So lösen Sie Gleichungen mit gebrochenen Potenzen. Exponentialgleichungen. Lösungen

Beispiele:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen, streben wir danach, sie in die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu bringen und dann zur Gleichheit der Exponenten überzugehen, das heißt:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Zum Beispiel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Wichtig! Aus derselben Logik ergeben sich zwei Anforderungen für einen solchen Übergang:
- Zahl in links und rechts sollten gleich sein;
- die Grade links und rechts müssen „rein“ sein, das heißt, es sollte keine Multiplikation, Division usw. geben.

Zum Beispiel:

Um die Gleichung auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu reduzieren, werden und verwendet.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Lösung:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wir wissen, dass \(27 = 3^3\). Unter Berücksichtigung dessen transformieren wir die Gleichung.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Durch die Eigenschaft der Wurzel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) erhalten wir, dass \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Als nächstes erhalten wir unter Verwendung der Eigenschaft des Grades \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wir wissen auch, dass \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Wenn wir dies auf die linke Seite anwenden, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Denken Sie nun daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch in verwendet werden Rückseite: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Wenn wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite anwenden, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Und jetzt sind unsere Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.
		Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Lösung: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Wir verwenden wieder die Potenzeigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in die entgegengesetzte Richtung. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Unter Verwendung der Gradeigenschaften transformieren wir: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Wir schauen uns die Gleichung genau an und stellen fest, dass sich die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Wir haben jedoch die Werte von \(t\) gefunden und benötigen \(x\). Wir kehren zu den X zurück und führen eine umgekehrte Ersetzung durch. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Lassen Sie uns die zweite Gleichung mithilfe der negativen Potenzeigenschaft transformieren ... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...und wir entscheiden bis zur Antwort. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Antwort : \(-1; 1\). Die Frage bleibt: Wie erkennt man, wann welche Methode anzuwenden ist? Dazu gehört Erfahrung. Bis Sie es bekommen, verwenden Sie es allgemeine Empfehlung um komplexe Probleme zu lösen – „Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können.“ Das heißt, suchen Sie nach einer Möglichkeit, die Gleichung im Prinzip umzuwandeln, und versuchen Sie es – was ist, wenn was passiert? Die Hauptsache ist, nur mathematisch basierte Transformationen durchzuführen. Exponentialgleichungen ohne Lösungen Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren: - eine positive Zahl hoch ist gleich Null, zum Beispiel \(2^x=0\); - Eine positive Zahl ist gleich einer Potenz einer negativen Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\). Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, nimmt mit zunehmendem x die gesamte Potenz \(2^x\) nur zu: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Auch von. Es bleiben negative X übrig. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie nie Null erreichen. Der negative Abschluss hat uns also nicht gerettet. Wir kommen zu einem logischen Schluss: Eine in jedem Grad positive Zahl bleibt eine positive Zahl. Somit haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen. Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Grundlagen In der Praxis stoßen wir manchmal auf Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Basen, die nicht aufeinander reduzierbar sind, und gleichzeitig mit den gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind. Zum Beispiel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch eine beliebige Seite der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \(b^(f(x))\). Sie können auf diese Weise dividieren, weil eine positive Zahl vorliegt ist positiv zu jeder Potenz (d. h. wir dividieren nicht durch Null) Wir erhalten: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Lösung: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Hier werden wir nicht in der Lage sein, eine Fünf in eine Drei umzuwandeln oder umgekehrt (zumindest ohne die Verwendung). Das bedeutet, dass wir nicht zur Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\ kommen können. Die Indikatoren sind jedoch dieselben. Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (wir können dies tun, weil wir wissen, dass drei zu keinem Grad Null sein wird). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Merken Sie sich nun die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie von links in die entgegengesetzte Richtung. Rechts reduzieren wir einfach den Bruch. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Es scheint, dass die Dinge nicht besser geworden sind. Aber denken Sie an eine weitere Potenzeigenschaft: \(a^0=1\), mit anderen Worten: „Jede Zahl hoch zur Nullpotenz ist gleich \(1\).“ Das Umgekehrte gilt auch: „Eins kann als jede beliebige Zahl hoch null dargestellt werden.“ Machen wir uns dies zunutze, indem wir die Basis rechts und links gleich gestalten. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Lasst uns die Basen loswerden. Wir schreiben eine Antwort. Antwort : \(-7\). Manchmal ist die „Gleichheit“ von Exponenten nicht offensichtlich, aber der geschickte Einsatz der Eigenschaften von Exponenten löst dieses Problem. Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lösung: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Die Gleichung sieht sehr traurig aus... Nicht nur, dass die Basen nicht auf die gleiche Zahl reduziert werden können (sieben wird in keiner Weise gleich \(\frac(1)(3)\) sein), sondern auch die Exponenten sind unterschiedlich. .. Verwenden wir jedoch den linken Exponenten Deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Unter Berücksichtigung der Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b·c)\) transformieren wir von links: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft des negativen Grades \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren von rechts: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Die Indikatoren sind die gleichen! Nach dem uns bereits bekannten Schema lösen wir vor der Antwort. Antwort : \(2\).

Diese Lektion richtet sich an diejenigen, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit der Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben – linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können ist unbedingt notwendig, um nicht in der nun behandelten Thematik „steckenzubleiben“.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele nennen:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige davon mögen Ihnen komplexer erscheinen, während andere im Gegenteil zu einfach sind. Aber eines haben sie alle gemeinsam wichtiges Zeichen: Ihre Notation enthält die Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Lassen Sie uns daher die Definition einführen:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d. h. Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten – Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Wir haben die Definition geklärt. Die Frage ist nun: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist sowohl einfach als auch komplex.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit dem Unterrichten vieler Studenten kann ich sagen, dass die meisten von ihnen Exponentialgleichungen viel einfacher finden als die gleichen Logarithmen und vor allem die Trigonometrie.

Aber es gibt eine schlechte Nachricht: Manchmal werden die Verfasser von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ getroffen und ihr von Drogen berauschtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass ihre Lösung nicht nur für Schüler, sondern sogar für viele Lehrer problematisch wird bleib bei solchen Problemen hängen.

