EingangWie man das arithmetische Mittel berechnet. Fallstricke im Zusammenhang mit deskriptiven Statistiken. So berechnen Sie Durchschnittswerte für heterogene Daten
Vor allem in Gl. In der Praxis muss man das arithmetische Mittel verwenden, das sich als einfaches und gewichtetes arithmetisches Mittel berechnen lässt.
Arithmetisches Mittel (CA)-n die häufigste Art von Medium. Es wird in Fällen verwendet, in denen das Volumen eines variablen Attributs für die gesamte Bevölkerung die Summe der Werte der Attribute seiner einzelnen Einheiten ist. Soziale Phänomene sind durch die Additivität (Summierung) der Volumina des variierenden Attributs gekennzeichnet, dies bestimmt den Umfang der SA und erklärt ihre Verbreitung als generalisierender Indikator, Beispiel: Der allgemeine Gehaltsfonds ist die Summe der Gehälter aller Arbeitnehmer.
Um SA zu berechnen, müssen Sie die Summe aller Merkmalswerte durch ihre Anzahl dividieren. SA wird in 2 Formen verwendet.
Betrachten Sie zunächst das einfache arithmetische Mittel.
1-CA einfach (anfängliche, definierende Form) ist gleich der einfachen Summe der Einzelwerte des gemittelten Merkmals, dividiert durch die Gesamtzahl dieser Werte (wird verwendet, wenn es nicht gruppierte Indexwerte des Merkmals gibt):
Die durchgeführten Berechnungen lassen sich in folgender Formel zusammenfassen:
(1)
wo 
- der Durchschnittswert des variablen Attributs, d. h. das einfache arithmetische Mittel;
bedeutet Summierung, also Addition einzelner Merkmale;
x- einzelne Werte eines variablen Attributs, die als Varianten bezeichnet werden;
n - Anzahl der Bevölkerungseinheiten
Beispiel 1, Es ist erforderlich, die durchschnittliche Leistung eines Arbeiters (Schlossers) zu ermitteln, wenn bekannt ist, wie viele Teile jeder der 15 Arbeiter produziert hat, d.h. gegeben eine Anzahl von ind. Merkmalswerte, Stück: 21; 20; 20; neunzehn; 21; neunzehn; achtzehn; 22; neunzehn; 20; 21; 20; achtzehn; neunzehn; 20.
SA einfach errechnet sich nach Formel (1), Stk.:
Beispiel2. Lassen Sie uns SA basierend auf bedingten Daten für 20 Geschäfte berechnen, die Teil eines Handelsunternehmens sind (Tabelle 1). Tabelle 1
Verteilung der Geschäfte der Handelsgesellschaft "Vesna" nach Handelsgebiet, sq. M
|
Shop-Nummer |
Shop-Nummer | ||
Um die durchschnittliche Ladenfläche zu berechnen ( 
) ist es notwendig, die Flächen aller Geschäfte zu addieren und das Ergebnis durch die Anzahl der Geschäfte zu teilen:
Somit beträgt die durchschnittliche Ladenfläche dieser Gruppe von Handwerksbetrieben 71 qm.
Um die SA einfach zu bestimmen, ist es daher erforderlich, die Summe aller Werte eines bestimmten Attributs durch die Anzahl der Einheiten zu dividieren, die dieses Attribut aufweisen.
2
wo f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
Gewicht (Häufigkeit der Wiederholung derselben Merkmale); ist die Summe der Produkte der Größe von Merkmalen und ihrer Häufigkeit; ist die Gesamtzahl der Bevölkerungseinheiten.
(2)
Woher X- Optionen;
f- Häufigkeit (Gewicht).
SA-gewichtet ist der Quotient der Division der Summe der Produkte der Varianten und ihrer entsprechenden Häufigkeiten durch die Summe aller Häufigkeiten. Frequenzen ( f), die in der SA-Formel vorkommen, werden normalerweise aufgerufen Waage, wodurch der unter Berücksichtigung der Gewichte berechnete SA als gewichteter SA bezeichnet wird.
Wir veranschaulichen die Technik zur Berechnung der gewichteten SA anhand des oben betrachteten Beispiels 1. Dazu gruppieren wir die Anfangsdaten und platzieren sie in der Tabelle.
Der Durchschnitt der gruppierten Daten wird wie folgt ermittelt: Zuerst werden die Optionen mit den Häufigkeiten multipliziert, dann werden die Produkte addiert und die resultierende Summe durch die Summe der Häufigkeiten dividiert.
Nach Formel (2) ist die gewichtete SA, Stk.: 
P
Verteilung der Vesna-Filialen nach Verkaufsfläche, m² m
Somit ist das Ergebnis das gleiche. Dies ist jedoch bereits der arithmetisch gewichtete Durchschnitt.
Im vorherigen Beispiel haben wir den arithmetischen Mittelwert berechnet, sofern die absoluten Häufigkeiten (Anzahl der Filialen) bekannt sind. In einigen Fällen gibt es jedoch keine absoluten Häufigkeiten, sondern es sind relative Häufigkeiten bekannt oder, wie sie allgemein genannt werden, Frequenzen, die den Anteil oder zeigen der Anteil der Frequenzen an der Gesamtbevölkerung.
Bei der Berechnung der SA-gewichteten Nutzung Frequenzen ermöglicht es Ihnen, Berechnungen zu vereinfachen, wenn die Frequenz in großen, mehrstelligen Zahlen ausgedrückt wird. Die Berechnung erfolgt auf die gleiche Weise, da jedoch der Mittelwert um das 100-fache erhöht wird, muss das Ergebnis durch 100 geteilt werden.
Dann sieht die Formel für den arithmetisch gewichteten Durchschnitt so aus:
wo d– Frequenz, d.h. der Anteil jeder Frequenz an der Gesamtsumme aller Frequenzen.
(3)In unserem Beispiel 2 ermitteln wir zunächst den Anteil der Filialen nach Gruppen an der Gesamtzahl der Filialen der Firma „Spring“. Für die erste Gruppe entspricht das spezifische Gewicht also 10 % 
. Wir erhalten die folgenden Daten Tisch 3
Jede Person drin moderne Welt, die planen, einen Kredit aufzunehmen oder Gemüse für den Winter zu lagern, werden regelmäßig mit einem solchen Konzept als "Durchschnitt" konfrontiert. Lassen Sie uns herausfinden: was es ist, welche Arten und Klassen davon existieren und warum es in der Statistik und anderen Disziplinen verwendet wird.
Durchschnittswert – was ist das?
Ein ähnlicher Name (SV) ist ein verallgemeinertes Merkmal einer Reihe homogener Phänomene, die durch ein beliebiges quantitatives Variablenattribut bestimmt werden.
