Standart sapma ifade edilir. Standart sapmanın uygulanması. Not. Neden farklılıkların kareleri

Bu varyans hesaplamasının bir dezavantajı olduğuna dikkat edilmelidir - önyargılı olduğu ortaya çıktı, yani. matematiksel beklentisi şuna eşit değil gerçek değer dağılım. Bu konuda daha fazlası. Aynı zamanda, her şey o kadar da kötü değil. Örnek boyutundaki bir artışla, hala teorik muadili, yani. asimptotik olarak tarafsızdır. Bu nedenle, birlikte çalışırken büyük bedenlerörnekler için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz.

İşaretlerin dilini kelimelerin diline çevirmek faydalıdır. Varyansın, sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal ve ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, toplanır ve ardından bu popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların münhasıran olması için karedir. pozitif sayılar ve bunları özetlerken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak iptal edilmesini önlemek. Ardından, karesi alınmış sapmalar verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalama dikkate alınır. Cevap sadece üç kelimede yatıyor.

Bununla birlikte, örneğin aritmetik ortalama veya indeks gibi saf haliyle dağılım kullanılmaz. Daha çok, diğer istatistiksel analiz türleri için gerekli olan bir yardımcı ve ara göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal veri biriminin karesidir. Bir şişe olmadan, dedikleri gibi, anlamayacaksınız.

(modül 111)

Dağılımı gerçeğe döndürmek, yani daha sıradan amaçlar için kullanmak için ondan bir karekök çıkarılır. Sözde çıkıyor standart sapma(RMS). "Standart sapma" veya "sigma" isimleri vardır (Yunanca harf adından). Standart sapma formülü:

Örnek için bu göstergeyi elde etmek için aşağıdaki formülü kullanın:

Varyansta olduğu gibi, biraz farklı bir hesaplama seçeneği vardır. Ama örnek büyüdükçe, fark ortadan kalkar.

Standart sapma, elbette, veri dağılımının ölçüsünü de karakterize eder, ancak şimdi (dağılımın aksine) aynı ölçüm birimlerine sahip oldukları için orijinal verilerle karşılaştırılabilir (bu, hesaplama formülünden açıktır). Ancak bu gösterge, saf haliyle çok bilgilendirici değildir, çünkü kafa karıştırıcı çok fazla ara hesaplama içerir (sapma, kare, toplam, ortalama, kök). Bununla birlikte, bu göstergenin özellikleri iyi çalışılmış ve bilindiği için standart sapma ile doğrudan çalışmak zaten mümkündür. mesela şu var üç sigma kuralı 1000 üzerinden 997 veri noktasının aritmetik ortalamanın ±3 sigma içinde olduğunu belirtir. Belirsizliğin bir ölçüsü olarak standart sapma da birçok istatistiksel hesaplamada yer alır. Yardımı ile çeşitli tahminlerin ve tahminlerin doğruluk derecesi belirlenir. Varyasyon çok büyükse, standart sapma da büyük olacaktır, bu nedenle, örneğin çok geniş güven aralıklarında ifade edilecek olan tahmin yanlış olacaktır.

varyasyon katsayısı

Standart sapma, yayılma ölçüsünün mutlak bir tahminini verir. Bu nedenle, değerlerin kendilerine göre (yani ölçeklerinden bağımsız olarak) yayılımın ne kadar büyük olduğunu anlamak için gereklidir. göreceli gösterge. Bu gösterge denir varyasyon katsayısı ve aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Varyasyon katsayısı yüzde olarak ölçülür (%100 ile çarpılırsa). Bu gösterge ile, ölçeklerinden ve ölçü birimlerinden bağımsız olarak çeşitli fenomenleri karşılaştırabilirsiniz. Bu gerçek ve varyasyon katsayısını çok popüler hale getirir.

İstatistikte, değişkenlik katsayısının değeri %33'ten küçükse popülasyon homojen, %33'ten fazla ise heterojen kabul edilir. Burada yorum yapmak benim için zor. Kimin ve neden bu şekilde tanımladığını bilmiyorum, ancak bir aksiyom olarak kabul edilir.

Kuru bir teoriye kapıldığımı hissediyorum ve görsel ve mecazi bir şey getirmem gerekiyor. Öte yandan, tüm varyasyon göstergeleri yaklaşık olarak aynı şeyi tanımlar, yalnızca farklı şekilde hesaplanır. Bu nedenle, çeşitli örneklerle parlamak zordur, yalnızca göstergelerin değerleri değişebilir, ancak özleri değil. Öyleyse, aynı veri kümesi için farklı varyasyon göstergelerinin değerlerinin nasıl farklılık gösterdiğini karşılaştıralım. Ortalama doğrusal sapmanın ( ) hesaplanmasıyla bir örnek alalım. İşte orijinal veriler:

Ve bir hatırlatma tablosu.

Bu verilere dayanarak, çeşitli varyasyon göstergelerini hesaplıyoruz.

Ortalama, olağan aritmetik ortalamadır.

Varyasyon aralığı, maksimum ve minimum arasındaki farktır:

Ortalama doğrusal sapma şu formülle hesaplanır:

Standart sapma:

Hesaplamayı bir tabloda özetliyoruz.

Gördüğünüz gibi, doğrusal ortalama ve standart sapma, benzer değerler veri varyasyonunun derecesi. Varyans sigma karedir, dolayısıyla her zaman göreli olacaktır. Büyük bir sayı ki, aslında hiçbir şey söylemez. Varyasyon aralığı, uç noktalar arasındaki farktır ve çok şey söyleyebilir.

Bazı sonuçları özetleyelim.

Bir göstergenin varyasyonu, bir sürecin veya olgunun değişkenliğini yansıtır. Derecesi birkaç gösterge kullanılarak ölçülebilir.

1. Varyasyon aralığı, maksimum ve minimum arasındaki farktır. Olası değerler aralığını yansıtır.
2. Ortalama doğrusal sapma - analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modulo) sapmalarının ortalamasını yansıtır.
3. Dağılım - ortalama sapma karesi.
4. Standart sapma - varyansın kökü (ortalama kare sapmalar).
5. Varyasyon katsayısı, ölçekleri ve ölçü birimleri ne olursa olsun, değerlerin dağılım derecesini yansıtan en evrensel göstergedir. Varyasyon katsayısı yüzde olarak ölçülür ve çeşitli süreçlerin ve olayların varyasyonunu karşılaştırmak için kullanılabilir.

Böylece, istatistiksel analizde, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan bir göstergeler sistemi vardır. Çoğu zaman, varyasyon göstergelerinin bağımsız bir anlamı yoktur ve daha fazla veri analizi için kullanılır (güven aralıklarının hesaplanması).

Vikipedi, özgür ansiklopedi

standart sapma(eş anlamlı: standart sapma, standart sapma, standart sapma; ilgili terimler: standart sapma, standart yayılma) - olasılık teorisi ve istatistikte, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisine göre dağılımının en yaygın göstergesi. Sınırlı değer örnekleri dizisiyle, matematiksel beklenti yerine, örnek popülasyonunun aritmetik ortalaması kullanılır.

Temel bilgiler

Standart sapma, rastgele değişkenin kendi birimlerinde ölçülür ve aritmetik ortalamanın standart hatasını hesaplarken, güven aralıkları oluştururken, istatistiksel olarak hipotezleri test ederken, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal bir ilişkiyi ölçerken kullanılır. Rastgele bir değişkenin varyansının karekökü olarak tanımlanır.

