtlich ein = S n – S n- 1 . Mit dieser Formel erhalten wir:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Bedeutet, ein = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) Seitdem S n = 2N 2 – 25N, dann betrachten Sie die Funktion S(X) = | 2X 2 – 25x|. Sein Diagramm ist in der Abbildung zu sehen.

Offensichtlich wird der kleinste Wert an den ganzzahligen Punkten erreicht, die den Nullstellen der Funktion am nächsten liegen. Offensichtlich sind das Punkte X= 1, X= 12 und X= 13. Da, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, dann ist der kleinste Wert 12.

c) Aus dem vorherigen Absatz folgt Folgendes Sn positiv, beginnend mit N= 13. Da S n = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), dann wird der offensichtliche Fall, wenn dieser Ausdruck ein perfektes Quadrat ist, realisiert, wenn N = 2N– 25, also um P= 25.

Es bleiben noch die Werte von 13 bis 25 zu überprüfen:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Es stellt sich heraus, dass dies bei kleineren Werten der Fall ist P Perfektes Viereck wird nicht erreicht.

Antwort: A) ein = 4N– 27; b) 12; c) 25.

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*Seit Mai 2017 ist die gemeinsame Verlagsgruppe „DROFA-VENTANA“ Teil des russischen Schulbuchkonzerns. Zum Konzern gehören außerdem der Astrel-Verlag und die digitale Bildungsplattform LECTA. Generaldirektor Alexander Brychkin, Absolvent der Finanzakademie der Regierung der Russischen Föderation, Kandidat Wirtschaftswissenschaften, Leiter innovativer Projekte des DROFA-Verlags im Bereich der digitalen Bildung (elektronische Formen von Lehrbüchern, Russische Elektronische Schule, digitale Bildungsplattform LECTA). Vor seinem Eintritt beim DROFA-Verlag war er Vizepräsident für strategische Entwicklung und Investitionen der Verlagsholding „EXMO-AST“. Heute verfügt der Verlag „Russisches Lehrbuch“ über das größte Portfolio an Lehrbüchern in der Bundesliste – 485 Titel (ca. 40 %, ohne Lehrbücher für Sonderschulen). Die Verlage des Unternehmens besitzen die beliebtesten Lehrbuchsätze an russischen Schulen in den Bereichen Physik, Zeichnen, Biologie, Chemie, Technologie, Geographie und Astronomie – Wissensbereiche, die für die Entwicklung des Produktionspotenzials des Landes benötigt werden. Das Portfolio des Unternehmens umfasst Lehrbücher und Lehrmittel Für Grundschule, ausgezeichnet mit dem Präsidentenpreis im Bereich Bildung. Dabei handelt es sich um Lehrbücher und Handbücher zu Fachgebieten, die für die Entwicklung des wissenschaftlichen, technischen und Produktionspotenzials Russlands notwendig sind.

Das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik ist eine der wichtigsten Prüfungen für Schulabsolventen vor dem Erwerb eines Zeugnisses und dem Eintritt in eine Hochschule. Diese Art der Wissenskontrolle dient der Bewertung des dabei erworbenen Wissens in Disziplinen Schulung. Das Einheitliche Staatsexamen findet in Form einer Prüfung statt; Aufgaben für die Abschlussprüfung werden von Rosobrnadzor und anderen autorisierten Stellen im Bildungsbereich vorbereitet. Die Bestehensnote im Fach Mathematik richtet sich nach den individuellen Anforderungen der Hochschule, an der man sich bewirbt.Absolvent. Die Prüfung mit hoher Punktzahl erfolgreich bestanden - Wichtiger Faktor Erfolg bei der Aufnahme.

Für die Zulassung zu technischen und wirtschaftlichen Universitäten ist Mathematik auf Profilniveau erforderlich. Grundlage der Prüfungsaufgaben ist die Grundstufe, ergänzt um komplexere Probleme und Beispiele. Es werden kurze und ausführliche Antworten erwartet:

• Die ersten Aufgaben erfordern keine vertieften Kenntnisse – es handelt sich um einen Test der Grundkenntnisse;
• Die nächsten 5 sind schwieriger und erfordern ein durchschnittliches bis hohes Maß an Beherrschung des Themas. Diese Aufgaben werden am Computer überprüft, da die Antwort kurz ist.

Für die letzten sieben Aufgaben sind lange Antworten erforderlich. Zur Überprüfung wird eine Expertengruppe zusammengestellt. Die Hauptsache ist, dass die Aufgaben, die in der Profilebene enthalten sind, trotz der Komplexität vollständig mit dem Lehrplan der Schule übereinstimmen. Warum könnten sie schwierig sein? Um diese Beispiele und Probleme erfolgreich zu lösen, ist nicht nur trockenes Wissen erforderlich, sondern auch die Fähigkeit, kreativ an eine Lösung heranzugehen und Wissen in einer nicht standardmäßigen Situation anzuwenden. Es ist die Formulierung, die die Schwierigkeit verursacht.

Wenn sich ein Student für dieses Niveau entscheidet, bedeutet dies, dass er den Wunsch hegt, das Studium der exakten Wissenschaften im Hochschulbereich fortzusetzen. Bildungseinrichtung. Die Entscheidung für eine Fachprüfung weist auch darauf hin, dass der Wissensstand des Studierenden recht hoch ist, d. h. eine grundlegende Vorbereitung ist nicht erforderlich.
Der Vorbereitungsprozess umfasst die Wiederholung der Hauptabschnitte und die Lösung von Problemen mit erhöhter Komplexität, die einen nicht standardmäßigen, kreativen Ansatz erfordern.

Zubereitungsmethoden

• Die Grundausbildung erfolgt in der Schule, wo der Schüler die Grundlagen erlernt, manchmal führt der Lehrer zusätzliche Wahlfächer für Absolventen durch. Die Hauptempfehlung besteht darin, alle Themen sorgfältig und gründlich zu beherrschen, insbesondere im Graduiertenstudium.
• Selbstständiges Arbeiten: Dies erfordert besondere Selbstdisziplin, Willen und Selbstbeherrschung. Sie müssen sorgfältig lesen . Das Problem liegt in der Richtung – nur ein Spezialist kann den zukünftigen Bewerber kompetent zu den Themen führen, die Aufmerksamkeit erfordern.
• Nachhilfe: Ein professioneller Spezialist hilft Ihnen, komplexe Aufgaben effektiv und schnell zu lösen.
• Kurse und Online-Lernen: eine moderne und bewährte Methode, die Zeit und Geld spart. Ein wichtiger Vorteil: Sie können Tests online absolvieren, schnell Antworten erhalten und an verschiedenen Aufgaben üben.

„Ich werde das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik auf Fachniveau lösen“ ist eine Möglichkeit, sich auf die Prüfung vorzubereiten und diese erfolgreich zu bestehen.