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jedes davon zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, auf welche Potenz muss man die Zahl 2 erhöhen, um die Zahl 4 zu erhalten? Wahrscheinlich der zweite? Schließlich ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ – und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d. h. tatsächlich $x=2$. Danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte. :)

Schauen wir uns die folgende Gleichung an:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas komplizierter. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ die Multiplikationstabelle ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition negativer Potenzen ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich erkennen nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und zu folgendem Ergebnis führen:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Daher wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Aber das ist schon völlig lösbar! Links in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, rechts in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, außer ihnen gibt es nirgendwo etwas anderes. Daher können wir die Grundlagen „verwerfen“ und die Indikatoren dummerweise gleichsetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung erhalten, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „ lineare Gleichungen„Und wiederhole es. Denn ohne ein klares Verständnis dieses Themas ist es zu früh, sich mit Exponentialgleichungen auseinanderzusetzen.

\[((9)^(x))=-3\]

Wie können wir das also lösen? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, daher kann die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns daran, dass bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung erhalten wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn mit dem Gleichmut eines Pokémon haben wir das Minuszeichen vor die Drei in die Potenz dieser Drei gesetzt. Aber das kannst du nicht tun. Und deshalb. Schauen Sie sich die verschiedenen Potenzen der Drei an:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bei der Zusammenstellung dieser Tafel habe ich nichts verfälscht: Ich habe mir positive Potenzen angeschaut, und negative, und sogar gebrochene Potenzen ... Nun, wo ist hier mindestens eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte(egal wie viel Sie eins multiplizieren oder durch zwei dividieren, es wird immer noch eine positive Zahl sein), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion – die Zahl $a$ – per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Aber auf keinen Fall: Es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen den quadratischen Gleichungen sehr ähnlich – es darf auch keine Wurzeln geben. Wenn aber in quadratischen Gleichungen die Anzahl der Wurzeln durch die Diskriminante bestimmt wird (positive Diskriminante – 2 Wurzeln, negativ – keine Wurzeln), dann hängt bei exponentiellen Gleichungen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Formulieren wir also die wichtigste Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, das Problem zu lösen oder sofort aufzuschreiben, dass es keine Wurzeln gibt?

Dieses Wissen wird uns oft helfen, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. Jetzt aber genug der Texte – es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Formulieren wir also das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem „naiven“ Algorithmus, den wir zuvor verwendet haben, ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Wenn außerdem anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck vorhanden ist, erhalten wir eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90 % der Fälle. Was ist dann mit den restlichen 10 %? Die restlichen 10 % sind leicht „schizophrene“ Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Nun, auf welche Potenz muss man 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? Erste? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. Zweite? Auch nein: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Welches denn?

Versierte Studierende haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es nicht möglich ist, es „schön“ zu lösen, kommt die „schwere Artillerie“ – Logarithmen – ins Spiel. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mit Logarithmen jede positive Zahl als Potenz einer anderen Zahl dargestellt werden kann positive Zahl(bis auf einen):

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich immer: Diese Formel (die auch die grundlegende logarithmische Identität oder, wenn Sie so wollen, die Definition eines Logarithmus ist) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie ist aufgetaucht. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite reduzieren möchten, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort erhalten: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele an einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hätte? Ich beeile mich, Ihnen zu gefallen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine völlig typische Situation. Also gewöhne dich daran. :)

Nun lösen wir die verbleibenden beiden Gleichungen analog:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir haben einen Multiplikator zum Argument des Logarithmus eingeführt. Aber niemand hält uns davon ab, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

Darüber hinaus sind alle drei Optionen richtig – es ist ganz einfach verschiedene Formen Datensätze mit der gleichen Nummer. Welche Sie in dieser Lösung auswählen und aufschreiben möchten, liegt bei Ihnen.

Somit haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ streng positiv sind. Jedoch harte Realität Unsere Welt ist so ähnlich einfache Aufgaben Sie werden sich sehr, sehr selten treffen. Meistens werden Sie auf so etwas stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Wie können wir das also lösen? Lässt sich das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen lassen sich schnell und einfach auf die einfachen Formeln reduzieren, die wir bereits betrachtet haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebrakurs merken. Und natürlich gibt es keine Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen. Das alles erzähle ich euch jetzt. :)

Exponentialgleichungen umwandeln

Das Erste, woran man sich erinnern sollte: Jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie auch sein mag, muss auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden – diejenigen, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten, das Schema zur Lösung einer beliebigen Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:

1. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Mach irgendeinen seltsamen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens „Gleichung umwandeln“;
3. Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke der Form $((4)^(x))=4$ oder etwas Ähnliches. Darüber hinaus kann eine Ausgangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig ergeben.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar – sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt Papier schreiben. Auch der dritte Punkt scheint mehr oder weniger klar zu sein – wir haben oben bereits eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was für Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich Folgendes anmerken. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Die Gleichung besteht aus Exponentialfunktionen mit derselben Basis. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Gründen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs – sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei der Lösung wird uns eine Technik wie das Hervorheben stabiler Ausdrücke helfen.

Einen stabilen Ausdruck isolieren

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier sind unterschiedlich stark angehoben. Aber alle diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher ist es notwendig, sich an die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen zu erinnern:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Einfach ausgedrückt kann die Addition in ein Potenzprodukt umgewandelt werden, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Grade aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt noch, beide Seiten der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, d.h. im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf ihre einfachste Form reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir im Lösungsprozess den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und ihn sogar aus der Klammer genommen) – das ist ein stabiler Ausdruck. Sie kann als neue Variable bezeichnet werden oder Sie können sie einfach sorgfältig ausdrücken und die Antwort erhalten. Das Kernprinzip der Lösung lautet jedenfalls wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die sich leicht von allen Exponentialfunktionen unterscheiden lässt.

Die gute Nachricht ist, dass Sie mit fast jeder Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck isolieren können.

Die schlechte Nachricht ist jedoch, dass diese Ausdrücke ziemlich knifflig und schwer zu identifizieren sein können. Schauen wir uns also ein weiteres Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft?“ Hier gibt es verschiedene Basen – 5 und 0,2.“ Aber versuchen wir, die Potenz auf die Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden, indem wir ihn auf einen regulären Bruch reduzieren:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, kam die Zahl 5 immer noch vor, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator in negativ umgeschrieben. Und jetzt erinnern wir uns an eines davon die wichtigsten Regeln Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig gelogen. Denn zum vollständigen Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit Brüchen zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Aber in diesem Fall müssen Sie in der Lage sein, eine Potenz auf eine andere Potenz zu erhöhen (ich möchte Sie daran erinnern: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht „umkehren“ – vielleicht ist das für einige einfacher. :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher gelöst werden kann als die zuvor betrachtete: Hier muss nicht einmal ein stabiler Ausdruck ausgewählt werden – alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die Lösung! Wir haben die endgültige Antwort erhalten: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich eine Technik erwähnen, die uns alle Berechnungen erheblich vereinfacht hat:

Bei Exponentialgleichungen unbedingt darauf verzichten Dezimalzahlen, wandeln Sie sie in normale um. Dadurch können Sie die gleichen Gradzahlen sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Kommen wir nun zu komplexeren Gleichungen, in denen es verschiedene Basen gibt, die sich mit Potenzen überhaupt nicht auf einander reduzieren lassen.

Verwenden der Degrees-Eigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welcher Grundlage gegeben werden soll. Wo sind die stabilen Ausdrücke? Wo sind die gleichen Gründe? Davon gibt es nichts.

Aber versuchen wir, einen anderen Weg zu gehen. Wenn es keine fertigen identischen Basen gibt, können Sie versuchen, diese durch Faktorisieren der vorhandenen Basen zu finden.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Sie können aber auch das Gegenteil tun – aus den Zahlen 7 und 3 die Zahl 21 bilden. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten außerhalb des Produkts genommen und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Schauen wir uns nun die zweite Gleichung an. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In diesem Fall erwiesen sich die Brüche als irreduzibel, aber wenn etwas reduziert werden konnte, reduzieren Sie es unbedingt. Oftmals tauchen interessante Gründe auf, mit denen man bereits arbeiten kann.