Standart sapma:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash sol(x\_i-\backslash bar(x)\backslash sağ)^2).$

Standart sapma(rastgele bir değişkenin standart sapmasının tahmini x varyansının tarafsız bir tahminine dayanan matematiksel beklentisine göre) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar)\; (x)\backslash sağ)^2);$

üç sigma kuralı

üç sigma kuralı ($3\backslash sigma$) - normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin hemen hemen tüm değerleri aralıkta bulunur $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash sağ)$. Daha kesin olarak - yaklaşık olarak 0,9973 olasılıkla normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri belirtilen aralıkta bulunur (değerin $\backslash bar(x)$ true ve numunenin işlenmesi sonucunda elde edilmedi).

gerçek değer ise $\backslash bar(x)$ bilinmiyor, o zaman kullanmalısın $\backslash sigma$, a s. Böylece, üç sigma kuralı, üç sigma kuralına dönüştürülür. s .

Standart sapma değerinin yorumlanması

Standart sapmanın daha büyük bir değeri, sunulan ko kümesinde daha büyük bir değer dağılımını gösterir. ortalama setler; sırasıyla daha küçük bir değer, kümedeki değerlerin ortalama değer etrafında gruplandığını gösterir.

Örneğin, üç sayı kümemiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ve (6, 6, 8, 8). Her üç kümenin de ortalama değerleri 7 ve standart sapmaları sırasıyla 7, 5 ve 1'dir.Son kümede küçük bir standart sapma vardır çünkü kümedeki değerler ortalama etrafında kümelenmiştir; ilk set en çok büyük önem standart sapma - küme içindeki değerler, ortalama değerden büyük ölçüde farklıdır.

Genel anlamda standart sapma, belirsizliğin bir ölçüsü olarak kabul edilebilir. Örneğin, fizikte standart sapma, bazı niceliklerin bir dizi ardışık ölçümünün hatasını belirlemek için kullanılır. Bu değer, incelenen olgunun teori tarafından tahmin edilen değere kıyasla inanılırlığını belirlemek için çok önemlidir: ölçümlerin ortalama değeri teori tarafından tahmin edilen değerlerden (büyük standart sapma) büyük ölçüde farklıysa, o zaman elde edilen değerler veya bunları elde etme yöntemi tekrar kontrol edilmelidir.

Pratik kullanım

Pratikte standart sapma, bir kümedeki değerlerin ortalama değerden ne kadar farklı olabileceğini tahmin etmenizi sağlar.

Ekonomi ve finans

Portföy getirisinin standart sapması $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ portföy riski ile tanımlanır.

İklim

Diyelim ki aynı ortalama günlük sıcaklığa sahip iki şehir var, ancak biri kıyıda, diğeri ovada. Kıyı şehirlerinin, iç şehirlerden daha az farklı günlük maksimum sıcaklıklara sahip olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, kıyı kenti için maksimum günlük sıcaklıkların standart sapması, bu değerin ortalama değerine sahip olmalarına rağmen, ikinci şehirden daha az olacaktır, bu da pratikte şu anlama gelir: Maksimum sıcaklık Yılın her belirli gününün havası, kıtanın içinde bulunan bir şehir için ortalama değerden daha fazla farklılık gösterecektir.

Spor

Bazı parametrelere göre sıralanan birkaç futbol takımı olduğunu varsayalım, örneğin, atılan ve yenen gol sayısı, gol atma şansı vb. Bu gruptaki en iyi takımın en iyi takıma sahip olması muhtemeldir. daha fazla parametrede değerler. Takımın sunulan parametrelerin her biri için standart sapması ne kadar küçükse, takımın sonucu o kadar tahmin edilebilir olur, bu tür takımlar dengelenir. Öte yandan, ekiple büyük bir değer standart sapma, sonucu tahmin etmek zordur, bu da bir dengesizlik, örneğin güçlü bir savunma, ancak zayıf bir saldırı ile açıklanır.

Takım parametrelerinin standart sapmasının kullanılması, iki takım arasındaki maçın sonucunu bir dereceye kadar tahmin etmeye, güçlü yönleri ve zayıf taraflar komutlar ve dolayısıyla seçilen mücadele yöntemleri.

Ayrıca bakınız

"Standart sapma" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Edebiyat

• Borovikov V.İSTATİSTİK. Bilgisayar veri analizi sanatı: Profesyoneller için / V. Borovikov. - St.Petersburg. : Peter, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1..

istatistiksel göstergeler tanımlayıcı İstatistik istatistiksel geri çekilme ve muayene hipotezler Genel Değerlendirme korelasyon ve gerileme grafik yöntemler

