نحوه محاسبه میانگین حسابی محاسبه مقدار متوسط ​​با توجه به شرایط. رشد مطلق، رشد زنجیره ای و پایه و نرخ رشد

هر فرد در دنیای مدرنهنگام برنامه ریزی برای گرفتن وام یا ذخیره سبزیجات برای زمستان، به طور دوره ای با مفهومی به عنوان "ارزش متوسط" روبرو می شوید. بیایید دریابیم: چیست، چه انواع و کلاس هایی وجود دارد و چرا در آمار و سایر رشته ها استفاده می شود.

مقدار متوسط ​​- چیست؟

نام مشابه (SV) یک مشخصه تعمیم یافته مجموعه ای از پدیده های همگن است که توسط هر یک از مشخصه های متغیر کمی تعیین می شود.

با این حال، افرادی که از چنین تعاریف مبهم دور هستند، این مفهوم را به عنوان یک مقدار متوسط ​​از چیزی درک می کنند. به عنوان مثال، قبل از گرفتن وام، یک کارمند بانک قطعا از یک مشتری بالقوه می خواهد که داده هایی را در مورد میانگین درآمد سال ارائه دهد، یعنی کل مقدار پولی که یک فرد به دست می آورد. با جمع بندی درآمد کل سال و تقسیم بر تعداد ماه ها محاسبه می شود. بنابراین، بانک قادر خواهد بود تعیین کند که آیا مشتری خود می تواند بدهی خود را به موقع بازپرداخت کند یا خیر.

چرا استفاده می شود؟

به عنوان یک قاعده، مقادیر متوسط ​​به طور گسترده ای برای ارائه یک توصیف خلاصه از برخی پدیده های اجتماعی با ماهیت توده ای استفاده می شود. آنها همچنین می توانند برای محاسبات در مقیاس کوچکتر استفاده شوند، مانند مورد وام در مثال بالا.

با این حال، اغلب مقادیر متوسط ​​هنوز برای اهداف جهانی استفاده می شود. نمونه یکی از آنها محاسبه میزان برق مصرفی شهروندان در طول یک ماه تقویمی است. بر اساس داده های به دست آمده، بیشتر مشخص می شود حداکثر استانداردهابرای دسته هایی از جمعیتی که از مزایای دولت بهره مند هستند.

همچنین با استفاده از مقادیر متوسطدوره گارانتی برای عمر مفید برخی از لوازم خانگی، خودروها، ساختمان ها و غیره در حال توسعه است.بر اساس داده های جمع آوری شده از این طریق، زمانی استانداردهای مدرن کار و استراحت ایجاد شد.

تقریباً هر پدیده ای زندگی مدرن، که ماهیتی توده ای دارد، به هر نحوی لزوماً با مفهوم مورد بررسی مرتبط است.

زمینه های کاربردی

این پدیده تقریباً در تمام علوم دقیق، به ویژه علوم تجربی، کاربرد وسیعی دارد.

یافتن میانگین در پزشکی، مهندسی، آشپزی، اقتصاد، سیاست و غیره از اهمیت بالایی برخوردار است.

بر اساس داده های به دست آمده از چنین تعمیم ها، آنها داروهای درمانی، برنامه های آموزشی، ایجاد حداقل سطوح معیشتی و دستمزد، ساخت برنامه های آموزشی، تولید مبلمان، پوشاک و کفش، محصولات بهداشتی و بسیاری موارد دیگر.

در ریاضیات به این اصطلاح «مقدار متوسط» می گویند و برای حل مثال ها و مسائل مختلف به کار می رود. ساده ترین آنها جمع و تفریق با کسرهای معمولی است. از این گذشته ، همانطور که می دانید ، برای حل چنین مثال هایی لازم است هر دو کسر را به یک مخرج مشترک بیاوریم.

همچنین در ملکه علوم دقیق از اصطلاح "مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی" که از نظر معنی مشابه است، اغلب استفاده می شود. برای بیشتر افراد به عنوان «انتظار ریاضی» که بیشتر در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود، آشناتر است. شایان ذکر است که یک پدیده مشابه در هنگام انجام محاسبات آماری نیز اعمال می شود.

میانگین ارزش در آمار

با این حال، مفهوم مورد مطالعه اغلب در آمار استفاده می شود. همانطور که مشخص است، این علم خود در محاسبه و تجزیه و تحلیل ویژگی های کمی پدیده های اجتماعی توده ای تخصص دارد. بنابراین، مقدار متوسط ​​در آمار به عنوان یک روش تخصصی برای دستیابی به اهداف اصلی آن - جمع آوری و تجزیه و تحلیل اطلاعات استفاده می شود.

ماهیت این روش آماری جایگزینی مقادیر منحصر به فرد مشخصه مورد نظر با یک مقدار متوسط ​​متعادل معین است.

به عنوان مثال می توان به شوخی معروف غذایی اشاره کرد. بنابراین، در یک کارخانه معین سه شنبه ها برای ناهار، روسای آن معمولاً کاسه گوشت می خورند و کارگران عادی کلم خورشتی می خورند. بر اساس این داده‌ها، می‌توان نتیجه گرفت که کارکنان کارخانه به‌طور متوسط ​​سه‌شنبه‌ها با رول‌های کلم غذا می‌خورند.

اگرچه این مثال کمی اغراق آمیز است، اما اشکال اصلی روش جستجوی یک مقدار متوسط ​​را نشان می دهد - سطح کردن ویژگی های فردی اشیا یا شخصیت ها.

در مقادیر متوسط ​​از آنها نه تنها برای تجزیه و تحلیل اطلاعات جمع آوری شده، بلکه برای برنامه ریزی و پیش بینی اقدامات بعدی استفاده می شود.

همچنین برای ارزیابی نتایج به دست آمده (مثلا اجرای طرح کشت و برداشت گندم در فصل بهار و تابستان) استفاده می شود.

نحوه محاسبه صحیح

اگرچه بسته به نوع SV فرمول های مختلفی برای محاسبه آن وجود دارد، در نظریه عمومیآمار، به عنوان یک قاعده، تنها یک روش برای محاسبه مقدار متوسط ​​یک مشخصه استفاده می شود. برای انجام این کار ابتدا باید مقادیر همه پدیده ها را با هم جمع کنید و سپس مجموع حاصل را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

هنگام انجام چنین محاسباتی، شایان ذکر است که مقدار متوسط ​​همیشه همان بعد (یا واحدها) واحد فردی جمعیت را دارد.

شرایط محاسبه صحیح

فرمول مورد بحث در بالا بسیار ساده و جهانی است، بنابراین اشتباه کردن با آن تقریبا غیرممکن است. با این حال، همیشه ارزش در نظر گرفتن دو جنبه را دارد، در غیر این صورت داده های به دست آمده منعکس کننده وضعیت واقعی نیستند.

کلاس های SV

پس از یافتن پاسخ برای سؤالات اساسی: "مقدار متوسط ​​چقدر است؟"، "کجا استفاده می شود؟" و "چگونه می توانید آن را محاسبه کنید؟"، ارزش دارد که بدانید چه کلاس ها و انواع SV ها وجود دارد.

اول از همه، این پدیده به 2 کلاس تقسیم می شود. اینها میانگین های ساختاری و توانی هستند.

انواع SV های قدرت

هر یک از کلاس های فوق به نوبه خود به انواعی تقسیم می شوند. کلاس آرام بخش چهار دارد.

• میانگین حسابی رایج ترین نوع SV است. این عبارت میانگینی است که در تعیین حجم کل مشخصه مورد نظر در مجموعه ای از داده ها به طور مساوی بین همه واحدهای این مجموعه توزیع می شود.

  این نوع به زیرگروه تقسیم می شود: SV حسابی ساده و وزن دار.

• میانگین هارمونیک شاخصی است که معکوس میانگین حسابی ساده است که از مقادیر متقابل مشخصه مورد بررسی محاسبه می شود.

  در مواردی استفاده می شود که مقادیر فردی ویژگی و محصول مشخص باشد، اما داده های فرکانس مشخص نیست.

• میانگین هندسی اغلب هنگام تجزیه و تحلیل نرخ رشد استفاده می شود پدیده های اقتصادی. این امکان را فراهم می کند که محصول مقادیر فردی یک مقدار معین را بدون تغییر حفظ کنید و نه مجموع.

  همچنین می تواند ساده و متعادل باشد.

• میانگین کمیت درجه دومدر محاسبه استفاده می شود شاخص های فردیشاخص هایی مانند ضریب تغییرات، مشخص کننده ریتم تولید و غیره.

  همچنین برای محاسبه قطر متوسط ​​لوله ها، چرخ ها، میانگین اضلاع مربع و ارقام مشابه استفاده می شود.

  مانند سایر انواع میانگین ها، ریشه میانگین مربع می تواند ساده و وزن دار باشد.

انواع کمیت های ساختاری

علاوه بر SV های متوسط، انواع ساختاری اغلب در آمار استفاده می شود. آنها برای محاسبه ویژگی های نسبی مقادیر یک مشخصه متفاوت مناسب تر هستند ساختار داخلیردیف های توزیع

دو نوع از این قبیل وجود دارد.

ویژگی های واحدهای کل آماری از نظر معنایی متفاوت است، به عنوان مثال، دستمزد کارگران در همان حرفه یک شرکت برای مدت زمان یکسان، قیمت های بازار برای محصولات مشابه، عملکرد محصول در منطقه یکسان نیست. مزارع و غیره بنابراین، برای تعیین مقدار یک مشخصه که مشخصه کل جمعیت واحدهای مورد مطالعه است، مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود.
مقدار متوسط – این یک ویژگی تعمیم دهنده مجموعه ای از مقادیر فردی برخی از ویژگی های کمی است.

