Das Konzept der Ableitung. Was ist ein Derivat? Definition von Derivat. Geometrische Bedeutung von Ableitung und Differential. Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Aufgabe B9 gibt einen Graphen einer Funktion oder Ableitung an, aus dem Sie eine der folgenden Größen bestimmen müssen:

1. Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
2. Maximale oder minimale Punkte (Extrempunkte),
3. Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung erheblich erleichtert. Trotz der Tatsache, dass die Aufgabe zum Abschnitt gehört mathematische Analyse, es liegt durchaus im Rahmen der Fähigkeiten selbst der schwächsten Schüler, da es keine tiefen gibt Theoretisches Wissen hier nicht erforderlich.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu ermitteln, gibt es einfache und universelle Algorithmen – alle werden im Folgenden besprochen.

Lesen Sie die Bedingungen der Aufgabe B9 sorgfältig durch, um dumme Fehler zu vermeiden: Manchmal stößt man auf ziemlich lange Texte, aber wichtige Bedingungen, die den Verlauf der Entscheidung beeinflussen, gibt es nur wenige.

Berechnung des Ableitungswertes. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph einer Funktion gegeben ist f(x), tangential zu diesem Graphen an einem Punkt x 0, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

1. Finden Sie zwei „geeignete“ Punkte im Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Bezeichnen wir diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2). Notieren Sie die Koordinaten richtig – das ist Schlüsselmoment Lösungen, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
2. Wenn man die Koordinaten kennt, ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
3. Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten: Sie müssen das Inkrement der Funktion durch das Inkrement des Arguments dividieren – und das ist die Antwort.

Beachten wir noch einmal: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente muss unbedingt mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst wird das Problem nicht richtig formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nun ermitteln wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Es bleibt noch der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir eine Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse verläuft, ist die Ableitung der Funktion am Tangentialpunkt Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas zählen – schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung der maximalen und minimalen Punkte

Manchmal gibt Problem B9 anstelle eines Graphen einer Funktion einen Graphen der Ableitung an und erfordert die Ermittlung des Maximal- oder Minimalpunkts der Funktion. In dieser Situation ist die Zwei-Punkte-Methode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Definieren wir zunächst die Terminologie:

1. Der Punkt x 0 heißt Maximalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte aus dem Ableitungsdiagramm zu ermitteln, befolgen Sie einfach diese Schritte:

1. Zeichnen Sie den Ableitungsgraphen neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, beeinträchtigen unnötige Daten nur die Entscheidung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse – und das war’s.
2. Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung der Intervalle zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Optionen möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist aus der Originalzeichnung leicht zu ermitteln: Wenn der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≥ 0. Und umgekehrt, wenn der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≤ 0.
3. Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, ist der Mindestpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Gezählt wird immer von links nach rechts.

Dieses Schema funktioniert nur für kontinuierliche Funktionen – andere gibt es in Aufgabe B9 nicht.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−5; 5]. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden und nur die Grenzen [−5; 5] und Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Wir beachten auch die Zeichen:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus. Dies ist die Mindestpunktzahl.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Zeichnen wir den Graphen neu und lassen nur die Grenzen [−3; 7] und Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten wir die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus – dies ist der Maximalpunkt.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−6; 4]. Finden Sie die Anzahl der Maximalpunkte der Funktion f(x), die zum Segment [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den durch das Segment [−4; 3]. Deshalb erstellen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und Nullstellen der darin enthaltenen Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen Maximalpunkt x = 2. An diesem Punkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Beispielsweise wurde im letzten Problem der Punkt x = −3,5 berücksichtigt, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 annehmen. Bei richtiger Problemstellung dürften solche Änderungen keinen Einfluss auf die Lösung haben, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ keinen unmittelbaren Beitrag zur Lösung des Problems leisten. Natürlich funktioniert dieser Trick nicht mit ganzzahligen Punkten.

Finden von Intervallen steigender und fallender Funktionen

Bei einem solchen Problem wie den Maximal- und Minimalpunkten wird vorgeschlagen, den Ableitungsgraphen zu verwenden, um Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst zunimmt oder abnimmt. Definieren wir zunächst, was Zunahme und Abnahme sind:

1. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Mit anderen Worten: Je größer der Argumentwert, desto größer der Funktionswert.
2. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment abnehmend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Diese. höherer Wert Das Argument entspricht dem kleineren Wert der Funktion.