Leider hat sich für uns nichts Besonderes ergeben. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Ich möchte Sie daran erinnern: Um das Minuszeichen im Indikator zu entfernen, müssen Sie nur den Bruch „umdrehen“. Nun, schreiben wir die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach ausgeführt allgemeiner Indikator aus dem Produkt aus Klammern nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, und in letzterem einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, es ist offensichtlich: Es handelt sich um Potenzen gleicher Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Daher wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

In diesem Fall erhalten Sie rechts auch einen Grad mit der gleichen Basis, für den es genügt, den Bruch einfach „umzudrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Unsere Gleichung wird schließlich die Form annehmen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die Lösung. Seine Hauptidee läuft darauf hinaus, dass sogar mit verschiedene Basen x Wir versuchen, diese Grundlagen auf Biegen und Brechen auf dasselbe zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Umformungen von Gleichungen und Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann sind sie anzuwenden? Wie verstehen Sie, dass Sie in einer Gleichung beide Seiten durch etwas dividieren müssen und in einer anderen die Basis der Exponentialfunktion faktorisieren müssen?

Die Antwort auf diese Frage wird mit der Erfahrung kommen. Versuchen Sie es zunächst einmal einfache Gleichungen, und verkomplizieren Sie dann die Aufgaben nach und nach – und schon bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede Exponentialgleichung aus demselben Einheitlichen Staatsexamen oder einer unabhängigen/Testarbeit zu lösen.

Und um Ihnen in dieser schwierigen Angelegenheit zu helfen, schlage ich vor, einen Satz Gleichungen herunterzuladen unabhängige Entscheidung. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst testen können.

In der Phase der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung müssen Gymnasiasten ihr Wissen zum Thema verbessern „ Exponentialgleichungen" Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben für Schüler gewisse Schwierigkeiten bereiten. Daher müssen Gymnasiasten, unabhängig von ihrem Vorbereitungsstand, die Theorie gründlich beherrschen, sich die Formeln merken und das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen verstehen. Nachdem die Absolventen gelernt haben, mit solchen Problemen umzugehen, können sie beim Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik mit guten Ergebnissen rechnen.

Machen Sie sich bereit für die Prüfungsprüfung mit Shkolkovo!

Bei der Durchsicht der behandelten Materialien stehen viele Studierende vor dem Problem, die Formeln zu finden, die zum Lösen von Gleichungen erforderlich sind. Nicht immer ist ein Schulbuch zur Hand und die Auswahl der nötigen Informationen zu einem Thema im Internet dauert lange.

Das Bildungsportal Shkolkovo lädt Studierende ein, unsere Wissensdatenbank zu nutzen. Wir setzen komplett um neue Methode Vorbereitung auf die Abschlussprüfung. Durch das Studium auf unserer Website können Sie Wissenslücken erkennen und sich auf die Aufgaben konzentrieren, die die größten Schwierigkeiten bereiten.

Die Lehrer von Shkolkovo haben alles Notwendige für den Erfolg gesammelt, systematisiert und präsentiert Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens Material in der einfachsten und zugänglichsten Form.

Grundlegende Definitionen und Formeln werden im Abschnitt „Theoretischer Hintergrund“ vorgestellt.

Um den Stoff besser zu verstehen, empfehlen wir Ihnen, die Bearbeitung der Aufgaben zu üben. Sehen Sie sich die Beispiele für Exponentialgleichungen mit Lösungen auf dieser Seite sorgfältig an, um den Berechnungsalgorithmus zu verstehen. Fahren Sie anschließend mit der Ausführung der Aufgaben im Abschnitt „Verzeichnisse“ fort. Sie können mit den einfachsten Aufgaben beginnen oder direkt mit der Lösung komplexer Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten fortfahren oder . Die Übungsdatenbank auf unserer Website wird ständig ergänzt und aktualisiert.

Beispiele mit Indikatoren, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet haben, können Sie zu Ihren „Favoriten“ hinzufügen. Auf diese Weise können Sie sie schnell finden und die Lösung mit Ihrem Lehrer besprechen.

Um das Einheitliche Staatsexamen erfolgreich zu bestehen, lernen Sie jeden Tag auf dem Shkolkovo-Portal!

Erste Ebene

Exponentialgleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Hallo! Heute werden wir mit Ihnen besprechen, wie Sie Gleichungen lösen können, die entweder elementar sein können (und ich hoffe, dass nach der Lektüre dieses Artikels fast alle für Sie so sein werden) und solche, die normalerweise „zum Ausfüllen“ angegeben werden. Offenbar um endlich einzuschlafen. Aber ich werde versuchen, alles Mögliche zu tun, damit Sie jetzt nicht in Schwierigkeiten geraten, wenn Sie mit solchen Gleichungen konfrontiert werden. Ich rede jetzt nicht mehr um den heißen Brei herum, verrate euch aber gleich ein kleines Geheimnis: Heute lernen wir Exponentialgleichungen.

Bevor ich mit der Analyse von Lösungsmöglichkeiten fortfahre, werde ich Ihnen gleich eine Reihe (ziemlich kleiner) Fragen skizzieren, die Sie wiederholen sollten, bevor Sie dieses Thema überstürzt angehen. Also, um zu bekommen bestes Ergebnis, Bitte, wiederholen:

1. Eigenschaften und
2. Lösung und Gleichungen

Wiederholt? Toll! Dann wird es Ihnen nicht schwer fallen zu erkennen, dass die Wurzel der Gleichung eine Zahl ist. Verstehst du genau, wie ich es gemacht habe? Ist es wahr? Dann machen wir weiter. Beantworten Sie nun meine Frage: Was ist gleich der dritten Potenz? Du hast absolut recht: . Welche Zweierpotenz ist acht? Genau – der Dritte! Weil. Versuchen wir nun, das folgende Problem zu lösen: Lassen Sie mich die Zahl einmal mit sich selbst multiplizieren und das Ergebnis erhalten. Die Frage ist, wie oft habe ich mit mir selbst multipliziert? Sie können dies natürlich direkt überprüfen:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ausrichten)

Daraus lässt sich schließen, dass ich mal mit mir selbst multipliziert habe. Wie kann man das sonst überprüfen? So geht's: direkt per Definition des Grades: . Aber Sie müssen zugeben, wenn ich fragen würde, wie oft zwei mit sich selbst multipliziert werden müssen, um beispielsweise zu erhalten, würden Sie mir sagen: Ich mache mir nichts vor und multipliziere mit sich selbst, bis mir blau im Gesicht wird. Und er hätte vollkommen Recht. Denn wie kannst du Schreiben Sie alle Schritte kurz auf(und Kürze ist die Schwester des Talents)

wo - das sind die gleichen "mal", wenn man mit sich selbst multipliziert.