جامعه مورد مطالعه بر اساس کمی از ارزش های فردی تشکیل شده است. تحت تأثیر قرار می گیرند دلایل رایج، بنابراین شرایط فردی. در مقدار متوسط، انحرافات مشخصه مقادیر فردی لغو می شوند. میانگین که تابعی از مجموعه ای از مقادیر فردی است، کل کل را با یک مقدار نشان می دهد و آنچه را که در همه واحدهای آن مشترک است منعکس می کند.

میانگین محاسبه شده برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن نامیده می شود میانگین معمولی. به عنوان مثال، می توانید میانگین حقوق ماهانه یک کارمند از یک گروه حرفه ای خاص (معدن، پزشک، کتابدار) را محاسبه کنید. البته سطوح ماهانه دستمزدمعدنچیان به دلیل تفاوت در صلاحیت، طول خدمت، زمان کار در ماه و بسیاری عوامل دیگر، با یکدیگر و با سطح متوسط ​​دستمزد متفاوت هستند. با این حال، سطح متوسط ​​منعکس کننده عوامل اصلی تأثیرگذار بر سطح دستمزد است و تفاوت هایی که به دلیل ویژگی های فردی کارمند ایجاد می شود لغو می شود. متوسط ​​حقوق نشان دهنده سطح معمولی دستمزد برای یک نوع معین از کارگر است. به دست آوردن یک میانگین معمولی باید قبل از تجزیه و تحلیل میزان همگن بودن جامعه از نظر کیفی انجام شود. اگر کلیت شامل بخش‌های جداگانه باشد، باید به گروه‌های معمولی تقسیم شود ( دمای میانگینتوسط بیمارستان).

مقادیر متوسطی که به عنوان ویژگی برای جمعیت های ناهمگن استفاده می شود نامیده می شود میانگین های سیستم. به عنوان مثال، میانگین ارزش تولید ناخالص داخلی (GDP) سرانه، میانگین ارزش مصرف گروه‌های مختلف کالا به ازای هر نفر و سایر مقادیر مشابه که نشان‌دهنده ویژگی‌های عمومی دولت به عنوان یک نظام اقتصادی واحد است.

میانگین باید برای جمعیت های متشکل از کافی محاسبه شود تعداد زیادیواحدها رعایت این شرط برای لازم الاجرا شدن قانون است اعداد بزرگ، در نتیجه انحرافات تصادفی مقادیر فردی از روند کلییکدیگر را خنثی کنند

انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های منبع تعیین می شود. با این حال، هر مقدار میانگین باید به گونه‌ای محاسبه شود که وقتی جایگزین هر یک از انواع مشخصه میانگین می‌شود، نهایی، تعمیم‌دهنده یا، همانطور که معمولاً نامیده می‌شود، تغییر نکند. شاخص تعریف، که با شاخص میانگین همراه است. به عنوان مثال، هنگام جایگزینی سرعت های واقعی در بخش های جداگانه مسیر، آنها سرعت متوسطکل مسافت طی شده توسط وسیله نقلیه در همان زمان نباید تغییر کند. هنگام جایگزینی دستمزد واقعی کارگران فردیشرکت های متوسط دستمزدصندوق دستمزد نباید تغییر کند. در نتیجه، در هر مورد خاص، بسته به ماهیت داده‌های موجود، تنها یک مقدار متوسط ​​واقعی از شاخص وجود دارد که برای ویژگی‌ها و ماهیت پدیده اجتماعی-اقتصادی مورد مطالعه مناسب باشد.
بیشترین مورد استفاده عبارتند از میانگین حسابی، میانگین هارمونیک، میانگین هندسی، میانگین درجه دوم و میانگین مکعب.
میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس هستند آرام بخشمتوسط ​​و متحد شوید فرمول کلی:
,
میانگین مقدار مشخصه مورد مطالعه کجاست.
m - شاخص درجه متوسط؛
- مقدار فعلی (نوع) مشخصه در حال میانگین.
n - تعداد ویژگی ها.
بسته به مقدار توان m، انواع میانگین توان زیر متمایز می شود:
وقتی m = -1 - میانگین هارمونیک؛
در m = 0 - میانگین هندسی.
برای m = 1 - میانگین حسابی.
برای m = 2 - ریشه میانگین مربع.
در m = 3 - مکعب متوسط.
هنگام استفاده از همان داده های اولیه، هر چه توان m در فرمول بالا بزرگتر باشد، ارزش بیشتراندازه متوسط:
.
این ویژگی میانگین توان برای افزایش با افزایش توان تابع تعریف نامیده می شود قانون اکثریت میانگین ها.
هر یک از میانگین های مشخص شده می تواند به دو شکل باشد: سادهو وزن دار.
فرم متوسط ​​سادهزمانی استفاده می شود که میانگین از داده های اولیه (گروه بندی نشده) محاسبه شود. فرم وزنی- هنگام محاسبه میانگین بر اساس داده های ثانویه (گروهی).

میانگین حسابی

میانگین حسابی زمانی استفاده می شود که حجم جامعه مجموع تمام مقادیر فردی یک مشخصه متفاوت باشد. لازم به ذکر است که اگر نوع میانگین مشخص نشده باشد، میانگین حسابی فرض می شود. فرمول منطقی آن به این صورت است:

میانگین حسابی سادهمحاسبه شد بر اساس داده های گروه بندی نشده طبق فرمول:
یا ،
ارزش های فردی مشخصه کجاست.
j – شماره سریالواحد مشاهده که با مقدار مشخص می شود.
N – تعداد واحدهای مشاهده (حجم جمعیت).
مثال.سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" نتایج مشاهده تجربه کاری یک تیم 10 نفره را مورد بررسی قرار داد. بیایید میانگین تجربه کاری کارگران تیم را محاسبه کنیم. 5، 3، 5، 4، 3، 4، 5، 4، 2، 4.

با استفاده از فرمول میانگین حسابی ساده نیز می توانیم محاسبه کنیم میانگین ها در سری های زمانی، اگر فواصل زمانی که مقادیر مشخصه برای آنها ارائه می شود برابر باشد.
مثال.جلد محصولات فروخته شدهبرای سه ماهه اول به مبلغ 47 den. واحد، برای دوم 54، برای سوم 65 و برای چهارم 58 den. واحدها متوسط ​​گردش مالی سه ماهه (47+54+65+58)/4 = 56 den است. واحدها
اگر شاخص های لحظه ای در یک سری زمانی ارائه شوند، در هنگام محاسبه میانگین آنها با نصف مجموع مقادیر در ابتدا و انتهای دوره جایگزین می شوند.
اگر بیش از دو لحظه وجود داشته باشد و فواصل بین آنها برابر باشد، میانگین با استفاده از فرمول میانگین زمانی محاسبه می شود.

,
که در آن n تعداد نقاط زمانی است
در موردی که داده ها با مقادیر مشخصه گروه بندی می شوند (یعنی یک سری توزیع متغیر گسسته ساخته شده است) با میانگین وزنی حسابیمحاسبه شده با استفاده از فرکانس یا فرکانس مشاهدات مقادیر خاص مشخصه، که تعداد آنها (k) به طور قابل توجهی کمتر از تعداد مشاهدات (N) است.
,
,
که در آن k تعداد گروه های سری تغییرات است،
i – شماره گروه سری تغییرات.
از آنجا که، a، فرمول های مورد استفاده برای محاسبات عملی را به دست می آوریم:
و
مثال.بیایید میانگین طول خدمت تیم های کاری را در یک ردیف گروهی محاسبه کنیم.
الف) با استفاده از فرکانس ها:

ب) استفاده از فرکانس ها:

در موردی که داده ها بر اساس فواصل گروه بندی می شوند ، یعنی در قالب سری های توزیع بازه ای ارائه می شوند؛ هنگام محاسبه میانگین حسابی، بر اساس فرض توزیع یکنواخت واحدهای جمعیت در یک بازه معین، وسط بازه به عنوان مقدار مشخصه در نظر گرفته می شود. محاسبه با استفاده از فرمول انجام می شود:
و
وسط فاصله کجاست:
مرزهای پایین و بالایی فواصل کجا و هستند (به شرطی که مرز بالایی یک بازه معین با مرز پایینی بازه بعدی منطبق باشد).

مثال.بیایید میانگین حسابی سری تغییرات بازه ای ساخته شده بر اساس نتایج مطالعه دستمزد سالانه 30 کارگر را محاسبه کنیم (به سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" مراجعه کنید).
جدول 1 - توزیع سری تغییرات فاصله.

فواصل، UAH	فرکانس، مردم	فرکانس،	وسط فاصله
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH یا UAH
به دلیل توزیع نابرابر مقادیر مشخصه ها در فواصل، میانگین های حسابی محاسبه شده بر اساس داده های منبع و سری های تغییرات بازه ای ممکن است مطابقت نداشته باشند. در این صورت، برای محاسبه دقیق تر میانگین حسابی وزنی، نه از وسط فواصل، بلکه باید از میانگین حسابی ساده محاسبه شده برای هر گروه استفاده کرد. میانگین های گروهی). میانگین محاسبه شده از میانگین های گروه با استفاده از فرمول محاسبه وزنی نامیده می شود میانگین عمومی.
میانگین حسابی دارای تعدادی ویژگی است.
1. مجموع انحرافات از گزینه میانگین صفر است:
.
2. اگر همه مقادیر گزینه به مقدار A افزایش یا کاهش یابد، مقدار متوسط ​​به همان مقدار A افزایش یا کاهش می یابد:

3. اگر هر گزینه به اندازه B بار کم یا زیاد شود، مقدار متوسط ​​نیز به همان تعداد بار افزایش یا کاهش می یابد:
یا
4. مجموع حاصلضرب های اختیار بر اساس فرکانس ها برابر است با حاصلضرب مقدار متوسط ​​در مجموع فرکانس ها:

5. اگر همه فرکانس ها در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند، میانگین حسابی تغییر نمی کند:

6) اگر در همه فواصل بسامدها با هم برابر باشند، میانگین حسابی وزن دار برابر با میانگین حسابی ساده است:
,
که در آن k تعداد گروه های سری تغییرات است.