Lassen Sie uns formulieren ausreichende Voraussetzungen aufsteigend und absteigend:

1. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment ansteigt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d. h. f’(x) ≥ 0.
2. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d. h. f’(x) ≤ 0.

Akzeptieren wir diese Aussagen ohne Beweise. Somit erhalten wir ein Schema zum Finden von Anstiegs- und Abfallintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

1. Entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Im Originalgraphen der Ableitung interessieren uns vor allem die Nullstellen der Funktion, daher belassen wir nur diese.
2. Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Abständen zwischen den Nullen. Wenn f’(x) ≥ 0, nimmt die Funktion zu, und wenn f’(x) ≤ 0, nimmt sie ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x vorsieht, markieren wir diese zusätzlich in einem neuen Diagramm.
3. Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und die Einschränkungen kennen, müssen wir noch die für das Problem erforderliche Menge berechnen.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Abnahmeintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzen Zahlen an.

Zeichnen wir wie üblich den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann notieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es müssen noch alle ganzen Zahlen summiert werden, die innerhalb dieses Intervalls liegen:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall [−10; 4]. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden. Lassen wir nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, von denen es diesmal vier gab: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Markieren wir die Vorzeichen der Ableitung und erhalten das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. So ist f’(x) ≥ 0. Es gibt zwei solcher Intervalle im Diagramm: (−8; −6) und (−3; 2). Berechnen wir ihre Längen:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da wir die Länge des größten Intervalls ermitteln müssen, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.

Wenn eine Person ihre ersten unabhängigen Schritte im Studium der mathematischen Analyse unternommen hat und beginnt zu fragen unangenehme Fragen, dann kommt man mit der Aussage „Differentialrechnung wurde im Kohl gefunden“ nicht mehr so ​​leicht durch. Daher ist es an der Zeit, das Geheimnis der Geburt zu klären und zu enthüllen Ableitungstabellen und Differenzierungsregeln. Begonnen im Artikel über die Bedeutung von Derivat, dessen Studium ich wärmstens empfehle, da wir uns dort gerade mit dem Konzept eines Derivats befasst haben und angefangen haben, auf Probleme zum Thema zu klicken. Dieselbe Lektion hat einen ausgeprägten Praxisbezug, außerdem

Die im Folgenden besprochenen Beispiele sind grundsätzlich rein formal beherrschbar (zum Beispiel, wenn keine Zeit/Wunsch vorhanden ist, sich mit dem Wesen der Ableitung zu befassen). Es ist auch äußerst wünschenswert (aber wiederum nicht notwendig), Ableitungen mit der „normalen“ Methode finden zu können – zumindest auf dem Niveau von zwei grundlegenden Lektionen: Wie findet man die Ableitung? und Ableitung einer komplexen Funktion.

Aber auf eines können wir jetzt definitiv nicht mehr verzichten, nämlich Funktionsgrenzen. Sie müssen VERSTEHEN, was ein Limit ist, und in der Lage sein, es zumindest auf einem durchschnittlichen Niveau zu lösen. Und das alles wegen der Ableitung

Funktion an einem Punkt wird durch die Formel bestimmt:

Ich möchte Sie an die Bezeichnungen und Begriffe erinnern: Sie rufen Argumentinkrement;

– Funktionsinkrement;

– es handelt sich um EINZELNE Symbole („Delta“ kann nicht von „X“ oder „Y“ „abgerissen“ werden).

Offensichtlich ist eine „dynamische“ Variable eine Konstante und das Ergebnis der Berechnung des Grenzwerts - Nummer (manchmal - „plus“ oder „minus“ Unendlichkeit).

Als Punkt können Sie JEDEN Wert berücksichtigen, der dazu gehört Definitionsbereich Funktion, in der eine Ableitung existiert.

Hinweis: Die Klausel „in der das Derivat existiert“ – im Allgemeinen ist es bedeutsam! Obwohl beispielsweise ein Punkt im Definitionsbereich einer Funktion enthalten ist, gilt auch für deren Ableitung

gibt es dort nicht. Daher die Formel

zum jetzigen Zeitpunkt nicht zutreffend

und eine verkürzte Formulierung ohne Vorbehalt wäre falsch. Ähnliche Tatsachen gelten für andere Funktionen mit „Brüchen“ im Diagramm, insbesondere für Arkussinus und Arkuskosinus.