Menschen, die von solch abstrusen Definitionen weit entfernt sind, verstehen dieses Konzept jedoch als eine durchschnittliche Menge von etwas. Beispielsweise wird ein Bankangestellter einen potenziellen Kunden vor der Aufnahme eines Kredits auf jeden Fall bitten, Daten zum durchschnittlichen Jahreseinkommen anzugeben, dh zum Gesamtbetrag des Geldes, das eine Person verdient. Es wird berechnet, indem die Einnahmen für das gesamte Jahr summiert und durch die Anzahl der Monate geteilt werden. Auf diese Weise kann die Bank feststellen, ob ihr Kunde in der Lage sein wird, die Schulden rechtzeitig zurückzuzahlen.
Warum wird es verwendet?
In der Regel werden Durchschnittswerte häufig verwendet, um bestimmte soziale Phänomene, die Massencharakter haben, endgültig zu charakterisieren. Sie können auch für kleinere Berechnungen verwendet werden, wie im obigen Beispiel bei einem Kredit.
Meistens werden jedoch immer noch Durchschnittswerte für globale Zwecke verwendet. Ein Beispiel dafür ist die Berechnung des Stromverbrauchs der Bürger in einem Kalendermonat. Basierend auf den erhaltenen Daten, weiter Höchstsätze für Bevölkerungsgruppen, die Leistungen des Staates genießen.
Außerdem wird mit Hilfe von Durchschnittswerten die Gewährleistungsfrist für den Service bestimmter Haushaltsgeräte, Autos, Gebäude usw. entwickelt.Auf der Grundlage der so gesammelten Daten wurden einst moderne Arbeits- und Ruhestandards entwickelt.
In der Tat, jedes Phänomen modernes Leben, die Massencharakter hat, auf die eine oder andere Weise zwangsläufig mit dem betrachteten Begriff verbunden ist.
Anwendungen
Dieses Phänomen ist in fast allen exakten Wissenschaften weit verbreitet, insbesondere in denen experimenteller Natur.
Das Finden des Durchschnitts ist in Medizin, Technik, Kochen, Wirtschaft, Politik usw. von großer Bedeutung.
Auf der Grundlage der aus solchen Verallgemeinerungen gewonnenen Daten entwickeln sie medizinische Präparate, Lehrpläne, legen existenzsichernde Mindestlöhne und -gehälter fest und bauen sie auf Studienpläne, produzieren Möbel, Bekleidung und Schuhe, Hygieneartikel und vieles mehr.
In der Mathematik wird dieser Begriff als „Durchschnittswert“ bezeichnet und verwendet, um Lösungen für verschiedene Beispiele und Probleme umzusetzen. Die einfachsten davon sind Addition und Subtraktion mit gewöhnlichen Brüchen. Denn wie Sie wissen, ist es zur Lösung solcher Beispiele notwendig, beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Auch in der Königin der exakten Wissenschaften wird häufig der Begriff „Durchschnittswert einer Zufallsvariablen“ verwendet, der nahe an der Bedeutung liegt. Den meisten ist es eher als "Erwartung" bekannt, häufiger in der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet. Es ist erwähnenswert, dass ein ähnliches Phänomen auch bei der Durchführung statistischer Berechnungen zutrifft.
Durchschnittswert in der Statistik
Am häufigsten wird das untersuchte Konzept jedoch in der Statistik verwendet. Wie Sie wissen, ist diese Wissenschaft selbst auf die Berechnung und Analyse der quantitativen Merkmale sozialer Massenphänomene spezialisiert. Daher wird der Durchschnittswert in der Statistik als spezialisierte Methode zur Erreichung seiner Hauptziele - der Sammlung und Analyse von Informationen - verwendet.
Die Essenz dieser statistischen Methode besteht darin, die einzelnen eindeutigen Werte des betrachteten Merkmals durch einen bestimmten ausgewogenen Durchschnittswert zu ersetzen.
Ein Beispiel ist der berühmte Essenswitz. In einer bestimmten Fabrik essen seine Chefs dienstags zum Mittagessen normalerweise Fleischauflauf, und gewöhnliche Arbeiter - gedünsteter Kohl. Aus diesen Daten lässt sich schließen, dass die Belegschaft des Werks im Durchschnitt dienstags Kohlrouladen isst.
Obwohl dieses Beispiel leicht übertrieben ist, veranschaulicht es den Hauptnachteil des Suchverfahrens. mittlere Größe- Nivellierung der individuellen Eigenschaften von Objekten oder Persönlichkeiten.
Die Durchschnittswerte werden nicht nur zur Analyse der gesammelten Informationen verwendet, sondern auch zur Planung und Vorhersage weiterer Aktionen.
Es wird auch verwendet, um die erzielten Ergebnisse zu bewerten (z. B. die Umsetzung des Plans für den Anbau und die Ernte von Weizen für die Frühjahr-Sommer-Saison).
Wie man rechnet
Obwohl es je nach Art des Lebenslaufs unterschiedliche Formeln für seine Berechnung gibt, in Allgemeine Theorie In der Statistik wird in der Regel nur eine Methode zur Berechnung des Mittelwerts eines Merkmals verwendet. Dazu müssen Sie zunächst die Werte aller Phänomene zusammenzählen und dann die resultierende Summe durch ihre Anzahl teilen.
Bei solchen Berechnungen ist zu beachten, dass der Durchschnittswert immer dieselbe Dimension (oder Einheit) hat wie eine separate Einheit der Bevölkerung.
Bedingungen für eine korrekte Berechnung
Die oben diskutierte Formel ist sehr einfach und universell, daher ist es fast unmöglich, darin einen Fehler zu machen. Es lohnt sich jedoch immer, zwei Aspekte zu berücksichtigen, da die erhaltenen Daten sonst nicht die reale Situation widerspiegeln.
CB-Klassen
Nachdem Antworten auf die Hauptfragen gefunden wurden: "Der Durchschnittswert - was ist das?", "Wo wird es verwendet?" und "Wie kann ich es berechnen?", ist es wichtig zu wissen, welche Klassen und Arten von CB es gibt.
Zunächst wird dieses Phänomen in 2 Klassen eingeteilt. Dies sind Struktur- und Leistungsmittelwerte.
Arten von Macht SW
Jede der oben genannten Klassen ist wiederum in Typen unterteilt. Die Leistungsklasse hat vier davon.
- Das arithmetische Mittel ist die häufigste Art von SV. Es ist ein durchschnittlicher Begriff, bei dessen Bestimmung das Gesamtvolumen des betrachteten Attributs im Datensatz gleichmäßig auf alle Einheiten dieses Datensatzes verteilt wird.
Dieser Typ ist in Unterarten unterteilt: einfache und gewichtete arithmetische SV.