استفاده از خواص میانگین به شما امکان می دهد محاسبه آن را ساده کنید.
فرض کنید همه گزینه های (x) ابتدا با یک عدد A کاهش یافته و سپس با ضریب B کاهش می یابد. بیشترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که مقدار وسط بازه با بیشترین فرکانس به عنوان A و مقدار بازه (برای سری هایی با فواصل یکسان) به عنوان B انتخاب شود. کمیت A را مبدأ می نامند، بنابراین این روش محاسبه میانگین نامیده می شود مسیرب مرجع اهم از صفر شرطییا راه لحظات.
پس از چنین تبدیلی، یک سری توزیع متغیر جدید بدست می آوریم که انواع آن برابر است. میانگین حسابی آنها نامیده می شود لحظه اولین سفارش،با فرمول بیان می شود و با توجه به ویژگی های دوم و سوم، میانگین حسابی برابر با میانگین نسخه اصلی است که ابتدا A و سپس B برابر می شود، یعنی.
برای گرفتن میانگین واقعی(میانگین سری اصلی) باید لحظه مرتبه اول را در B ضرب کنید و A را اضافه کنید:

محاسبه میانگین حسابی با استفاده از روش گشتاورها با داده های جدول نشان داده شده است. 2.
جدول 2 - توزیع کارگران مغازه های کارخانه بر اساس سابقه خدمت

مدت خدمت کارکنان، سالها	تعداد کارگران	وسط فاصله
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

پیدا کردن اولین لحظه سفارش . سپس با دانستن اینکه A = 17.5 و B = 5 است، میانگین طول خدمت کارگران کارگاه را محاسبه می کنیم:
سال ها

میانگین هارمونیک
همانطور که در بالا نشان داده شد، میانگین حسابی برای محاسبه مقدار میانگین یک مشخصه در مواردی که انواع x و فرکانس آنها f مشخص است استفاده می شود.
اگر اطلاعات آماری حاوی فرکانس f برای گزینه های تکی x از جامعه نباشد، اما به عنوان محصول آنها ارائه شود، فرمول اعمال می شود. میانگین هارمونیک وزنی. برای محاسبه میانگین، بیایید مشخص کنیم که کجا . با جایگزینی این عبارات به فرمول میانگین وزنی حسابی، فرمول میانگین موزون هارمونیک را به دست می آوریم:
,
حجم (وزن) مقادیر ویژگی شاخص در بازه شماره i (i=1,2, …, k) کجاست.

بنابراین، میانگین هارمونیک در مواردی استفاده می شود که خود گزینه ها نیستند که مشمول جمع می شوند، بلکه متقابل آنها هستند: .
در مواردی که وزن هر گزینه برابر با یک، یعنی مقادیر فردی مشخصه معکوس یک بار، اعمال می شود به معنای هارمونیک ساده:
,
در کجا انواع مختلف مشخصه معکوس وجود دارد که یک بار اتفاق می افتد.
N - گزینه شماره.
اگر میانگین های هارمونیک برای دو قسمت از جمعیت وجود داشته باشد، میانگین کلی برای کل جمعیت با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

و نامیده می شود میانگین هارمونیک وزنی میانگین های گروهی.

مثال.در جریان معاملات در صرافی، سه معامله در ساعت اول فعالیت منعقد شد. داده های مربوط به میزان فروش و نرخ مبادله گریونا در برابر دلار آمریکا در جدول آورده شده است. 3 (ستون های 2 و 3). میانگین نرخ مبادله گریونا در برابر دلار آمریکا را برای ساعت اول معاملات تعیین کنید.
جدول 3 - داده های پیشرفت معاملات در ارز

میانگین نرخ مبادله دلار بر اساس نسبت مقدار hryvnia فروخته شده در تمام معاملات به مقدار دلار به دست آمده در نتیجه همان معاملات تعیین می شود. مبلغ نهایی فروش گریونیا از ستون 2 جدول مشخص می شود و تعداد دلار خریداری شده در هر تراکنش با تقسیم مبلغ فروش گریونیا بر نرخ مبادله آن تعیین می شود (ستون 4). در مجموع 22 میلیون دلار طی سه تراکنش خریداری شد. این بدان معنی است که میانگین نرخ مبادله hryvnia برای یک دلار بود
.
مقدار حاصل واقعی است، زیرا جایگزینی آن با نرخ واقعی مبادله گریونا در معاملات، مقدار نهایی فروش هریونیا را تغییر نخواهد داد، که به عنوان شاخص تعریف: میلیون UAH
اگر از میانگین حسابی برای محاسبه استفاده شود، یعنی. hryvnia ، سپس در نرخ ارز برای خرید 22 میلیون دلار. لازم است 110.66 میلیون UAH خرج شود که این درست نیست.

میانگین هندسی
میانگین هندسی برای تجزیه و تحلیل دینامیک پدیده ها استفاده می شود و به ما امکان می دهد تا تعیین کنیم ضریب متوسطرشد هنگام محاسبه میانگین هندسی، مقادیر فردی مشخصه است شاخص های نسبیدینامیک ساخته شده در قالب کمیت های زنجیره ای، به عنوان نسبت هر سطح به سطح قبلی.
میانگین هندسی ساده با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
,
علامت محصول کجاست
N - تعداد مقادیر متوسط.
مثال.تعداد جرایم ثبت شده طی 4 سال 1.57 برابر افزایش یافته است، از جمله برای اول - 1.08 برابر، برای 2 - 1.1 برابر، برای سوم - 1.18 و برای چهارم - 1.12 برابر. سپس متوسط ​​نرخ رشد سالانه تعداد جرایم عبارت است از: تعداد جرایم ثبت شده سالانه به طور متوسط ​​12 درصد رشد داشته است.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

برای محاسبه میانگین وزنی مربع، جدول را تعیین و وارد می کنیم و . سپس میانگین انحراف طول محصولات از هنجار داده شده برابر است با:

میانگین حسابی در این مورد نامناسب خواهد بود، زیرا در نتیجه ما انحراف صفر خواهیم داشت.
استفاده از مربع میانگین بیشتر از نظر تغییرات مورد بحث قرار خواهد گرفت.

میانگین حسابی یک شاخص آماری است که میانگین مقدار یک آرایه داده معین را نشان می دهد. این اندیکاتور به صورت کسری محاسبه می شود که صورت آن مجموع همه مقادیر موجود در آرایه است و مخرج تعداد آنهاست. میانگین حسابی ضریب مهمی است که در محاسبات روزمره استفاده می شود.

معنی ضریب

میانگین حسابی یک شاخص ابتدایی برای مقایسه داده ها و محاسبه مقدار قابل قبول است. به عنوان مثال، فروشگاه های مختلف یک قوطی آبجو از یک سازنده خاص را می فروشند. اما در یک فروشگاه 67 روبل، در فروشگاه دیگر - 70 روبل، در یک سوم - 65 روبل، و در آخرین - 62 روبل هزینه دارد. قیمت ها بسیار گسترده است، بنابراین خریدار به میانگین هزینه قوطی علاقه مند می شود تا در هنگام خرید یک محصول بتواند هزینه های خود را با هم مقایسه کند. میانگین قیمت یک قوطی آبجو در شهر عبارت است از:

قیمت متوسط ​​= (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 روبل.

با دانستن میانگین قیمت، به راحتی می توان تعیین کرد که کجا خرید یک محصول سودآور است و کجا باید اضافه پرداخت کنید.

میانگین حسابی به طور مداوم در محاسبات آماری در مواردی که مجموعه ای همگن از داده ها تجزیه و تحلیل می شود استفاده می شود. در مثال بالا، این قیمت یک قوطی آبجو با همان مارک است. با این حال، ما نمی توانیم قیمت آبجو از تولید کنندگان مختلف یا قیمت آبجو و لیموناد را مقایسه کنیم، زیرا در این صورت گسترش ارزش ها بیشتر خواهد شد، میانگین قیمت مبهم و غیر قابل اعتماد خواهد بود و معنای واقعی محاسبات به کاریکاتور «متوسط ​​درجه حرارت در بیمارستان» تحریف خواهد شد. برای محاسبه مجموعه داده های ناهمگن، زمانی که هر مقدار ضریب وزنی خود را دریافت می کند، از میانگین حسابی وزنی استفاده می شود.

محاسبه میانگین حسابی

فرمول محاسبات بسیار ساده است:

P = (a1 + a2 + … an) / n،

که در آن an مقدار کمیت است، n تعداد کل مقادیر است.

این شاخص برای چه مواردی می تواند استفاده شود؟ اولین و آشکار استفاده از آن در آمار است. تقریباً در هر مطالعه آماری از میانگین حسابی استفاده می شود. این می تواند میانگین سن ازدواج در روسیه، میانگین نمره در یک درس برای یک دانش آموز، یا متوسط ​​هزینه برای خرید مواد غذایی در روز باشد. همانطور که در بالا ذکر شد، بدون در نظر گرفتن وزن ها، محاسبه میانگین ها می تواند مقادیر عجیب و غریب یا پوچ تولید کند.