Standart sapmayı karakterize eden bir alıntı

Ve kapıyı hızla açarak kararlı adımlarla balkona çıktı. Konuşma aniden kesildi, şapkalar ve kepler çıkarıldı ve tüm gözler dışarı çıkan konta çevrildi.
- Selam beyler! sayımı hızlı ve yüksek sesle söyledi. - Geldiğiniz için teşekkür ederim. Şimdi sana geleceğim, ama her şeyden önce kötü adamla uğraşmamız gerekiyor. Moskova'yı öldüren kötü adamı cezalandırmamız gerekiyor. Beni bekle! - Ve sayı aynı hızla odaya geri döndü, kapıyı sertçe çarptı.
Kalabalıktan bir onay mırıltısı yükseldi. "Öyleyse, kötülerin kullanımını kontrol edecek! Ve bir Fransız diyorsunuz ... o sizin için tüm mesafeyi çözecek! insanlar sanki inançsızlıklarından dolayı birbirlerini kınıyormuş gibi söylediler.
Birkaç dakika sonra bir subay ön kapıdan aceleyle çıktı, bir şeyler sipariş etti ve ejderhalar uzandı. Kalabalık açgözlülükle balkondan verandaya geçti. Kızgın hızlı adımlarla verandaya çıkan Rostopchin, sanki birini arıyormuş gibi aceleyle etrafına baktı.
- O nerede? - dedi kont ve bunu söylediği anda evin köşesinden iki ejderhanın arasından çıktığını gördü. genç adam uzun ince boyunlu, yarı traşlı ve büyümüş kafalı. Bu genç adam eskiden gösterişli, mavi giysili, eski püskü tilki koyun derisinden bir palto ve kirli, keten mahkum pantolonu giymişti, kirli, yıpranmış ince çizmelerin içine tıkılmıştı. İnce, zayıf bacaklarda asılı olan prangalar, genç adamın tereddütlü yürüyüşünü zorlaştırıyordu.
- ANCAK! - dedi Rostopchin, gözlerini aceleyle tilki paltolu genç adamdan çevirerek ve sundurmanın alt basamağını işaret ederek. - Buraya koy! - Prangalarla şıngırdayan genç adam, koyun derisi paltosunun baskı yakasını parmağıyla tutarak belirtilen basamağa ağır bir şekilde çıktı, iki kez döndü uzun boyun ve içini çekerek, çalışmayan ince ellerini uysal bir hareketle karnının önünde kavuşturdu.
Genç adam basamağa yerleştiğinde birkaç saniye sessizlik oldu. Sadece arka sıralarda bir yere sıkışan insanların iniltileri, iniltileri, sarsılmaları ve yeniden dizilmiş bacakların takırtıları duyuldu.
Belirtilen yerde durmasını bekleyen Rostopchin, kaşlarını çatarak yüzünü eliyle ovuşturdu.
- Çocuklar! - dedi Rostopchin metalik bir sesle, - bu adam, Vereshchagin, Moskova'nın öldüğü aynı alçak.
Tilki mantolu genç adam, elleri karnının önünde kenetlenmiş ve hafifçe eğilmiş, itaatkâr bir pozda duruyordu. Bir sıska, umutsuz bir ifadeyle, tıraşlı bir kafa tarafından şekli bozulmuş, genç yüzü aşağı indirildi. Kontun ilk sözleriyle, yavaşça başını kaldırdı ve sanki ona bir şey söylemek ya da en azından bakışlarıyla buluşmak istermiş gibi Kont'a baktı. Ama Rostopchin ona bakmadı. Genç adamın uzun, ince boynunda, bir ip gibi, kulak arkasındaki bir damar gerildi ve maviye döndü ve aniden yüzü kızardı.
Bütün gözler ona sabitlenmişti. Kalabalığa baktı ve insanların yüzlerinde okuduğu ifadeden emin gibi, hüzünlü ve çekingen bir şekilde gülümsedi ve başını tekrar eğdi, ayaklarını basamakta düzeltti.
Rastopchin düz, keskin bir sesle, “Çarına ve anavatanına ihanet etti, kendini Bonaparte'a teslim etti, tüm Ruslar arasında bir Rus adını lekeledi ve Moskova ondan ölüyor” dedi; ama aniden aynı itaatkar pozda durmaya devam eden Vereshchagin'e baktı. Sanki bu bakış onu havaya uçurmuş gibi, elini kaldırarak neredeyse bağırdı, insanlara dönerek: - Kararını ona ver! Sana veririm!
İnsanlar sessiz kaldılar ve birbirlerine gittikçe daha çok baskı yaptılar. Birbirimize sarılmak, bu hastalıklı yakınlığı solumak, hareket edecek gücümüzün olmaması ve bilinmeyen, anlaşılmaz ve korkunç bir şeyi beklemek dayanılmaz hale geldi. Ön sıralarda duran, önlerinde olan her şeyi gören ve duyan, hepsi korkudan faltaşı gibi açılmış gözler ve açık ağızlarla, tüm güçleriyle geri kalanların baskısını sırtlarında tuttular.
- Döv onu! .. Hainin ölmesine izin ver ve Rus adını utandırma! diye bağırdı Rastopchin. - Ruby! Emrediyorum! - Sözleri değil, Rostopchin'in sesinin öfkeli seslerini duyan kalabalık inledi ve ilerledi, ama yine durdu.
- Kont! .. - Vereshchagin'in ürkek ve aynı zamanda teatral sesi bir anlık sessizliğin ortasında söyledi. “Kont, bir tanrı üstümüzde…” dedi Vereshchagin başını kaldırarak ve yine ince boynundaki kalın damar kanla doldu ve renk hızla çıktı ve yüzünden kaçtı. Söylemek istediğini bitirmedi.
- Kes onu! Sipariş veriyorum! .. - Rostopchin bağırdı, aniden Vereshchagin kadar solgunlaştı.
- Kılıçlar dışarı! Subay kılıcını çekerek ejderhalara bağırdı.
Daha da güçlü bir dalga insanların arasından yükseldi ve ön sıralara ulaştıktan sonra, bu dalga öndekileri şaşırtarak hareket ettirdi, onları sundurmanın basamaklarına getirdi. Yüzünde taşlaşmış bir ifade ve durmuş bir eli kaldırılmış uzun boylu bir adam Vereshchagin'in yanında durdu.
- Ruby! neredeyse bir subayı ejderhalara fısıldadı ve askerlerden biri aniden çarpık bir öfke yüzüyle Vereshchagin'in kafasına keskin bir geniş kılıçla vurdu.
"ANCAK!" - Vereshchagin kısa ve şaşkınlıkla bağırdı, korkuyla etrafına baktı ve bunun neden kendisine yapıldığını anlamadı. Aynı şaşkınlık ve korku iniltisi kalabalığın içinden geçti.
"Aman Tanrım!" - birinin üzgün ünlem duyuldu.
Ama Vereshchagin'den kaçan şaşkınlık ünleminin ardından, acı içinde kederli bir şekilde bağırdı ve bu çığlık onu mahvetti. bu uzandı en yüksek derece Kalabalığı hâlâ tutan insani duygu bariyeri anında kırıldı. Suç başladı, tamamlanması gerekiyordu. Alaycı sitem iniltisi, kalabalığın korkunç ve öfkeli kükremesi tarafından boğuldu. Son yedinci dalga gemileri kıran gemiler gibi, bu durdurulamaz son dalga arka sıralardan yükseldi, önlere ulaştı, onları devirdi ve her şeyi yuttu. Vuran ejderha darbesini tekrarlamak istedi. Vereshchagin bir korku çığlığı ile kendini elleriyle koruyarak insanlara koştu. Tökezlediği uzun boylu adam, Vereshchagin'in ince boynunu elleriyle tuttu ve vahşi bir çığlıkla onunla birlikte, yığılmış kükreyen insanların ayaklarının altına düştü.
Bazıları Vereshchagin'de dövdü ve yırttı, diğerleri uzun boylu adamlardı. Ve ezilenlerin ve uzun boylu adamı kurtarmaya çalışanların çığlıkları sadece kalabalığın öfkesini uyandırdı. Ejderhalar uzun süre kanlı, dövülerek öldürülen fabrika işçisini kurtaramadı. Ve uzun bir süre, kalabalığın bir kez başladığı işi tamamlamaya çalıştığı tüm ateşli aceleye rağmen, Vereshchagin'i döven, boğan ve parçalayan insanlar onu öldüremedi; ama kalabalık onları her taraftan ezdi, ortada tek bir kütle gibi, bir o yana bir bu yana sallandı ve onlara ne işini bitirmelerine ne de onu bırakmalarına fırsat vermedi.

Standart sapma

En mükemmel karakteristik varyasyon standart sapmadır, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ standart (veya standart sapma) olarak adlandırılır. Standart sapma() bireysel özellik değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesinin kareköküne eşittir:

Standart sapma basittir:

Gruplandırılmış veriler için ağırlıklı standart sapma uygulanır:

Normal dağılım koşulları altında ortalama kare ve ortalama doğrusal sapmalar arasında aşağıdaki ilişki gerçekleşir: ~ 1.25.

Varyasyonun ana mutlak ölçüsü olan standart sapma, normal dağılım eğrisinin koordinatlarının değerlerinin belirlenmesinde, numune gözleminin organizasyonu ile ilgili hesaplamalarda ve numune özelliklerinin doğruluğunun belirlenmesinde ve ayrıca homojen bir popülasyonda bir özelliğin varyasyon sınırlarının değerlendirilmesi.

18. Dağılım, çeşitleri, standart sapma.

Rastgele bir değişkenin varyansı- belirli bir rastgele değişkenin yayılmasının bir ölçüsü, yani matematiksel beklentiden sapması. İstatistiklerde, atama veya sıklıkla kullanılır. Kare kök dispersiyondan denir standart sapma, standart sapma veya standart yayılma.

toplam varyans (σ2) bir özelliğin tüm popülasyondaki varyasyonunu, bu varyasyona neden olan tüm faktörlerin etkisi altında ölçer. Aynı zamanda gruplama yöntemi sayesinde gruplama özelliğinden kaynaklanan varyasyonu ve hesaba katılmayan faktörlerin etkisi altında meydana gelen varyasyonu izole etmek ve ölçmek mümkündür.

gruplar arası varyans (σ 2 miligram) sistematik varyasyonu, yani özelliğin etkisi altında ortaya çıkan incelenen özelliğin büyüklüğündeki farklılıkları karakterize eder - gruplandırmanın altında yatan faktör.

standart sapma(eş anlamlı: standart sapma, standart sapma, standart sapma; ilgili terimler: standart sapma, standart yayılma) - olasılık teorisi ve istatistikte, matematiksel beklentisine göre rastgele bir değişkenin değerlerinin dağılımının en yaygın göstergesi. Sınırlı değer örnekleri dizisiyle, matematiksel beklenti yerine, örnek kümesinin aritmetik ortalaması kullanılır.

Standart sapma, rastgele değişkenin kendi birimlerinde ölçülür ve aritmetik ortalamanın standart hatasını hesaplarken, güven aralıkları oluştururken, istatistiksel olarak hipotezleri test ederken ve rastgele değişkenler arasındaki doğrusal bir ilişkiyi ölçerken kullanılır. Rastgele bir değişkenin varyansının karekökü olarak tanımlanır.