- Der mittlere harmonische Wert ist ein Indikator, der der Kehrwert des einfachen arithmetischen Mittels ist, berechnet aus den Kehrwerten des betreffenden Merkmals.
Es wird in Fällen verwendet, in denen die einzelnen Werte des Merkmals und des Produkts bekannt sind, die Häufigkeitsangaben jedoch nicht.
- Das geometrische Mittel wird am häufigsten bei der Analyse der Wachstumsraten wirtschaftlicher Phänomene verwendet. Es ermöglicht, das Produkt der Einzelwerte einer gegebenen Menge unverändert zu lassen und nicht die Summe.
Es ist auch einfach und ausgewogen.
- Mittel quadratischer Wert in der Berechnung verwendet einzelne Indikatoren Indikatoren wie der Variationskoeffizient, der den Outputrhythmus charakterisiert usw.
Außerdem werden mit seiner Hilfe die durchschnittlichen Durchmesser von Rohren, Rädern, die durchschnittlichen Seiten eines Quadrats und ähnliche Zahlen berechnet.
Wie alle anderen Arten von durchschnittlichen SW ist der quadratische Mittelwert einfach und gewichtet.
Arten von Strukturgrößen
Neben durchschnittlichen SWs werden in der Statistik häufig Strukturtypen verwendet. Sie eignen sich besser zur Berechnung der relativen Eigenschaften der Werte eines variablen Attributs und Interne Struktur Verteilungslinien.
Es gibt zwei solcher Typen.
Um das Ergebnis der Zusammenfassung und Gruppierung zu analysieren und statistische Schlussfolgerungen zu ziehen, werden verallgemeinernde Indikatoren berechnet - Durchschnitts- und Relativwerte.
Das Problem der Durchschnittswerte - alle Einheiten der statistischen Grundgesamtheit mit einem Merkmalswert zu charakterisieren.
Durchschnittswerte werden durch qualitative Indikatoren gekennzeichnet unternehmerische Tätigkeit: Vertriebskosten, Gewinn, Rentabilität usw.
Durchschnittswert- Dies ist ein verallgemeinerndes Merkmal der Einheiten der Bevölkerung gemäß einem variierenden Attribut.
Mittelwerte ermöglichen es, die Werte des gleichen Merkmals in verschiedenen Populationen zu vergleichen und die Gründe für diese Diskrepanzen zu finden.
Bei der Analyse der untersuchten Phänomene ist die Rolle von Durchschnittswerten enorm. Der englische Ökonom W. Petty (1623-1687) machte ausgiebigen Gebrauch von Durchschnittswerten. V. Petty wollte Durchschnittswerte als Maß für die Kosten der Ausgaben für den durchschnittlichen täglichen Lebensunterhalt eines Arbeiters verwenden. Die Stabilität des Mittelwerts spiegelt die Muster der untersuchten Prozesse wider. Er glaubte, dass Informationen transformiert werden können, selbst wenn nicht genügend Ausgangsdaten vorhanden sind.
Der englische Wissenschaftler G. King (1648-1712) verwendete bei der Analyse von Daten über die Bevölkerung Englands Durchschnitts- und Relativwerte.
Theoretische Entwicklungen des belgischen Statistikers A. Quetelet (1796-1874) basieren auf der Widersprüchlichkeit der Natur gesellschaftliche Erscheinungen- hochstabil in der Masse, aber rein individuell.
Nach A. Quetelet bleibende Ursachen auf jedes untersuchte Phänomen in gleicher Weise einwirken und diese Phänomene einander ähnlich machen, Muster schaffen, die allen gemeinsam sind.
Eine Konsequenz aus den Lehren von A. Quetelet war die Zuordnung von Durchschnittswerten als Hauptmethode der statistischen Analyse. Er sagte, dass statistische Durchschnitte keine Kategorie der objektiven Realität sind.
A. Quetelet drückte seine Ansichten über den Durchschnitt in seiner Theorie des Durchschnittsmenschen aus. Eine durchschnittliche Person ist eine Person, die alle Eigenschaften in einer durchschnittlichen Größe hat (durchschnittliche Sterblichkeits- oder Geburtenrate, durchschnittliche Größe und Gewicht, durchschnittliche Laufgeschwindigkeit, durchschnittliche Neigung zu Heirat und Selbstmord, zu guten Taten usw.). Für A. Quetelet durchschnittliche Person ist das Ideal des Menschen. Die Widersprüchlichkeit der Theorie des Durchschnittsmenschen von A. Quetelet wurde in der russischen statistischen Literatur in bewiesen Ende XIX-XX Jahrhunderte
Der bekannte russische Statistiker Yu E. Yanson (1835-1893) schrieb, dass A. Quetelet die Existenz des Typus des Durchschnittsmenschen in der Natur als etwas Gegebenes annimmt, von dem das Leben des Durchschnittsmenschen abgewichen ist diese Gesellschaft und gegebener Zeit, und dies führt ihn zu einer völlig mechanischen Anschauung und zu den Bewegungsgesetzen soziales Leben: Bewegung ist eine allmähliche Zunahme der durchschnittlichen Eigenschaften einer Person, eine allmähliche Wiederherstellung des Typs; folglich eine solche Einebnung aller Erscheinungsformen des Lebens des sozialen Körpers, jenseits derer jede Vorwärtsbewegung aufhört.
Die Essenz dieser Theorie hat ihre gefunden weitere Entwicklung in den Arbeiten einer Reihe statistischer Theoretiker als eine Theorie der wahren Werte. A. Quetelet hatte Anhänger - den deutschen Ökonomen und Statistiker W. Lexis (1837-1914), der die Theorie der wahren Werte übertrug wirtschaftliche Phänomene öffentliches Leben. Seine Theorie ist als Stabilitätstheorie bekannt. Eine andere Version der idealistischen Durchschnittstheorie basiert auf der Philosophie
Ihr Begründer ist der englische Statistiker A. Bowley (1869–1957), einer der bedeutendsten Theoretiker der Neuzeit auf dem Gebiet der Durchschnittstheorie. Sein Mittelwertkonzept ist in dem Buch „Elements of Statistics“ skizziert.
A. Bowley betrachtet Durchschnittswerte nur von der quantitativen Seite, wodurch Quantität von Qualität getrennt wird. A. Bowley bestimmt die Bedeutung von Durchschnittswerten (oder "ihre Funktion") und stellt das machistische Denkprinzip vor. A. Bowley schrieb, dass die Funktion von Durchschnittswerten eine komplexe Gruppe ausdrücken sollte
mit ein paar Primzahlen. Statistische Daten sollten vereinfacht, gruppiert und gemittelt werden Diese Ansichten wurden von R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) und anderen geteilt.