مثلا رئیس جمهور فدراسیون روسیهاظهار داشت که طبق آمار، متوسط ​​حقوق یک روسی 27000 روبل است. برای اکثر ساکنان روسیه، این سطح از حقوق پوچ به نظر می رسید. تعجب آور نیست اگر هنگام محاسبه درآمد الیگارشی ها، روسای بنگاه های صنعتی، بانکداران بزرگ از یک سو و حقوق معلمان، نظافتچی ها و فروشندگان از سوی دیگر را در نظر بگیریم. حتی میانگین حقوق در یک تخصص، به عنوان مثال، حسابدار، تفاوت های جدی در مسکو، کوستروما و یکاترینبورگ خواهد داشت.

نحوه محاسبه میانگین برای داده های ناهمگن

در موقعیت های حقوق و دستمزد، در نظر گرفتن وزن هر ارزش مهم است. این بدان معناست که حقوق الیگارشی ها و بانکداران وزنی معادل 0.00001 و حقوق فروشندگان 0.12 دریافت می کند. اینها اعداد غیرمعمول هستند، اما تقریباً شیوع الیگارشی ها و فروشندگان در جامعه روسیه را نشان می دهند.

بنابراین، برای محاسبه میانگین میانگین ها یا مقادیر متوسط ​​در یک مجموعه داده ناهمگن، باید از میانگین موزون حسابی استفاده شود. در غیر این صورت، میانگین حقوق در روسیه 27000 روبل دریافت خواهید کرد. اگر می خواهید خودتان را بشناسید امتیاز متوسطدر ریاضیات یا میانگین تعداد گل های زده شده توسط بازیکن هاکی منتخب، ماشین حساب میانگین حسابی برای شما مناسب است.

برنامه ما یک ماشین حساب ساده و راحت برای محاسبه میانگین حسابی است. برای انجام محاسبات، فقط باید مقادیر پارامتر را وارد کنید.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم

محاسبه میانگین امتیاز

بسیاری از معلمان از روش میانگین حسابی برای تعیین نمره سالانه یک موضوع استفاده می کنند. بیایید تصور کنیم که کودک نمرات یک چهارم زیر را در ریاضیات دریافت کرده است: 3، 3، 5، 4. معلم چه نمره سالانه ای به او می دهد؟ بیایید از ماشین حساب استفاده کنیم و میانگین حسابی را محاسبه کنیم. برای شروع، تعداد مناسب فیلدها را انتخاب کنید و مقادیر رتبه‌بندی را در سلول‌های ظاهر شده وارد کنید:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

معلم مقدار را به نفع دانش آموز گرد می کند و دانش آموز یک B ثابت برای سال دریافت می کند.

محاسبه آب نبات های خورده شده

بیایید برخی از پوچ بودن میانگین حسابی را نشان دهیم. بیایید تصور کنیم که ماشا و ووا 10 آب نبات داشتند. ماشا 8 آب نبات خورد و ووا فقط 2. هر کودک به طور متوسط ​​چند آبنبات خورد؟ با استفاده از ماشین حساب می توان به راحتی محاسبه کرد که کودکان به طور متوسط ​​5 آب نبات خورده اند که کاملاً با واقعیت و عقل سلیم مغایرت دارد. این مثال نشان می دهد که میانگین حسابی برای مجموعه داده های معنی دار مهم است.

نتیجه

محاسبه میانگین حسابی به طور گسترده در بسیاری از زمینه های علمی استفاده می شود. این شاخص نه تنها در محاسبات آماری، بلکه در فیزیک، مکانیک، اقتصاد، پزشکی یا امور مالی نیز محبوب است. از ماشین حساب ما به عنوان دستیار برای حل مسائل مربوط به محاسبه میانگین حسابی استفاده کنید.

مقادیر متوسط ​​به طور گسترده در آمار استفاده می شود. مقادیر متوسط ​​شاخص های کیفی فعالیت تجاری را مشخص می کند: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.

میانگین - این یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. درک صحیح از ماهیت میانگین اهمیت ویژه آن را در اقتصاد بازار تعیین می کند، زمانی که میانگین، از طریق فردی و تصادفی، به ما اجازه می دهد تا کلی و ضروری را شناسایی کنیم، تا روند الگوهای توسعه اقتصادی را شناسایی کنیم.

مقدار متوسط - اینها شاخص های کلی هستند که در آنها اقدامات بیان می شود شرایط عمومی، الگوهای پدیده مورد مطالعه.

میانگین های آماری بر اساس داده های انبوه از مشاهده انبوه به طور صحیح سازماندهی شده آماری (مستمر و انتخابی) محاسبه می شوند. با این حال، میانگین آماری اگر از داده های انبوه برای یک جمعیت کیفی همگن (پدیده های انبوه) محاسبه شود، عینی و معمولی خواهد بود. به عنوان مثال، اگر میانگین دستمزد را در تعاونی ها و شرکت های دولتی محاسبه کنید و نتیجه را به کل جمعیت تعمیم دهید، آنگاه میانگین ساختگی است، زیرا برای جمعیتی ناهمگن محاسبه می شود و چنین میانگینی معنای خود را از دست می دهد.

با کمک میانگین، تفاوت‌های ارزش یک مشخصه که به دلایلی در واحدهای مشاهده‌ای منفرد ایجاد می‌شوند، هموار می‌شوند.

به عنوان مثال، میانگین بهره وری یک فروشنده به دلایل زیادی بستگی دارد: صلاحیت، مدت خدمت، سن، نوع خدمات، سلامت و غیره.

میانگین خروجی منعکس کننده ویژگی کلی کل جمعیت است.

مقدار متوسط ​​بازتابی از مقادیر مشخصه مورد مطالعه است، بنابراین در همان بعد این مشخصه اندازه گیری می شود.

هر مقدار متوسط ​​جامعه مورد مطالعه را با توجه به هر یک از مشخصه ها مشخص می کند. برای به دست آوردن درک کامل و جامع از جمعیت مورد مطالعه با توجه به تعدادی از ویژگی های اساسی، به طور کلی لازم است سیستمی از مقادیر متوسط ​​وجود داشته باشد که بتواند پدیده را از زوایای مختلف توصیف کند.

میانگین های مختلفی وجود دارد:

میانگین حسابی؛

میانگین هندسی؛

میانگین هارمونیک؛

مربع میانگین؛

میانگین زمانی

بیایید به چند نوع میانگین که بیشتر در آمار استفاده می شود نگاه کنیم.

میانگین حسابی

میانگین حسابی ساده (بدون وزن) برابر است با مجموع مقادیر مجزای صفت تقسیم بر تعداد این مقادیر.

مقادیر مجزای یک مشخصه را variant می نامند و با x() نشان داده می شوند. تعداد واحدهای جمعیت با n نشان داده می شود، مقدار متوسط ​​مشخصه با نشان داده می شود . بنابراین، میانگین حسابی ساده برابر است با:

با توجه به داده های سری توزیع گسسته، واضح است که همان مقادیر مشخصه (انواع) چندین بار تکرار می شود. بنابراین گزینه x در مجموع 2 بار و گزینه x 16 بار و غیره رخ می دهد.

تعداد مقادیر یکسان یک مشخصه در سری توزیع فرکانس یا وزن نامیده می شود و با نماد n نشان داده می شود.

بیایید میانگین حقوق یک کارگر را محاسبه کنیم در مالش.:

صندوق دستمزد برای هر گروه از کارگران برابر است با حاصل ضرب گزینه ها و فراوانی و مجموع این محصولات کل صندوق دستمزد همه کارگران را نشان می دهد.

با توجه به این، محاسبات را می توان به شکل کلی ارائه کرد:

فرمول حاصل را میانگین حسابی وزنی می نامند.

در نتیجه پردازش، مطالب آماری را می توان نه تنها در قالب سری های توزیع گسسته، بلکه در قالب سری های تغییرات بازه ای با بازه های بسته یا باز ارائه کرد.

میانگین برای داده های گروه بندی شده با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی محاسبه می شود:

در عمل آمارهای اقتصادی، گاهی لازم است میانگین را با استفاده از میانگین های گروهی یا میانگین های تک تک افراد جامعه (میانگین جزئی) محاسبه کرد. در چنین مواردی، میانگین‌های گروهی یا خصوصی به‌عنوان گزینه (x) در نظر گرفته می‌شوند که بر اساس آن، میانگین کلی به‌عنوان یک میانگین حسابی موزون معمولی محاسبه می‌شود.

ویژگی های اساسی میانگین حسابی .

میانگین حسابی چند ویژگی دارد:

1. مقدار میانگین حسابی از کاهش یا افزایش فراوانی هر مقدار مشخصه x به میزان n برابر تغییر نخواهد کرد.

اگر همه فرکانس ها در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند، مقدار متوسط ​​تغییر نمی کند.

2. ضریب مشترک مقادیر فردی یک مشخصه را می توان فراتر از علامت میانگین گرفت:

3. میانگین مجموع (تفاوت) دو یا چند کمیت برابر است با مجموع (تفاوت) میانگین آنها:

4. اگر x = c، که در آن c یک مقدار ثابت است، پس
.

5. مجموع انحراف مقادیر ویژگی X از میانگین حسابی x برابر با صفر است:

میانگین هارمونیک

همراه با میانگین حسابی، آمار از میانگین هارمونیک، معکوس میانگین حسابی مقادیر معکوس صفت استفاده می کند. مانند میانگین حسابی، می تواند ساده و وزنی باشد.

ویژگی های سری تغییرات به همراه میانگین ها حالت و میانه هستند.