Standart sapma:

Standart sapma(rastgele bir değişkenin standart sapmasının tahmini x varyansının tarafsız bir tahminine dayanan matematiksel beklentisine göre):

dağılım nerede; - ben-inci örnek eleman; - örnek boyut; - örneğin aritmetik ortalaması:

Her iki tahminin de yanlı olduğu belirtilmelidir. Genel durumda, tarafsız bir tahmin oluşturmak imkansızdır. Aynı zamanda, yansız varyans tahminine dayalı tahmin tutarlıdır.

19. Mod ve medyanı belirlemenin özü, kapsamı ve prosedürü.

Değişken bir özniteliğin büyüklüğünün göreli bir özelliği için istatistiklerdeki güç yasası ortalamalarına ek olarak ve iç yapı dağıtım serileri, esas olarak şu şekilde temsil edilen yapısal ortalamaları kullanır: mod ve medyan.

Moda- Bu, serinin en yaygın çeşididir. Moda, örneğin, alıcılar arasında en çok talep edilen ayakkabıların boyutunu belirlerken kullanılır. Ayrık bir serinin modu, en yüksek frekansa sahip varyanttır. Bir aralık varyasyon serisi için modu hesaplarken, önce modal aralığı (maksimum frekansa göre) ve ardından aşağıdaki formülü kullanarak özelliğin modal değerinin değerini belirlemek son derece önemlidir:

§ - moda değeri

§ - mod aralığının alt sınırı

§ - aralığın değeri

§ - modsal aralık frekansı

§ - moddan önceki aralığın sıklığı

§ - modu takip eden aralığın sıklığı

ortanca - bu özellik değeri, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ sıralı serinin tabanında yer alır ve bu seriyi sayıca eşit iki parçaya böler.

medyanı belirlemek için ayrık bir dizide frekansların mevcudiyetinde, önce frekansların yarım toplamı hesaplanır ve daha sonra varyantın hangi değerinin üzerine düştüğü belirlenir. (Sıralanan satır şunları içeriyorsa: garip numara işaretler, daha sonra medyan sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır:

M e \u003d (n (toplamdaki özellik sayısı) + 1) / 2,

öznitelik sayısının çift olması durumunda ortanca, dizinin ortasında yer alan iki özniteliğin ortalamasına eşit olacaktır).

ortanca hesaplanırken aralıklı varyasyon serisi içinönce medyanın bulunduğu medyan aralığını ve ardından medyanın değerini aşağıdaki formüle göre belirleyin:

§ - istenen medyan

§ - medyanı içeren aralığın alt sınırı

§ - aralığın değeri

§ - frekansların toplamı veya dizinin üye sayısı

§ - medyandan önceki aralıkların birikmiş frekanslarının toplamı

§ - ortanca aralığın sıklığı

Misal. Modu ve medyanı bulun.

Karar: Bu örnekte, mod aralığı 25-30 yaş aralığındadır, çünkü bu aralık en yüksek frekansı (1054) oluşturmaktadır.

Mod değerini hesaplayalım:

Bu, öğrencilerin modal yaşının 27 olduğu anlamına gelir.

Medyanı hesaplayalım. Ortanca aralık 25-30 yaş grubundadır, çünkü bu aralık içinde popülasyonu iki eşit parçaya bölen bir değişken vardır (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Ardından, gerekli sayısal verileri formüle yerleştirir ve medyanın değerini alırız:

Bu, öğrencilerin yarısının 27,4 yaşın altında, diğer yarısının ise 27,4 yaşın üzerinde olduğu anlamına gelmektedir.

Mod ve medyana ek olarak, dereceli seriyi 4 eşit parçaya, ondalık - 10 parça ve yüzdelik - 100 parçaya bölen çeyrekler gibi göstergeler kullanılır.

20. Seçici gözlem kavramı ve kapsamı.

seçici gözlem sürekli gözlem uygularken geçerlidir fiziksel olarak imkansız büyük miktarda veri nedeniyle veya ekonomik olarak pratik olmayan. Fiziksel imkansızlık, örneğin yolcu akışlarını, piyasa fiyatlarını, aile bütçelerini incelerken gerçekleşir. Ekonomik uygunsuzluk, örneğin tatma, tuğlaları dayanıklılık için test etme, vb. Gibi yıkımlarıyla ilişkili malların kalitesini değerlendirirken ortaya çıkar.

Gözlem için seçilen istatistiksel birimler şunlardır: örnekleme çerçevesi veya örnekleme, ve tüm dizileri - Genel popülasyon(GS). nerede örnekteki birim sayısı atamak n ve tüm GS'lerde - N. Davranış yok isminde göreceli boyut veya örnek paylaşım.

Örnekleme sonuçlarının kalitesi şunlara bağlıdır: örnek temsil gücü, yani, GS'de ne kadar temsili olduğu konusunda. Örneklemin temsil edilebilirliğini sağlamak için, birimlerin rastgele seçilmesi ilkesi, bir HS biriminin numuneye dahil edilmesinin şanstan başka herhangi bir faktörden etkilenmeyeceğini varsayar.

Mevcut 4 rastgele seçim yoluörneklemek için:

1. aslında rastgele istatistikler atandığında seçim veya "piyango yöntemi" sıra numaraları, belirli nesneleri (örneğin, fıçılar) getirdi, bunlar daha sonra belirli bir kapta (örneğin bir torbada) karıştırıldı ve rastgele seçildi. Pratikte, bu yöntem bir rastgele sayı üreteci veya rastgele sayıların matematiksel tabloları kullanılarak gerçekleştirilir.
2. Mekanik seçim, her birine göre ( N/n)-inci miktar nüfus. Örneğin, 100.000 değer içeriyorsa ve 1.000'i seçmek istiyorsanız, her 100.000 / 1000 = 100. değer örneğe düşecektir. Ayrıca, eğer sıralanmazlarsa, o zaman birincisi ilk yüzden rastgele seçilir ve diğerlerinin sayısı yüz fazla olacaktır. Örneğin, ilk birim 19 ise, sonraki 119, sonra 219, sonra 319 vb. olmalıdır. Genel popülasyonun birimleri sıralanırsa, önce 50 numara, ardından 150 numara, ardından 250 numara vb. seçilir.
3. Heterojen bir veri dizisinden değerlerin seçimi gerçekleştirilir tabakalı(tabakalı) yöntem, genel popülasyon önceden rastgele veya mekanik seçimin uygulandığı homojen gruplara ayrıldığında.
4. özel yolörnekleme seri Bireysel niceliklerin rastgele veya mekanik olarak seçilmediği, ancak içinde sürekli gözlemin gerçekleştirildiği serilerinin (bir sayıdan bazı ardışık diziler) seçildiği seçim.

Örnek gözlemlerin kalitesi ayrıca şunlara da bağlıdır: örnekleme türü: tekrarlanan veya tekrarlayıcı olmayan. saat yeniden seçimörneğe düşen istatistiksel değerler veya serileri kullanımdan sonra genel popülasyona geri döndürülerek yeni bir örneğe girme şansı verilir. Aynı zamanda, genel popülasyonun tüm değerlerinin örneğe dahil edilme olasılığı aynıdır. Tekrarlanmayan seçimörneğe dahil edilen istatistiksel değerlerin veya serilerinin kullanımdan sonra genel popülasyona geri dönmediği ve bu nedenle sonraki örneğe girme olasılığının sonraki kalan değerler için arttığı anlamına gelir.

Tekrarsız örnekleme daha doğru sonuçlar verir ve bu nedenle daha sık kullanılır. Ancak uygulanamayacağı durumlar vardır (yolcu akışlarının incelenmesi, tüketici talebi vb.) ve ardından yeniden seçim yapılır.