In den 30er Jahren. 20. Jahrhundert und den Folgejahren gilt der Durchschnittswert als sozial signifikantes Merkmal, deren Informationsgehalt von der Homogenität der Daten abhängt.
Die prominentesten Vertreter der italienischen Schule R. Benini (1862-1956) und C. Gini (1884-1965) betrachteten die Statistik als einen Zweig der Logik und erweiterten den Umfang der statistischen Induktion, aber sie verbanden die kognitiven Prinzipien der Logik und Statistik mit der Natur der untersuchten Phänomene, in Anlehnung an die Traditionen der soziologischen Interpretation von Statistiken.
In den Werken von K. Marx und V. I. Lenin kommt den Durchschnittswerten eine besondere Rolle zu.
K. Marx argumentierte, dass individuelle Abweichungen vom allgemeinen Niveau u Mittelstufe wird zu einem verallgemeinernden Merkmal eines Massenphänomens Der Mittelwert wird nur dann zu einem solchen Merkmal eines Massenphänomens, wenn eine signifikante Anzahl von Einheiten genommen wird und diese Einheiten qualitativ homogen sind. Marx schrieb, der gefundene Mittelwert sei der Mittelwert „... vieler verschiedener Einzelwerte gleicher Art“.
Dem Durchschnittswert kommt in einer Marktwirtschaft eine besondere Bedeutung zu. Es hilft, das Notwendige und Allgemeine, den Trend der Regelmäßigkeit zu bestimmen. wirtschaftliche Entwicklung direkt durch das Individuelle und das Zufällige.
Durchschnittliche Werte sind verallgemeinernde Indikatoren, in denen die Wirkung der allgemeinen Bedingungen, die Regelmäßigkeit des untersuchten Phänomens ausgedrückt wird.
Statistische Mittelwerte werden auf der Grundlage von Massendaten einer statistisch korrekt organisierten Massenbeobachtung berechnet. Wird der statistische Mittelwert aus Massendaten für eine qualitativ homogene Population (Massenphänomene) berechnet, dann ist er objektiv.
Der Durchschnittswert ist abstrakt, da er den Wert einer abstrakten Einheit charakterisiert.
Von der Vielfalt des Merkmals einzelne Objekte der mittlere ist abstrahiert. Abstraktion - Schritt wissenschaftliche Forschung. Die dialektische Einheit des Einzelnen und des Allgemeinen verwirklicht sich im Mittelwert.
Mittelwerte sollten auf Basis eines dialektischen Verständnisses der Kategorien des Individuums und des Allgemeinen, des Individuums und der Masse angesetzt werden.
Die mittlere spiegelt etwas Gemeinsames wider, das sich in einem bestimmten einzelnen Objekt summiert.
Um Muster in sozialen Massenprozessen zu erkennen, ist der Durchschnittswert von großer Bedeutung.
Die Abweichung des Einzelnen vom Allgemeinen ist Ausdruck des Entwicklungsprozesses.
Der Mittelwert spiegelt das charakteristische, typische, reale Niveau der untersuchten Phänomene wider. Der Zweck von Durchschnittswerten besteht darin, diese Ebenen und ihre zeitlichen und räumlichen Änderungen zu charakterisieren.
Der Durchschnitt ist der übliche Wert, weil er in normaler, natürlicher, Allgemeine Bedingungen die Existenz eines bestimmten Massenphänomens als Ganzes betrachtet.
Eine objektive Eigenschaft eines statistischen Prozesses oder Phänomens spiegelt den Durchschnittswert wider.
Die einzelnen Werte des untersuchten statistischen Merkmals sind für jede Einheit der Bevölkerung unterschiedlich. Der Durchschnittswert einzelner Werte einer Art ist ein Produkt der Notwendigkeit, das das Ergebnis der kumulativen Aktion aller Bevölkerungseinheiten ist, die sich in einer Masse sich wiederholender Unfälle manifestiert.
Manche Einzelphänomene haben Zeichen, die in allen Phänomenen existieren, aber in unterschiedliche Mengen ist die Größe oder das Alter der Person. Andere Anzeichen eines individuellen Phänomens, qualitativ unterschiedlich in verschiedene Phänomene, das heißt, sie sind bei einigen vorhanden und werden bei anderen nicht beobachtet (ein Mann wird keine Frau). Der Durchschnittswert wird für qualitativ homogene und sich nur quantitativ unterscheidende Zeichen berechnet, die allen Phänomenen einer bestimmten Menge innewohnen.
Der Durchschnittswert spiegelt die Werte des untersuchten Merkmals wider und wird in der gleichen Dimension wie dieses Merkmal gemessen.
Die Theorie des dialektischen Materialismus lehrt, dass sich alles auf der Welt verändert und entwickelt. Und auch die durch Durchschnittswerte gekennzeichneten Zeichen ändern sich und dementsprechend die Durchschnittswerte selbst.
Das Leben ist ein kontinuierlicher Prozess der Schaffung von etwas Neuem. Träger der neuen Qualität sind einzelne Objekte, dann nimmt die Zahl dieser Objekte zu, und das Neue wird zur Masse, typisch.
Der Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population nur auf einer Grundlage. Für eine vollständige und umfassende Darstellung der untersuchten Population in einer Reihe von bestimmte Eigenschaften Es ist notwendig, ein System von Durchschnittswerten zu haben, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.
2. Arten von Durchschnitten
Bei der statistischen Aufbereitung des Materials treten verschiedene Probleme auf, die es zu lösen gilt, weshalb in der statistischen Praxis verschiedene Durchschnittswerte verwendet werden. Mathematische Statistiken verwendet verschiedene Durchschnittswerte wie: arithmetischer Durchschnitt; geometrisches Mittel; mittlere Harmonische; quadratischer Mittelwert.
Um eine der oben genannten Durchschnittsarten anzuwenden, ist es notwendig, die untersuchte Population zu analysieren, den materiellen Inhalt des untersuchten Phänomens zu bestimmen, all dies geschieht auf der Grundlage von Schlussfolgerungen, die aus dem Prinzip der Aussagekraft der Ergebnisse gezogen werden beim Wiegen oder Summieren.
Bei der Untersuchung von Durchschnittswerten werden die folgenden Indikatoren und Notationen verwendet.
Das Kriterium, nach dem der Durchschnitt gefunden wird, wird aufgerufen gemitteltes Merkmal und ist mit x bezeichnet; wird der Wert des gemittelten Merkmals für eine beliebige Einheit der statistischen Grundgesamtheit genannt seine individuelle Bedeutung oder Optionen, und bezeichnet als x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; Häufigkeit ist die Wiederholbarkeit einzelner Werte eines Merkmals, gekennzeichnet durch den Buchstaben f.
Arithmetisches Mittel
Eine der häufigsten Arten von Medien arithmetisches Mittel, die berechnet wird, wenn das Volumen des gemittelten Attributs als Summe seiner Werte für einzelne Einheiten der untersuchten statistischen Grundgesamtheit gebildet wird.
