Reduktionsgrad des Horner-Schaltkreises. Gleichungen in der höheren Mathematik. Rationale Wurzeln von Polynomen. Horner-Schema

Usw. ist allgemeinbildender Natur und hat sehr wichtig um den GESAMTEN Kurs zu studieren höhere Mathematik. Heute werden wir „Schul“-Gleichungen wiederholen, aber nicht nur „Schul“-Gleichungen – sondern solche, die überall in verschiedenen Vyshmat-Problemen zu finden sind. Wie üblich wird die Geschichte anwendungsorientiert erzählt, d.h. Ich werde mich nicht auf Definitionen und Klassifizierungen konzentrieren, sondern sie Ihnen genau mitteilen persönliche Erfahrung Lösungen. Die Informationen richten sich in erster Linie an Einsteiger, aber auch fortgeschrittenere Leser werden einiges für sich finden. interessante Momente. Und natürlich wird es welche geben Neues Material, darüber hinausgehen weiterführende Schule.

Also die Gleichung…. Viele erinnern sich mit Schaudern an dieses Wort. Was sind die „ausgeklügelten“ Gleichungen mit Wurzeln wert... ...vergessen Sie sie! Denn dann treffen Sie auf die harmlosesten „Vertreter“ dieser Art. Oder langweilig trigonometrische Gleichungen mit Dutzenden Lösungsmethoden. Ehrlich gesagt haben sie mir selbst nicht wirklich gefallen... Keine Panik! – dann erwartet Sie meist „Löwenzahn“ mit einer naheliegenden Lösung in 1-2 Schritten. Auch wenn die „Klette“ durchaus haftet, ist hier Objektivität gefragt.

Seltsamerweise ist es in der höheren Mathematik weitaus üblicher, sich mit sehr primitiven Gleichungen zu befassen linear Gleichungen

Was bedeutet es, diese Gleichung zu lösen? Das bedeutet, SOLCHEN Wert von „x“ (Wurzel) zu finden, der daraus eine echte Gleichheit macht. Werfen wir die „Drei“ mit Vorzeichenwechsel nach rechts:

und lassen Sie die „Zwei“ auf die rechte Seite fallen (oder das Gleiche – beide Seiten mit multiplizieren) :

Um dies zu überprüfen, setzen wir die gewonnene Trophäe in die ursprüngliche Gleichung ein:

Man erhält die korrekte Gleichheit, was bedeutet, dass der gefundene Wert tatsächlich die Wurzel dieser Gleichung ist. Oder, wie man auch sagt, erfüllt diese Gleichung.

Bitte beachten Sie, dass die Wurzel auch im Formular geschrieben werden kann Dezimal:
Und versuchen Sie, nicht bei diesem schlechten Stil zu bleiben! Ich habe den Grund mehr als einmal wiederholt, insbesondere in der allerersten Lektion höhere Algebra.

Die Gleichung lässt sich übrigens auch „auf Arabisch“ lösen:

Und das Interessanteste ist, dass diese Aufnahme völlig legal ist! Aber wenn du kein Lehrer bist, dann solltest du das besser nicht tun, denn Originalität ist hier strafbar =)

Und jetzt ein wenig darüber

grafische Lösungsmethode

Die Gleichung hat die Form und ihre Wurzel ist „X“-Koordinate Schnittpunkte linearer Funktionsgraph mit Zeitplan lineare Funktion (x-Achse):

Es scheint, dass das Beispiel so elementar ist, dass es hier nichts weiter zu analysieren gibt, aber eine weitere unerwartete Nuance lässt sich daraus „herausquetschen“: Stellen wir die gleiche Gleichung in der Form dar und konstruieren Diagramme der Funktionen:

Dabei, Bitte verwechseln Sie die beiden Konzepte nicht: eine Gleichung ist eine Gleichung, und Funktion– das ist eine Funktion! Funktionen hilft nur Finden Sie die Wurzeln der Gleichung. Davon können es zwei, drei, vier oder sogar unendlich viele sein. Das naheliegendste Beispiel in diesem Sinne ist das Bekannte quadratische Gleichung , der Lösungsalgorithmus erhielt einen eigenen Absatz „heiße“ Schulformeln. Und das ist kein Zufall! Wenn Sie eine quadratische Gleichung lösen können und wissen Satz des Pythagoras, dann könnte man sagen: „Die Hälfte der höheren Mathematik steckt schon in der Tasche“ =) Natürlich übertrieben, aber nicht so weit von der Wahrheit entfernt!

Seien wir also nicht faul und lösen wir eine quadratische Gleichung mit Standardalgorithmus:

, was bedeutet, dass die Gleichung zwei verschiedene hat gültig Wurzel:

Es lässt sich leicht überprüfen, ob beide gefundenen Werte tatsächlich diese Gleichung erfüllen:

Was tun, wenn Sie den Lösungsalgorithmus plötzlich vergessen haben und keine Mittel/helfenden Hände zur Hand sind? Diese Situation kann beispielsweise während einer Prüfung oder Prüfung auftreten. Wir nutzen die grafische Methode! Und es gibt zwei Möglichkeiten: Sie können Punkt für Punkt aufbauen Parabel , um herauszufinden, wo es die Achse schneidet (falls es überhaupt kreuzt). Aber es ist besser, etwas Schlaueres zu tun: Stellen Sie sich die Gleichung in der Form vor, zeichnen Sie Diagramme einfacherer Funktionen – und „X“-Koordinaten ihre Schnittpunkte sind deutlich erkennbar!


Stellt sich heraus, dass die Gerade die Parabel berührt, dann hat die Gleichung zwei übereinstimmende (mehrere) Wurzeln. Wenn sich herausstellt, dass die Gerade die Parabel nicht schneidet, dann gibt es keine echten Wurzeln.

Dazu muss man natürlich bauen können Graphen elementarer Funktionen, aber andererseits kann auch ein Schulkind diese Fähigkeiten erlernen.

Und noch einmal: Eine Gleichung ist eine Gleichung, und Funktionen sind Funktionen, die hat nur geholfen löse die Gleichung!

Und hier wäre es übrigens angebracht, sich noch an etwas zu erinnern: Wenn alle Koeffizienten einer Gleichung mit einer Zahl ungleich Null multipliziert werden, ändern sich ihre Wurzeln nicht.

So zum Beispiel die Gleichung hat die gleichen Wurzeln. Als einfachen „Beweis“ nehme ich die Konstante aus Klammern:
und ich werde es schmerzlos entfernen (Ich werde beide Teile durch „minus zwei“ dividieren):

ABER! Wenn wir die Funktion betrachten , dann wird man die Konstante hier nicht los! Es ist nur zulässig, den Multiplikator aus Klammern herauszunehmen: .

Viele Menschen unterschätzen die grafische Lösungsmethode, weil sie sie für etwas „Unwürdiges“ halten, und manche vergessen diese Möglichkeit sogar völlig. Und das ist grundsätzlich falsch, da das Zeichnen von Diagrammen manchmal einfach die Situation rettet!

Ein weiteres Beispiel: Angenommen, Sie erinnern sich nicht an die Wurzeln der einfachsten trigonometrischen Gleichung: . Die allgemeine Formel steht in Schulbüchern, in allen Nachschlagewerken zur Grundmathematik, steht Ihnen aber nicht zur Verfügung. Das Lösen der Gleichung ist jedoch entscheidend (auch bekannt als „zwei“). Es gibt einen Ausgang! – Funktionsgraphen erstellen:


Danach notieren wir ruhig die „X“-Koordinaten ihrer Schnittpunkte:

Es gibt unendlich viele Wurzeln, und in der Algebra wird ihre verkürzte Schreibweise akzeptiert:
, Wo ( – Menge von ganzen Zahlen) .