روش - این مقدار یک مشخصه (نوعی) است که اغلب در جمعیت مورد مطالعه تکرار می شود. برای سری های توزیع گسسته، حالت مقدار متغیری با بالاترین فرکانس خواهد بود.

برای سری های توزیع بازه ای با فواصل مساوی، حالت با فرمول تعیین می شود:

جایی که
- مقدار اولیه بازه حاوی حالت؛

- مقدار فاصله مودال؛

- فرکانس فاصله مودال؛

- فرکانس فاصله قبل از مدال.

- فرکانس فاصله پس از یک حالت.

میانه - این گزینه ای است که در وسط سری تغییرات قرار دارد. اگر سری توزیع گسسته است و دارد عدد فرداعضا، سپس میانه گزینه ای خواهد بود که در وسط سری مرتب شده قرار دارد (یک سری مرتب، آرایش واحدهای جمعیتی به ترتیب صعودی یا نزولی است).

در بیشتر موارد، داده ها حول یک نقطه مرکزی متمرکز می شوند. بنابراین، برای توصیف هر مجموعه ای از داده ها، نشان دادن مقدار متوسط ​​کافی است. اجازه دهید به ترتیب سه مشخصه عددی را در نظر بگیریم که برای تخمین مقدار متوسط ​​توزیع استفاده می شود: میانگین حسابی، میانه و حالت.

میانگین

میانگین حسابی (اغلب به سادگی میانگین نامیده می شود) رایج ترین تخمین میانگین یک توزیع است. این نتیجه تقسیم مجموع تمام مقادیر عددی مشاهده شده بر تعداد آنها است. برای نمونه ای متشکل از اعداد X 1، X 2، …، Xn، میانگین نمونه (نشان داده شده با ) برابر است = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, یا

میانگین نمونه کجاست n- اندازهی نمونه، ایکسمن – عنصر i-امنمونه ها.

یادداشت را با فرمت یا نمونه ها در قالب دانلود کنید

محاسبه میانگین حسابی متوسط ​​بازده سالانه پنج ساله 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا را در نظر بگیرید (شکل 1).

برنج. 1. میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا

میانگین نمونه به صورت زیر محاسبه می شود:

این بازدهی خوبی است، به ویژه در مقایسه با بازده 3-4 درصدی که سپرده گذاران بانک یا اتحادیه اعتباری در همان بازه زمانی دریافت کردند. اگر بازده ها را مرتب کنیم، به راحتی می توان دریافت که هشت صندوق بازدهی بالاتر از میانگین و هفت صندوق پایین تر از میانگین دارند. میانگین حسابی به عنوان نقطه تعادل عمل می کند، به طوری که وجوه با بازده پایین وجوه با بازده بالا را متعادل می کند. تمام عناصر نمونه در محاسبه میانگین نقش دارند. هیچ یک از برآوردهای دیگر از میانگین توزیع این ویژگی را ندارند.

چه زمانی باید میانگین حسابی را محاسبه کنید؟از آنجایی که میانگین حسابی به تمام عناصر نمونه بستگی دارد، وجود مقادیر شدید به طور قابل توجهی بر نتیجه تأثیر می گذارد. در چنین شرایطی، میانگین حسابی می تواند معنای داده های عددی را مخدوش کند. بنابراین، هنگام توصیف یک مجموعه داده حاوی مقادیر شدید، لازم است که میانه یا میانگین حسابی و میانه را نشان دهیم. به عنوان مثال، اگر بازده صندوق رشد نوظهور RS را از نمونه حذف کنیم، میانگین نمونه بازده 14 صندوق تقریباً 1٪ کاهش می یابد و به 5.19٪ می رسد.

میانه

میانه نشان دهنده مقدار وسط یک آرایه مرتب شده از اعداد است. اگر آرایه حاوی اعداد تکرار شونده نباشد، نیمی از عناصر آن کوچکتر و نیمی بزرگتر از میانه خواهند بود. اگر نمونه حاوی مقادیر افراطی است، بهتر است از میانه به جای میانگین حسابی برای تخمین میانگین استفاده شود. برای محاسبه میانه یک نمونه، ابتدا باید آن را سفارش داد.

این فرمول مبهم است. نتیجه آن به زوج یا فرد بودن عدد بستگی دارد n:

• اگر نمونه دارای تعداد فرد عنصر باشد، میانه آن است (n+1)/2عنصر -ام.
• اگر نمونه دارای تعداد زوج زوج باشد، میانه بین دو عنصر میانی نمونه قرار دارد و برابر است با میانگین حسابی محاسبه شده روی این دو عنصر.

برای محاسبه میانه یک نمونه حاوی بازده 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بالا، ابتدا باید داده های خام را مرتب کنید (شکل 2). سپس میانه مخالف عدد عنصر میانی نمونه خواهد بود. در مثال شماره 8 ما. اکسل یک تابع خاص =MEDIAN() دارد که با آرایه های نامرتب نیز کار می کند.

برنج. 2. میانه 15 صندوق

بنابراین، میانه 6.5 است. این بدان معناست که بازده نیمی از وجوه بسیار پرریسک از 6.5 بیشتر نمی شود و بازده نیم دیگر از آن بیشتر است. توجه داشته باشید که میانه 6.5 خیلی بزرگتر از میانگین 6.08 نیست.

اگر بازده صندوق رشد نوظهور RS را از نمونه حذف کنیم، میانه 14 صندوق باقی مانده به 6.2٪ کاهش می یابد، یعنی به اندازه میانگین حسابی قابل توجه نیست (شکل 3).

برنج. 3. میانه 14 صندوق

روش

این اصطلاح برای اولین بار توسط پیرسون در سال 1894 ابداع شد. مد عددی است که اغلب در یک نمونه (شیک ترین) رخ می دهد. مد به خوبی توصیف می کند، برای مثال، واکنش معمول رانندگان به سیگنال چراغ راهنمایی برای توقف حرکت. یک مثال کلاسیک از استفاده از مد، انتخاب سایز کفش یا رنگ کاغذ دیواری است. اگر یک توزیع دارای چندین حالت باشد، آنگاه گفته می شود که چند وجهی یا چندوجهی است (دارای دو یا چند "قله"). چندوجهی بودن توزیع اطلاعات مهمی در مورد ماهیت متغیر مورد مطالعه ارائه می دهد. برای مثال، در نظرسنجی‌های جامعه‌شناختی، اگر یک متغیر نشان‌دهنده ترجیح یا نگرش نسبت به چیزی باشد، چندوجهی ممکن است به این معنی باشد که چندین متمایز وجود دارد. نظرات مختلف. چندوجهی همچنین به عنوان شاخصی عمل می کند که نمونه همگن نیست و مشاهدات ممکن است توسط دو یا چند توزیع "همپوشانی" ایجاد شوند. بر خلاف میانگین حسابی، نقاط پرت بر حالت تأثیر نمی‌گذارند. برای متغیرهای تصادفی به طور پیوسته توزیع شده، مانند میانگین بازده سالانه صندوق های سرمایه گذاری، این حالت گاهی اوقات اصلا وجود ندارد (یا معنی ندارد). از آنجایی که این شاخص ها می توانند مقادیر بسیار متفاوتی داشته باشند، تکرار مقادیر بسیار نادر است.

یک چهارم

ربع ها معیارهایی هستند که اغلب برای ارزیابی توزیع داده ها هنگام توصیف ویژگی های نمونه های عددی بزرگ استفاده می شوند. در حالی که میانه آرایه مرتب شده را به نصف تقسیم می کند (50٪ از عناصر آرایه کمتر از میانه و 50٪ بزرگتر هستند)، ربع ها مجموعه داده های مرتب شده را به چهار قسمت تقسیم می کنند. مقادیر Q 1، میانه و Q 3 به ترتیب صدک 25، 50 و 75 هستند. چارک اول Q 1 عددی است که نمونه را به دو قسمت تقسیم می کند: 25% عناصر کوچکتر از چارک اول و 75% بزرگتر از چارک اول هستند.

چارک سوم Q 3 عددی است که نمونه را به دو قسمت تقسیم می کند: 75% عناصر کوچکتر و 25% بزرگتر از چارک سوم هستند.

برای محاسبه چارک ها در نسخه های اکسل قبل از سال 2007، از تابع =QUARTILE (آرایه، قسمت) استفاده کنید. با شروع از اکسل 2010، دو تابع استفاده می شود:

• =QUARTILE.ON (آرایه، قسمت)
• =QUARTILE.EXC (آرایه، قسمت)

این دو عملکرد کمی را ارائه می دهند معانی مختلف(شکل 4). به عنوان مثال، هنگام محاسبه چارک نمونه‌ای حاوی میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه‌گذاری مشترک بسیار پرخطر، Q 1 = 1.8 یا -0.7 به ترتیب برای QUARTILE.IN و QUARTILE.EX. به هر حال، تابع QUARTILE که قبلاً استفاده شده بود مطابقت دارد عملکرد مدرن QUARTILE.INCL. برای محاسبه چارک ها در اکسل با استفاده از فرمول های بالا، نیازی به مرتب سازی آرایه داده نیست.

برنج. 4. محاسبه چارک در اکسل

باز هم تاکید کنیم. اکسل می تواند چارک ها را برای یک متغیر محاسبه کند سری گسسته، حاوی مقادیر یک متغیر تصادفی است. محاسبه چارک برای توزیع مبتنی بر فرکانس در زیر در بخش آورده شده است.