Somit erhalten wir nach dem Ersetzen die zweite Arbeitsformel:

Beachten Sie einen heimtückischen Umstand, der die Teekanne verwirren kann: In diesem Grenzwert spielt „x“, das selbst eine unabhängige Variable ist, die Rolle einer Statistik, und die „Dynamik“ wird wiederum durch das Inkrement bestimmt. Das Ergebnis der Berechnung des Grenzwerts

ist die Ableitungsfunktion.

Basierend auf dem oben Gesagten formulieren wir die Bedingungen für zwei typische Probleme:

- Finden Ableitung an einem Punkt, unter Verwendung der Definition von Derivat.

- Finden Ableitungsfunktion, unter Verwendung der Definition von Derivat. Diese Version ist nach meinen Beobachtungen weitaus verbreiteter und wird im Mittelpunkt stehen.

Der grundlegende Unterschied zwischen den Aufgaben besteht darin, dass Sie im ersten Fall die Nummer ermitteln müssen (optional, unendlich), und im zweiten –

Funktion Darüber hinaus existiert das Derivat möglicherweise überhaupt nicht.

Wie ?

Erstellen Sie ein Verhältnis und berechnen Sie den Grenzwert.

Wo ist es hergekommen? Tabelle der Ableitungen und Differenzierungsregeln ? Dank der einzigen Grenze

Es scheint wie Magie, aber

in Wirklichkeit - Taschenspielertrick und kein Betrug. Im Unterricht Was ist ein Derivat? Ich begann, mir konkrete Beispiele anzusehen, bei denen ich anhand der Definition die Ableitungen einer linearen und quadratischen Funktion fand. Zum Zweck des kognitiven Aufwärmens werden wir weiterhin stören Tabelle der Derivate, Verfeinerung des Algorithmus und der technischen Lösungen:

Im Wesentlichen müssen Sie einen Sonderfall der Ableitung einer Potenzfunktion beweisen, der normalerweise in der Tabelle erscheint: .

Die Lösung wird auf zwei Arten technisch formalisiert. Beginnen wir mit dem ersten, bereits bekannten Ansatz: Die Leiter beginnt mit einem Brett und die Ableitungsfunktion beginnt mit der Ableitung an einem Punkt.

Betrachten Sie einen (spezifischen) Punkt, der dazu gehört Definitionsbereich Funktion, in der es eine Ableitung gibt. Stellen wir an dieser Stelle das Inkrement ein (natürlich im Rahmen o/o -ya) und stellen Sie das entsprechende Inkrement der Funktion zusammen:

Berechnen wir den Grenzwert:

Die Unsicherheit 0:0 wird durch eine Standardtechnik beseitigt, die bereits im ersten Jahrhundert v. Chr. in Betracht gezogen wurde. Lasst uns multiplizieren

Zähler und Nenner für den konjugierten Ausdruck :

Die Technik zur Lösung eines solchen Grenzwerts wird in der Einführungslektion ausführlich besprochen. über die Grenzen von Funktionen.

Da Sie JEDEN Punkt des Intervalls als wählen können

Dann erhalten wir nach der Ersetzung:

Freuen wir uns noch einmal über Logarithmen:

Finden Sie die Ableitung einer Funktion mithilfe der Definition der Ableitung

Lösung: Betrachten wir einen anderen Ansatz zur Förderung derselben Aufgabe. Es ist genau das Gleiche, aber vom Design her rationaler. Die Idee ist, loszuwerden

tiefstellen und einen Buchstaben anstelle eines Buchstabens verwenden.

Betrachten Sie einen beliebigen Punkt, der zu gehört Definitionsbereich Funktion (Intervall) und legen Sie darin das Inkrement fest. Aber hier kann man übrigens, wie in den meisten Fällen, ohne Bedenken auskommen, da die logarithmische Funktion an jeder Stelle im Definitionsbereich differenzierbar ist.

Dann ist das entsprechende Inkrement der Funktion:

Finden wir die Ableitung:

Die Einfachheit des Designs wird durch die Verwirrung ausgeglichen, die es geben kann

kommen bei Anfängern (und nicht nur) vor. Schließlich sind wir es gewohnt, dass sich der Buchstabe „X“ im Limit ändert! Aber hier ist alles anders: - eine antike Statue und - ein lebender Besucher, der zügig durch den Korridor des Museums geht. Das heißt, „x“ ist „wie eine Konstante“.