Und ohne „wegzugehen“, ein paar Worte zur grafischen Methode zur Lösung von Ungleichungen mit einer Variablen. Das Prinzip ist das gleiche. So ist zum Beispiel die Lösung der Ungleichung ein beliebiges „x“, weil Die Sinuskurve liegt fast vollständig unter der Geraden. Die Lösung der Ungleichung ist die Menge der Intervalle, in denen die Teile der Sinuskurve genau über der Geraden liegen (x-Achse):

oder kurz gesagt:

Aber hier sind die vielen Lösungen für die Ungleichung: leer, da kein Punkt der Sinuskurve oberhalb der Geraden liegt.

Gibt es etwas, das Sie nicht verstehen? Studieren Sie dringend die Lektionen darüber Sätze Und Funktionsgraphen!

Lasst uns aufwärmen:

Übung 1

Lösen Sie die folgenden trigonometrischen Gleichungen grafisch:

Antworten am Ende der Lektion

Wie Sie sehen, ist es zum Studium der exakten Wissenschaften überhaupt nicht notwendig, Formeln und Nachschlagewerke vollzustopfen! Darüber hinaus ist dies ein grundsätzlich fehlerhafter Ansatz.

Wie ich Ihnen bereits zu Beginn der Lektion versichert habe, müssen komplexe trigonometrische Gleichungen in einem Standardkurs der höheren Mathematik äußerst selten gelöst werden. Alle Komplexität endet in der Regel mit Gleichungen wie , deren Lösung zwei Gruppen von Wurzeln sind, die aus den einfachsten Gleichungen und stammen . Machen Sie sich nicht zu viele Gedanken über die Lösung des letzteren – schauen Sie in einem Buch nach oder finden Sie es im Internet =)

Auch in weniger trivialen Fällen kann die grafische Lösungsmethode weiterhelfen. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende „zusammengewürfelte“ Gleichung:

Die Aussichten für seine Lösung sehen … nach überhaupt nichts aus, aber man muss sich die Gleichung einfach in der Form „bauen“ vorstellen Funktionsgraphen und alles wird unglaublich einfach sein. In der Mitte des Artikels befindet sich eine Zeichnung dazu Infinitesimalfunktionen (wird im nächsten Tab geöffnet).

Dasselbe grafische Methode Sie können herausfinden, dass die Gleichung bereits zwei Wurzeln hat und eine davon gleich Null, und der andere, anscheinend, irrational und gehört zum Segment . Diese Wurzel kann beispielsweise näherungsweise berechnet werden: Tangentenmethode. Übrigens kommt es bei manchen Problemen vor, dass man nicht die Wurzeln finden muss, sondern es herausfinden muss existieren sie überhaupt?. Und auch hier kann eine Zeichnung helfen – wenn sich die Graphen nicht schneiden, dann gibt es keine Wurzeln.

Rationale Wurzeln von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Horner-Schema

Und jetzt lade ich Sie ein, Ihren Blick auf das Mittelalter zu richten und die einzigartige Atmosphäre der klassischen Algebra zu spüren. Für ein besseres Verständnis des Materials empfehle ich Ihnen, zumindest ein wenig zu lesen komplexe Zahlen.

Sie sind die besten. Polynome.

Der Gegenstand unseres Interesses werden die häufigsten Polynome der Form sein ganz Koeffizienten Natürliche Zahl angerufen Grad des Polynoms, Zahl – Koeffizient des höchsten Grades (oder einfach nur der höchste Koeffizient), und der Koeffizient ist Freies Mitglied.

Ich werde dieses Polynom kurz mit bezeichnen.

Wurzeln eines Polynoms Nennen Sie die Wurzeln der Gleichung

Ich liebe eiserne Logik =)

Beispiele finden Sie ganz am Anfang des Artikels:

Es gibt keine Probleme, die Wurzeln von Polynomen 1. und 2. Grades zu finden, aber mit zunehmender Größe wird diese Aufgabe immer schwieriger. Obwohl andererseits alles interessanter ist! Und genau diesem Thema wird sich der zweite Teil der Lektion widmen.

Erstens buchstäblich die halbe Theorie:

1) Gemäß der Folgerung Grundsatz der Algebra, das Gradpolynom hat genau Komplex Wurzeln. Einige Wurzeln (oder sogar alle) können besonders sein gültig. Darüber hinaus kann es unter den echten Wurzeln identische (mehrere) Wurzeln geben (mindestens zwei, maximal Stücke).

Wenn eine komplexe Zahl die Wurzel eines Polynoms ist, dann konjugieren seine Zahl ist notwendigerweise auch die Wurzel dieses Polynoms (Konjugierte komplexe Wurzeln haben die Form ).

Das einfachste Beispiel ist eine quadratische Gleichung, die erstmals im Jahr 8 erschien (wie) Klasse, und die wir im Thema endlich „abgeschlossen“ haben komplexe Zahlen. Ich möchte Sie daran erinnern: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei verschiedene reelle Wurzeln oder mehrere Wurzeln oder konjugierte komplexe Wurzeln.

2) Von Satz von Bezout Daraus folgt, dass, wenn eine Zahl die Wurzel einer Gleichung ist, das entsprechende Polynom faktorisiert werden kann:
, wobei es sich um ein Polynom vom Grad handelt.

Und wieder unseres altes Beispiel: da ist die Wurzel der Gleichung, dann . Danach ist es nicht schwer, die bekannte Erweiterung „Schule“ zu erhalten.

Die Folgerung des Satzes von Bezout hat großen praktischen Wert: Wenn wir die Wurzel einer Gleichung 3. Grades kennen, können wir sie in der Form darstellen und aus der quadratischen Gleichung lassen sich leicht die verbleibenden Wurzeln ermitteln. Wenn wir die Wurzel einer Gleichung 4. Grades kennen, ist es möglich, die linke Seite zu einem Produkt zu entwickeln usw.

Und hier stellen sich zwei Fragen:

Frage eins. Wie finde ich genau diese Wurzel? Definieren wir zunächst seine Natur: In vielen Problemen der höheren Mathematik ist es notwendig, etwas zu finden rational, insbesondere ganz Wurzeln von Polynomen, und in dieser Hinsicht werden wir uns weiterhin hauptsächlich für sie interessieren.... ...sie sind so gut, so flauschig, dass man sie einfach finden möchte! =)

Das erste, was mir in den Sinn kommt, ist die Auswahlmethode. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung. Der Haken hier liegt im freien Term – wenn er gleich Null wäre, wäre alles in Ordnung – wir nehmen das „x“ aus Klammern und die Wurzeln selbst „fallen“ an die Oberfläche:

Aber unser freier Term ist gleich „drei“, und deshalb beginnen wir, verschiedene Zahlen in die Gleichung einzusetzen, die behaupten, „Wurzel“ zu sein. Zunächst bietet sich die Substitution einzelner Werte an. Ersetzen wir:

Erhalten falsch Gleichheit, die Einheit „passte also nicht“. Na gut, ersetzen wir:

Erhalten WAHR Gleichwertigkeit! Das heißt, der Wert ist die Wurzel dieser Gleichung.

Um die Wurzeln eines Polynoms 3. Grades zu finden, gibt es eine analytische Methode (die sogenannten Cardano-Formeln), aber jetzt interessiert uns eine etwas andere Aufgabe.

Da - die Wurzel unseres Polynoms ist, kann das Polynom in der Form dargestellt werden und entsteht Zweite Frage: Wie findet man einen „jüngeren Bruder“?

Die einfachsten algebraischen Überlegungen legen nahe, dass wir dazu dividieren müssen. Wie teilt man ein Polynom durch ein Polynom? Die gleiche Schulmethode, die gewöhnliche Zahlen dividiert – „Spalte“! Ich habe diese Methode in den ersten Beispielen der Lektion ausführlich besprochen. Komplexe Grenzen, und jetzt schauen wir uns eine andere Methode an, die aufgerufen wird Horner-Schema.