میانگین هندسی

برخلاف میانگین حسابی، میانگین هندسی به شما امکان می دهد درجه تغییر یک متغیر را در طول زمان تخمین بزنید. میانگین هندسی ریشه است nدرجه ام از کار nمقادیر (در اکسل تابع =SRGEOM استفاده می شود):

جی= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

یک پارامتر مشابه متوسط ​​است معنی هندسینرخ بازده با فرمول تعیین می شود:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1،

جایی که R i- نرخ سود برای مندوره زمانی

به عنوان مثال فرض کنید سرمایه اولیه 100000 دلار باشد در پایان سال اول به 50000 دلار کاهش می یابد و در پایان سال دوم به سطح اولیه 100000 دلار باز می گردد.نرخ بازده این سرمایه گذاری بیش از دو - دوره سال برابر با 0 است، زیرا مبالغ اولیه و نهایی وجوه با یکدیگر برابر است. با این حال، میانگین حسابی نرخ بازده سالانه = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 یا 25٪ است، زیرا نرخ بازده در سال اول R1 = (50000 - 100000) / 100000 = -0.5، و در دوم R 2 = (100,000 – 50,000) / 50,000 = 1. در عین حال، مقدار متوسط ​​هندسی نرخ سود برای دو سال برابر است با: G = [(1–0.5) * (1+ 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. بنابراین، میانگین هندسی با دقت بیشتری تغییر (به طور دقیق تر، عدم وجود تغییرات) در حجم سرمایه گذاری در یک دوره دو ساله را منعکس می کند. میانگین حسابی

حقایق جالب.اولاً، میانگین هندسی همیشه کمتر از میانگین حسابی همان اعداد خواهد بود. مگر در موردی که همه اعداد گرفته شده با هم برابر باشند. ثانیاً با در نظر گرفتن خواص راست گوشه، می توان فهمید که چرا میانگین را هندسی می نامند. ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه، پایین آمده تا هیپوتنوز، میانگین تناسب بین برآمدگی پاها بر روی هیپوتنوز است، و هر پا، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و برآمدگی آن بر روی هیپوتنوز است (شکل 5). این یک روش هندسی برای ساخت میانگین هندسی دو قطعه (طول) ارائه می دهد: باید یک دایره بر روی مجموع این دو قطعه به عنوان قطر بسازید، سپس ارتفاع از نقطه اتصال آنها به تقاطع با دایره بازیابی شود. مقدار مورد نظر را خواهد داد:

برنج. 5. ماهیت هندسی میانگین هندسی (شکل از ویکی پدیا)

دومین دارایی مهمداده های عددی - آنها تغییر، مشخص کردن درجه پراکندگی داده ها. دو نمونه مختلف ممکن است از نظر میانگین و واریانس متفاوت باشند. با این حال، همانطور که در شکل نشان داده شده است. در 6 و 7، دو نمونه ممکن است تغییرات یکسان اما میانگین های متفاوت یا میانگین های یکسان و تغییرات کاملاً متفاوت داشته باشند. داده ای که مربوط به چند ضلعی B در شکل. 7، تغییر بسیار کمتری نسبت به داده هایی که چند ضلعی A بر روی آن ساخته شده است.

برنج. 6. دو توزیع متقارن زنگی شکل با گسترش یکسان و مقادیر میانگین متفاوت

برنج. 7. دو توزیع متقارن زنگی شکل با مقادیر میانگین یکسان و اسپردهای متفاوت

پنج تخمین از تغییرات داده ها وجود دارد:

• محدوده،
• محدوده بین چارکی،
• پراکندگی،
• انحراف معیار،
• ضریب تغییرات

محدوده

محدوده تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین عناصر نمونه است:

محدوده = Xحداکثر - Xحداقل

محدوده نمونه حاوی میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا را می توان با استفاده از آرایه سفارش داده شده محاسبه کرد (شکل 4 را ببینید): محدوده = 18.5 – (-6.1) = 24.6. این بدان معناست که تفاوت بین بالاترین و کمترین میانگین بازده سالانه صندوق های بسیار پرریسک 24.6 درصد است.

Range میزان انتشار کلی داده ها را اندازه گیری می کند. اگرچه محدوده نمونه تخمین بسیار ساده ای از گسترش کلی داده ها است، اما ضعف آن این است که دقیقاً نحوه توزیع داده ها بین عناصر حداقل و حداکثر را در نظر نمی گیرد. این اثر در شکل 1 به وضوح قابل مشاهده است. 8، که نمونه هایی را با همان محدوده نشان می دهد. مقیاس B نشان می دهد که اگر یک نمونه دارای حداقل یک مقدار شدید باشد، محدوده نمونه تخمین بسیار نادرستی از گسترش داده ها است.

برنج. 8. مقایسه سه نمونه با محدوده مشابه. مثلث نماد حمایت از مقیاس است و مکان آن با میانگین نمونه مطابقت دارد

محدوده بین چارکی

محدوده بین چارکی یا میانگین، تفاوت بین ربع سوم و اول نمونه است:

محدوده بین چارکی = Q 3 – Q 1

این مقدار به ما امکان می دهد تا پراکندگی 50٪ عناصر را تخمین بزنیم و تأثیر عناصر شدید را در نظر نگیریم. محدوده بین ربعی نمونه حاوی میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا را می توان با استفاده از داده های شکل 1 محاسبه کرد. 4 (به عنوان مثال، برای تابع QUARTILE.EXC): محدوده بین چارکی = 9.8 - (-0.7) = 10.5. فاصله محدود شده توسط اعداد 9.8 و -0.7 اغلب نیمه وسط نامیده می شود.

لازم به ذکر است که مقادیر Q 1 و Q 3 و در نتیجه محدوده بین چارکی به وجود نقاط پرت بستگی ندارد، زیرا در محاسبه آنها هیچ مقداری که کمتر از Q 1 یا بیشتر باشد در نظر نمی گیرد. نسبت به Q 3 . معیارهای خلاصه مانند میانه، چارک اول و سوم و محدوده بین چارکی که تحت تأثیر عوامل پرت قرار نمی گیرند، معیارهای قوی نامیده می شوند.

اگرچه محدوده و محدوده بین چارکی به ترتیب تخمین هایی از پراکندگی کلی و متوسط ​​یک نمونه ارائه می دهند، هیچ یک از این تخمین ها دقیقاً نحوه توزیع داده ها را در نظر نمی گیرند. واریانس و انحراف معیاراز این عیب خالی هستند. این شاخص‌ها به شما امکان می‌دهند تا میزان نوسان داده‌ها در اطراف مقدار متوسط ​​را ارزیابی کنید. واریانس نمونهتقریبی از میانگین حسابی است که از مجذورات اختلاف بین هر عنصر نمونه و میانگین نمونه محاسبه می شود. برای نمونه X 1، X 2، ... X n، واریانس نمونه (که با نماد S 2 مشخص می شود با فرمول زیر به دست می آید:

به طور کلی، واریانس نمونه مجموع مجذورات تفاوت بین عناصر نمونه و میانگین نمونه، تقسیم بر مقداری برابر با حجم نمونه منهای یک است:

جایی که - میانگین حسابی، n- اندازهی نمونه، X i - منعنصر انتخاب ایکس. در اکسل قبل از نسخه 2007، تابع =VARIN() برای محاسبه واریانس نمونه استفاده می شد؛ از نسخه 2010، تابع =VARIAN() استفاده می شود.

عملی ترین و پذیرفته شده ترین تخمین از گسترش داده ها است انحراف استاندارد نمونه. این نشانگر با علامت S نشان داده می شود و برابر است با ریشه دوماز واریانس نمونه:

در اکسل قبل از نسخه 2007، تابع =STDEV.() برای محاسبه انحراف نمونه استاندارد استفاده می شد؛ از نسخه 2010، تابع =STDEV.V() استفاده می شود. برای محاسبه این توابع، آرایه داده ممکن است نامرتب باشد.

نه واریانس نمونه و نه انحراف معیار نمونه نمی توانند منفی باشند. تنها حالتی که در آن شاخص های S 2 و S می توانند صفر باشند این است که همه عناصر نمونه با یکدیگر برابر باشند. در این حالت کاملا غیر محتمل، برد و محدوده بین چارکی نیز صفر است.

داده های عددی ذاتا متغیر هستند. هر متغیری می تواند تعداد زیادی را بگیرد معانی مختلف. به عنوان مثال، صندوق های سرمایه گذاری مختلف دارند شاخص های مختلفسود و زیان. با توجه به متغیر بودن داده های عددی، مطالعه نه تنها تخمین های میانگین، که ماهیت خلاصه ای دارند، بلکه تخمین های واریانس نیز که مشخصه پراکندگی داده ها هستند، بسیار مهم است.

پراکندگی و انحراف استاندارد به شما امکان می‌دهد تا میزان پراکندگی داده‌ها را حول مقدار متوسط ​​ارزیابی کنید، به عبارت دیگر، تعیین کنید که چه تعداد از عناصر نمونه کمتر از میانگین و چه تعداد بیشتر هستند. پراکندگی دارای برخی از خواص ریاضی ارزشمند است. با این حال، مقدار آن مربع واحد اندازه گیری است - درصد مربع، دلار مربع، اینچ مربع و غیره. بنابراین، معیار طبیعی پراکندگی، انحراف معیار است که در واحدهای رایج درصد درآمد، دلار یا اینچ بیان می‌شود.

انحراف استاندارد به شما این امکان را می دهد که مقدار تغییرات عناصر نمونه را حول مقدار متوسط ​​تخمین بزنید. تقریباً در همه شرایط، اکثر مقادیر مشاهده شده در محدوده مثبت یا منفی یک انحراف استاندارد از میانگین قرار دارند. در نتیجه، با دانستن میانگین حسابی عناصر نمونه و انحراف استاندارد نمونه، می توان بازه ای را تعیین کرد که بخش عمده ای از داده ها به آن تعلق دارد.