21. Sınırlı gözlem örnekleme hatası, ortalama örnekleme hatası, hesaplama sırası.

Yukarıda listelenen oluşum yöntemlerini ayrıntılı olarak ele alalım. örnekleme çerçevesi ve sonuçta ortaya çıkan temsiliyet hataları. Aslında-rastgeleörneklem, herhangi bir tutarlılık unsuru olmaksızın genel popülasyondan rastgele birimlerin seçilmesine dayanmaktadır. Teknik olarak, uygun rasgele seçim, kura (örneğin piyango) veya rasgele sayılar tablosu ile yapılır.

Aslında, seçici gözlem uygulamasında "saf haliyle" rastgele seçim nadiren kullanılır, ancak diğer seçim türleri arasında ilkidir, seçici gözlemin temel ilkelerini uygular. Bazı teori sorularını düşünün örnekleme yöntemi ve basit bir rastgele örnek için hata formülleri.

Örnekleme hatası- ϶ᴛᴏ parametrenin genel popülasyondaki değeri ile örnek gözlem sonuçlarından hesaplanan değeri arasındaki fark. Ortalama nicel özellik için örnekleme hatasının şu şekilde belirlendiğini belirtmek önemlidir.

Gösterge genellikle marjinal örnekleme hatası olarak adlandırılır. Örnek ortalama, alabilen rastgele bir değişkendir. çeşitli anlamlarörnekleme hangi birimlerin dahil edildiğine göre belirlenir. Bu nedenle örnekleme hataları da rastgele değişkenlerdir ve farklı değerler alabilirler. Bu sebeple ortalama olası hatalar – ortalama örnekleme hatası, şunlara bağlıdır:

örnek boyutu: sayı ne kadar büyükse, ortalama hata o kadar küçüktür;

İncelenen özellikteki değişim derecesi: özelliğin varyasyonu ve dolayısıyla varyans ne kadar küçükse, ortalama örnekleme hatası o kadar küçüktür.

saat rastgele yeniden seçim ortalama hata hesaplanır. Pratikte genel varyans tam olarak bilinmemekle birlikte olasılık teorisinde kanıtlanmıştır. . Yeterince büyük n'nin değeri 1'e yakın olduğundan, bunu varsayabiliriz. Daha sonra ortalama örnekleme hatası şu şekilde hesaplanmalıdır: . Ancak küçük bir örneklem durumunda (n için<30) коэффициент крайне важно учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле .

saat rasgele örnekleme verilen formüller değere göre düzeltilir. O zaman örnekleme yapılmamasının ortalama hatası: ve . Çünkü her zaman küçüktür, o zaman faktör () her zaman 1'den küçüktür. Bu, tekrarlanmayan seçimdeki ortalama hatanın her zaman tekrarlanan seçimden daha az olduğu anlamına gelir. mekanik örnekleme genel nüfus bir şekilde sıralandığında kullanılır (örneğin alfabetik sırayla seçmen listeleri, telefon numaraları, ev sayıları, apartmanlar). Birimlerin seçimi, örnekleme yüzdesinin karşılıklılığına eşit olan belirli bir aralıkta gerçekleştirilir. Böylece, %2'lik bir örnekle, her 50 birim = 1 / 0,02, genel popülasyonun her biri 1 / 0,05 = 20 birim olmak üzere %5 ile seçilir.

Orijin farklı şekillerde seçilir: orijinde bir değişiklikle, aralığın ortasından rastgele. Anahtar, sistematik hatadan kaçınmaktır. Örneğin, %5'lik bir örneklemle, ilk birim olarak 13'üncü seçilirse, sonraki 33, 53, 73, vb.

Doğruluk açısından, mekanik seçim uygun rastgele örneklemeye yakındır. Bu nedenle, mekanik örneklemenin ortalama hatasını belirlemek için uygun rastgele seçim formülleri kullanılır.

saat tipik seçim Ankete katılan nüfus, öncelikle homojen, tek tip gruplara ayrılır. Örneğin, işletmeleri araştırırken, bunlar nüfus - alanlar, sosyal veya yaş grupları - çalışırken endüstriler, alt sektörlerdir. Daha sonra, her gruptan mekanik veya rastgele bir şekilde bağımsız bir seçim yapılır.

Tipik örnekleme, diğer yöntemlere göre daha doğru sonuçlar verir. Genel popülasyonun tiplendirilmesi, örneklemdeki her tipolojik grubun temsil edilmesini sağlar, bu da gruplar arası varyansın ortalama örnek hatası üzerindeki etkisini hariç tutmayı mümkün kılar. Bu nedenle, tipik bir örneğin hatasını varyans toplama kuralına göre bulurken (), yalnızca grup varyanslarının ortalamasını dikkate almak son derece önemlidir. Ardından ortalama örnekleme hatası: tekrarlanan seçimle , tekrarlanmayan seçimle , nerede örneklemdeki grup içi varyansların ortalamasıdır.

Seri (veya iç içe) seçimörneklem araştırmasının başlamasından önce popülasyon serilere veya gruplara ayrıldığında kullanılır. Bu seriler bitmiş ürün paketleri, öğrenci grupları, takımlardır. İnceleme için seriler mekanik veya rastgele seçilir ve seri içinde birimlerin eksiksiz bir araştırması yapılır. Bu nedenle, ortalama örnekleme hatası yalnızca aşağıdaki formülle hesaplanan gruplar arası (seriler arası) varyansa bağlıdır: burada r, seçilen serilerin sayısıdır; i-th serisinin ortalamasıdır. Ortalama seri örnekleme hatası hesaplanır: yeniden seçim ile , tekrarlanmayan seçim ile , burada R toplam seri sayısıdır. kombine seçim, dikkate alınan seçim yöntemlerinin bir kombinasyonudur.

Herhangi bir seçim yöntemi için ortalama örnekleme hatası, esas olarak örneğin mutlak boyutuna ve daha az ölçüde örneğin yüzdesine bağlıdır. İlk durumda 4500 birimlik bir popülasyondan ve ikinci durumda 225000 birimlik bir popülasyondan 225 gözlem yapıldığını varsayalım. Her iki durumda da varyanslar 25'e eşittir. Ardından, ilk durumda, %5'lik bir seçimle örnekleme hatası şöyle olacaktır: İkinci durumda, %0,1 seçimle şuna eşit olacaktır:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, örnekleme yüzdesinde 50 kat azalma ile örneklem büyüklüğü değişmediğinden örnekleme hatası biraz arttı. Örnek boyutunun 625 gözleme yükseltildiğini varsayalım. Bu durumda, örnekleme hatası: Genel popülasyonun aynı boyutuyla örneklemde 2,8 kat artış, örnekleme hatası boyutunu 1,6 kattan fazla azaltır.

22.Örnek popülasyon oluşturma yöntemleri ve yolları.

İstatistikte, çalışmanın amaçlarına göre belirlenen ve çalışma nesnesinin özelliklerine bağlı olan çeşitli örnek kümeleri oluşturma yöntemleri kullanılır.

Örnek anket yapmanın temel koşulu, genel popülasyonun her bir biriminin örneğe girmesi için fırsat eşitliği ilkesinin ihlalinden kaynaklanan sistematik hataların oluşmasını önlemektir. Sistematik hataların önlenmesi, bir örnek popülasyonun oluşturulması için bilimsel temelli yöntemlerin kullanılması sonucunda elde edilir.

Genel popülasyondan birimleri seçmenin aşağıdaki yolları vardır: 1) bireysel seçim - örneklemde bireysel birimler seçilir; 2) grup seçimi - nitel olarak homojen gruplar veya incelenen birim serileri örnekleme girer; 3) Birleşik seçim, bireysel ve grup seçiminin birleşimidir. Seçim yöntemleri, örnekleme popülasyonunun oluşturulmasına ilişkin kurallarla belirlenir.

Örnek olmalıdır:

• uygun rastgeleörneklemin genel popülasyondan rastgele (kasıtsız) bireysel birimlerin seçilmesi sonucu oluşması gerçeğinden oluşur. Bu durumda, numune setinde seçilen birim sayısı genellikle numunenin kabul edilen oranına göre belirlenir. Örneklem payı, n örnek popülasyonundaki birim sayısının, N genel popülasyonundaki birim sayısına oranıdır, ᴛ.ᴇ.