Zuerst schreiben wir das „höchste“ Polynom mit allen , einschließlich Nullkoeffizienten:
, danach tragen wir diese Koeffizienten (strikt der Reihe nach) in die oberste Zeile der Tabelle ein:

Wir schreiben die Wurzel links:

Ich möchte sofort einen Vorbehalt anbringen, dass Horners Schema auch funktioniert, wenn die „rote“ Zahl vorliegt Nicht ist die Wurzel des Polynoms. Lassen Sie uns jedoch nichts überstürzen.

Wir entfernen den führenden Koeffizienten von oben:

Der Vorgang des Füllens der unteren Zellen erinnert ein wenig an das Sticken, wobei „minus eins“ eine Art „Nadel“ ist, die die nachfolgenden Schritte durchdringt. Wir multiplizieren die „heruntergetragene“ Zahl mit (–1) und addieren die Zahl aus der oberen Zelle zum Produkt:

Wir multiplizieren den gefundenen Wert mit der „roten Nadel“ und addieren zum Produkt den folgenden Gleichungskoeffizienten:

Und schließlich wird der resultierende Wert noch einmal mit der „Nadel“ und dem oberen Koeffizienten „verarbeitet“:

Die Null in der letzten Zelle sagt uns, dass das Polynom geteilt wird ohne jede Spur (so wie es sein sollte), während die Ausdehnungskoeffizienten direkt aus der unteren Zeile der Tabelle „entfernt“ werden:

Somit sind wir von der Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung übergegangen und mit den beiden verbleibenden Wurzeln ist alles klar (in diesem Fall erhalten wir konjugierte komplexe Wurzeln).

Die Gleichung lässt sich übrigens auch grafisch lösen: Plot "Blitz" und sehen Sie, dass der Graph die x-Achse schneidet () am Punkt . Oder der gleiche „listige“ Trick: Wir schreiben die Gleichung in der Form um, zeichnen Elementargraphen und ermitteln die „X“-Koordinate ihres Schnittpunkts.

Übrigens schneidet der Graph eines beliebigen Funktionspolynoms 3. Grades die Achse mindestens einmal, was bedeutet, dass die entsprechende Gleichung vorhanden ist wenigstens eins gültig Wurzel. Dieser Fakt gilt für jede Polynomfunktion ungeraden Grades.

Und hier möchte ich auch noch näher darauf eingehen wichtiger Punkt was die Terminologie betrifft: Polynom Und Polynomfunktion – es ist nicht dasselbe! Aber in der Praxis spricht man beispielsweise oft vom „Graphen eines Polynoms“, was natürlich fahrlässig ist.

Kehren wir jedoch zu Horners Schema zurück. Wie ich kürzlich erwähnt habe, funktioniert dieses Schema für andere Nummern, aber wenn die Nummer Nicht ist die Wurzel der Gleichung, dann erscheint in unserer Formel eine Addition ungleich Null (Rest):

Lassen Sie uns den „erfolglosen“ Wert gemäß Horners Schema „durchlaufen“. In diesem Fall ist es praktisch, dieselbe Tabelle zu verwenden – schreiben Sie links eine neue „Nadel“ und verschieben Sie den führenden Koeffizienten von oben (linker grüner Pfeil), und los geht’s:

Um dies zu überprüfen, öffnen wir die Klammern und präsentieren ähnliche Begriffe:
, OK.

Es ist leicht zu erkennen, dass der Rest („sechs“) genau dem Wert des Polynoms bei entspricht. Und tatsächlich – wie ist es:
, und noch schöner - so:

Aus den obigen Berechnungen ist leicht zu verstehen, dass Horners Schema nicht nur die Faktorisierung des Polynoms, sondern auch eine „zivilisierte“ Auswahl der Wurzel ermöglicht. Ich schlage vor, dass Sie den Berechnungsalgorithmus selbst mit einer kleinen Aufgabe festigen:

Aufgabe 2

Finden Sie mithilfe des Horner-Schemas die ganzzahlige Wurzel der Gleichung und faktorisieren Sie das entsprechende Polynom

Mit anderen Worten, hier müssen Sie nacheinander die Zahlen 1, –1, 2, –2, ... prüfen – bis in der letzten Spalte ein Null-Rest „gezeichnet“ wird. Das bedeutet, dass die „Nadel“ dieser Linie die Wurzel des Polynoms ist

Es ist praktisch, die Berechnungen in einer einzigen Tabelle anzuordnen. Detaillierte Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.

Die Methode zur Auswahl von Wurzeln eignet sich für relativ einfache Fälle. Wenn die Koeffizienten und/oder der Grad des Polynoms jedoch groß sind, kann der Vorgang lange dauern. Oder gibt es vielleicht einige Werte aus derselben Liste 1, –1, 2, –2 und es macht keinen Sinn, darüber nachzudenken? Und außerdem kann es sein, dass die Wurzeln fraktioniert sind, was zu einem völlig unwissenschaftlichen Stochern führt.

Glücklicherweise gibt es zwei leistungsstarke Theoreme, die die Suche nach „Kandidatenwerten“ für rationale Wurzeln erheblich reduzieren können:

Satz 1 Lassen Sie uns überlegen irreduzibel Bruch, wo. Wenn die Zahl die Wurzel der Gleichung ist, wird der freie Term durch geteilt und der führende Koeffizient wird durch geteilt.

Insbesondere, wenn der führende Koeffizient ist, dann ist diese rationale Wurzel eine ganze Zahl:

Und wir beginnen, den Satz mit genau diesem leckeren Detail auszunutzen:

Kehren wir zur Gleichung zurück. Da sein führender Koeffizient ist, können hypothetische rationale Wurzeln ausschließlich ganzzahlig sein, und der freie Term muss notwendigerweise ohne Rest in diese Wurzeln geteilt werden. Und „drei“ kann nur in 1, –1, 3 und –3 unterteilt werden. Das heißt, wir haben nur 4 „Wurzelkandidaten“. Und laut Satz 1, andere Rationale Zahlen können grundsätzlich nicht die Wurzeln dieser Gleichung sein.

Es gibt noch etwas mehr „Anwärter“ in der Gleichung: Der freie Term wird in 1, –1, 2, – 2, 4 und –4 unterteilt.

Bitte beachten Sie, dass die Zahlen 1, –1 „Stammzahlen“ in der Liste der möglichen Wurzeln sind (eine offensichtliche Konsequenz des Satzes) und die beste Wahl für vorrangige Tests.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen:

Problem 3

Lösung: Da der führende Koeffizient ist, können hypothetische rationale Wurzeln nur ganzzahlig sein und müssen notwendigerweise Teiler des freien Termes sein. „Minus vierzig“ wird in folgende Zahlenpaare unterteilt:
– insgesamt 16 „Kandidaten“.

Und hier taucht sofort ein verlockender Gedanke auf: Ist es möglich, alle negativen oder alle positiven Wurzeln auszumerzen? In manchen Fällen ist es möglich! Ich werde zwei Zeichen formulieren:

1) Wenn Alle Wenn die Koeffizienten des Polynoms nicht negativ sind, kann es keine positiven Wurzeln haben. Leider ist dies bei uns nicht der Fall (Wenn uns nun eine Gleichung gegeben würde – dann ja, wenn ein beliebiger Wert des Polynoms eingesetzt wird, ist der Wert des Polynoms streng positiv, was bedeutet, dass alles positive Zahlen (und auch irrationale) können keine Wurzeln der Gleichung sein.