Zur Berechnung des arithmetischen Mittels wird die Summe aller Merkmalsausprägungen durch ihre Anzahl dividiert.
Wenn einige Optionen mehrfach vorkommen, dann kann die Summe der Merkmalsstufen durch Multiplikation jeder Stufe mit der entsprechenden Anzahl von Bevölkerungseinheiten, gefolgt von der Summe der resultierenden Produkte, erhalten werden, das so berechnete arithmetische Mittel wird als gewichtete Arithmetik bezeichnet gemein.
Die Formel für das gewichtete arithmetische Mittel lautet wie folgt:
wobei x i Optionen sind,
f i - Frequenzen oder Gewichte.
In allen Fällen, in denen die Varianten unterschiedliche Häufigkeiten aufweisen, sollte ein gewichteter Durchschnitt verwendet werden.
Das arithmetische Mittel verteilt sozusagen den Gesamtwert des Attributs gleichmäßig auf die einzelnen Objekte, der tatsächlich für jeden von ihnen unterschiedlich ist.
Die Berechnung der Durchschnittswerte erfolgt nach Daten, die in Form von Intervallverteilungsreihen gruppiert sind, wenn die Merkmalsvarianten, aus denen der Durchschnitt berechnet wird, in Form von Intervallen (von - bis) dargestellt werden.
Eigenschaften des arithmetischen Mittels:
1) mittel arithmetische Summe variierende Werte sind gleich der Summe der arithmetischen Mittelwerte: Wenn x i \u003d y i + z i, dann
Diese Eigenschaft zeigt, in welchen Fällen eine Zusammenfassung der Durchschnittswerte möglich ist.
2) Die algebraische Summe der Abweichungen der einzelnen Werte des variierenden Attributs vom Mittelwert ist gleich Null, da die Summe der Abweichungen in eine Richtung durch die Summe der Abweichungen in die andere Richtung ausgeglichen wird:
Diese Regel zeigt, dass der Mittelwert das Ergebnis ist.
3) Wenn alle Varianten der Serie um die gleiche Zahl erhöht oder verringert werden?, dann wird der Durchschnitt um die gleiche Zahl erhöht oder verringert?:
4) Wenn alle Varianten der Reihe um A-mal erhöht oder verringert werden, wird der Durchschnitt auch um A-mal erhöht oder verringert:
5) Die fünfte Eigenschaft des Durchschnitts zeigt uns, dass es nicht auf die Größe der Gewichte ankommt, sondern auf das Verhältnis zwischen ihnen. Als Gewichte können nicht nur relative, sondern auch absolute Werte genommen werden.
Wenn alle Häufigkeiten der Reihe mit derselben Zahl d dividiert oder multipliziert werden, ändert sich der Durchschnitt nicht.
Durchschnittliche Oberschwingung. Um den arithmetischen Mittelwert zu ermitteln, benötigt man eine Reihe von Möglichkeiten und Häufigkeiten, also Werte X und f.
Angenommen, wir kennen die einzelnen Werte des Features X und funktioniert X/, und Frequenzen f unbekannt sind, bezeichnen wir zur Berechnung des Durchschnitts das Produkt = X/; wo:
Der Mittelwert in dieser Form wird als harmonisch gewichteter Mittelwert bezeichnet und bezeichnet x schaden. vzvv.
Dementsprechend ist das harmonische Mittel identisch mit dem arithmetischen Mittel. Sie gilt, wenn die tatsächlichen Gewichte nicht bekannt sind. f, und das Produkt ist bekannt fx = z
Wenn das klappt fx gleich oder gleich eins (m = 1), wird das harmonische einfache Mittel verwendet, berechnet nach der Formel:
wo X- separate Optionen;
n- Anzahl.
Geometrisches Mittel
Wenn es n Wachstumsfaktoren gibt, lautet die Formel für den durchschnittlichen Koeffizienten:
Dies ist die geometrische Mittelformel.
Das geometrische Mittel ist gleich der Wurzel des Grades n aus dem Produkt der Wachstumskoeffizienten, die das Verhältnis des Werts jeder nachfolgenden Periode zum Wert der vorherigen charakterisieren.
Wenn die zu mittelnden Größen im Formular angegeben sind Quadratische Funktionen, wird der quadratische Mittelwert angewendet. Über den quadratischen Mittelwert lassen sich beispielsweise Durchmesser von Rohren, Rädern etc. ermitteln.
Der mittlere quadratische Mittelwert wird einfach ermittelt, indem die Quadratwurzel des Quotienten aus der Summe der Quadrate der einzelnen Merkmalswerte dividiert durch ihre Anzahl gezogen wird.
Der gewichtete quadratische Mittelwert ist:
3. Strukturelle Durchschnitte. Modus und Median
Um die Struktur der statistischen Grundgesamtheit zu charakterisieren, werden Indikatoren verwendet, die genannt werden strukturelle Durchschnitte. Dazu gehören Modus und Median.
Mode (M Über ) - die häufigste Option. Mode wird der Wert des Merkmals aufgerufen, der dem Maximum der theoretischen Verteilungskurve entspricht.
Der Modus repräsentiert den am häufigsten vorkommenden bzw. typischen Wert.
Mode wird in der kommerziellen Praxis verwendet, um die Verbrauchernachfrage zu untersuchen und Preise zu erfassen.
In einer diskreten Reihe ist der Modus die Variante mit der höchsten Frequenz. In der Intervallvariationsreihe gilt die zentrale Variante des Intervalls, die die höchste Häufigkeit (Besonderheit) aufweist, als Modus.
Innerhalb des Intervalls ist es notwendig, den Wert des Attributs zu finden, das der Modus ist.
wo X Über die untere Grenze des modalen Intervalls ist;
h der Wert des modalen Intervalls ist;
FM die Frequenz des modalen Intervalls ist;
f t-1 - Häufigkeit des Intervalls vor dem Modal;
FM+1 ist die Frequenz des Intervalls nach dem Modal.
Der Modus hängt von der Größe der Gruppen ab, von der genauen Position der Grenzen der Gruppen.
Mode- die Zahl, die tatsächlich am häufigsten vorkommt (ist ein bestimmter Wert), in der Praxis am weitesten verbreitet (der häufigste Käufertyp).
Median (M e- Dies ist der Wert, der die Anzahl der bestellten Variationsreihen in zwei gleiche Teile teilt: Ein Teil hat Werte des variierenden Merkmals, die kleiner als die durchschnittliche Variante sind, und der andere ist groß.
Median ist ein Element, das größer oder gleich und gleichzeitig kleiner oder gleich der Hälfte der übrigen Elemente der Verteilungsreihe ist.