• mekanikörneklemdeki birimlerin seçiminin genel popülasyondan eşit aralıklara (gruplara) ayrılmış olması gerçeğinden oluşur. Bu durumda, genel popülasyondaki aralığın büyüklüğü, örneklem oranının karşılıklılığına eşittir. Böylece, %2'lik bir örnekle her 50. birimde bir (1:0.02), %5'lik bir örnekle her 20. birimde bir (1:0.05), vb. seçilir. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, kabul edilen seçim oranına göre, genel nüfus, olduğu gibi, mekanik olarak eşit gruplara bölünür. Örneklemdeki her gruptan sadece bir birim seçilir.
• tipik - genel popülasyonun ilk önce homojen tipik gruplara ayrıldığı. Ayrıca, her tipik gruptan, rastgele veya mekanik bir numune ile numuneye ayrı bir birim seçimi yapılır. Tipik bir numunenin önemli bir özelliği, bir numunedeki diğer birimleri seçme yöntemlerine kıyasla daha doğru sonuçlar vermesidir;
• seri- genel nüfusun aynı büyüklükteki gruplara ayrıldığı - seriler. Örnek sette seriler seçilir. Seri içerisinde, seriye düşen birimlerin sürekli gözlemi yapılır;
• kombine- numune iki aşamalı olmalıdır. Bu durumda, genel nüfus önce gruplara ayrılır. Daha sonra gruplar seçilir ve ikincisi içinde bireysel birimler seçilir.

İstatistikte, bir örnekte aşağıdaki birimleri seçme yöntemleri ayırt edilir:

• tek aşamalı numune - seçilen her birim, belirli bir temelde çalışmaya tabi tutulur (aslında rastgele ve seri numuneler);
• çok aşamalıörnekleme - seçim, bireysel grupların genel popülasyonundan yapılır ve gruplardan bireysel birimler seçilir (örnek popülasyonunda birimlerin seçilmesi için mekanik bir yöntemle tipik bir örnek).

Ayrıca, ayırt:

• yeniden seçim- iade edilen topun şemasına göre. Aynı zamanda örnekleme düşen her birim veya seri genel evrene geri döner ve bu nedenle tekrar örnekleme dahil olma şansı vardır;
• tekrarlanmayan seçim- iade edilmeyen topun şemasına göre. Aynı numune boyutu için daha doğru sonuçlara sahiptir.

23. Son derece önemli örneklem büyüklüğünün belirlenmesi (Öğrenci tablosu kullanılarak).

Örnekleme teorisindeki bilimsel ilkelerden biri de yeterli sayıda birimin seçilmesini sağlamaktır. Teorik olarak, bu ilkeyi gözlemlemenin aşırı önemi, olasılık teorisinin limit teoremlerinin kanıtlarında sunulur; bu, kişinin genel popülasyondan kaç birim seçilmesi gerektiğini belirlemeye izin verir, böylece yeterli olur ve örneğin temsil edilebilirliğini sağlar.

Numunenin standart hatasındaki bir azalma ve dolayısıyla tahminin doğruluğundaki bir artış, her zaman numune büyüklüğündeki bir artışla ilişkilidir, bu bağlamda, zaten bir numune gözlemi düzenleme aşamasında, gözlem sonuçlarının gerekli doğruluğunu sağlamak için örnek boyutunun ne olması gerektiğine karar verin. Son derece önemli örneklem büyüklüğünün hesaplanması, şu veya bu tür ve seçim yöntemine karşılık gelen marjinal örnekleme hataları (A) için formüllerden türetilen formüller kullanılarak yapılır. Böylece, rastgele tekrarlanan bir örneklem büyüklüğü (n) için:

Bu formülün özü, son derece önemli bir sayının rastgele yeniden seçilmesiyle, örneklem büyüklüğünün güven katsayısının karesiyle doğru orantılı olmasıdır. (t2) ve varyasyon özelliğinin (?2) varyansı ve marjinal örnekleme hatasının (?2) karesiyle ters orantılıdır. Özellikle, marjinal hata iki katına çıktıkça, gerekli örneklem büyüklüğü dört kat azaltılmalıdır. Üç parametreden ikisi (t ve?) araştırmacı tarafından belirlenir. Aynı zamanda araştırmacı, hedefe dayalı olarak

ve örnek anketin hedefleri şu soruya karar vermelidir: en iyi seçeneği sağlamak için bu parametreleri hangi nicel kombinasyonda dahil etmek daha iyidir? Bir durumda, elde edilen sonuçların güvenilirliğinden (t) doğruluk ölçüsünden (?) daha memnun olabilir, diğerinde ise tam tersi olabilir. Marjinal örnekleme hatasının değeri ile ilgili sorunu çözmek daha zordur, çünkü araştırmacı örnek gözlem tasarlama aşamasında bu göstergeye sahip değildir, bununla bağlantılı olarak uygulamada marjinal örnekleme hatasını ayarlamak gelenekseldir. , kural olarak, özelliğin beklenen ortalama seviyesinin %10'u içinde. Varsayılan bir ortalama düzeyin oluşturulmasına farklı şekillerde yaklaşılabilir: daha önceki benzer anketlerden elde edilen veriler kullanılarak veya örnekleme çerçevesinden elde edilen veriler kullanılarak ve küçük bir pilot örneklem alınması.

Örnek gözlemi tasarlarken tespit edilmesi en zor şey, formül (5.2)'deki üçüncü parametredir - örnek popülasyonun varyansı. Bu durumda, araştırmacının önceki benzer ve pilot araştırmalardan elde ettiği tüm bilgilerin kullanılması esastır.

Örneklem araştırması, örnekleme birimlerinin çeşitli özelliklerinin çalışılmasını içeriyorsa, son derece önemli örneklem büyüklüğünü belirleme sorunu daha karmaşık hale gelir. Bu durumda, özelliklerin her birinin ortalama seviyeleri ve kural olarak varyasyonları farklıdır ve bu bağlamda, yalnızca amacı dikkate alarak hangi özelliklerin hangi dağılımının tercih edileceğine karar vermek mümkündür. ve anketin amaçları.

Bir örnek gözlem tasarlarken, belirli bir çalışmanın amaçlarına ve gözlem sonuçlarına dayalı sonuçların olasılığına göre izin verilen örnekleme hatasının önceden belirlenmiş bir değeri varsayılır.

Genel olarak, örnek ortalama değerinin marjinal hatası için formül şunları belirlemenizi sağlar:

‣‣‣ genel popülasyonun göstergelerinin örnek popülasyonun göstergelerinden olası sapmalarının büyüklüğü;

‣‣‣ olası bir hatanın sınırlarının belirli bir değeri geçmeyeceği gerekli doğruluğu sağlayan gerekli örnek boyutu;

‣‣‣ örnekteki hatanın belirli bir limite sahip olma olasılığı.

Öğrenci dağılımı olasılık teorisinde, bu kesinlikle sürekli dağılımların tek parametreli bir ailesidir.

24. Dinamikler dizisi (aralık, moment), dinamikler dizisinin kapanışı.

dinamikler dizisi- bunlar belirli bir kronolojik sırayla sunulan istatistiksel göstergelerin değerleridir.

Her zaman serisi iki bileşen içerir:

1) zaman dilimi göstergeleri(yıllar, çeyrekler, aylar, günler veya tarihler);

2) incelenen nesneyi karakterize eden göstergeler olarak adlandırılan zaman dilimleri veya ilgili tarihler için bir sayının seviyeleri.