2) Wenn die Koeffizienten für ungerade Potenzen nicht negativ sind und für alle geraden Potenzen (einschließlich kostenlosem Mitglied) negativ sind, kann das Polynom keine negativen Wurzeln haben. Das ist unser Fall! Wenn Sie etwas genauer hinschauen, können Sie erkennen, dass beim Einsetzen eines negativen „X“ in die Gleichung die linke Seite streng negativ ist, was bedeutet, dass negative Wurzeln verschwinden

Somit bleiben noch 8 Zahlen zur Recherche übrig:

Wir „laden“ sie nacheinander nach Horners Schema auf. Ich hoffe, Sie beherrschen das Kopfrechnen bereits:

Beim Test der „Zwei“ erwartete uns Glück. Somit ist die Wurzel der betrachteten Gleichung und

Es bleibt die Gleichung zu studieren . Dies ist mithilfe der Diskriminanz leicht zu bewerkstelligen, ich werde jedoch einen indikativen Test nach dem gleichen Schema durchführen. Beachten wir zunächst, dass der freie Term gleich 20 ist, was bedeutet Satz 1 Die Zahlen 8 und 40 fallen aus der Liste der möglichen Wurzeln heraus und die Werte bleiben für die Forschung übrig (einer wurde nach Horners Schema eliminiert).

Wir schreiben die Koeffizienten des Trinoms in die oberste Zeile der neuen Tabelle und Wir beginnen mit den gleichen „zwei“ zu prüfen. Warum? Und weil die Wurzeln ein Vielfaches sein können, bitte: - Diese Gleichung hat 10 identische Wurzeln. Aber lassen wir uns nicht ablenken:

Und hier habe ich natürlich ein wenig gelogen, wohlwissend, dass die Wurzeln rational sind. Denn wenn sie irrational oder komplex wären, würde ich mit einer erfolglosen Überprüfung aller verbleibenden Zahlen konfrontiert sein. Lassen Sie sich daher in der Praxis von der Diskriminante leiten.

Antwort: rationale Wurzeln: 2, 4, 5

Bei dem von uns analysierten Problem hatten wir Glück, denn: a) sie fielen sofort ab negative Werte, und b) wir haben die Wurzel sehr schnell gefunden (und theoretisch könnten wir die gesamte Liste überprüfen).

Aber in Wirklichkeit ist die Situation noch viel schlimmer. Ich lade Sie ein, zuzuschauen spannendes Spiel mit dem Titel „Der letzte Held“:

Problem 4

Finden Sie die rationalen Wurzeln der Gleichung

Lösung: Von Satz 1 Die Zähler hypothetischer rationaler Wurzeln müssen die Bedingung erfüllen (wir lesen „zwölf ist durch el geteilt“), und die Nenner entsprechen der Bedingung . Auf dieser Grundlage erhalten wir zwei Listen:

„Liste el“:
und „list ähm“: (zum Glück sind die Zahlen hier natürlich).

Lassen Sie uns nun eine Liste aller möglichen Wurzeln erstellen. Zuerst teilen wir die „el-Liste“ durch . Es ist absolut klar, dass die gleichen Zahlen erzielt werden. Der Einfachheit halber stellen wir sie in eine Tabelle:

Viele Brüche wurden gekürzt, wodurch Werte entstanden sind, die bereits in der „Heldenliste“ stehen. Wir fügen nur „Neulinge“ hinzu:

Ebenso teilen wir dieselbe „Liste“ durch:

und endlich weiter

Damit ist das Teilnehmerteam unseres Spiels komplett:


Leider erfüllt das Polynom in diesem Problem nicht das Kriterium „positiv“ oder „negativ“ und daher können wir die obere oder untere Reihe nicht verwerfen. Sie müssen mit allen Zahlen arbeiten.

Wie ist Ihre Stimmung? Kopf hoch – es gibt noch einen weiteren Satz, den man im übertragenen Sinne „Killersatz“ nennen kann…. ...„Kandidaten“, natürlich =)

Aber zuerst müssen Sie Horners Diagramm nach mindestens einem durchblättern das Ganze Zahlen. Nehmen wir traditionell eins. In die oberste Zeile schreiben wir die Koeffizienten des Polynoms und alles ist wie gewohnt:

Da vier eindeutig nicht Null ist, ist der Wert nicht die Wurzel des betreffenden Polynoms. Aber sie wird uns sehr helfen.

Satz 2 Wenn für einige Im Algemeinen Ist der Wert des Polynoms ungleich Null: , dann sind seine rationalen Wurzeln (wenn sie sind) die Bedingung erfüllen

In unserem Fall müssen daher alle möglichen Wurzeln die Bedingung erfüllen (nennen wir es Bedingung Nr. 1). Diese vier werden der „Killer“ vieler „Kandidaten“ sein. Zur Demonstration schaue ich mir ein paar Schecks an:

Lassen Sie uns den „Kandidaten“ überprüfen. Um dies zu tun, stellen wir es künstlich in Form eines Bruchs dar, aus dem deutlich hervorgeht, dass . Berechnen wir die Testdifferenz: . Vier wird durch „minus zwei“ geteilt: , was bedeutet, dass die mögliche Wurzel den Test bestanden hat.

Lassen Sie uns den Wert überprüfen. Hier ist der Testunterschied: . Natürlich, und deshalb bleibt auch das zweite „Thema“ auf der Liste.

Die Website „Professional Mathematics Tutor“ setzt die Reihe methodischer Artikel zum Thema Unterricht fort. Ich veröffentliche Beschreibungen der Methoden meiner Arbeit mit den komplexesten und problematischsten Themen des Schullehrplans. Dieses Material wird für Mathematiklehrer und Nachhilfelehrer nützlich sein, die sowohl im regulären Programm als auch im Mathematikunterricht mit Schülern der Klassen 8 bis 11 arbeiten.

Ein Mathe-Nachhilfelehrer kann nicht immer Stoff erklären, der im Lehrbuch schlecht dargestellt ist. Leider werden solche Themen immer zahlreicher und es kommt immer wieder zu Darstellungsfehlern, die den Autoren von Handbüchern folgen. Dies gilt nicht nur für angehende Mathematik-Nachhilfelehrer und Teilzeit-Nachhilfelehrer (Nachhilfelehrer sind Studenten und Hochschullehrer), sondern auch für erfahrene Lehrer, professionelle Nachhilfelehrer, Nachhilfelehrer mit Erfahrung und Qualifikation. Nicht alle Mathematiklehrer haben das Talent, Ecken und Kanten in Schulbüchern kompetent zu korrigieren. Nicht jeder versteht auch, dass diese Korrekturen (oder Ergänzungen) notwendig sind. Nur wenige Kinder sind daran beteiligt, das Material an seine qualitative Wahrnehmung durch Kinder anzupassen. Leider ist die Zeit vorbei, in der Mathematiklehrer gemeinsam mit Methodikern und Publikationsautoren jeden Buchstaben des Lehrbuchs massenhaft diskutierten. Früher wurden vor der Veröffentlichung eines Lehrbuchs in Schulen ernsthafte Analysen und Studien zu Lernergebnissen durchgeführt. Es ist an der Zeit für Amateure, die danach streben, Lehrbücher universell zu machen und sie an die Standards eines anspruchsvollen Mathematikunterrichts anzupassen.

Der Wettlauf um die Erhöhung der Informationsmenge führt nur zu einer Verschlechterung der Qualität ihrer Assimilation und infolgedessen zu einer Verringerung des Niveaus der tatsächlichen Kenntnisse in der Mathematik. Aber darauf achtet niemand. Und unsere Kinder sind bereits in der 8. Klasse gezwungen, das zu studieren, was wir am Institut gelernt haben: Wahrscheinlichkeitstheorie, das Lösen von Gleichungen höheren Grades und noch etwas anderes. Die Anpassung des Buchmaterials an die volle Wahrnehmung des Kindes lässt viel zu wünschen übrig, und ein Mathematiklehrer ist gezwungen, irgendwie damit umzugehen.