Ich denke, dass Sie wissen (und wenn Sie es nicht wissen, wiederholen Sie dringend, ganz dringend die Abschlüsse!), dann wird mein Problem in der Form geschrieben:

Wie können Sie vernünftigerweise zu dem Schluss kommen, dass:

Also schrieb ich unbemerkt das Einfachste auf Exponentialgleichung:

Und ich habe ihn sogar gefunden Wurzel. Finden Sie nicht, dass alles völlig trivial ist? Ich denke genau das Gleiche. Hier ist ein weiteres Beispiel für Sie:

Aber was soll man machen? Schließlich kann es nicht als Potenz einer (vernünftigen) Zahl geschrieben werden. Verzweifeln wir nicht und stellen wir fest, dass diese beiden Zahlen perfekt durch die Potenz derselben Zahl ausgedrückt werden. Welcher? Rechts: . Dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt:

Wo, wie Sie bereits verstanden haben, . Lasst uns nicht länger zögern und es aufschreiben Definition:

In unserem Fall: .

Diese Gleichungen werden gelöst, indem man sie auf die Form reduziert:

Anschließend wird die Gleichung gelöst

Tatsächlich haben wir im vorherigen Beispiel genau das getan: Wir haben Folgendes erhalten: Und wir haben die einfachste Gleichung gelöst.

Es scheint nichts Kompliziertes zu sein, oder? Lassen Sie uns zunächst an den einfachsten üben Beispiele:

Wir sehen erneut, dass die rechte und linke Seite der Gleichung als Potenzen einer Zahl dargestellt werden müssen. Auf der linken Seite ist dies zwar bereits geschehen, auf der rechten Seite steht jedoch eine Nummer. Aber es ist in Ordnung, denn meine Gleichung wird sich auf wundersame Weise in diese verwandeln:

Was musste ich hier verwenden? Welche Regel? Regel „Grad in Grad“ welches lautet:

Was ist, wenn:

Bevor wir diese Frage beantworten, füllen wir die folgende Tabelle aus:

Es fällt uns leicht zu bemerken, dass je weniger, desto weniger wert, aber dennoch sind alle diese Werte größer als Null. UND DAS WIRD IMMER SO SEIN!!! Die gleiche Eigenschaft gilt FÜR JEDE BASIS MIT JEDEM INDIKATOR!! (für alle und). Was können wir dann über die Gleichung schließen? Hier ist, was es ist: es hat keine Wurzeln! So wie jede Gleichung keine Wurzeln hat. Jetzt lasst uns üben und Lassen Sie uns einfache Beispiele lösen:

Lass uns das Prüfen:

1. Hier wird von Ihnen nichts verlangt außer Kenntnissen über die Eigenschaften von Graden (die ich übrigens wiederholen sollte!) In der Regel führt alles zur kleinsten Basis: , . Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung der folgenden: Ich muss lediglich die Eigenschaften von Potenzen nutzen: Bei der Multiplikation von Zahlen mit gleicher Basis werden die Potenzen addiert, bei der Division werden sie subtrahiert. Dann bekomme ich: Nun, jetzt werde ich guten Gewissens von der Exponentialgleichung zur linearen übergehen: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Im zweiten Beispiel müssen wir vorsichtiger sein: Das Problem besteht darin, dass wir auf der linken Seite unmöglich dieselbe Zahl als Potenz darstellen können. In diesem Fall ist es manchmal nützlich stellen Zahlen als Produkt von Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichen Exponenten dar:

Die linke Seite der Gleichung sieht so aus: Was hat uns das gebracht? Hier ist was: Zahlen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichen Exponenten können multipliziert werden.In diesem Fall werden die Basen multipliziert, der Indikator ändert sich jedoch nicht:

In meiner Situation ergibt dies:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Nicht schlecht, oder?

3. Ich mag es nicht, wenn ich unnötigerweise zwei Begriffe auf der einen Seite der Gleichung habe und keinen auf der anderen (manchmal ist das natürlich berechtigt, aber jetzt ist das nicht der Fall). Ich verschiebe den Minusterm nach rechts:

Auch jetzt schreibe ich alles in Dreierpotenzen:

Ich addiere die Grade auf der linken Seite und erhalte eine äquivalente Gleichung

Sie können die Wurzel leicht finden:

4. Wie in Beispiel drei hat der Minusterm einen Platz auf der rechten Seite!

Auf meiner linken Seite ist fast alles in Ordnung, außer was? Ja, der „falsche Grad“ der beiden stört mich. Aber ich kann das leicht beheben, indem ich schreibe: . Heureka – auf der linken Seite sind alle Basen unterschiedlich, aber alle Grade sind gleich! Lasst uns sofort vermehren!

Auch hier ist alles klar: (Wenn Sie nicht verstehen, wie ich auf magische Weise zur letzten Gleichheit gekommen bin, machen Sie eine Minute Pause, atmen Sie durch und lesen Sie die Eigenschaften des Abschlusses noch einmal ganz genau. Wer hat gesagt, dass Sie a überspringen können? Grad mit einem negativen Exponenten? Nun, hier bin ich ungefähr das Gleiche wie niemand). Jetzt bekomme ich:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Hier sind einige Aufgaben zum Üben, auf die ich nur die Antworten gebe (allerdings in „gemischter“ Form). Lösen Sie sie, überprüfen Sie sie, und Sie und ich werden unsere Forschung fortsetzen!

Bereit? Antworten wie diese:

1. irgendeine Nummer

Okay, okay, ich habe nur Witze gemacht! Hier sind einige Lösungsskizzen (einige sehr kurz!)

Glauben Sie nicht, dass es kein Zufall ist, dass ein Bruch auf der linken Seite der andere „invertiert“ ist? Es wäre eine Sünde, dies nicht auszunutzen:

Diese Regel wird sehr oft beim Lösen von Exponentialgleichungen verwendet. Denken Sie daran!

Dann sieht die ursprüngliche Gleichung so aus:

Nachdem ich dies entschieden habe quadratische Gleichung, erhalten Sie diese Wurzeln:

2. Eine andere Lösung: Division beider Seiten der Gleichung durch den Ausdruck links (oder rechts). Teilen Sie durch das, was rechts steht, dann erhalte ich:

Wo warum?!)

3. Ich möchte mich gar nicht wiederholen, alles wurde schon so sehr „gekaut“.

4. Äquivalent zu einer quadratischen Gleichung, Wurzeln

5. Sie müssen die in der ersten Aufgabe angegebene Formel verwenden, dann erhalten Sie Folgendes:

Aus der Gleichung ist eine triviale Identität geworden, die für jeden gilt. Dann ist die Antwort eine beliebige reelle Zahl.

Nun haben Sie das Lösen geübt einfache Exponentialgleichungen. Nun möchte ich Ihnen ein paar Lebensbeispiele geben, die Ihnen helfen zu verstehen, warum sie grundsätzlich notwendig sind. Hier werde ich zwei Beispiele nennen. Eine davon ist recht alltäglich, die andere ist jedoch eher von wissenschaftlichem als von praktischem Interesse.