Serilerin seviyeleri hem mutlak hem de ortalama veya bağıl değerler olarak ifade edilir. Göstergelerin doğasına bağımlılık göz önüne alındığında, dinamik mutlak, göreceli ve ortalama değerler dizisi oluşturulur. Dinamik göreceli ve ortalama değerler serisi, mutlak değerlerin türev serileri temelinde oluşturulur. Aralık ve moment serileri vardır.

Dinamik aralık serisi belirli süreler için göstergelerin değerlerini içerir. Aralık serilerinde, daha uzun bir süre için olgunun hacmini veya sözde birikmiş toplamları elde ederek seviyeler toplanabilir.

Dinamik moment serisi zaman içinde belirli bir noktadaki (tarih tarihi) göstergelerin değerlerini yansıtır. Moment serilerinde, araştırmacı sadece fenomenlerin farkıyla ilgilenebilir ve burada seviyelerin toplamının gerçek bir içeriği olmadığı için, belirli tarihler arasındaki serilerin seviyesindeki değişimi yansıtır. Kümülatif toplamlar burada hesaplanmaz.

Zaman serilerinin doğru inşası için en önemli koşul, seri düzeyinde karşılaştırılabilirlik Farklı dönemlerle ilgili. Seviyeler homojen miktarlarda sunulmalı, olgunun çeşitli bölümlerinin kapsamı aynı olmalıdır.

Gerçek dinamikleri bozmamak için, zaman serilerinin istatistiksel analizinden önce gelen istatistiksel çalışmada (zaman serilerinin kapanması) ön hesaplamalar yapılır. Altında dinamik sıraların kapatılması seviyeleri farklı metodolojiye göre hesaplanan veya bölgesel sınırlara karşılık gelmeyen, iki veya daha fazla satırdan oluşan bir satırdaki kombinasyonu anlamak gelenekseldir. Dinamikler dizisinin kapanması, dinamikler dizisinin mutlak düzeylerinin ortak bir temele indirgenmesi anlamına da gelebilir, bu da dinamikler dizisinin düzeylerinin uyumsuzluğunu ortadan kaldırır.

25. Bir dizi dinamik, katsayı, büyüme ve büyüme oranlarının karşılaştırılabilirliği kavramı.

dinamikler dizisi- bunlar, zaman içinde doğa ve toplum fenomenlerinin gelişimini karakterize eden bir dizi istatistiksel göstergedir. Rusya Devlet İstatistik Komitesi tarafından yayınlanan istatistik koleksiyonları, tablo şeklinde çok sayıda zaman serisi içerir. Bir dizi dinamik, incelenen fenomenlerin gelişim modellerinin ortaya çıkarılmasına izin verir.

Dinamik seriler iki tür gösterge içerir. Zaman göstergeleri(yıllar, çeyrekler, aylar vb.) veya zaman içindeki noktalar (yılın başında, her ayın başında vb.). Satır düzeyi göstergeleri. Zaman serisi seviyelerinin göstergeleri, mutlak değerler (bir ürünün ton veya ruble cinsinden üretimi), nispi değerler (şehir nüfusunun% olarak payı) ve ortalama değerler (endüstri çalışanlarının ortalama maaşı) olarak ifade edilir. yıllar vb.). Tablo biçiminde, zaman serisi iki sütun veya iki satır içerir.

Zaman serilerinin doğru yapılandırılması, bir dizi gereksinimin yerine getirilmesini içerir:

1. bir dizi dinamiğin tüm göstergeleri bilimsel olarak doğrulanmış, güvenilir olmalıdır;
2. bir dizi dinamiğin göstergeleri zaman içinde karşılaştırılabilir olmalıdır, ᴛ.ᴇ. aynı zaman dilimlerinde veya aynı tarihlerde hesaplanmalıdır;
3. bir dizi dinamiğin göstergeleri bölge genelinde karşılaştırılabilir olmalıdır;
4. bir dizi dinamiğin göstergeleri içerik açısından karşılaştırılabilir olmalıdır, ᴛ.ᴇ. aynı şekilde tek bir metodolojiye göre hesaplanan;
5. Bir dizi dinamiğin göstergeleri, dikkate alınan çiftlikler arasında karşılaştırılabilir olmalıdır. Bir dizi dinamiğin tüm göstergeleri aynı ölçü birimlerinde verilmelidir.

İstatistiksel göstergeler, ya belirli bir süre boyunca incelenen sürecin sonuçlarını ya da incelenen olgunun belirli bir zaman noktasındaki durumunu karakterize edebilir. göstergeler aralıklı (periyodik) ve anlıktır. Buna göre, başlangıçta dinamik seriler ya aralık ya da momenttir. Moment dinamiği serileri de eşit ve eşit olmayan zaman aralıklarıyla gelir.

İlk dinamik serisi, bir dizi ortalama değere ve bir dizi göreceli değere (zincir ve taban) dönüştürülür. Bu tür zaman serilerine türetilmiş zaman serileri denir.

Dinamik serilerindeki ortalama seviyeyi hesaplama yöntemi, dinamik serilerinin türü nedeniyle farklıdır. Örnekleri kullanarak, ortalama düzeyi hesaplamak için zaman serisi türlerini ve formülleri göz önünde bulundurun.

Mutlak kazançlar (Δy) serinin sonraki düzeyinin öncekine göre (sütun 3. - zincir mutlak artışlar) veya başlangıç ​​düzeyine göre (sütun 4. - temel mutlak artışlar) kaç birim değiştiğini gösterir. Hesaplama formülleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

Serinin mutlak değerlerinde bir azalma ile sırasıyla bir "düşüş", "düşüş" olacaktır.

Mutlak büyüme oranları, örneğin 1998'de ᴦ olduğunu gösteriyor. "A" ürününün üretimi 1997 yılına göre arttı ᴦ. 4 bin ton ve 1994'e kıyasla ᴦ. - 34 bin ton ile; diğer yıllar için tabloya bakınız. 11,5 gr.
ref.rf'de barındırılıyor
3 ve 4.

Büyüme faktörü seri seviyesinin bir öncekine (sütun 5 - zincir büyüme veya düşüş faktörleri) veya başlangıç ​​seviyesine (sütun 6 - temel büyüme veya düşüş faktörleri) kıyasla kaç kez değiştiğini gösterir. Hesaplama formülleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

büyüme oranları serinin bir sonraki düzeyinin bir öncekiyle (sütun 7 - zincir büyüme oranları) veya başlangıç ​​düzeyiyle (sütun 8 - temel büyüme oranları) karşılaştırıldığında yüzde kaç olduğunu gösterin. Hesaplama formülleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

Yani, örneğin, 1997'de ᴦ. 1996 yılına kıyasla "A" ürününün üretim hacmi ᴦ. %105,5 olarak gerçekleşti (

Büyüme oranı raporlama dönemi seviyesinin bir öncekine (sütun 9 - zincir büyüme oranları) veya ilk seviyeye (sütun 10 - temel büyüme oranları) kıyasla yüzde kaç arttığını gösterin. Hesaplama formülleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

T pr \u003d T p - 100% veya T pr \u003d önceki dönemin mutlak artışı / seviyesi * 100%

Yani, örneğin, 1996'da ᴦ. 1995 ᴦ ile karşılaştırıldığında. "A" ürünü, 1994 yılına kıyasla %3.8 (%103.8 - %100) veya (8:210)x100 oranında daha fazla üretildi. - %9 (%109 - %100).

Serideki mutlak seviyeler azalırsa, oran %100'den az olacak ve buna bağlı olarak bir düşüş oranı (eksi işaretli büyüme oranı) olacaktır.

%1'lik artışın mutlak değeri(gr.
ref.rf'de barındırılıyor
11), bir önceki dönemin seviyesinin %1 artması için belirli bir dönemde kaç adet üretilmesi gerektiğini gösterir. Örneğimizde, 1995 ᴦ. 2.0 bin ton üretmek gerekiyordu ve 1998'de ᴦ. - 2.3 bin ton, ᴛ.ᴇ. Daha büyük.