Lassen Sie uns über die Methodik sprechen, um ein so spezifisches Thema wie „Dividieren eines Polynoms durch ein Polynom durch eine Ecke“ zu unterrichten, das in der Mathematik für Erwachsene besser bekannt ist als „Theorem von Bezout und Schema von Horner“. Noch vor ein paar Jahren war die Frage für einen Mathe-Nachhilfelehrer nicht so drängend, da Mathematik nicht Teil des Hauptlehrplans der Schule war. Jetzt haben die angesehenen Autoren des von Telyakovsky herausgegebenen Lehrbuchs Änderungen vorgenommen neueste Ausgabe Meiner Meinung nach das beste Lehrbuch, und da es völlig ruiniert war, hat es dem Tutor nur unnötige Sorgen bereitet. Lehrer von Schulen und Klassen, die nicht über den Status Mathematik verfügen, konzentrierten sich auf die Innovationen der Autoren und begannen, immer häufiger zusätzliche Absätze in ihren Unterricht aufzunehmen, und neugierige Kinder, die die schönen Seiten ihres Mathematiklehrbuchs betrachteten, fragten zunehmend danach Tutor: „Was ist diese Unterteilung durch eine Ecke? Werden wir das durchmachen? Wie teile ich eine Ecke? Vor solchen direkten Fragen gibt es kein Verstecken mehr. Der Nachhilfelehrer muss dem Kind etwas sagen.

Und wie? Bei kompetenter Darstellung in den Lehrbüchern hätte ich die Art und Weise der Bearbeitung des Themas wahrscheinlich nicht beschrieben. Wie läuft es bei uns? Lehrbücher müssen gedruckt und verkauft werden. Und dafür müssen sie regelmäßig aktualisiert werden. Beschweren sich Hochschullehrer darüber, dass Kinder mit leerem Kopf, ohne Wissen und Fähigkeiten zu ihnen kommen? Steigen die Anforderungen an mathematische Kenntnisse? Großartig! Lassen Sie uns einige Übungen entfernen und stattdessen Themen einfügen, die in anderen Programmen behandelt werden. Warum ist unser Lehrbuch schlechter? Wir werden einige zusätzliche Kapitel hinzufügen. Schulkinder kennen die Regel zum Teilen einer Ecke nicht? Das ist grundlegende Mathematik. Dieser Absatz sollte optional sein und den Titel „für diejenigen, die mehr wissen wollen“ tragen. Nachhilfelehrer dagegen? Warum sind uns Tutoren im Allgemeinen wichtig? Auch Methodologen und Schullehrer sind dagegen? Wir werden das Material nicht komplizieren und den einfachsten Teil betrachten.

Und hier beginnt es. Die Einfachheit des Themas und die Qualität seiner Aneignung liegen in erster Linie im Verständnis seiner Logik und nicht darin, gemäß den Anweisungen der Lehrbuchautoren eine Reihe von Operationen durchzuführen, die nicht klar miteinander verbunden sind . Andernfalls entsteht Nebel im Kopf des Schülers. Wenn sich die Autoren an relativ starke Studierende richten (die aber in einem regulären Programm studieren), sollten Sie das Thema nicht in einer Befehlsform präsentieren. Was sehen wir im Lehrbuch? Kinder, wir müssen nach dieser Regel teilen. Holen Sie sich das Polynom unter den Winkel. Somit wird das ursprüngliche Polynom faktorisiert. Es ist jedoch nicht klar zu verstehen, warum die Terme unter der Ecke genau auf diese Weise ausgewählt werden, warum sie mit dem Polynom über der Ecke multipliziert und dann vom aktuellen Rest subtrahiert werden müssen. Und was am wichtigsten ist: Es ist nicht klar, warum die ausgewählten Monome letztendlich addiert werden müssen und warum die resultierenden Klammern eine Erweiterung des ursprünglichen Polynoms darstellen. Jeder kompetente Mathematiker wird die Erklärungen im Lehrbuch mit einem fetten Fragezeichen versehen.

Ich mache Nachhilfelehrer und Mathematiklehrer auf meine Lösung des Problems aufmerksam, die praktisch alles, was im Lehrbuch steht, für den Schüler offensichtlich macht. Tatsächlich werden wir den Satz von Bezout beweisen: Wenn die Zahl a die Wurzel eines Polynoms ist, dann kann dieses Polynom in Faktoren zerlegt werden, von denen einer x-a ist und der zweite aus dem Original auf eine von drei Arten erhalten wird: durch Isolieren eines linearen Faktors durch Transformationen, durch Division durch eine Ecke oder durch das Horner-Schema. Mit dieser Formulierung wird es einem Mathe-Nachhilfelehrer leichter fallen, zu arbeiten.

Was ist Lehrmethodik? Dies ist zunächst einmal eine klare Reihenfolge in der Abfolge von Erläuterungen und Beispielen, auf deren Grundlage mathematische Schlussfolgerungen gezogen werden. Dieses Thema keine Ausnahme. Für einen Mathematiklehrer ist es sehr wichtig, das Kind an den Satz von Bezout heranzuführen vor der Teilung durch eine Ecke. Es ist sehr wichtig! Der beste Weg, Verständnis zu erlangen, ist konkretes Beispiel. Nehmen wir ein Polynom mit einer ausgewählten Wurzel und zeigen wir die Technik der Faktorisierung in Faktoren mit einer Methode, die Schulkindern seit der 7. Klasse bekannt ist Identitätstransformationen. Mit entsprechenden begleitenden Erläuterungen, Schwerpunkten und Tipps eines Mathematik-Nachhilfelehrers ist es durchaus möglich, den Stoff ohne allgemeine mathematische Berechnungen, willkürliche Koeffizienten und Potenzen zu vermitteln.

Wichtiger Rat für einen Mathe-Nachhilfelehrer- Befolgen Sie die Anweisungen von Anfang bis Ende und ändern Sie diese Reihenfolge nicht.

Nehmen wir also an, wir haben ein Polynom. Wenn wir anstelle von X die Zahl 1 einsetzen, ist der Wert des Polynoms gleich Null. Daher ist x=1 seine Wurzel. Versuchen wir, es in zwei Terme zu zerlegen, sodass einer von ihnen das Produkt eines linearen Ausdrucks und eines Monoms ist und der zweite einen Grad kleiner als hat. Das heißt, stellen wir es in der Form dar

Wir wählen das Monom für das rote Feld so aus, dass es bei Multiplikation mit dem führenden Term vollständig mit dem führenden Term des ursprünglichen Polynoms übereinstimmt. Wenn der Schüler nicht der Schwächste ist, ist er durchaus in der Lage, dem Mathematiklehrer den erforderlichen Ausdruck zu sagen: . Der Tutor sollte sofort gebeten werden, es in das rote Feld einzufügen und zu zeigen, was beim Öffnen passiert. Am besten signieren Sie dieses virtuelle temporäre Polynom unter den Pfeilen (unter dem kleinen Foto) und heben es mit etwas Farbe hervor, zum Beispiel Blau. Dies hilft Ihnen bei der Auswahl eines Begriffs für das rote Feld, den sogenannten Rest der Auswahl. Ich würde den Tutoren raten, hier darauf hinzuweisen, dass dieser Rest durch Subtraktion ermittelt werden kann. Wenn wir diese Operation ausführen, erhalten wir:

Der Mathematiklehrer sollte den Schüler darauf aufmerksam machen, dass wir durch das Einsetzen von Eins in diese Gleichung garantiert eine Null auf der linken Seite erhalten (da 1 die Wurzel des ursprünglichen Polynoms ist) und auf der rechten Seite natürlich wir wird auch den ersten Term auf Null setzen. Dies bedeutet, dass wir ohne Überprüfung sagen können, dass eins die Wurzel des „grünen Rests“ ist.

Gehen wir damit genauso um wie mit dem ursprünglichen Polynom und isolieren wir daraus den gleichen linearen Faktor. Der Mathematiklehrer zeichnet zwei Rahmen vor dem Schüler und bittet ihn, ihn von links nach rechts auszufüllen.