Ich werde die Beseitigung der Unsicherheit Schritt für Schritt kommentieren:

(1) Verwendung der Logarithmus-Eigenschaft.

(2) Teilen Sie in Klammern Term für Term den Zähler durch den Nenner.

(3) Im Nenner multiplizieren und dividieren wir künstlich durch „x“, so dass

Nutzen Sie das wunderbare Limit , während unendlich klein Handlungen.

Antwort: Per Definition einer Ableitung:

Oder kurz gesagt:

Ich schlage vor, selbst zwei weitere Tabellenformeln zu erstellen:

Finden Sie die Ableitung per Definition

In diesem Fall ist es praktisch, das kompilierte Inkrement sofort auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren. Ein ungefähres Beispiel der Aufgabe am Ende der Lektion (erste Methode).

Finden Sie die Ableitung per Definition

Und hier muss alles auf eine bemerkenswerte Grenze reduziert werden. Die Lösung wird auf die zweite Art formalisiert.

Eine Reihe anderer tabellarische Ableitungen. Volle Liste finden sich in einem Schulbuch oder beispielsweise im 1. Band von Fichtenholtz. Ich sehe keinen großen Sinn darin, Beweise für Differenzierungsregeln aus Büchern zu kopieren – sie werden auch generiert

Formel

Kommen wir nun zu den tatsächlich aufgetretenen Aufgaben: Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion , unter Verwendung der Definition von Derivat

Lösung: Verwenden Sie den ersten Designstil. Betrachten wir einen Punkt, der dazu gehört, und legen wir das Inkrement des Arguments darauf fest. Dann ist das entsprechende Inkrement der Funktion:

Vielleicht haben einige Leser das Prinzip, nach dem Inkremente vorgenommen werden müssen, noch nicht vollständig verstanden. Nehmen Sie einen Punkt (Zahl) und ermitteln Sie den Wert der darin enthaltenen Funktion: , also in die Funktion

Anstelle von „X“ sollten Sie ersetzen. Jetzt nehmen wir es

Kompiliertes Funktionsinkrement Es kann von Vorteil sein, sofort zu vereinfachen. Wofür? Erleichtern und verkürzen Sie die Lösung auf ein weiteres Limit.

Wir verwenden Formeln, öffnen die Klammern und reduzieren alles, was reduziert werden kann:

Der Truthahn ist ausgenommen, mit dem Braten kein Problem:

Zusammenfassend:

Da wir jede reelle Zahl als Wert wählen können, führen wir die Ersetzung durch und erhalten .

Antwort : a-priorat.

Lassen Sie uns zur Überprüfung die Ableitung mithilfe der Regeln ermitteln

Differenzierung und Tabellen:

Es ist immer nützlich und angenehm, die richtige Antwort im Voraus zu kennen. Daher ist es besser, die vorgeschlagene Funktion gleich zu Beginn der Lösung „schnell“ zu differenzieren, entweder im Kopf oder in einem Entwurf.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion durch Definition der Ableitung

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung. Das Ergebnis liegt auf der Hand:

Kehren wir zu Stil Nr. 2 zurück: Beispiel 7

Lassen Sie uns sofort herausfinden, was passieren soll. Von Differenzierungsregel komplexer Funktionen:

Lösung: Betrachten Sie einen beliebigen Punkt, der dazu gehört, setzen Sie das Inkrement des Arguments darauf und bilden Sie das Inkrement

Finden wir die Ableitung:

(1) Wir verwenden die trigonometrische Formel

(2) Unter dem Sinus öffnen wir die Klammern, unter dem Kosinus präsentieren wir ähnliche Begriffe.

(3) Unter dem Sinus streichen wir die Terme, unter dem Kosinus dividieren wir den Zähler durch den Nenner Term für Term.

(4) Aufgrund der Seltsamkeit des Sinus nehmen wir das „Minus“ heraus. Unter Kosinus

Wir weisen darauf hin, dass der Begriff .

(5) Wir führen eine künstliche Multiplikation im Nenner durch, um zu verwenden erste wunderbare Grenze. Damit die Unsicherheit beseitigt ist, ordnen wir das Ergebnis auf.