%1'lik büyümenin mutlak değerinin büyüklüğünü belirlemenin iki yolu vardır:

§ 100'e bölünmüş önceki dönemin seviyesi;

§ zincir mutlak artışlarının karşılık gelen zincir büyüme oranlarına bölümü.

%1'lik artışın mutlak değeri =

Dinamiklerde, özellikle uzun bir süre boyunca, her yüzde artış veya azalmanın içeriği ile büyüme oranını birlikte analiz etmek önemlidir.

Zaman serilerini analiz etmek için dikkate alınan yöntemin, hem seviyeleri mutlak değerlerle (t, bin ruble, çalışan sayısı vb.) bağıl göstergeler (hurdanın yüzdesi, kömürün % kül içeriği vb.) veya ortalama değerler (c/ha cinsinden ortalama verim, ortalama maaş vb.) olarak ifade edilir.

Her yıl için önceki veya başlangıç ​​düzeyine göre hesaplanan dikkate alınan analitik göstergelerin yanı sıra, zaman serilerini analiz ederken, dönem için ortalama analitik göstergeleri hesaplamak son derece önemlidir: serinin ortalama seviyesi, ortalama yıllık mutlak artış (azalma) ve ortalama yıllık büyüme oranı ve büyüme oranı.

Bir dizi dinamiğin ortalama düzeyini hesaplama yöntemleri yukarıda tartışılmıştır. İncelediğimiz dinamik aralık serisinde, serinin ortalama seviyesi basit aritmetik ortalama formülü ile hesaplanır:

1994-1998 için ürünün ortalama yıllık üretimi. 218,4 bin ton olarak gerçekleşti.

Ortalama yıllık mutlak artış, aritmetik ortalama formülüyle de hesaplanır.

Standart sapma - kavram ve türleri. "Standart sapma" kategorisinin sınıflandırılması ve özellikleri 2017, 2018.

Excel programı, hem profesyoneller hem de amatörler tarafından çok değerlidir, çünkü herhangi bir eğitim seviyesinden bir kullanıcı onunla çalışabilir. Örneğin, Excel ile asgari düzeyde "iletişim" becerisine sahip herkes basit bir grafik çizebilir, düzgün bir işaret yapabilir vb.

Aynı zamanda, bu program örneğin hesaplama gibi çeşitli hesaplamalar yapmanıza bile izin verir, ancak bu zaten biraz farklı bir eğitim seviyesi gerektirir. Ancak, bu programla yeni tanıştıysanız ve daha gelişmiş bir kullanıcı olmanıza yardımcı olacak her şeyle ilgileniyorsanız, bu makale tam size göre. Bugün size excel'de standart sapma formülünün ne olduğunu, neden gerekli olduğunu ve aslında ne zaman uygulandığını anlatacağım. Gitmek!

Ne olduğunu

Teoriyle başlayalım. Standart sapmaya genellikle, mevcut değerler arasındaki tüm kare farklarının aritmetik ortalamasından ve bunların aritmetik ortalamasından elde edilen karekök denir. Bu arada, bu değere genellikle Yunanca "sigma" harfi denir. Standart sapma, sırasıyla STDEV formülü kullanılarak hesaplanır, program bunu kullanıcının kendisi için yapar.

Bu kavramın özü, aracın değişkenlik derecesini belirlemektir, yani kendi yolunda tanımlayıcı istatistiklerden bir göstergedir. Herhangi bir zaman diliminde enstrümanın oynaklığındaki değişiklikleri ortaya çıkarır. STDEV formüllerini kullanarak, bir örneğin standart sapmasını tahmin edebilirsiniz, boolean ve metin değerleri yok sayılır.

formül

Excel'de otomatik olarak sağlanan excel formülündeki standart sapmanın hesaplanmasına yardımcı olur. Bulmak için, Excel'de formül bölümünü bulmanız ve zaten orada STDEV adında olanı seçmeniz gerekiyor, bu yüzden çok basit.

Bundan sonra, önünüzde hesaplama için veri girmeniz gereken bir pencere açılacaktır. Özellikle, özel alanlara iki sayı girilmelidir, bundan sonra program numune için standart sapmayı otomatik olarak hesaplayacaktır.

Kuşkusuz, matematiksel formüller ve hesaplamalar oldukça karmaşık bir konudur ve tüm kullanıcılar bununla hemen başa çıkamaz. Ancak, biraz daha derine inerseniz ve konuyu biraz daha ayrıntılı anlarsanız, her şeyin o kadar da üzücü olmadığı ortaya çıkıyor. Umarım standart sapmayı hesaplama örneğiyle buna ikna olmuşsunuzdur.

yardımcı olacak video

$X$. Önce şu tanımı hatırlayalım:

tanım 1

Nüfus- belirli bir türdeki rastgele bir değişkeni incelerken, değişmeyen koşullar altında gerçekleştirilen, rastgele bir değişkenin belirli değerlerini elde etmek için gözlemlerin yapıldığı belirli bir türde rastgele seçilmiş nesneler kümesi.

tanım 2

Genel varyans-- genel popülasyon varyantının değerlerinin ortalama değerlerinden sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması.

$x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ değişkeninin değerleri sırasıyla $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ frekanslarına sahip olsun. Daha sonra genel varyans aşağıdaki formülle hesaplanır:

Özel bir durumu ele alalım. Tüm değişkenler $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ farklı olsun. Bu durumda $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Bu durumda genel varyansın aşağıdaki formülle hesaplandığını anlıyoruz:

Bu kavramla ilgili ayrıca genel standart sapma kavramıdır.

tanım 3

Genel standart sapma

\[(\sigma )_r=\sqrt(D_r)\]

örnek varyans

Bize $X$ rasgele değişkenine göre bir örnek küme verilsin. Önce şu tanımı hatırlayalım:

tanım 4

Örnek popülasyon-- genel popülasyondan seçilen nesnelerin bir parçası.

tanım 5

örnek varyans-- örnek popülasyonun varyantının değerlerinin aritmetik ortalaması.

$x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ değişkeninin değerleri sırasıyla $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ frekanslarına sahip olsun. Daha sonra örnek varyansı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Özel bir durumu ele alalım. Tüm değişkenler $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ farklı olsun. Bu durumda $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Bu durumda, örnek varyansının aşağıdaki formülle hesaplandığını anlıyoruz:

Bu kavramla ilgili de örnek standart sapma kavramıdır.

tanım 6

Numune standart sapması-- genel varyansın karekökü:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\]

Düzeltilmiş varyans

Düzeltilmiş varyansı $S^2$ bulmak için, örnek varyansı $\frac(n)(n-1)$ kesriyle çarpmak gerekir, yani.

Bu kavram aynı zamanda aşağıdaki formülle bulunan düzeltilmiş standart sapma kavramıyla da ilişkilidir:

Varyant değerinin ayrık olmadığı, ancak aralıkları temsil ettiği durumda, genel veya örnek varyansları hesaplama formüllerinde $x_i$ değeri, $'ın bulunduğu aralığın ortasının değeri olarak alınır. x_i.$ aittir

Varyans ve standart sapmayı bulmak için bir problem örneği

örnek 1

Örnek popülasyon aşağıdaki dağılım tablosunda verilmiştir:

Resim 1.

Bunun için örnek varyansı, örnek standart sapması, düzeltilmiş varyans ve düzeltilmiş standart sapmayı bulun.

Bu sorunu çözmek için önce bir hesaplama tablosu yapacağız:

Şekil 2.

Tablodaki $\overline(x_v)$ (örnek ortalama) değeri şu formülle bulunur:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15,25\]

Aşağıdaki formülü kullanarak örnek varyansı bulun:

Numune standart sapması:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\yaklaşık 5,12\]

Düzeltilmiş varyans:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_v=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\yaklaşık 27.57\]

Düzeltilmiş standart sapma.