Die Eigenschaft des Medians ist, dass die Summe der absoluten Abweichungen der Merkmalswerte vom Median geringer ist als von jedem anderen Wert.
Mit dem Median erhalten Sie genauere Ergebnisse als mit anderen Formen von Durchschnittswerten.
Die Reihenfolge, in der der Median in der Intervallvariationsreihe gefunden wird, ist wie folgt: Wir ordnen die einzelnen Werte des Attributs nach Rang; Bestimmen Sie die akkumulierten Häufigkeiten für diese Rangfolge; Gemäß den akkumulierten Häufigkeiten finden wir das Medianintervall:
wo x mich ist die untere Grenze des Medianintervalls;
ich Mir ist der Wert des Medianintervalls;
Blende 2 die Halbsumme der Frequenzen der Reihe ist;
S Mir-1 ist die Summe der akkumulierten Häufigkeiten vor dem Medianintervall;
f Mir ist die Häufigkeit des Medianintervalls.
Der Median teilt die Anzahl der Zeilen in zwei Hälften, daher ist die kumulative Häufigkeit die Hälfte oder mehr als die Hälfte der Gesamtzahl der Häufigkeiten und die vorherige (kumulative) Häufigkeit ist weniger als die Hälfte der Bevölkerungszahl.
Der Durchschnittswert ist ein verallgemeinernder Indikator, der das typische Ausmaß des Phänomens charakterisiert. Sie drückt den Wert des Attributs bezogen auf die Einheit der Bevölkerung aus.
Der Durchschnittswert beträgt:
1) der typischste Wert des Attributs für die Population;
2) das Volumen des Bevölkerungszeichens, das gleichmäßig auf die Bevölkerungseinheiten verteilt ist.
Das Merkmal, für das der Mittelwert berechnet wird, wird in der Statistik als „gemittelt“ bezeichnet.
Der Durchschnitt verallgemeinert immer die quantitative Variation des Merkmals, d.h. in Durchschnittswerten heben sich individuelle Unterschiede in den Einheiten der Bevölkerung aufgrund zufälliger Umstände auf. Im Gegensatz zum Durchschnitt erlaubt der absolute Wert, der das Niveau eines Merkmals einer einzelnen Einheit der Bevölkerung charakterisiert, keinen Vergleich der Werte des Merkmals für Einheiten, die zu verschiedenen Bevölkerungsgruppen gehören. Wenn es also notwendig ist, die Höhe der Entlohnung von Arbeitnehmern in zwei Unternehmen zu vergleichen, dann ist es unmöglich, zwei Arbeitnehmer verschiedener Unternehmen auf dieser Grundlage zu vergleichen. Die Löhne der zum Vergleich ausgewählten Arbeitnehmer sind möglicherweise nicht typisch für diese Unternehmen. Wenn wir die Größe der Lohnfonds in den betrachteten Unternehmen vergleichen, wird die Anzahl der Beschäftigten nicht berücksichtigt, und daher ist es unmöglich festzustellen, wo das Lohnniveau höher ist. Letztlich sind nur Durchschnittswerte vergleichbar, d.h. Wie viel verdient ein Mitarbeiter im Durchschnitt in jedem Unternehmen? Daher ist es notwendig, den Durchschnittswert als verallgemeinerndes Merkmal der Grundgesamtheit zu berechnen.
Es ist wichtig zu beachten, dass bei der Mittelwertbildung der Gesamtwert der Attributstufen bzw. deren Endwert (bei der Berechnung von Durchschnittsstufen in einer Zeitreihe) unverändert bleiben muss. Mit anderen Worten, bei der Berechnung des Durchschnittswerts sollte das Volumen des untersuchten Merkmals nicht verzerrt werden, und die bei der Berechnung des Durchschnitts gemachten Ausdrücke müssen unbedingt sinnvoll sein.
Die Berechnung des Durchschnitts ist eine gängige Verallgemeinerungstechnik; der durchschnittliche Indikator leugnet das Allgemeine, das typisch (typisch) für alle Einheiten der untersuchten Bevölkerung ist, gleichzeitig ignoriert er die Unterschiede zwischen den einzelnen Einheiten. In jedem Phänomen und seiner Entwicklung steckt eine Kombination aus Zufall und Notwendigkeit. Bei der Berechnung von Durchschnittswerten aufgrund der Anwendung des Gesetzes große Zahlen Unfälle werden gegenseitig aufgehoben, ausgeglichen, daher ist es möglich, von den nicht wesentlichen Merkmalen des Phänomens, von den quantitativen Werten des Attributs in jedem einzelnen Fall zu abstrahieren. Die Fähigkeit, von der Zufälligkeit einzelner Werte, Schwankungen, zu abstrahieren, ist der wissenschaftliche Wert von Durchschnittswerten als verallgemeinernden Merkmalen von Aggregaten.
Damit der Durchschnitt wirklich typisch ist, muss er unter Berücksichtigung bestimmter Grundsätze berechnet werden.
Lassen Sie uns auf einige eingehen allgemeine Grundsätze die Verwendung von Durchschnittswerten.
1. Der Durchschnitt sollte für Populationen bestimmt werden, die aus qualitativ homogenen Einheiten bestehen.
2. Der Durchschnitt sollte für eine Population berechnet werden, die aus einer ausreichend großen Anzahl von Einheiten besteht.
3. Der Durchschnitt sollte für die Bevölkerung berechnet werden, deren Einheiten sich in einem normalen, natürlichen Zustand befinden.
4. Der Durchschnitt sollte unter Berücksichtigung des wirtschaftlichen Inhalts des untersuchten Indikators berechnet werden.
5.2. Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung
Betrachten wir nun die Arten von Durchschnittswerten, die Merkmale ihrer Berechnung und Anwendungsbereiche. Mittelwerte werden in zwei große Klassen eingeteilt: Leistungsmittelwerte, Strukturmittelwerte.
Potenzgesetz-Mittelwerte umfassen die bekanntesten und am häufigsten verwendeten Typen, wie geometrisches Mittel, arithmetisches Mittel und mittleres Quadrat.
Der Modus und der Median werden als strukturelle Durchschnitte betrachtet.
Bleiben wir bei den Leistungsdurchschnitten. Leistungsmittelwerte können je nach Darstellung der Ausgangsdaten einfach und gewichtet sein. einfacher Durchschnitt wird aus nicht gruppierten Daten berechnet und hat die folgende allgemeine Form:
,
wobei X i die Variante (Wert) des gemittelten Merkmals ist;
n ist die Anzahl der Optionen.