Antwort: per Definition Wie Sie sehen, liegt die Hauptschwierigkeit des betrachteten Problems darin

Komplexität bis zum Äußersten + leichte Originalität der Verpackung. In der Praxis kommen beide Entwurfsmethoden vor, daher beschreibe ich beide Ansätze so detailliert wie möglich. Sie sind gleichwertig, dennoch ist es nach meinem subjektiven Eindruck für Dummies ratsamer, bei Option 1 mit „X-Null“ zu bleiben.

Finden Sie anhand der Definition die Ableitung der Funktion

Dies ist eine Aufgabe, die Sie selbst lösen müssen. Das Beispiel ist im gleichen Sinne wie das vorherige Beispiel gestaltet.

Schauen wir uns eine seltenere Version des Problems an:

Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt mithilfe der Definition der Ableitung.

Erstens: Was sollte das Endergebnis sein? Zahl Berechnen wir die Antwort auf die Standardmethode:

Lösung: Aus Sicht der Übersichtlichkeit ist diese Aufgabe viel einfacher, da in der Formel statt

Es wird ein bestimmter Wert berücksichtigt.

Lassen Sie uns das Inkrement an dem Punkt festlegen und das entsprechende Inkrement der Funktion zusammenstellen:

Berechnen wir die Ableitung an der Stelle:

Wir verwenden eine sehr seltene Tangensdifferenzformel und noch einmal reduzieren wir die Lösung auf die erste

bemerkenswerte Grenze:

Antwort: per Definition eine Ableitung an einem Punkt.

Das Problem ist nicht so schwer zu lösen und „in Gesamtansicht„- es reicht aus, den Nagel zu ersetzen oder einfach, je nach Designmethode. In diesem Fall ist klar, dass das Ergebnis keine Zahl, sondern eine abgeleitete Funktion sein wird.

Beispiel 10 Finden Sie anhand der Definition die Ableitung der Funktion am Punkt

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Die abschließende Bonusaufgabe richtet sich in erster Linie an Studierende mit vertieften Kenntnissen in der mathematischen Analysis, schadet aber auch niemand anderem:

Wird die Funktion differenzierbar sein? am Punkt?

Lösung: Es ist offensichtlich, dass eine stückweise gegebene Funktion an einem Punkt stetig ist, aber wird sie dort differenzierbar sein?

Der Lösungsalgorithmus, und zwar nicht nur für stückweise Funktionen, lautet wie folgt:

1) Finden Sie die linke Ableitung an einem bestimmten Punkt: .

2) Finden Sie die rechte Ableitung an einem bestimmten Punkt: .

3) Wenn einseitige Ableitungen endlich sind und zusammenfallen:

, dann ist die Funktion im Punkt differenzierbar

geometrisch gibt es hier eine gemeinsame Tangente (siehe theoretischer Teil der Lektion). Definition und Bedeutung von Derivat).

Wenn zwei empfangen werden unterschiedliche Bedeutungen: (eines davon könnte sich als unendlich erweisen), dann ist die Funktion im Punkt nicht differenzierbar.

Wenn beide einseitigen Ableitungen gleich unendlich sind

(auch wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben), dann ist die Funktion nicht gegeben

ist am Punkt differenzierbar, es gibt jedoch eine unendliche Ableitung und eine gemeinsame vertikale Tangente an den Graphen (siehe Beispiellektion 5Normalgleichung) .

Erste Ebene

Ableitung einer Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der x-Achse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Mengen Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinatenachse).

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn ein Mast mitten auf der Straße steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und immer noch unendlich Außerdem was wird passieren. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen unendlich kleinen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass „unendlich klein“ nicht gleichbedeutend ist gleich Null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet. Es wird aufgerufen, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment verläuft parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher zwischen negativ und positive Werte Das muss es auf jeden Fall geben. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
2. Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten mit demselben Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Umfang: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist das? Wo ist der Abschluss?“, denken Sie an das Thema „“!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein Bruch: .
   Also unseres Quadratwurzel- Dies ist nur ein Abschluss mit einem Indikator:
   .
   Wir suchen die Ableitung mithilfe der kürzlich erlernten Formel:

   Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!!“ (ungefähr ein Grad mit negativem Exponenten)

2. . Nun der Exponent:

   Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion daran. Das ist es, was „strebt“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung in allgemeiner Form finden und dann ihren Wert ersetzen:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches Power-Funktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Großartig, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen noch nicht, wie man solche Derivate findet. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht zu weit gehen, schauen wir es uns gleich an Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung von Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller und natürlicher Logarithmus- Funktionen sind im Hinblick auf Ableitungen einzigartig einfach. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

1. an einem Punkt;
2. an einem Punkt;
3. an einem Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da dies lineare Funktion, erinnern?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dafür werden wir verwenden einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht mehr aufgeschrieben werden kann in einfacher Form. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte ausführen umgekehrte Reihenfolge.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

1. Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus auch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (wir geben die Schokolade in eine mit Umschlag und Schleife in der Aktentasche). Aber es besteht kein Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Entscheiden körperliche Aufgaben oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Derivat ist eines davon die wichtigsten Konzepte mathematische Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist ein Derivat, was ist seine physikalische und geometrische Bedeutung Wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit, den schwierigsten Test zu lösen und die Aufgaben zu verstehen, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.

Folgt man der Definition, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion Δ j zum Argumentinkrement Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, diese Formel zu verwenden, um beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass wir aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterscheiden können. Es ist relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in der Tabelle aufgeführt sind. Solche Funktionen sind – zusammen mit ihren Ableitungen – recht einfach zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Zu den Elementarfunktionen zählen alle nachfolgend aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(X) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Potenz mit rationalem Exponenten	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = Sünde X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	−Sünde X(minus Sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Natürlicher Logarithmus	F(X) = log X	1/X
Beliebiger Logarithmus	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Exponentialfunktion	F(X) = e X	e X(nichts hat sich geändert)

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Selbstverständlich lassen sich Elementarfunktionen addieren, multiplizieren, dividieren – und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr besonders elementar, sondern nach bestimmten Regeln differenziert. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Die Funktionen seien gegeben F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + Sünde x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2 + Sünde X)’ = (X 2)’ + (Sünde X)’ = 2X+ cos x;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antwort:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat des Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen">entspricht dem Produkt von Ableitungen. Aber scheiß drauf! Die Ableitung eines Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist das Produkt zweier Elementarfunktionen, also ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)‘ weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− Sünde X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Faktor ist etwas komplizierter, aber allgemeines Schema das ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Faktor der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)‘ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antwort:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht erforderlich, die meisten Ableitungen werden jedoch nicht allein berechnet, sondern zur Untersuchung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen bestimmt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck faktorisieren zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der Menge, die uns interessiert, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eines der meisten komplexe Formeln- Ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es weiter zu studieren konkrete Beispiele.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Zähler und Nenner jedes Bruchs enthalten Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Der Tradition zufolge faktorisieren wir den Zähler – das wird die Antwort erheblich vereinfachen:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2 + ln X. Es klappt F(X) = Sünde ( X 2 + ln X) – das ist eine komplexe Funktion. Es gibt auch eine Ableitung, die jedoch mit den oben besprochenen Regeln nicht gefunden werden kann.

Was soll ich machen? In solchen Fällen hilft das Ersetzen einer Variablen und einer Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären detaillierte Beschreibung jeder Schritt.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2 + ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb machen wir einen Ersatz: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen nach der Ableitung einer komplexen Funktion mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Wir führen den umgekehrten Ersatz durch: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Offensichtlich muss es ersetzt werden X 2 + ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (Sünde T)’ · T’ = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2 + ln X. Dann:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das gesamte Problem auf die Berechnung der Ableitungssumme reduziert.

Antwort:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil ( X 2 + ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Primzahl“. Zum Beispiel eine Primzahl aus dem Betrag gleich der Summe Schlaganfälle. Ist das klarer? Das ist gut.

Bei der Berechnung der Ableitung kommt es also darauf an, dieselben Striche gemäß den oben besprochenen Regeln zu entfernen. Als letztes Beispiel kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige Menschen in der Rolle N kann durchaus handeln eine Bruchzahl. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5. Was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas Ausgefallenes befindet? Auch hier wird das Ergebnis eine komplexe Funktion sein – solche Konstruktionen gibt man gerne an Tests und Prüfungen.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt machen wir einen Ersatz: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)‘ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Machen wir die umgekehrte Ersetzung: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln: