Finden Sie mithilfe der Definition der Ableitung die Ableitung der Funktion. So lösen Sie Probleme zur physikalischen Bedeutung der Ableitung. Geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Graphen einer Funktion

In der Koordinatenebene xOy Betrachten Sie den Graphen der Funktion y=f(x). Lassen Sie uns den Punkt klären M(x 0 ; f (x 0)). Fügen wir eine Abszisse hinzu x 0 Zuwachs Δx. Wir erhalten eine neue Abszisse x 0 +Δx. Dies ist die Abszisse des Punktes N, und die Ordinate wird gleich sein f (x 0 +Δx). Die Änderung der Abszisse führte zu einer Änderung der Ordinate. Diese Änderung wird als Funktionsinkrement bezeichnet und mit bezeichnet Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Durch Punkte M Und N Lass uns eine Sekante zeichnen MN, was einen Winkel bildet φ mit positiver Achsrichtung Oh. Bestimmen wir den Tangens des Winkels φ aus einem rechtwinkligen Dreieck MPN.

Lassen Δx tendiert gegen Null. Dann die Sekante MN tendiert dazu, eine tangentiale Position einzunehmen MT und der Winkel φ wird zu einem Winkel α . Also der Tangens des Winkels α Es gibt Grenzwert Tangens des Winkels φ :

Die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert, wird als Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt bezeichnet:

Geometrische Bedeutung Derivat liegt in der Tatsache, dass die numerische Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt gleich dem Tangens des Winkels ist, der durch die durch diesen Punkt gezogene Tangente an die gegebene Kurve und die positive Richtung der Achse gebildet wird Oh:

Beispiele.

1. Finden Sie das Inkrement des Arguments und das Inkrement der Funktion y= x 2, wenn der Anfangswert des Arguments gleich war 4 , und neu - 4,01 .

Lösung.

Neuer Argumentwert x=x 0 +Δx. Ersetzen wir die Daten: 4,01=4+Δx, daher das Inkrement des Arguments Δx=4,01-4=0,01. Das Inkrement einer Funktion ist per Definition gleich der Differenz zwischen dem neuen und dem vorherigen Wert der Funktion, d.h. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Da wir eine Funktion haben y=x2, Das Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Antwort: Argumentinkrement Δx=0,01; Funktionsinkrement Δу=0,0801.

Das Funktionsinkrement könnte anders gefunden werden: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Finden Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen y=f(x) am Punkt x 0, Wenn f "(x 0) = 1.

Lösung.

Der Wert der Ableitung am Tangentialpunkt x 0 und ist der Wert des Tangens des Tangentenwinkels (die geometrische Bedeutung der Ableitung). Wir haben: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, als tg45°=1.

Antwort: Die Tangente an den Graphen dieser Funktion bildet einen Winkel mit der positiven Richtung der Ox-Achse gleich 45°.

3. Leiten Sie die Formel für die Ableitung der Funktion her y=x n.

Differenzierung ist die Aktion, die Ableitung einer Funktion zu finden.

Verwenden Sie beim Finden von Ableitungen Formeln, die auf der Grundlage der Definition einer Ableitung abgeleitet wurden, genauso wie wir die Formel für den Ableitungsgrad abgeleitet haben: (x n)" = nx n-1.

Das sind die Formeln.

Tabelle der Derivate Das Auswendiglernen wird durch das Aussprechen mündlicher Formulierungen erleichtert:

1. Die Ableitung einer konstanten Größe ist Null.

2. X prim ist gleich eins.

3. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden.

4. Die Ableitung eines Grades ist gleich dem Produkt des Exponenten dieses Grades mit einem Grad mit derselben Basis, aber der Exponent ist um eins kleiner.

5. Die Ableitung einer Wurzel ist gleich eins dividiert durch zwei gleiche Wurzeln.

6. Die Ableitung von eins dividiert durch x ist gleich minus eins dividiert durch x im Quadrat.

7. Die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus.

8. Die Ableitung des Kosinus ist gleich minus Sinus.

9. Die Ableitung des Tangens ist gleich eins dividiert durch das Quadrat des Kosinus.

10. Die Ableitung des Kotangens ist gleich minus eins geteilt durch das Quadrat des Sinus.

Wir lehren Differenzierungsregeln.

1. Die Ableitung einer algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen der Terme.

2. Die Ableitung eines Produkts ist gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors und des zweiten Faktors plus dem Produkt des ersten Faktors und der Ableitung des zweiten.

3. Die Ableitung von „y“ dividiert durch „ve“ ist gleich einem Bruch, bei dem der Zähler „y prim multipliziert mit „ve“ minus „y multipliziert mit ve prim“ ist und der Nenner „ve quadriert“ ist.

4. Ein Sonderfall der Formel 3.

Bei der Lösung verschiedener Probleme der Geometrie, Mechanik, Physik und anderer Wissensgebiete entstand die Notwendigkeit, den gleichen analytischen Prozess aus dieser Funktion zu verwenden y=f(x) Holen Sie sich eine neue Funktion namens Ableitungsfunktion(oder einfach Ableitung) einer gegebenen Funktion f(x) und ist mit dem Symbol gekennzeichnet

Der Prozess, durch den aus einer bestimmten Funktion f(x) Holen Sie sich eine neue Funktion f" (x), angerufen Differenzierung und es besteht aus den folgenden drei Schritten: 1) Geben Sie das Argument an X Zuwachs  X und bestimmen Sie das entsprechende Inkrement der Funktion  y = f(x+ x) -f(x); 2) eine Beziehung herstellen

3) Zählen X konstant und  X0, finden wir
, was wir mit bezeichnen f" (x), als würde betont, dass die resultierende Funktion nur vom Wert abhängt X, bei dem wir an die Grenze gehen. Definition: Ableitung y " =f " (x) gegebene Funktion y=f(x) für ein gegebenes x heißt Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, vorausgesetzt, dass das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert, wenn diese Grenze natürlich existiert, d.h. endlich. Auf diese Weise,
, oder

Beachten Sie, dass es sich um einen bestimmten Wert handelt X, zum Beispiel wann x=a, Attitüde
bei  X0 tendiert nicht zum endlichen Grenzwert, dann sagt man in diesem Fall, dass die Funktion f(x) bei x=a(oder an der Stelle x=a) hat keine Ableitung oder ist zu diesem Zeitpunkt nicht differenzierbar x=a.

2. Geometrische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion y = f (x), differenzierbar in der Nähe des Punktes x 0

f(x)

Betrachten wir eine beliebige gerade Linie, die durch einen Punkt im Graphen einer Funktion verläuft – Punkt A(x 0, f (x 0)) – und den Graphen an einem Punkt B(x;f(x)) schneidet. Eine solche Linie (AB) wird Sekante genannt. Aus ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Seit AC || Ox, dann ALO = BAC = β (entsprechend für parallel). Aber ALO ist der Neigungswinkel der Sekante AB zur positiven Richtung der Ox-Achse. Dies bedeutet, dass tanβ = k die Steigung der Geraden AB ist.

Jetzt reduzieren wir ∆x, d.h. ∆х→ 0. In diesem Fall nähert sich Punkt B gemäß der Grafik Punkt A und die Sekante AB dreht sich. Die Grenzposition der Sekante AB bei ∆x→ 0 ist eine Gerade (a), die Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt A genannt wird.

Wenn wir zum Grenzwert ∆x → 0 in der Gleichung tgβ =∆y/∆x gehen, erhalten wir
ortg =f "(x 0), da
-Neigungswinkel der Tangente zur positiven Richtung der Ox-Achse
, per Definition einer Ableitung. Aber tg = k ist der Winkelkoeffizient der Tangente, was k = tg = f "(x 0) bedeutet.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung ist also wie folgt:

Ableitung einer Funktion am Punkt x 0 gleich Neigung Tangente an den Graphen der am Punkt gezeichneten Funktion mit der Abszisse x 0 .

3. Physikalische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie. Die Koordinate eines Punktes sei zu jedem Zeitpunkt x(t) gegeben. Aus einem Physikkurs ist bekannt, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum gleich dem Verhältnis der in diesem Zeitraum zurückgelegten Strecke zur Zeit ist, d. h.

Vav = ∆x/∆t. Gehen wir zum Grenzwert in der letzten Gleichung als ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0, ∆t → 0.

und lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (per Definition der Ableitung).

Also ist (t) =x"(t).

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist wie folgt: Ableitung der Funktionj = F(X) am PunktX 0 ist die Änderungsrate der FunktionF(x) am PunktX 0

Die Ableitung wird in der Physik verwendet, um die Geschwindigkeit aus einer bekannten Funktion von Koordinaten über der Zeit und die Beschleunigung aus einer bekannten Funktion von Geschwindigkeit über der Zeit zu ermitteln.

(t) = x"(t) - Geschwindigkeit,

a(f) = "(t) - Beschleunigung, oder

Wenn das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes auf einem Kreis bekannt ist, kann man die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung während der Rotationsbewegung ermitteln:

φ = φ(t) – Winkeländerung über die Zeit,

ω = φ"(t) - Winkelgeschwindigkeit,

ε = φ"(t) - Winkelbeschleunigung, oder ε = φ"(t).

Wenn das Gesetz der Massenverteilung eines inhomogenen Stabes bekannt ist, kann die lineare Dichte des inhomogenen Stabes ermittelt werden:

m = m(x) - Masse,

x  , l - Länge der Stange,

p = m"(x) - lineare Dichte.

Mit der Ableitung werden Probleme aus der Elastizitätstheorie und harmonischen Schwingungen gelöst. Also nach dem Hookeschen Gesetz

F = -kx, x – variable Koordinate, k – Federelastizitätskoeffizient. Setzt man ω 2 =k/m, erhält man die Differentialgleichung des Federpendels x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

wobei ω = √k/√m Schwingungsfrequenz (l/c), k – Federsteifigkeit (H/m).

Eine Gleichung der Form y" + ω 2 y = 0 wird als Gleichung harmonischer Schwingungen (mechanisch, elektrisch, elektromagnetisch) bezeichnet. Die Lösung solcher Gleichungen ist die Funktion

y = Asin(ωt + φ 0) oder y = Acos(ωt + φ 0), wobei

A - Schwingungsamplitude, ω - zyklische Frequenz,

φ 0 - Anfangsphase.

Die Ableitung einer Funktion ist eines der schwierigen Themen im Lehrplan. Nicht jeder Absolvent wird die Frage beantworten, was ein Derivat ist.

Dieser Artikel erklärt auf einfache und klare Weise, was ein Derivat ist und warum es benötigt wird.. Wir streben bei der Darstellung nun nicht nach mathematischer Strenge. Das Wichtigste ist, die Bedeutung zu verstehen.

Erinnern wir uns an die Definition:

Die Ableitung ist die Änderungsrate einer Funktion.

Die Abbildung zeigt Diagramme von drei Funktionen. Welches wächst Ihrer Meinung nach schneller?

Die Antwort liegt auf der Hand – die dritte. Es hat die höchste Änderungsrate, also die größte Ableitung.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Kostya, Grisha und Matvey bekamen gleichzeitig Jobs. Sehen wir uns an, wie sich ihr Einkommen im Laufe des Jahres verändert hat:

Die Grafik zeigt alles auf einmal, nicht wahr? Kostyas Einkommen hat sich innerhalb von sechs Monaten mehr als verdoppelt. Und auch Grischas Einkommen stieg, aber nur geringfügig. Und Matveys Einkommen sank auf Null. Die Startbedingungen sind die gleichen, aber die Änderungsrate der Funktion ist gleich Derivat, - anders. Was Matvey betrifft, ist seine Einkommensableitung im Allgemeinen negativ.