Gewichteter Durchschnitt wird nach gruppierten Daten berechnet und hat eine allgemeine Form
,
wobei X i die Variante (Wert) des gemittelten Merkmals oder der Mittelwert des Intervalls ist, in dem die Variante gemessen wird;
m ist der Exponent des Mittelwerts;
f i - Häufigkeit, die angibt, wie oft sie auftritt i-ter Wert durchschnittliches Zeichen.
Wenn wir alle Arten von Durchschnittswerten für dieselben Anfangsdaten berechnen, sind ihre Werte nicht gleich. Hier gilt die Majoranzregel der Mittelwerte: Mit zunehmendem Exponenten m steigt auch der entsprechende Mittelwert:
In der statistischen Praxis werden häufiger als andere Arten von gewichteten Durchschnitten arithmetische und harmonisch gewichtete Durchschnitte verwendet.
Arten von Machtmitteln
|
Art der Macht |
Indikator |
Berechnungsformel |
|
|
Einfach |
gewichtet |
||
|
harmonisch |
|||
|
Geometrisch |
|
|
|
|
Arithmetik |
|||
|
quadratisch |
|||
|
kubisch |
|||
Das harmonische Mittel hat mehr Komplexe Struktur als das arithmetische Mittel. Das harmonische Mittel wird für Berechnungen verwendet, wenn die Gewichte nicht die Einheiten der Bevölkerung sind - die Träger des Merkmals, sondern die Produkte dieser Einheiten und die Werte des Merkmals (dh m = Xf). Die durchschnittliche harmonische Ausfallzeit sollte verwendet werden, wenn beispielsweise die durchschnittlichen Arbeits-, Zeit- und Materialkosten pro Produktionseinheit pro Teil für zwei (drei, vier usw.) Unternehmen und an der Herstellung beteiligte Arbeitnehmer ermittelt werden sollen gleiche Art von Produkt, gleiches Teil, Produkt.
Die Hauptanforderung an die Formel zur Berechnung des Mittelwerts ist, dass alle Berechnungsschritte eine echte sinnvolle Begründung haben; der resultierende Durchschnittswert sollte die Einzelwerte des Attributs für jedes Objekt ersetzen, ohne die Verbindung zwischen Einzel- und Summenindikatoren zu brechen. Mit anderen Worten, der Durchschnittswert sollte so berechnet werden, dass, wenn jeder einzelne Wert des gemittelten Indikators durch seinen Durchschnittswert ersetzt wird, ein endgültiger zusammenfassender Indikator unverändert bleibt, verbunden oder auf andere Weise mit dem Durchschnitt. Dieses Ergebnis wird aufgerufen bestimmend da die Art seiner Beziehung zu einzelnen Werten die spezifische Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts bestimmt. Zeigen wir diese Regel am Beispiel des geometrischen Mittels.
Geometrische Mittelformel
am häufigsten verwendet, wenn der Durchschnittswert einzelner relativer Werte der Dynamik berechnet wird.
Der geometrische Mittelwert wird verwendet, wenn eine Folge von Kettenrelativwerten der Dynamik gegeben ist, die beispielsweise eine Leistungssteigerung gegenüber dem Pegel angeben vorheriges Jahr: ich 1 , ich 2 , ich 3 ,…, ich n . Es ist klar, dass das Produktionsvolumen letztes Jahr wird durch sein Anfangsniveau (q 0) und das spätere Wachstum über die Jahre bestimmt:
q n = q 0 × ich 1 × ich 2 ×…×ich n .
Wenn wir q n als definierenden Indikator nehmen und die einzelnen Werte der Dynamikindikatoren durch durchschnittliche ersetzen, gelangen wir zur Beziehung
Von hier
Eine besondere Art von Durchschnittswerten - strukturelle Durchschnitte - wird verwendet, um die interne Struktur der Verteilungsreihen von Attributwerten zu untersuchen und den Durchschnittswert (Leistungstyp) zu schätzen, wenn nach den verfügbaren statistischen Daten seine Berechnung kann nicht durchgeführt werden (z. B. wenn im betrachteten Beispiel keine Daten vorhanden waren) und zum Produktionsvolumen und zur Höhe der Kosten nach Unternehmensgruppen).
Indikatoren werden am häufigsten als strukturelle Durchschnitte verwendet. Mode - der am häufigsten wiederholte Merkmalswert - und Median - der Wert eines Merkmals, das die geordnete Folge seiner Werte in zwei gleich große Teile teilt. Infolgedessen überschreitet der Wert des Attributs in der einen Hälfte der Bevölkerungseinheiten nicht das Medianniveau und in der anderen Hälfte nicht weniger.
Wenn das untersuchte Merkmal diskrete Werte hat, gibt es keine besonderen Schwierigkeiten bei der Berechnung des Modus und des Medians. Wenn die Daten zu den Werten des Attributs X in Form von geordneten Intervallen seiner Änderung (Intervallreihen) dargestellt werden, wird die Berechnung von Modus und Median etwas komplizierter. Da der Medianwert die gesamte Grundgesamtheit in zwei gleich große Teile teilt, landet er in einem der Intervalle des Merkmals X. Mittels Interpolation findet sich der Medianwert in diesem Medianintervall:
,
wobei X Me die Untergrenze des Medianintervalls ist;
h Me ist sein Wert;
(Summe m) / 2 - die Hälfte der Gesamtzahl der Beobachtungen oder die Hälfte des Volumens des Indikators, der als Gewichtung in den Formeln zur Berechnung des Durchschnittswerts verwendet wird (absolut oder relativ);
S Me-1 ist die Summe der Beobachtungen (oder das Volumen des Gewichtungsmerkmals), die vor Beginn des Medianintervalls angesammelt wurden;
m Me ist die Anzahl der Beobachtungen bzw. das Volumen des Wichtungsmerkmals im Medianintervall (auch absolut oder relativ).
Beim Rechnen modale bedeutung eines Merkmals nach den Daten der Intervallreihe ist darauf zu achten, dass die Intervalle gleich sind, da davon der Index der Häufigkeit der Werte des Merkmals X abhängt Serien mit gleichen Intervallen, der Moduswert wird bestimmt als
,
wobei X Mo der untere Wert des modalen Intervalls ist;
m Mo ist die Anzahl der Beobachtungen oder das Volumen des Wichtungsmerkmals im modalen Intervall (absolut oder relativ);
m Mo-1 – dasselbe für das Intervall, das dem Modal vorangeht;
m Mo+1 – dasselbe für das Intervall nach dem Modal;
h ist der Wert des Änderungsintervalls des Merkmals in Gruppen.
AUFGABE 1
Für die Gruppe der Industrieunternehmen liegen für das Berichtsjahr folgende Daten vor
|
№ Unternehmen |
Produktionsvolumen, Millionen Rubel |
Durchschnittliche Mitarbeiterzahl, Pers. |
Gewinn, tausend Rubel |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Es ist erforderlich, eine Gruppierung von Unternehmen für den Austausch von Produkten in folgenden Intervallen durchzuführen:
von 400 bis 600 Millionen Rubel
Bestimmen Sie für jede Gruppe und für alle zusammen die Anzahl der Unternehmen, das Produktionsvolumen, die durchschnittliche Zahl der Beschäftigten, die durchschnittliche Leistung pro Beschäftigten. Die Gruppierungsergebnisse sollten in Form einer statistischen Tabelle dargestellt werden. Formulieren Sie ein Fazit.
ENTSCHEIDUNG
Machen wir eine Gruppierung von Unternehmen für den Austausch von Produkten, die Berechnung der Anzahl der Unternehmen, des Produktionsvolumens und der durchschnittlichen Mitarbeiterzahl nach der Formel eines einfachen Durchschnitts. Die Ergebnisse der Gruppierung und Berechnungen sind in einer Tabelle zusammengefasst.
Gruppen nach Produktionsvolumen
№
Unternehmen
Produktionsvolumen, Millionen Rubel
Durchschnittliche jährliche Kosten des Anlagevermögens, Millionen Rubel
durchschnittlicher Schlaf
saftige Anzahl Mitarbeiter, Pers.
Gewinn, tausend Rubel
Durchschnittliche Leistung pro Arbeiter
1 Gruppe
bis zu 200 Millionen Rubel
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Mittelstufe
198,3
24,9
2 Gruppe
von 200 bis 400 Millionen Rubel
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Mittelstufe
282,3
37,6
1530
64,0
3 Gruppe
von 400 bis
600 Millionen
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Mittelstufe
512,9
34,4
1421
120,9
Insgesamt insgesamt
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
Aggregierter Durchschnitt
379,6
59,9
1223,6
79,5
Fazit. Also in der betrachteten Menge größte Zahl Unternehmen in Bezug auf die Produktion fielen in die dritte Gruppe - sieben oder die Hälfte der Unternehmen. Der Wert der durchschnittlichen jährlichen Anschaffungskosten des Anlagevermögens liegt ebenfalls in dieser Gruppe, sowie großer Wert die durchschnittliche Zahl der Beschäftigten - 9974 Personen, die am wenigsten rentablen Unternehmen der ersten Gruppe.
AUFGABE 2
Über die Unternehmen der Gesellschaft liegen uns folgende Daten vor
Nummer des zum Unternehmen gehörenden Unternehmens
Ich viertele
II. Quartal
Ausgabe, tausend Rubel
Gearbeitet von Arbeitstagen
Durchschnittliche Leistung pro Arbeiter pro Tag, reiben.
59390,13
bis zu 200 Millionen Rubel
von 200 bis 400 Millionen Rubel
Die häufigste Art des Durchschnitts ist der arithmetische Durchschnitt.
einfaches arithmetisches Mittel
Das einfache arithmetische Mittel ist der durchschnittliche Begriff, bei dem bestimmt wird, dass das Gesamtvolumen eines bestimmten Attributs in den Daten gleichmäßig auf alle in dieser Grundgesamtheit enthaltenen Einheiten verteilt wird. So, durchschnittliche Jahresleistung Produktion pro Arbeiter - dies ist die Produktionsmenge, die auf jeden Arbeiter fallen würde, wenn die gesamte Produktionsmenge in den gleichen Grad verteilt auf alle Mitarbeiter der Organisation. Der arithmetische Mittelwert des einfachen Wertes wird nach folgender Formel berechnet:
Beispiel 1 . Ein Team von 6 Arbeitern erhält 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 Tausend Rubel pro Monat.einfaches arithmetisches Mittel— Gleich dem Verhältnis der Summe der Einzelwerte eines Merkmals zur Anzahl der Merkmale im Aggregat
Finden Sie das Durchschnittsgehalt heraus
Lösung: (3 + 3,2 + 3,3 + 3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 Tausend Rubel.
Arithmetisch gewichteter Durchschnitt
Wenn das Volumen des Datensatzes groß ist und eine Verteilungsreihe darstellt, wird ein gewichtetes arithmetisches Mittel berechnet. So wird der gewichtete Durchschnittspreis pro Produktionseinheit ermittelt: Die Gesamtkosten der Produktion (die Summe der Produkte ihrer Menge und der Preis einer Produktionseinheit) werden durch die Gesamtproduktionsmenge dividiert.
Wir stellen dies in Form der folgenden Formel dar:
Beispiel 2 . Ermitteln Sie die durchschnittlichen Löhne von Arbeitern pro MonatGewichtetes arithmetisches Mittel- ist gleich dem Verhältnis (der Summe der Produkte des Attributwerts zur Wiederholungshäufigkeit dieses Attributs) zu (der Summe der Häufigkeiten aller Attribute) Es wird verwendet, wenn die Varianten der untersuchten Population ungleich auftreten Anzahl.
Der durchschnittliche Lohn kann durch Teilen der Summe erhalten werden Löhne für die Gesamtzahl der Arbeitnehmer:
Antwort: 3,35 Tausend Rubel.
Arithmetisches Mittel für eine Intervallreihe
Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels einer Intervallvariationsreihe wird zunächst der Durchschnitt für jedes Intervall als Halbsumme der oberen und unteren Grenze und dann der Durchschnitt der gesamten Reihe bestimmt. Bei offenen Intervallen wird der Wert des unteren bzw. oberen Intervalls durch den Wert der angrenzenden Intervalle bestimmt.
Mittelwerte, die aus Intervallreihen berechnet wurden, sind Näherungswerte.
Beispiel 3. Definieren Durchschnittsalter Abend Studenten.
Mittelwerte, die aus Intervallreihen berechnet wurden, sind Näherungswerte. Der Grad ihrer Annäherung hängt davon ab, inwieweit sich die tatsächliche Verteilung der Bevölkerungseinheiten innerhalb des Intervalls annähert.
Bei der Berechnung von Durchschnittswerten können nicht nur absolute, sondern auch relative Werte (Häufigkeit) als Gewichte verwendet werden:
Das arithmetische Mittel hat eine Reihe von Eigenschaften, die sein Wesen besser offenbaren und die Berechnung vereinfachen:
1. Das Produkt aus Mittelwert und Summe der Häufigkeiten ist immer gleich der Summe der Produkte der Variante und der Häufigkeiten, d.h.
2. Das arithmetische Mittel der Summe der variierenden Werte ist gleich der Summe der arithmetischen Mittel dieser Werte:
3. Die algebraische Summe der Abweichungen der einzelnen Werte des Attributs vom Durchschnitt ist Null:
4. Die Summe der quadrierten Abweichungen der Optionen vom Mittelwert ist kleiner als die Summe der quadrierten Abweichungen von jedem anderen beliebigen Wert, d.h.