Der Student wählt für den Tutor ein Monom für das rote Feld aus, sodass es bei Multiplikation mit dem führenden Term des linearen Ausdrucks den führenden Term des expandierenden Polynoms ergibt. Wir passen es in den Rahmen ein, öffnen sofort die Halterung und markieren blau den Ausdruck, der vom Faltausdruck abgezogen werden muss. Wenn wir diese Operation ausführen, erhalten wir

Und schließlich machen wir dasselbe mit dem letzten Rest

wir kriegen es endlich hin

Nehmen wir nun den Ausdruck aus der Klammer und sehen wir uns die Zerlegung des ursprünglichen Polynoms in Faktoren an, von denen einer „x minus der ausgewählten Wurzel“ ist.

Um zu verhindern, dass der Schüler denkt, dass der letzte „grüne Rest“ versehentlich in die erforderlichen Faktoren zerlegt wurde, sollte der Mathematiklehrer darauf hinweisen wichtige Eigenschaft aller grünen Reste – jeder von ihnen hat die Wurzel 1. Da die Grade dieser Reste abnehmen, erhalten wir früher oder später einen linearen „grünen Rest“ mit der Wurzel 1, egal welcher Grad des anfänglichen Polynoms uns gegeben wird, und Daher wird es notwendigerweise eine gewisse Zahl und einen Ausdruck in das Produkt zerlegen.

Nach einer solchen Vorarbeit wird es für einen Mathematiklehrer nicht schwer sein, dem Schüler zu erklären, was beim Teilen durch eine Ecke passiert. Dies ist derselbe Vorgang, nur in kürzerer und kompakterer Form, ohne Gleichheitszeichen und ohne Umschreibung derselben hervorgehobenen Begriffe. Das Polynom, aus dem der lineare Faktor extrahiert wird, wird links in die Ecke geschrieben, die ausgewählten roten Monome werden in einem Winkel gesammelt (jetzt wird klar, warum sie addiert werden sollten), um die „blauen Polynome“, die „roten“, zu erhalten „Einsen müssen mit x-1 multipliziert und dann von der aktuell ausgewählten subtrahiert werden, wie dies bei der üblichen Aufteilung von Zahlen in eine Spalte geschieht (hier ist eine Analogie zu dem, was zuvor untersucht wurde). Die resultierenden „grünen Reste“ werden einer erneuten Isolierung und Selektion von „roten Monomen“ unterzogen. Und so weiter, bis Sie einen „grünen Saldo“ von Null erreichen. Das Wichtigste ist, dass der Schüler versteht weiteres Schicksal geschriebene Polynome über und unter dem Winkel. Offensichtlich handelt es sich hierbei um Klammern, deren Produkt gleich dem ursprünglichen Polynom ist.

Der nächste Schritt in der Arbeit eines Mathematiklehrers ist die Formulierung des Bezout-Theorems. Tatsächlich wird seine Formulierung mit diesem Ansatz des Tutors offensichtlich: Wenn die Zahl a die Wurzel eines Polynoms ist, kann sie faktorisiert werden, wobei eine davon faktorisiert wird und die andere auf eine von drei Arten aus dem Original erhalten wird :

• direkte Zerlegung (analog zur Gruppierungsmethode)
• durch eine Ecke teilen (in einer Spalte)
• über Horners Schaltung

Es muss gesagt werden, dass nicht alle Mathematiklehrer den Schülern das Horner-Diagramm zeigen und nicht alle Schullehrer (zum Glück für die Nachhilfelehrer selbst) sich im Unterricht so tief in das Thema vertiefen. Für einen Mathematikstudenten sehe ich jedoch keinen Grund, bei der langen Division aufzuhören. Darüber hinaus ist die bequemste und schnell Die Zerlegungstechnik basiert genau auf Horners Schema. Um einem Kind zu erklären, woher es kommt, genügt es, am Beispiel der Division durch eine Ecke das Auftreten höherer Koeffizienten in den grünen Resten zu verfolgen. Es wird deutlich, dass der führende Koeffizient des anfänglichen Polynoms in den Koeffizienten des ersten „roten Monoms“ und weiter vom zweiten Koeffizienten des aktuellen oberen Polynoms übertragen wird abgezogen das Ergebnis der Multiplikation des aktuellen Koeffizienten des „roten Monoms“ mit . Deshalb ist es möglich hinzufügen das Ergebnis der Multiplikation mit . Nachdem der Mathematiklehrer die Aufmerksamkeit des Schülers auf die Besonderheiten von Aktionen mit Koeffizienten gelenkt hat, kann er zeigen, wie diese Aktionen normalerweise ausgeführt werden, ohne die Variablen selbst aufzuzeichnen. Dazu ist es zweckmäßig, die Wurzel und die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms in der Reihenfolge ihrer Rangfolge in die folgende Tabelle einzutragen:

Wenn in einem Polynom ein Grad fehlt, wird sein Nullkoeffizient zwangsweise in die Tabelle eingetragen. Die Koeffizienten der „roten Polynome“ werden nach der „Hook“-Regel der Reihe nach in die untere Zeile geschrieben:

Die Wurzel wird mit dem letzten roten Koeffizienten multipliziert, zum nächsten Koeffizienten in der oberen Zeile addiert und das Ergebnis in die untere Zeile geschrieben. In der letzten Spalte erhalten wir garantiert den höchsten Koeffizienten des letzten „grünen Restes“, also Null. Nachdem der Vorgang abgeschlossen ist, werden die Zahlen angezeigt eingeklemmt zwischen der passenden Wurzel und dem Null-Rest erweisen sich als Koeffizienten des zweiten (nichtlinearen) Faktors.

Da die Wurzel a am Ende der Endzeile eine Null ergibt, kann das Horner-Schema verwendet werden, um Zahlen auf den Titel der Wurzel eines Polynoms zu überprüfen. Wenn ein spezieller Satz zur Auswahl einer rationalen Wurzel. Alle mit seiner Hilfe gewonnenen Kandidaten für diesen Titel werden einfach der Reihe nach von links in Horners Diagramm eingefügt. Sobald wir Null erhalten, ist die getestete Zahl eine Wurzel, und gleichzeitig erhalten wir die Faktorisierungskoeffizienten des ursprünglichen Polynoms auf seiner Geraden. Sehr bequem.

Abschließend möchte ich darauf hinweisen, dass ein Mathematiklehrer über eine ausreichende Anzahl von Stunden verfügen muss, um Horners Schema genau einzuführen und das Thema praktisch zu vertiefen. Ein Nachhilfelehrer, der mit der Regelung „einmal pro Woche“ arbeitet, sollte sich nicht auf eine Eckeinteilung einlassen. Beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik und an der Staatlichen Mathematikakademie ist es unwahrscheinlich, dass Sie im ersten Teil jemals auf eine Gleichung dritten Grades stoßen, die auf diese Weise gelöst werden kann. Wenn ein Nachhilfelehrer ein Kind auf eine Mathematikprüfung an der Moskauer Staatsuniversität vorbereitet, ist das Studium des Themas obligatorisch. Universitätslehrer prüfen im Gegensatz zu den Erstellern des Einheitlichen Staatsexamens gerne die Tiefe des Wissens eines Bewerbers.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, Mathematiklehrer Moskau, Strogino

Folie 3

Horner Williams George (1786–22.9.1837) – englischer Mathematiker. Geboren in Bristol. Er studierte und arbeitete dort, dann an Schulen in Bath. Grundlegende Werke zur Algebra. Im Jahr 1819 veröffentlichte eine Methode zur ungefähren Berechnung der realen Wurzeln eines Polynoms, die heute Ruffini-Horner-Methode genannt wird (diese Methode war den Chinesen bereits im 13. Jahrhundert bekannt). Das Schema zur Division eines Polynoms durch ein Binomial x-a wird benannt nach Horner.

Folie 4

HORNER-SCHEMA

Divisionsmethode n-tes Polynom Grad auf einem linearen Binomial - a, basierend auf der Tatsache, dass die Koeffizienten des unvollständigen Quotienten und des Rests mit den Koeffizienten des teilbaren Polynoms und mit den Formeln in Beziehung stehen:

Folie 5

Berechnungen nach dem Horner-Schema sind in der Tabelle aufgeführt:

Beispiel 1. Division Der Teilquotient ist x3-x2+3x - 13 und der Rest ist 42=f(-3).