Beispiel 1 (kaufmännisch) Sie haben zwar Rubel, möchten diese aber in Rubel umwandeln. Die Bank bietet Ihnen an, dieses Geld zu einem jährlichen Zinssatz mit monatlicher Kapitalisierung der Zinsen (monatliche Abgrenzung) abzunehmen. Die Frage ist: Wie viele Monate muss man ein Depot eröffnen, um den erforderlichen Endbetrag zu erreichen? Eine ziemlich banale Aufgabe, nicht wahr? Seine Lösung ist jedoch mit der Konstruktion der entsprechenden Exponentialgleichung verbunden: Sei – der Anfangsbetrag, – der Endbetrag, – der Zinssatz für die Periode, – die Anzahl der Perioden. Dann:

In unserem Fall (wenn der Zinssatz jährlich ist, wird er pro Monat berechnet). Warum wird durch geteilt? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage nicht kennen, denken Sie an das Thema „“! Dann erhalten wir diese Gleichung:

Diese Exponentialgleichung kann nur mit einem Taschenrechner (its) gelöst werden Aussehen weist darauf hin, und dazu sind Kenntnisse in Logarithmen erforderlich, mit denen wir uns etwas später vertraut machen werden), was ich tun werde: ... Um also eine Million zu erhalten, müssen wir einen Monat lang eine Einzahlung leisten ( nicht sehr schnell, oder?).

Beispiel 2 (eher wissenschaftlich). Trotz seiner gewissen „Isolation“ empfehle ich Ihnen, auf ihn zu achten: Er „schlüpft regelmäßig in die Einheitliche Staatsprüfung!!“ (Das Problem ist der „realen“ Version entnommen) Während des Zerfalls eines radioaktiven Isotops nimmt seine Masse gemäß dem Gesetz ab, wobei (mg) die Anfangsmasse des Isotops und (min.) die seit dem Zerfall verstrichene Zeit ist Anfangsmoment (min.) ist die Halbwertszeit. Zu Beginn beträgt die Masse des Isotops mg. Seine Halbwertszeit beträgt min. Nach wie vielen Minuten beträgt die Masse des Isotops mg? Es ist in Ordnung: Wir nehmen einfach alle Daten und ersetzen sie in der uns vorgeschlagenen Formel:

Teilen wir beide Teile durch, „in der Hoffnung“, dass wir links etwas Verdauliches bekommen:

Nun, wir haben großes Glück! Es ist auf der linken Seite, dann gehen wir zur entsprechenden Gleichung über:

Wo ist min.

Wie Sie sehen, haben Exponentialgleichungen in der Praxis sehr reale Anwendungen. Jetzt möchte ich Ihnen eine andere (einfache) Möglichkeit zeigen, Exponentialgleichungen zu lösen, die darauf basiert, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu entfernen und die Terme dann zu gruppieren. Lassen Sie sich von meinen Worten nicht einschüchtern, Sie sind dieser Methode bereits in der 7. Klasse begegnet, als Sie Polynome studiert haben. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck faktorisieren müssen:

Lassen Sie uns gruppieren: den ersten und dritten Begriff sowie den zweiten und vierten. Es ist klar, dass das erste und dritte die Differenz der Quadrate sind:

und die zweite und vierte haben einen gemeinsamen Faktor von drei:

Dann entspricht der ursprüngliche Ausdruck diesem:

Woher der gemeinsame Faktor abgeleitet werden kann, ist nicht mehr schwierig:

Somit,

Das ist ungefähr das, was wir tun werden, wenn wir Exponentialgleichungen lösen: Suchen Sie nach „Gemeinsamkeiten“ zwischen den Begriffen und nehmen Sie sie aus Klammern, und dann – komme was wolle, ich glaube, dass wir Glück haben werden =)) Zum Beispiel:

Rechts ist alles andere als eine Siebenerpotenz (ich habe es überprüft!) Und links ist es etwas besser, man kann natürlich den Faktor a vom zweiten aus dem ersten Term „abhacken“ und dann austeilen mit dem, was du hast, aber lass uns vorsichtiger mit dir sein. Ich möchte mich nicht mit den Brüchen befassen, die beim „Auswählen“ zwangsläufig entstehen, also sollte ich es nicht lieber herausnehmen? Dann werde ich keine Fraktionen mehr haben: Wie man so schön sagt: Die Wölfe sind gefüttert und die Schafe sind in Sicherheit:

Berechnen Sie den Ausdruck in Klammern. Auf magische, magische Weise stellt sich das heraus (überraschenderweise, aber was sollten wir sonst noch erwarten?).

Dann reduzieren wir beide Seiten der Gleichung um diesen Faktor. Wir bekommen: , von.

Hier ist ein komplizierteres Beispiel (wirklich ziemlich viel):

Was für ein Problem! Wir haben hier keine Gemeinsamkeiten! Es ist nicht ganz klar, was jetzt zu tun ist. Tun wir, was wir können: Zuerst verschieben wir die „Vierer“ auf eine Seite und die „Fünfer“ auf die andere:

Nehmen wir nun das „Allgemeine“ links und rechts heraus:

So was jetzt? Was nützt so eine dumme Gruppe? Auf den ersten Blick ist es überhaupt nicht sichtbar, aber schauen wir genauer hin:

Nun stellen wir sicher, dass wir links nur den Ausdruck c haben und rechts alles andere. Wie machen wir das? So geht's: Teilen Sie zuerst beide Seiten der Gleichung durch (damit wir den Grad auf der rechten Seite loswerden) und dividieren Sie dann beide Seiten durch (so werden wir los). numerischer Multiplikator links). Schließlich erhalten wir:

Unglaublich! Links haben wir einen Ausdruck und rechts einen einfachen Ausdruck. Dann kommen wir sofort zu dem Schluss

Hier ist ein weiteres Beispiel, das Sie untermauern können:

Ich bringe ihn kurze Lösung Versuchen Sie (ohne sich wirklich mit Erklärungen zu beschäftigen), alle „Feinheiten“ der Lösung selbst zu verstehen.

Nun zur endgültigen Konsolidierung des behandelten Materials. Versuchen Sie, die folgenden Probleme selbst zu lösen. Ich gebe einfach kurze Empfehlungen und Tipps zur Lösung:

1. Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus den Klammern heraus: Wobei:
2. Stellen wir den ersten Ausdruck in der Form dar: , dividiere beide Seiten durch und erhalte das Ergebnis
3. , dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt: Nun, jetzt ein Hinweis – schauen Sie, wo Sie und ich diese Gleichung bereits gelöst haben!
4. Stellen Sie sich vor, wie, wie, ach ja, dann teilen Sie beide Seiten durch, sodass Sie die einfachste Exponentialgleichung erhalten.
5. Nehmen Sie es aus den Klammern.
6. Nehmen Sie es aus den Klammern.