Intuitiv können wir die Änderungsrate einer Funktion leicht abschätzen. Aber wie machen wir das?

Was wir wirklich betrachten, ist, wie steil der Graph einer Funktion nach oben (oder nach unten) verläuft. Mit anderen Worten: Wie schnell ändert sich y, wenn sich x ändert? Offensichtlich kann die gleiche Funktion an verschiedenen Stellen auftreten andere Bedeutung Ableitung – das heißt, sie kann sich schneller oder langsamer ändern.

Die Ableitung einer Funktion wird bezeichnet.

Wir zeigen Ihnen anhand einer Grafik, wie Sie es finden.

Es wurde ein Diagramm einer Funktion gezeichnet. Nehmen wir einen Punkt mit einer Abszisse darauf. Zeichnen wir an dieser Stelle eine Tangente an den Funktionsgraphen. Wir wollen abschätzen, wie steil der Graph einer Funktion ansteigt. Ein praktischer Wert hierfür ist Tangens des Tangentenwinkels.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels, der an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Bitte beachten Sie, dass wir als Neigungswinkel der Tangente den Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse nehmen.

Manchmal fragen Schüler, was eine Tangente an den Graphen einer Funktion ist. Dies ist eine gerade Linie, die einen einzigen gemeinsamen Punkt mit dem Diagramm in diesem Abschnitt hat, wie in unserer Abbildung dargestellt. Es sieht aus wie eine Tangente an einen Kreis.

Finden wir es. Wir erinnern uns, dass die Tangente eines spitzen Winkels in rechtwinkliges Dreieck gleich dem Verhältnis gegenüberliegende Seite zum benachbarten. Aus dem Dreieck:

Wir haben die Ableitung mithilfe eines Diagramms gefunden, ohne die Formel der Funktion zu kennen. Solche Probleme finden sich häufig im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik unter der Nummer.

Es gibt noch einen weiteren wichtigen Zusammenhang. Denken Sie daran, dass die Gerade durch die Gleichung gegeben ist

Die Größe in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Er ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Geraden zur Achse.

.

Wir verstehen das

Erinnern wir uns an diese Formel. Es drückt die geometrische Bedeutung der Ableitung aus.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente, die an den Graphen der Funktion an diesem Punkt gezogen wird.

Mit anderen Worten, die Ableitung ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels.

Wir haben bereits gesagt, dass dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten unterschiedliche Ableitungen haben kann. Sehen wir uns an, wie die Ableitung mit dem Verhalten der Funktion zusammenhängt.

Lassen Sie uns einen Graphen einer Funktion zeichnen. Lassen Sie diese Funktion in einigen Bereichen zunehmen und in anderen abnehmen und mit mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Und lassen Sie diese Funktion maximale und minimale Punkte haben.

An einem Punkt nimmt die Funktion zu. Die Tangente an den am Punkt gezeichneten Graphen bildet sich scharfe Ecke; mit positiver Achsrichtung. Das bedeutet, dass die Ableitung an diesem Punkt positiv ist.

An diesem Punkt nimmt unsere Funktion ab. Die Tangente an diesem Punkt bildet einen stumpfen Winkel; mit positiver Achsrichtung. Da der Tangens eines stumpfen Winkels negativ ist, ist die Ableitung an diesem Punkt negativ.

Folgendes passiert:

Wenn eine Funktion wächst, ist ihre Ableitung positiv.

Wenn sie abnimmt, ist ihre Ableitung negativ.

Was passiert bei der maximalen und minimalen Punktzahl? Wir sehen, dass an den Punkten (Maximalpunkt) und (Minimalpunkt) die Tangente horizontal ist. Daher ist der Tangens der Tangentenwinkel an diesen Punkten gleich Null, und die Ableitung ist ebenfalls Null.