Folie 6

Der Hauptvorteil dieser Methode ist die Kompaktheit der Notation und die Möglichkeit, ein Polynom schnell in ein Binomial zu unterteilen. Tatsächlich ist Horners Schema eine andere Form der Aufzeichnung der Gruppierungsmethode, obwohl sie im Gegensatz zu letzterer völlig nicht-visuell ist. Die Antwort (Faktorisierung) wird hier von selbst erhalten, und wir sehen nicht den Prozess, sie zu erhalten. Wir werden uns nicht mit einer rigorosen Begründung von Horners Schema befassen, sondern nur zeigen, wie es funktioniert.

Folie 7

Beispiel 2.

Beweisen wir, dass das Polynom P(x)=x4-6x3+7x-392 durch x-7 teilbar ist, und ermitteln wir den Quotienten der Division. Lösung. Unter Verwendung des Horner-Schemas finden wir P(7): Von hier aus erhalten wir P(7)=0, d.h. der Rest bei der Division eines Polynoms durch x-7 ist gleich Null und daher ist das Polynom P(x) ein Vielfaches von (x-7). Darüber hinaus sind die Zahlen in der zweiten Zeile der Tabelle die Koeffizienten von Quotient von P(x) dividiert durch (x-7), daher P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Folie 8

Faktorisieren Sie das Polynom x3 – 5x2 – 2x + 16.

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten. Wenn eine ganze Zahl die Wurzel dieses Polynoms ist, dann ist sie ein Teiler der Zahl 16. Wenn also ein gegebenes Polynom ganzzahlige Wurzeln hat, dann können dies nur die Zahlen ±1 sein; ±2; ±4; ±8; ±16. Durch direkte Überprüfung sind wir überzeugt, dass die Zahl 2 die Wurzel dieses Polynoms ist, d. h. x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), wobei Q(x) ein Polynom zweiten Grades ist

Folie 9

Die resultierenden Zahlen 1, −3, −8 sind die Koeffizienten des Polynoms, das man durch Division des ursprünglichen Polynoms durch x – 2 erhält. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Division ist: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Der Grad eines aus der Division resultierenden Polynoms ist immer um 1 kleiner als der Grad des ursprünglichen. Also: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Lernziele:

• Bringen Sie den Schülern bei, Gleichungen zu lösen höhere Abschlüsse unter Verwendung von Horners Schema;
• die Fähigkeit entwickeln, zu zweit zu arbeiten;
• in Verbindung mit den Hauptabschnitten des Kurses eine Grundlage für die Entwicklung der Fähigkeiten der Studierenden schaffen;
• Helfen Sie dem Schüler, sein Potenzial einzuschätzen, Interesse an Mathematik zu entwickeln, Denkfähigkeit zu entwickeln und sich zu dem Thema zu äußern.

Ausrüstung: Karten für Gruppenarbeiten, Poster mit Horner-Diagramm.

Lehrmethode: Vortrag, Geschichte, Erklärung, Durchführung von Trainingsübungen.

Form der Kontrolle: Aufgaben überprüfen unabhängige Entscheidung, selbstständige Arbeit.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment

2. Aktualisierung des Wissens der Studierenden

Mit welchem ​​Satz können Sie feststellen, ob eine Zahl die Wurzel einer gegebenen Gleichung ist (einen Satz formulieren)?

Satz von Bezout. Der Rest der Division des Polynoms P(x) durch das Binomial x-c ist gleich P(c), die Zahl c heißt Wurzel des Polynoms P(x), wenn P(c)=0. Der Satz ermöglicht es, ohne Durchführung der Divisionsoperation zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl die Wurzel eines Polynoms ist.

Welche Aussagen erleichtern die Suche nach Wurzeln?

a) Wenn der führende Koeffizient des Polynoms gleich eins, dann sollten die Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Termes gesucht werden.

b) Wenn die Summe der Koeffizienten eines Polynoms 0 ist, dann ist eine der Wurzeln 1.

c) Wenn die Summe der Koeffizienten an geraden Stellen gleich der Summe der Koeffizienten an ungeraden Stellen ist, dann ist eine der Wurzeln gleich -1.

d) Wenn alle Koeffizienten positiv sind, dann sind die Wurzeln des Polynoms negative Zahlen.

e) Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Wurzel.

3. Neues Material lernen

Beim Lösen ganzer Zahlen algebraische Gleichungen Sie müssen die Werte der Wurzeln von Polynomen finden. Dieser Vorgang kann erheblich vereinfacht werden, wenn die Berechnungen mit einem speziellen Algorithmus namens Horner-Schema durchgeführt werden. Diese Rennstrecke ist nach dem englischen Wissenschaftler William George Horner benannt. Horners Schema ist ein Algorithmus zur Berechnung des Quotienten und Rests der Division des Polynoms P(x) durch x-c. Kurz wie es funktioniert.

Gegeben sei ein beliebiges Polynom P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Die Division dieses Polynoms durch x-c ergibt seine Darstellung in der Form P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Teilweise g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, wobei in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Rest r(x)= st n-1 +a n. Diese Berechnungsmethode wird Horner-Schema genannt. Das Wort „Schema“ im Namen des Algorithmus ist darauf zurückzuführen, dass seine Implementierung normalerweise wie folgt formatiert ist. Zeichnen Sie zunächst Tabelle 2(n+2). Schreiben Sie in die untere linke Zelle die Zahl c und in die obere Zeile die Koeffizienten des Polynoms P(x). In diesem Fall bleibt die obere linke Zelle leer.

	in 0 =a 0	in 1 =st 1 +a 1	in 2 = sv 1 + A 2		in n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Die Zahl, die nach der Ausführung des Algorithmus in der unteren rechten Zelle steht, ist der Rest der Division des Polynoms P(x) durch x-c. Die anderen Zahlen in 0, in 1, in 2,... in der unteren Zeile sind die Koeffizienten des Quotienten.

Zum Beispiel: Teilen Sie das Polynom P(x)= x 3 -2x+3 durch x-2.

Wir erhalten x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Konsolidierung des untersuchten Materials

Beispiel 1: Faktorisieren Sie das Polynom P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 in Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten.

Wir suchen ganze Wurzeln unter den Teilern des freien Termes -1: 1; -1. Machen wir eine Tabelle:

X = -1 – Wurzel

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Schauen wir uns 1/2 an.

					X=1/2 - Wurzel

Daher kann das Polynom P(x) in der Form dargestellt werden

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Da die Summe der Koeffizienten des auf der linken Seite der Gleichung geschriebenen Polynoms gleich Null ist, ist eine der Wurzeln 1. Verwenden wir das Horner-Schema:

						X=1 – Wurzel

Wir erhalten P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Wir werden nach Wurzeln in den Teilern des freien Termes 2 suchen.

Wir stellten fest, dass es keine intakten Wurzeln mehr gab. Schauen wir uns 1/2 an; -1/2.

					X= -1/2 - Wurzel

Antwort 1; -1/2.

Beispiel 3: Lösen Sie die Gleichung 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Wir werden nach den Wurzeln dieser Gleichung unter den Teilern des freien Termes 5: 1;-1;5;-5 suchen. x=1 ist die Wurzel der Gleichung, da die Summe der Koeffizienten Null ist. Verwenden wir Horners Schema:

Stellen wir uns die Gleichung als Produkt dreier Faktoren vor: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Wenn wir die quadratische Gleichung 5x 2 -7x+5=0 lösen, erhalten wir D=49-100=-51, es gibt keine Wurzeln.