EXPONENTÄRE GLEICHUNGEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Ich gehe davon aus, dass ich den ersten Artikel gelesen habe, in dem darüber gesprochen wurde Was sind Exponentialgleichungen und wie löst man sie?, du hast es gemeistert das notwendige Minimum Kenntnisse, die zum Lösen einfacher Beispiele erforderlich sind.

Jetzt werde ich mir eine andere Methode zum Lösen von Exponentialgleichungen ansehen

„Methode zur Einführung einer neuen Variablen“ (oder Ersetzung). Er löst die meisten „schwierigen“ Probleme zum Thema Exponentialgleichungen (und nicht nur Gleichungen). Diese Methode ist eine der in der Praxis am häufigsten verwendeten. Zunächst empfehle ich Ihnen, sich mit der Thematik vertraut zu machen.

Wie Sie bereits anhand des Namens verstanden haben, besteht der Kern dieser Methode darin, eine solche Variablenänderung einzuführen, dass sich Ihre Exponentialgleichung auf wundersame Weise in eine Gleichung verwandelt, die Sie leicht lösen können. Nachdem Sie diese sehr „vereinfachte Gleichung“ gelöst haben, müssen Sie nur noch eine „umgekehrte Ersetzung“ durchführen, also vom Ersetzten zum Ersetzten zurückkehren. Lassen Sie uns das, was wir gerade gesagt haben, anhand eines sehr einfachen Beispiels veranschaulichen:

Beispiel 1:

Die Lösung dieser Gleichung erfolgt durch eine „einfache Substitution“, wie Mathematiker es abfällig nennen. Tatsächlich ist der Ersatz hier am offensichtlichsten. Das muss man nur sehen

Dann wird die ursprüngliche Gleichung wie folgt aussehen:

Wenn wir uns zusätzlich vorstellen, wie, dann ist völlig klar, was ersetzt werden muss: natürlich . Was wird dann zur ursprünglichen Gleichung? Hier ist was:

Sie können die Wurzeln ganz einfach selbst finden: . Was sollen wir jetzt machen? Es ist Zeit, zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. Was habe ich vergessen zu erwähnen? Nämlich: Wenn ein bestimmter Grad durch eine neue Variable ersetzt wird (dh wenn ein Typ ersetzt wird), wird es mich interessieren nur positive Wurzeln! Warum das so ist, können Sie ganz einfach selbst beantworten. Sie und ich sind also nicht interessiert, aber die zweite Wurzel ist für uns durchaus geeignet:

Woher dann.

Antwort:

Wie Sie sehen können, hat der Ersatz im vorherigen Beispiel lediglich nach unseren Händen gefragt. Leider ist dies nicht immer der Fall. Lassen Sie uns jedoch nicht direkt zu den traurigen Dingen übergehen, sondern üben wir anhand eines weiteren Beispiels mit einem ziemlich einfachen Ersatz

Beispiel 2.

Es ist klar, dass wir höchstwahrscheinlich einen Ersatz vornehmen müssen (dies ist die kleinste der in unserer Gleichung enthaltenen Potenzen), aber bevor wir einen Ersatz einführen, muss unsere Gleichung darauf „vorbereitet“ werden, nämlich: , . Dann können Sie ersetzen, als Ergebnis erhalte ich den folgenden Ausdruck:

Oh Horror: eine kubische Gleichung mit absolut schrecklichen Formeln zu ihrer Lösung (nun ja, ehrlich gesagt). Gesamtansicht). Aber lasst uns nicht gleich verzweifeln, sondern darüber nachdenken, was wir tun sollen. Ich schlage vor, zu schummeln: Wir wissen, dass wir, um eine „schöne“ Antwort zu erhalten, diese in Form einer Dreierpotenz erhalten müssen (warum sollte das so sein?). Versuchen wir, mindestens eine Wurzel unserer Gleichung zu erraten (ich beginne mit der Vermutung mit Dreierpotenzen).

Erste Vermutung. Keine Wurzel. Ach und ah...

.
Die linke Seite ist gleich.
Rechter Teil: !
Essen! Habe die erste Wurzel erraten. Jetzt wird es einfacher!

Kennen Sie das Aufteilungsschema „Ecke“? Natürlich verwenden Sie es, wenn Sie eine Zahl durch eine andere dividieren. Aber nur wenige wissen, dass das Gleiche auch mit Polynomen möglich ist. Es gibt einen wunderbaren Satz:

Auf meine Situation übertragen bedeutet dies, dass es ohne Rest durch teilbar ist. Wie erfolgt die Teilung? So geht das:

Ich schaue mir an, mit welchem ​​Monom ich multiplizieren sollte, um Folgendes zu erhalten:

Wenn ich den resultierenden Ausdruck subtrahiere, erhalte ich:

Womit muss ich nun multiplizieren, um zu erhalten? Es ist klar, dass ich dann Folgendes bekomme:

und subtrahiere erneut den resultierenden Ausdruck vom verbleibenden:

Nun, der letzte Schritt besteht darin, mit dem verbleibenden Ausdruck zu multiplizieren und davon zu subtrahieren:

Hurra, die Teilung ist vorbei! Was haben wir privat angesammelt? Selbstverständlich: .

Dann erhalten wir die folgende Entwicklung des ursprünglichen Polynoms:

Lösen wir die zweite Gleichung:

Es hat Wurzeln:

Dann ist die ursprüngliche Gleichung:

hat drei Wurzeln:

Die letzte Wurzel werden wir natürlich verwerfen, da sie kleiner als Null ist. Und die ersten beiden nach der umgekehrten Ersetzung ergeben uns zwei Wurzeln:

Antwort: ..

Ich wollte Sie mit diesem Beispiel keineswegs erschrecken; mein Ziel war es vielmehr zu zeigen, dass wir zwar einen recht einfachen Ersatz hatten, dieser aber dennoch zu rechtem Ergebnis führte komplexe Gleichung, dessen Lösung von uns besondere Fähigkeiten erforderte. Nun, niemand ist davor gefeit. Aber der Ersatz war in diesem Fall ziemlich offensichtlich.

Hier ist ein Beispiel mit einem etwas weniger offensichtlichen Ersatz:

Es ist überhaupt nicht klar, was wir tun sollen: Das Problem besteht darin, dass es in unserer Gleichung zwei verschiedene Basen gibt und eine Basis nicht aus der anderen gewonnen werden kann, indem man sie auf eine (natürlich vernünftige) Potenz erhöht. Doch was sehen wir? Beide Basen unterscheiden sich nur im Vorzeichen und ihr Produkt ist die Differenz der Quadrate gleich eins:

Definition:

Somit sind die Zahlen, die in unserem Beispiel die Basis bilden, konjugiert.

In diesem Fall wäre der kluge Schritt Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit der konjugierten Zahl.

Wenn zum Beispiel ein, dann wird die linke Seite der Gleichung gleich und die rechte. Wenn wir eine Substitution vornehmen, sieht unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt aus:

seine Wurzeln, und wenn wir uns daran erinnern, verstehen wir das.

Antwort: , .