انحراف استاندارد بازده برای 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا 6.6 است (شکل 9). این بدان معنی است که سودآوری بخش عمده ای از وجوه با میانگین ارزش بیش از 6.6٪ متفاوت است (یعنی در محدوده ای از - اس= 6.2 - 6.6 = -0.4 به +S= 12.8). در واقع، متوسط ​​بازده سالانه پنج ساله 53.3٪ (8 از 15) صندوق ها در این محدوده قرار دارد.

برنج. 9. نمونه انحراف معیار

توجه داشته باشید که هنگام جمع کردن مجذور تفاوت ها، اقلام نمونه ای که از میانگین دورتر هستند، وزن بیشتری نسبت به اقلامی که به میانگین نزدیکتر هستند، دارند. این ویژگی دلیل اصلی استفاده از میانگین حسابی برای تخمین میانگین توزیع است.

ضریب تغییرات

برخلاف برآوردهای پراکندگی قبلی، ضریب تغییرات برابر است ارزیابی نسبی. همیشه به صورت درصد اندازه گیری می شود و نه واحدهای داده اصلی. ضریب تغییرات، که با نمادهای CV نشان داده می شود، پراکندگی داده ها را در اطراف میانگین اندازه گیری می کند. ضریب تغییرات برابر است با انحراف استاندارد تقسیم بر میانگین حسابی و ضرب در 100٪:

جایی که اس- انحراف نمونه استاندارد، - میانگین نمونه

ضریب تغییرات به شما امکان می دهد دو نمونه را که عناصر آنها در واحدهای اندازه گیری مختلف بیان می شوند مقایسه کنید. به عنوان مثال، مدیر یک سرویس ارسال پستی قصد دارد ناوگان کامیون های خود را تجدید کند. هنگام بارگیری بسته ها، دو محدودیت وجود دارد که باید در نظر گرفته شود: وزن (به پوند) و حجم (بر حسب فوت مکعب) هر بسته. فرض کنید در یک نمونه حاوی 200 کیسه، میانگین وزن 26.0 پوند، انحراف استاندارد وزن 3.9 پوند، میانگین حجم کیسه 8.8 فوت مکعب و انحراف استاندارد حجم 2.2 فوت مکعب باشد. چگونه می توان تفاوت وزن و حجم بسته ها را مقایسه کرد؟

از آنجایی که واحدهای اندازه گیری وزن و حجم با یکدیگر متفاوت هستند، مدیر باید گسترش نسبی این مقادیر را مقایسه کند. ضریب تغییر وزن CV W = 3.9 / 26.0 * 100٪ = 15٪ و ضریب تغییرات حجم CV V = 2.2 / 8.8 * 100٪ = 25٪ است. بنابراین، تغییرات نسبی در حجم بسته ها بسیار بیشتر از تغییرات نسبی در وزن آنها است.

فرم توزیع

سومین ویژگی مهم یک نمونه، شکل توزیع آن است. این توزیع ممکن است متقارن یا نامتقارن باشد. برای توصیف شکل یک توزیع، باید میانگین و میانه آن محاسبه شود. اگر این دو یکسان باشند، متغیر به طور متقارن توزیع شده در نظر گرفته می شود. اگر مقدار میانگین یک متغیر بیشتر از میانه باشد، توزیع آن دارای چولگی مثبت است (شکل 10). اگر میانه بزرگتر از میانگین باشد، توزیع متغیر دارای انحراف منفی است. چولگی مثبت زمانی رخ می دهد که میانگین به میزان غیرعادی افزایش یابد ارزش های بالا. چولگی منفی زمانی رخ می دهد که میانگین به مقادیر غیرمعمول کوچک کاهش یابد. یک متغیر به صورت متقارن توزیع می شود اگر هیچ مقدار افراطی در هر دو جهت نداشته باشد، به طوری که مقادیر بزرگ و کوچک متغیر یکدیگر را خنثی کنند.

برنج. 10. سه نوع توزیع

داده های نشان داده شده در مقیاس A دارای انحراف منفی هستند. در این شکل می توانید ببینید یک دم بلندو چولگی سمت چپ ناشی از وجود مقادیر غیرمعمول کوچک است. این مقادیر بسیار کوچک، مقدار متوسط ​​را به سمت چپ منتقل می کند و آن را کمتر از میانه می کند. داده های نشان داده شده در مقیاس B به طور متقارن توزیع می شوند. نیمه چپ و راست توزیع تصاویر آینه ای از خودشان هستند. مقادیر بزرگ و کوچک یکدیگر را متعادل می کنند و میانگین و میانه برابر هستند. داده های نشان داده شده در مقیاس B دارای انحراف مثبت هستند. این شکل یک دم بلند و یک انحراف به سمت راست را نشان می دهد که ناشی از وجود مقادیر غیرمعمول بالا است. اینها هم هستند مقادیر زیادمقدار متوسط ​​را به راست منتقل کنید و از میانه بزرگتر می شود.

در اکسل، آمار توصیفی را می توان با استفاده از افزونه به دست آورد بسته تحلیلی. از طریق منو بروید داده ها → تحلیل داده ها، در پنجره باز شده خط را انتخاب کنید آمار توصیفیو کلیک کنید خوب. در پنجره آمار توصیفیحتما نشان دهید فاصله ورودی(شکل 11). اگر می‌خواهید آمار توصیفی را در همان برگه داده‌های اصلی ببینید، دکمه رادیویی را انتخاب کنید فاصله خروجیو سلولی را مشخص کنید که گوشه سمت چپ بالای آمار نمایش داده شده در آن قرار گیرد (در مثال ما، $C$1). اگر می‌خواهید داده‌ها را به یک صفحه جدید یا به کتاب جدید، فقط سوئیچ مناسب را انتخاب کنید. کادر کناری را علامت بزنید آمار خلاصه. در صورت تمایل می توانید انتخاب کنید سطح دشواری،kth کوچکترین وkth بزرگترین.

در صورت سپرده گذاری داده هادر منطقه تحلیل و بررسیشما نماد را نمی بینید تحلیل داده ها، ابتدا باید افزونه را نصب کنید بسته تحلیلی(به عنوان مثال نگاه کنید به).

برنج. 11. آمار توصیفی میانگین بازده سالانه پنج ساله وجوه با سطوح ریسک بسیار بالا، محاسبه شده با استفاده از افزونه تحلیل داده هابرنامه های اکسل

اکسل تعدادی از آمارهای مورد بحث در بالا را محاسبه می کند: میانگین، میانه، حالت، انحراف استاندارد، واریانس، محدوده ( فاصله)، حداقل، حداکثر و حجم نمونه ( بررسی). اکسل همچنین برخی از آمارها را محاسبه می کند که برای ما جدید هستند: خطای استاندارد، کشیدگی و چولگی. خطای استانداردبرابر با انحراف معیار تقسیم بر جذر حجم نمونه. عدم تقارنانحراف از تقارن توزیع را مشخص می کند و تابعی است که به مکعب تفاوت بین عناصر نمونه و مقدار متوسط ​​بستگی دارد. کورتوز اندازه گیری غلظت نسبی داده ها در اطراف میانگین در مقایسه با انتهای توزیع است و به تفاوت بین عناصر نمونه و میانگین افزایش یافته به توان چهارم بستگی دارد.

محاسبه آمار توصیفیبرای جمعیت

میانگین، گسترش و شکل توزیع مورد بحث در بالا مشخصه هایی هستند که از نمونه تعیین می شوند. با این حال، اگر مجموعه داده شامل اندازه گیری های عددی کل جمعیت باشد، می توان پارامترهای آن را محاسبه کرد. چنین پارامترهایی شامل مقدار مورد انتظار، پراکندگی و انحراف معیار جمعیت است.

ارزش مورد انتظاربرابر با مجموع همه مقادیر در جمعیت تقسیم بر اندازه جمعیت:

جایی که µ - ارزش مورد انتظار، ایکسمن- منمشاهده امین متغیر ایکس, ن- حجم جمعیت عمومی در اکسل، برای محاسبه انتظارات ریاضی، از تابعی مشابه برای میانگین حسابی استفاده می شود: =AVERAGE().

واریانس جمعیتبرابر با مجموع مجذورات تفاوت بین عناصر جمعیت عمومی و حصیر. انتظارات تقسیم بر اندازه جمعیت:

جایی که σ 2- پراکندگی جمعیت عمومی در اکسل قبل از نسخه 2007، تابع =VARP() برای محاسبه واریانس یک جامعه، با نسخه 2010 =VARP() استفاده می شود.

انحراف معیار جمعیتبرابر با جذر واریانس جمعیت:

در اکسل قبل از نسخه 2007، تابع =STDEV() برای محاسبه انحراف استاندارد یک جمعیت، با نسخه 2010 =STDEV.Y() استفاده می شود. توجه داشته باشید که فرمول های واریانس جامعه و انحراف معیار با فرمول های محاسبه واریانس نمونه و انحراف معیار متفاوت است. هنگام محاسبه نمونه آمار S 2و اسمخرج کسری است n – 1، و هنگام محاسبه پارامترها σ 2و σ - حجم جمعیت عمومی ن.