Karte 1

1. Faktorisieren Sie das Polynom: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Lösen Sie die Gleichung: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Karte 2

1. Faktorisieren Sie das Polynom: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Lösen Sie die Gleichung: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Karte 3

1. Faktorisieren: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Lösen Sie die Gleichung: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Karte 4

1. Faktorisieren: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Lösen Sie die Gleichung: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Zusammenfassung

Die Wissensüberprüfung beim paarweisen Lösen erfolgt im Unterricht durch das Erkennen der Handlungsweise und des Namens der Antwort.

Hausaufgaben:

Lösen Sie die Gleichungen:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatur

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra und die Anfänge der Analysis, Klasse 10 (vertieftes Studium der Mathematik): Aufklärung, 2005.
2. U.I. Sachartschuk, L.S. Sagatelova, Lösung von Gleichungen höheren Grades: Wolgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Zahlensysteme und ihre Anwendung.

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Unterrichtsart: Eine Lektion zur Beherrschung und Festigung von Primärwissen.

Der Zweck der Lektion:

• Machen Sie die Schüler mit dem Konzept der Wurzeln eines Polynoms vertraut und zeigen Sie ihnen, wie man sie findet. Verbessern Sie Ihre Fähigkeiten bei der Verwendung des Horner-Schemas zur Potenzentwicklung eines Polynoms und zur Division eines Polynoms durch ein Binomial.
• Lernen Sie, die Wurzeln einer Gleichung mithilfe des Horner-Schemas zu finden.
• Entwickeln Sie abstraktes Denken.
• Fördern Sie eine Computerkultur.
• Entwicklung interdisziplinärer Verbindungen.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Informieren Sie sich über das Thema der Lektion, formulieren Sie Ziele.

2. Hausaufgaben überprüfen.

3. Neues Material studieren.

Sei Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - ein Polynom für x vom Grad n, wobei a 0 , a 1 ,...,a n gegebene Zahlen sind und a 0 ungleich 0 ist. Wenn das Polynom F n (x) mit dem Rest durch das Binomial x-a dividiert wird , dann ist der Quotient (unvollständiger Quotient) ein Polynom Q n-1 (x) vom Grad n-1, der Rest R ist eine Zahl und die Gleichheit ist wahr F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Das Polynom F n (x) ist nur im Fall R=0 durch das Binomial (x-a) teilbar.

Satz von Bezout: Rest R bei der Division eines Polynoms F n (x) durch ein Binomial (x-a) gleich dem Wert Polynom F n (x) für x=a, d.h. R=Pn(a).

Eine kleine Geschichte. Der Satz von Bezout ist trotz seiner scheinbaren Einfachheit und Offensichtlichkeit einer der grundlegenden Sätze der Polynomtheorie. Dieser Satz verknüpft die algebraischen Eigenschaften von Polynomen (die die Behandlung von Polynomen als ganze Zahlen ermöglichen) mit ihren funktionalen Eigenschaften (die die Behandlung von Polynomen als Funktionen ermöglichen). Eine Möglichkeit, Gleichungen höheren Grades zu lösen, besteht darin, das Polynom auf der linken Seite der Gleichung zu faktorisieren. Die Berechnung der Koeffizienten des Polynoms und des Restes wird in Form einer Tabelle namens Horner-Schema geschrieben.

Horners Schema ist ein Algorithmus zur Division von Polynomen, der für den Sonderfall geschrieben wurde, dass der Quotient einem Binomial entspricht x–a.

Horner William George (1786–1837), englischer Mathematiker. Der Forschungsschwerpunkt liegt auf der Theorie algebraischer Gleichungen. Entwickelte eine Methode zur Näherungslösung von Gleichungen jeden Grades. 1819 führte er eine für die Algebra wichtige Methode der Division eines Polynoms durch ein Binomial x - a ein (Horner-Schema).

Abschluss allgemeine Formel für Horners Schema.

Ein Polynom f(x) mit einem Rest durch ein Binomial (x-c) zu dividieren bedeutet, ein Polynom q(x) und eine Zahl r zu finden, so dass f(x)=(x-c)q(x)+r

Schreiben wir diese Gleichheit im Detail:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Lassen Sie uns die Koeffizienten mit den gleichen Graden gleichsetzen:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Demonstration der Horner-Schaltung anhand eines Beispiels.

Übung 1. Unter Verwendung des Horner-Schemas dividieren wir das Polynom f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 mit Rest durch das Binomial x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, wobei g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 Rest.

Entwicklung eines Polynoms in Binomialpotenzen.

Unter Verwendung des Horner-Schemas entwickeln wir das Polynom f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 in Potenzen des Binomials (x+2).

Als Ergebnis sollten wir die Entwicklung f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) erhalten )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Das Horner-Schema wird häufig beim Lösen von Gleichungen dritten, vierten und höheren Grades verwendet, wenn es zweckmäßig ist, das Polynom in ein Binomial x-a zu erweitern. Nummer A angerufen Wurzel des Polynoms F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, wenn bei x=a der Wert des Polynoms F n (x) ist gleich Null: F n (a)=0, d.h. wenn das Polynom durch das Binomial x-a teilbar ist.

Beispielsweise ist die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms F 3 (x)=3x 3 -2x-20, da F 3 (2)=0. das heisst. Dass die Faktorisierung dieses Polynoms einen Faktor x-2 enthält.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Jedes Polynom F n(x) vom Grad N 1 kann nicht mehr haben N echte Wurzeln.

Jede ganzzahlige Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler ihres freien Termes.

Wenn der führende Koeffizient einer Gleichung 1 ist, dann sind alle rationalen Wurzeln der Gleichung, sofern vorhanden, ganze Zahlen.

Konsolidierung des untersuchten Materials.

Um das neue Material zu festigen, werden die Studierenden gebeten, die Nummern aus dem Lehrbuch 2.41 und 2.42 (S. 65) zu vervollständigen.

(2 Schüler lösen an der Tafel, und der Rest überprüft nach seiner Entscheidung die Aufgaben im Notizbuch mit den Antworten an der Tafel).

Zusammenfassend.

Nachdem man den Aufbau und die Funktionsweise des Horner-Schemas verstanden hat, kann es auch im Informatikunterricht eingesetzt werden, wenn es um die Umrechnung ganzer Zahlen vom Dezimalzahlensystem in das Binärsystem und umgekehrt geht. Grundlage für die Übertragung von einem Zahlensystem auf ein anderes ist der folgende allgemeine Satz

Satz. Um eine ganze Zahl umzuwandeln Ap aus P-äres Zahlensystem zum Basiszahlensystem D notwendig Ap Der Reihe nach mit dem Rest durch die Zahl dividieren D, im selben geschrieben P-äres System, bis der resultierende Quotient gleich Null wird. Die Reste aus der Teilung bleiben erhalten D-numerische Ziffern Anzeige, angefangen von der jüngsten Kategorie bis zur ältesten. Alle Aktionen müssen in durchgeführt werden P-äres Zahlensystem. Für eine Person ist diese Regel nur dann praktisch, wenn P= 10, d.h. beim Übersetzen aus Dezimalsystem. Für den Computer hingegen ist es „bequemer“, Berechnungen im Binärsystem durchzuführen. Um „2 in 10“ umzuwandeln, wird daher die sequentielle Division durch zehn im Binärsystem verwendet, und „10 in 2“ ist die Addition von Zehnerpotenzen. Um die Berechnungen des „10 in 2“-Verfahrens zu optimieren, nutzt der Computer das ökonomische Rechenschema von Horner.

Hausaufgaben. Es wird vorgeschlagen, zwei Aufgaben zu erledigen.

1. Teilen Sie mithilfe des Horner-Schemas das Polynom f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 durch das Binomial (x-3).

2. Finden Sie die ganzzahligen Wurzeln des Polynoms f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (Angesichts der Tatsache, dass jede ganzzahlige Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ein Teiler ihres freien Termes ist)

Literatur.

1. Kurosh A.G. „Kurs der Höheren Algebra.“
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. und andere. Klasse 10 „Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse.“
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.