In der Regel reicht die Ersetzungsmethode aus, um die meisten Exponentialgleichungen der „Schule“ zu lösen. Die folgenden Aufgaben sind dem Einheitlichen Staatsexamen C1 entnommen ( erhöhtes Niveau Schwierigkeiten). Sie verfügen bereits über ausreichende Kenntnisse, um diese Beispiele selbst zu lösen. Ich gebe nur den benötigten Ersatz.

1. Löse die Gleichung:
2. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:
3. Löse die Gleichung: . Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zum Segment gehören:

Und nun noch ein paar kurze Erklärungen und Antworten:

1. Hier genügt uns der Hinweis, dass... Dann ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zu dieser: Diese Gleichung kann durch Ersetzen gelöst werden. Führen Sie die weiteren Berechnungen selbst durch. Am Ende reduziert sich Ihre Aufgabe auf die Lösung einfacher trigonometrischer Probleme (abhängig von Sinus oder Cosinus). Wir werden uns in anderen Abschnitten mit Lösungen für ähnliche Beispiele befassen.
2. Hier können Sie sogar auf die Substitution verzichten: Bewegen Sie einfach den Subtrahend nach rechts und stellen Sie beide Basen durch Zweierpotenzen dar: , und gehen Sie dann direkt zur quadratischen Gleichung über.
3. Auch die dritte Gleichung wird ganz normal gelöst: Stellen wir uns vor, wie. Wenn wir dann ersetzen, erhalten wir eine quadratische Gleichung: dann

   Du weißt doch schon, was ein Logarithmus ist, oder? Nein? Dann lesen Sie das Thema dringend!

   Die erste Wurzel gehört offensichtlich nicht zum Segment, die zweite ist jedoch unklar! Aber wir werden es sehr bald erfahren! Denn (dies ist eine Eigenschaft des Logarithmus!) Vergleichen wir:

   Subtrahieren Sie von beiden Seiten, dann erhalten wir:

   Die linke Seite kann wie folgt dargestellt werden:

   Multipliziere beide Seiten mit:

   kann dann mit multipliziert werden

   Dann vergleiche:

   seit damals:

   Dann gehört die zweite Wurzel zum erforderlichen Intervall

   Antwort:

Wie du siehst, Die Auswahl der Wurzeln von Exponentialgleichungen erfordert eine ziemlich tiefe Kenntnis der Eigenschaften von Logarithmen Daher rate ich Ihnen, beim Lösen von Exponentialgleichungen so vorsichtig wie möglich zu sein. Wie Sie verstehen, ist in der Mathematik alles miteinander verbunden! Wie mein Mathematiklehrer sagte: „Mathematik kann man ebenso wie Geschichte nicht über Nacht lesen.“

In der Regel alle Die Schwierigkeit bei der Lösung der Probleme C1 liegt gerade in der Auswahl der Wurzeln der Gleichung.Üben wir mit einem weiteren Beispiel:

Es ist klar, dass die Gleichung selbst ganz einfach gelöst werden kann. Durch eine Substitution reduzieren wir unsere ursprüngliche Gleichung auf Folgendes:

Schauen wir uns zunächst die erste Wurzel an. Vergleichen wir und: seit, dann. (Eigenschaft einer logarithmischen Funktion, at). Dann ist klar, dass die erste Wurzel nicht zu unserem Intervall gehört. Nun die zweite Wurzel: . Das ist klar (da die Funktion at zunimmt). Es bleibt zu vergleichen und...

seitdem, dann zur gleichen Zeit. Auf diese Weise kann ich einen Pflock zwischen dem und „treiben“. Dieser Stift ist eine Nummer. Der erste Ausdruck ist kleiner und der zweite größer. Dann ist der zweite Ausdruck größer als der erste und die Wurzel gehört zum Intervall.

Antwort: .

Schauen wir uns abschließend ein weiteres Beispiel einer Gleichung an, bei der die Substitution völlig vom Standard abweicht:

Beginnen wir gleich damit, was getan werden kann und was im Prinzip getan werden kann, aber es ist besser, es nicht zu tun. Sie können sich alles durch die Potenzen drei, zwei und sechs vorstellen. Wohin führt es? Es wird zu nichts führen: zu einem Wirrwarr von Graden, von denen einige ziemlich schwer zu beseitigen sein werden. Was wird dann benötigt? Beachten wir, dass a Und was wird uns das bringen? Und die Tatsache, dass wir die Lösung dieses Beispiels auf die Lösung einer ziemlich einfachen Exponentialgleichung reduzieren können! Schreiben wir zunächst unsere Gleichung wie folgt um:

Teilen wir nun beide Seiten der resultierenden Gleichung durch:

Heureka! Jetzt können wir ersetzen, wir erhalten:

Nun sind Sie an der Reihe, Demonstrationsaufgaben zu lösen, und ich werde sie nur kurz kommentieren, damit Sie nicht in die Irre gehen! Viel Glück!

1. Das Schwierigste! Es ist so schwer, hier einen Ersatz zu finden! Dennoch lässt sich dieses Beispiel vollständig mit lösen Entladung volles Quadrat . Um es zu lösen, reicht es aus, Folgendes zu beachten:

Dann ist hier Ihr Ersatz:

(Bitte beachten Sie, dass wir hier bei unserem Ersatz die negative Wurzel nicht verwerfen können!!! Warum denken Sie?)

Um das Beispiel zu lösen, müssen Sie nun nur noch zwei Gleichungen lösen:

Beide Probleme können durch einen „Standardaustausch“ gelöst werden (aber der zweite in einem Beispiel!)

2. Merken Sie sich das und nehmen Sie einen Ersatz vor.

3. Zerlegen Sie die Zahl in Teilerzahlfaktoren und vereinfachen Sie den resultierenden Ausdruck.

4. Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs durch (oder, wenn Sie möchten) und führen Sie die Ersetzung durch oder durch.

5. Beachten Sie, dass die Zahlen und konjugiert sind.

EXPONENTÄRE GLEICHUNGEN. FORTGESCHRITTENES LEVEL

Schauen wir uns außerdem einen anderen Weg an: Lösen von Exponentialgleichungen mit der Logarithmusmethode. Ich kann nicht sagen, dass das Lösen von Exponentialgleichungen mit dieser Methode sehr beliebt ist, aber in einigen Fällen kann uns nur sie dazu führen die richtige Entscheidung unsere Gleichung. Besonders häufig wird es zur Lösung des sogenannten „ gemischte Gleichungen": also solche, bei denen Funktionen unterschiedlichen Typs auftreten.

Zum Beispiel eine Gleichung der Form:

Im allgemeinen Fall kann es nur durch Logarithmen beider Seiten (z. B. zur Basis) gelöst werden, wobei die ursprüngliche Gleichung wie folgt aussieht:

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

Es ist klar, dass uns nur die ODZ der logarithmischen Funktion interessiert. Dies folgt jedoch nicht nur aus der ODZ des Logarithmus, sondern aus einem weiteren Grund. Ich denke, es wird Ihnen nicht schwer fallen, zu erraten, um welches es sich handelt.