حساب سرانگشتی

در بیشتر موقعیت ها، بخش بزرگی از مشاهدات در اطراف میانه متمرکز شده و یک خوشه را تشکیل می دهند. در مجموعه داده‌های دارای چولگی مثبت، این خوشه در سمت چپ (یعنی پایین) انتظار ریاضی و در مجموعه‌های دارای چولگی منفی، این خوشه در سمت راست (یعنی بالا) انتظار ریاضی قرار دارد. برای داده‌های متقارن، میانگین و میانه یکسان هستند و مشاهدات در اطراف میانگین جمع می‌شوند و توزیعی زنگ‌شکل را تشکیل می‌دهند. اگر توزیع به وضوح انحراف نداشته باشد و داده ها حول مرکز ثقل متمرکز شوند، یک قانون کلی که می تواند برای تخمین تغییرپذیری استفاده شود این است که اگر داده ها دارای توزیع زنگی شکل باشند، تقریباً 68٪ از مشاهدات در داخل هستند. یک انحراف معیار از مقدار مورد انتظار تقریباً 95% مشاهدات بیش از دو انحراف معیار با انتظارات ریاضی فاصله ندارند و 99.7% مشاهدات بیش از سه انحراف استاندارد با انتظارات ریاضی فاصله ندارند.

بنابراین، انحراف معیار، که تخمینی از تغییرات میانگین حول مقدار مورد انتظار است، به درک نحوه توزیع مشاهدات و شناسایی نقاط پرت کمک می کند. قاعده کلی این است که برای توزیع‌های زنگ‌شکل، تنها یک مقدار از بیست با انتظارات ریاضی بیش از دو انحراف استاندارد متفاوت است. بنابراین، مقادیر خارج از بازه زمانی μ ± 2σ، را می توان پرت در نظر گرفت. علاوه بر این، تنها سه مورد از 1000 مشاهده با انتظارات ریاضی بیش از سه انحراف استاندارد متفاوت است. بنابراین، مقادیر خارج از بازه μ ± 3σتقریبا همیشه پرت هستند. برای توزیع‌هایی که بسیار کج هستند یا به شکل زنگ نیستند، می‌توان از قانون Bienamay-Chebyshev استفاده کرد.

بیش از صد سال پیش، Bienamay و Chebyshev ریاضیدانان به طور مستقل کشف کردند دارایی مفیدانحراف معیار. آنها دریافتند که برای هر مجموعه داده، صرف نظر از شکل توزیع، درصد مشاهداتی که در فاصله ای از کانحراف استاندارد از انتظارات ریاضی، نه کمتر (1 – 1/ k 2) * 100٪.

به عنوان مثال، اگر ک= 2، قانون Bienname-Chebyshev بیان می کند که حداقل (1 - (1/2) 2) x 100٪ = 75٪ از مشاهدات باید در فاصله زمانی قرار گیرند. μ ± 2σ. این قانون برای هر کسی صادق است ک، بیش از یک قانون Bienamay-Chebyshev بسیار کلی است و برای هر نوع توزیعی معتبر است. حداقل تعداد مشاهدات را مشخص می کند، فاصله ای که از آن تا انتظارات ریاضی از مقدار مشخص شده تجاوز نمی کند. با این حال، اگر توزیع به شکل زنگ باشد، قانون سرانگشتی با دقت بیشتری غلظت داده ها را در اطراف مقدار مورد انتظار تخمین می زند.

محاسبه آمار توصیفی برای یک توزیع مبتنی بر فرکانس

اگر داده های اصلی در دسترس نباشند، توزیع فرکانس تنها منبع اطلاعات می شود. در چنین شرایطی می توان مقادیر تقریبی شاخص های کمی توزیع مانند میانگین حسابی، انحراف معیار و چارک ها را محاسبه کرد.

اگر داده های نمونه به عنوان توزیع فرکانس ارائه شوند، تقریبی از میانگین حسابی را می توان با این فرض محاسبه کرد که تمام مقادیر درون هر کلاس متمرکز شده اند. نقطه میانیکلاس:

جایی که - میانگین نمونه، n- تعداد مشاهدات، یا حجم نمونه، با- تعداد کلاس ها در توزیع فرکانس، m j- نقطه میانی jکلاس هفتم، fj- فرکانس متناظر j-کلاس.

برای محاسبه انحراف استاندارد از توزیع فرکانس، همچنین فرض می شود که تمام مقادیر درون هر کلاس در نقطه میانی کلاس متمرکز شده اند.

برای درک چگونگی تعیین چارک یک سری بر اساس فرکانس، محاسبه چارک پایین را بر اساس داده های سال 2013 در مورد توزیع جمعیت روسیه بر اساس درآمد سرانه متوسط ​​پولی در نظر بگیرید (شکل 12).

برنج. 12. سهم جمعیت روسیه با میانگین درآمد نقدی سرانه در ماه، روبل

برای محاسبه ربع اول یک سری تغییرات بازه ای، می توانید از فرمول استفاده کنید:

در جایی که Q1 مقدار چارک اول است، xQ1 حد پایین بازه حاوی چارک اول است (فاصله با فرکانس انباشته شده تعیین می شود که ابتدا از 25٪ تجاوز می کند). i - مقدار فاصله؛ Σf – مجموع فرکانس های کل نمونه. احتمالاً همیشه برابر با 100٪ است. SQ1-1 - فرکانس انباشته فاصله قبل از بازه حاوی چارک پایین. fQ1 - فرکانس بازه حاوی چارک پایین. فرمول چارک سوم از این جهت متفاوت است که در همه جاها باید از Q3 به جای Q1 استفاده کنید و به جای ¼ از ¾ استفاده کنید.

در مثال ما (شکل 12)، چارک پایین در محدوده 7000.1 - 10000 است که فرکانس انباشته آن 26.4٪ است. حد پایین این فاصله 7000 روبل است، مقدار فاصله 3000 روبل است، فرکانس انباشته فاصله قبل از بازه حاوی چارک پایین 13.4٪ است، فرکانس بازه حاوی چارک پایین 13.0٪ است. بنابراین: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 = 9677 روبل.

مشکلات مرتبط با آمار توصیفی

در این پست، نحوه توصیف یک مجموعه داده را با استفاده از آمارهای مختلف که میانگین، پراکندگی و توزیع آن را ارزیابی می‌کند، بررسی کردیم. مرحله بعدی تجزیه و تحلیل و تفسیر داده ها است. تاکنون ویژگی های عینی داده ها را مطالعه کرده ایم و اکنون به تفسیر ذهنی آنها می پردازیم. محقق با دو اشتباه مواجه است: انتخاب نادرست موضوع تحلیل و تفسیر نادرست از نتایج.

تجزیه و تحلیل بازده 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک بسیار پرریسک کاملاً بی طرفانه است. او به نتایج کاملاً عینی منجر شد: همه صندوق‌های سرمایه‌گذاری بازده متفاوتی دارند، اسپرد بازده صندوق از 6.1- تا 18.5 متغیر است و میانگین بازدهی 6.08 است. عینیت تجزیه و تحلیل داده ها تضمین می شود انتخاب درستکل شاخص های کمی توزیع چندین روش برای تخمین میانگین و پراکندگی داده ها در نظر گرفته شد و مزایا و معایب آنها بیان شد. چگونه آمار مناسب را برای ارائه یک تحلیل عینی و بی طرفانه انتخاب می کنید؟ اگر توزیع داده ها کمی کج است، آیا باید به جای میانگین، میانه را انتخاب کنید؟ کدام شاخص به طور دقیق تری گسترش داده ها را مشخص می کند: انحراف استاندارد یا محدوده؟ آیا باید اشاره کنیم که توزیع دارای انحراف مثبت است؟

از سوی دیگر، تفسیر داده ها یک فرآیند ذهنی است. مردم مختلفهنگام تفسیر نتایج یکسان به نتایج متفاوتی می رسند. هر کس دیدگاه خود را دارد. شخصی میانگین کل بازده سالانه 15 صندوق با سطح ریسک بسیار بالا را خوب می داند و از درآمد دریافتی کاملا راضی است. دیگران ممکن است احساس کنند که این وجوه بازده بسیار کمی دارند. بنابراین، ذهنیت باید با صداقت، بی طرفی و وضوح نتیجه گیری جبران شود.

مسائل اخلاقی

تجزیه و تحلیل داده ها به طور جدایی ناپذیری با مسائل اخلاقی مرتبط است. شما باید نسبت به اطلاعات منتشر شده توسط روزنامه ها، رادیو، تلویزیون و اینترنت انتقاد کنید. با گذشت زمان، شما یاد خواهید گرفت که نه تنها نسبت به نتایج، بلکه در مورد اهداف، موضوع و عینیت تحقیق نیز شک داشته باشید. سیاستمدار معروف بریتانیایی بنجامین دیزرائیلی به بهترین وجه گفت: سه نوع دروغ وجود دارد: دروغ، دروغ لعنتی و آمار.

همانطور که در یادداشت ذکر شد، هنگام انتخاب نتایجی که باید در گزارش ارائه شود، مسائل اخلاقی مطرح می شود. شما باید هم مثبت و هم نتایج منفی. علاوه بر این، هنگام تهیه گزارش یا گزارش مکتوب، نتایج باید صادقانه، بی طرفانه و عینی ارائه شود. بین ارائه های ناموفق و ناصادقانه باید تمایز قائل شد. برای این کار باید مشخص شود که قصد گوینده چه بوده است. گاهی گوینده از روی ناآگاهی اطلاعات مهم را حذف می کند و گاهی عمدی است (مثلاً اگر از میانگین حسابی برای تخمین میانگین داده های واضح کج شده استفاده کند تا به نتیجه مطلوب برسد). همچنین سرکوب نتایجی که با دیدگاه محقق مطابقت ندارد، غیر صادقانه است.

از مطالب کتاب لوین و همکاران آمار برای مدیران استفاده شده است. - م.: ویلیامز، 2004. - ص. 178-209

تابع QUARTILE باقی مانده است تا با موارد دیگر ترکیب شود نسخه های قبلیبرتری داشتن