Punkt - Maximalpunkt. An diesem Punkt wird die Zunahme der Funktion durch eine Abnahme ersetzt. Folglich wechselt das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle von „Plus“ nach „Minus“.

An dem Punkt – dem Minimalpunkt – ist die Ableitung ebenfalls Null, ihr Vorzeichen ändert sich jedoch von „Minus“ zu „Plus“.

Fazit: Mit der Ableitung können wir alles herausfinden, was uns am Verhalten einer Funktion interessiert.

Wenn die Ableitung positiv ist, wächst die Funktion.

Wenn die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion ab.

Am Maximalpunkt ist die Ableitung Null und ändert das Vorzeichen von „Plus“ zu „Minus“.

Am Minimalpunkt ist die Ableitung ebenfalls Null und wechselt das Vorzeichen von „Minus“ zu „Plus“.

Schreiben wir diese Schlussfolgerungen in Form einer Tabelle:

	erhöht sich	Maximalpunkt	nimmt ab	Mindestpunktzahl	erhöht sich
+	0	-	0	+

Lassen Sie uns zwei kleine Klarstellungen vornehmen. Eines davon benötigen Sie zur Lösung des Problems. Ein weiteres - im ersten Jahr, mit einem ernsthafteren Studium von Funktionen und Ableitungen.

Es ist möglich, dass die Ableitung einer Funktion irgendwann gleich Null ist, die Funktion aber an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum hat. Dies ist das sogenannte :

An einem Punkt ist die Tangente an den Graphen horizontal und die Ableitung ist Null. Vor dem Punkt nahm die Funktion jedoch zu – und nach dem Punkt nimmt sie weiter zu. Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich nicht – es bleibt positiv, wie es war.

Es kommt auch vor, dass die Ableitung am Punkt des Maximums oder Minimums nicht existiert. In der Grafik entspricht dies einem scharfen Bruch, wenn es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt eine Tangente zu zeichnen.

Wie findet man die Ableitung, wenn die Funktion nicht durch einen Graphen, sondern durch eine Formel gegeben ist? In diesem Fall gilt es

Erste Ebene

Ableitung einer Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der x-Achse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Mengen Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinatenachse).

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn ein Mast mitten auf der Straße steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und immer noch unendlich Außerdem was wird passieren. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen infinitesimalen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet. Es wird aufgerufen, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher zwischen negativ und positive Werte Das muss es auf jeden Fall geben. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
2. Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten mit demselben Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Umfang: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist das? Wo ist der Abschluss?“, denken Sie an das Thema „“!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein Bruch: .
   Also unseres Quadratwurzel- Dies ist nur ein Abschluss mit einem Indikator:
   .
   Wir suchen die Ableitung mithilfe der kürzlich erlernten Formel:

   Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!!“ (ungefähr ein Grad mit negativem Exponenten)

2. . Nun der Exponent:

   Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion daran. Das ist es, was „strebt“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Finden wir zunächst die Ableitung in Gesamtansicht, und ersetzen Sie dann seinen Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches Power-Funktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Großartig, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen noch nicht, wie man solche Derivate findet. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht zu weit gehen, schauen wir es uns gleich an Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung von Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller und natürlicher Logarithmus- Funktionen sind im Hinblick auf Ableitungen einzigartig einfach. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

1. an einem Punkt;
2. an einem Punkt;
3. an einem Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da dies lineare Funktion, erinnern?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dafür werden wir verwenden einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht mehr aufgeschrieben werden kann in einfacher Form. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte ausführen umgekehrte Reihenfolge.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

1. Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung externe Funktion, dann multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Ableitung der internen Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus auch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (wir geben die Schokolade in eine mit Umschlag und Schleife in der Aktentasche). Aber es besteht kein Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Entscheiden körperliche Aufgaben oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Derivat ist eines davon die wichtigsten Konzepte mathematische Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit, den schwierigsten Test zu lösen und die Aufgaben zu verstehen, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.