Nehmen wir den Logarithmus beider Seiten unserer Gleichung zur Basis:

Wie Sie sehen, führte uns die Logarithmierung unserer ursprünglichen Gleichung schnell zur richtigen (und schönen!) Antwort. Üben wir mit einem weiteren Beispiel:

Auch hier ist nichts falsch: Nehmen wir den Logarithmus beider Seiten der Gleichung zur Basis, dann erhalten wir:

Machen wir einen Ersatz:

Allerdings haben wir etwas verpasst! Haben Sie bemerkt, wo ich einen Fehler gemacht habe? Denn dann:

was die Anforderung nicht erfüllt (überlegen Sie, woher es kommt!)

Antwort:

Versuchen Sie, die Lösung der folgenden Exponentialgleichungen aufzuschreiben:

Vergleichen Sie nun Ihre Entscheidung damit:

1. Logarithmieren wir beide Seiten zur Basis und berücksichtigen dabei Folgendes:

(die zweite Wurzel ist wegen Austausch nicht für uns geeignet)

2. Logarithmus zur Basis:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck in die folgende Form umwandeln:

EXPONENTÄRE GLEICHUNGEN. KURZE BESCHREIBUNG UND GRUNDFORMELN

Exponentialgleichung

Gleichung der Form:

angerufen die einfachste Exponentialgleichung.

Eigenschaften von Graden

Lösungsansätze

• Reduktion auf die gleiche Basis
• Reduktion auf den gleichen Exponenten
• Variablenersatz
• Vereinfachen Sie den Ausdruck und wenden Sie eines der oben genannten an.

In dieser Lektion werden wir uns mit der Lösung komplexerer Exponentialgleichungen befassen und uns an die grundlegenden theoretischen Prinzipien der Exponentialfunktion erinnern.

1. Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktion, Methoden zur Lösung einfachster Exponentialgleichungen

Erinnern wir uns an die Definition und die grundlegenden Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Lösung aller Exponentialgleichungen und Ungleichungen basiert auf diesen Eigenschaften.

Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form , wobei die Basis der Grad ist und x die unabhängige Variable, das Argument, ist; y ist die abhängige Variable, Funktion.

Reis. 1. Graph der Exponentialfunktion

Die Grafik zeigt steigende und fallende Exponenten und veranschaulicht die Exponentialfunktion mit einer Basis größer als eins bzw. kleiner als eins, aber größer als null.

Beide Kurven verlaufen durch den Punkt (0;1)

Eigenschaften der Exponentialfunktion:

Domäne: ;

Wertebereich: ;

Die Funktion ist monoton, nimmt mit zu und ab.

Eine monotone Funktion nimmt jeden ihrer Werte mit einem einzigen Argumentwert an.

Wenn das Argument von minus auf plus unendlich ansteigt, steigt die Funktion von einschließlich Null auf plus unendlich. Im Gegenteil, wenn das Argument von minus auf plus unendlich ansteigt, nimmt die Funktion von unendlich auf null ab, nicht einschließlich.

2. Lösen von Standard-Exponentialgleichungen

Wir erinnern Sie daran, wie Sie die einfachsten Exponentialgleichungen lösen. Ihre Lösung basiert auf der Monotonie der Exponentialfunktion. Fast alle komplexen Exponentialgleichungen lassen sich auf solche Gleichungen reduzieren.

Gleichheit der Exponenten bei auf Augenhöhe aufgrund der Eigenschaft der Exponentialfunktion, nämlich ihrer Monotonie.

Lösungsmethode:

Die Grundlagen der Abschlüsse ausgleichen;

Setze die Exponenten gleich.

Kommen wir nun zur Betrachtung komplexerer Exponentialgleichungen; unser Ziel ist es, jede davon auf die einfachste zu reduzieren.

Lassen Sie uns die Wurzel auf der linken Seite entfernen und die Grade auf die gleiche Basis bringen:

Um eine komplexe Exponentialgleichung auf ihre einfachste Form zu reduzieren, wird häufig die Substitution von Variablen verwendet.

Nutzen wir die Power-Eigenschaft:

Wir führen einen Ersatz ein. Dann lass es sein

Lassen Sie uns die resultierende Gleichung mit zwei multiplizieren und alle Terme auf die linke Seite verschieben:

Die erste Wurzel erfüllt nicht den Bereich der y-Werte, daher verwerfen wir sie. Wir bekommen:

Reduzieren wir die Grade auf den gleichen Indikator:

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen:

Dann lass es sein . Es ist offensichtlich, dass y bei einer solchen Ersetzung streng positive Werte annimmt. Wir bekommen:

Wir wissen, wie man solche quadratischen Gleichungen löst, wir können die Antwort aufschreiben:

Um sicherzustellen, dass die Wurzeln korrekt gefunden werden, können Sie mithilfe des Satzes von Vieta überprüfen, d. h. die Summe der Wurzeln und ihres Produkts ermitteln und sie mit den entsprechenden Koeffizienten der Gleichung vergleichen.

Wir bekommen:

3. Methodik zur Lösung homogener Exponentialgleichungen zweiten Grades

Lassen Sie uns die folgende wichtige Art von Exponentialgleichungen untersuchen:

Gleichungen dieser Art heißen homogen zweiten Grades bezüglich der Funktionen f und g. Auf seiner linken Seite befindet sich ein Quadrattrinom bezüglich f mit dem Parameter g bzw. ein Quadrattrinom bezüglich g mit dem Parameter f.

Lösungsmethode:

Diese Gleichung kann als quadratische Gleichung gelöst werden, es ist jedoch einfacher, es anders zu lösen. Es sind zwei Fälle zu berücksichtigen:

Im ersten Fall erhalten wir

Im zweiten Fall haben wir das Recht, durch den höchsten Grad zu dividieren und erhalten:

Es ist notwendig, eine Änderung der Variablen einzuführen, wir erhalten eine quadratische Gleichung für y:

Beachten wir, dass die Funktionen f und g beliebig sein können, wir interessieren uns jedoch für den Fall, dass es sich um Exponentialfunktionen handelt.

4. Beispiele für die Lösung homogener Gleichungen

Verschieben wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung:

Da Exponentialfunktionen streng positive Werte annehmen, haben wir das Recht, die Gleichung sofort durch zu dividieren, ohne den Fall zu berücksichtigen, wenn:

Wir bekommen:

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen: (gemäß den Eigenschaften der Exponentialfunktion)

Wir haben eine quadratische Gleichung:

Wir bestimmen die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta:

Die erste Wurzel erfüllt nicht den Wertebereich von y, wir verwerfen sie und erhalten:

Lassen Sie uns die Eigenschaften von Graden nutzen und alle Grade auf einfache Basen reduzieren:

Die Funktionen f und g sind leicht zu erkennen:

Da Exponentialfunktionen streng positive Werte annehmen, haben wir das Recht, die Gleichung sofort durch zu dividieren, ohne den Fall zu berücksichtigen, wenn .