Einfache mathematische Sätze und Beweise. Methoden zum Beweis von Theoremen und Methoden zur Lösung geometrischer Probleme

Geometrie war einst der Inbegriff aller Mathematik. Die Geometrie entstand, wie jede Wissenschaft, unter dem Einfluss vitaler Bedürfnisse. Die Notwendigkeit, sie täglich zu befriedigen, stellt eine Person vor eine ganze Reihe von Fragen über die Form der Objekte um sie herum, Berechnungen im Zusammenhang mit Landvermessung, Bauarbeiten usw. Das Wort "Geometrie" bedeutet "Landvermessung" und gibt eindeutig die Quelle an seines Ursprungs.

Es gibt ziemlich zuverlässige Informationen über die bedeutende Entwicklung des geometrischen Wissens in Ägypten mehr als zweitausend Jahre vor unserer Zeitrechnung. Der schmale fruchtbare Landstreifen zwischen der Wüste und dem Nil wurde jedes Jahr überschwemmt, und jedes Mal spülte die Flut die Grenzen der Grundstücke, die Einzelpersonen gehörten, weg. Nach dem Rückgang des Wassers war es notwendig, diese Grenzen mit größtmöglicher Genauigkeit wiederherzustellen, da jede der Stätten einen hohen Stellenwert hatte. Dies zwang die Ägypter, sich mit Fragen der Vermessung, also der Landvermessung, auseinanderzusetzen. Darüber hinaus betrieben sie einen entwickelten Handel und benötigten daher die Fähigkeit, die Kapazität von Schiffen zu messen. Die Kunst der Navigation führte sie zu astronomischen Informationen. Die herausragenden Gebäude der Ägypter - die Pyramiden, die bis in unsere Zeit erhalten geblieben sind, zeugen davon, dass ihr Bau die Kenntnis räumlicher Formen erforderte. All dies weist auf den rein experimentellen Ursprung der Geometrie hin.

Aber die Mathematik ist gewachsen und hat sich entwickelt, besonders schnell in den letzten 200 Jahren. Neue Trends sind entstanden: mathematische Analyse, Mengenlehre, Topologie, Algebra begannen ganz anders auszusehen. Natürlich entwickelte sich auch die Geometrie, aber einige Mathematiker begannen damit In letzter Zeit klassifizieren es als mathematische Nebenrichtung. Diese Meinung spiegelt sich sowohl in den Vereinigten Staaten als auch in einer Reihe anderer Länder im Inhalt der Schulprogramme in Mathematik wider.

Dass die Geometrie einen der letzten Plätze im Schullehrplan einnimmt, liegt vielleicht daran, dass die Lehrer wenig über das Wesen der Geometrie und über die Erfolge ihrer Forscher wissen. Ich meine viele brillante Ergebnisse, wie den Satz von Feuerbach, den Satz von Ceva, den Satz von Menelaos usw.

Elementare Geometrie ist ein Teil der Geometrie, die in der elementaren Mathematik enthalten ist. Die Grenzen der elementaren Geometrie sowie der elementaren Mathematik im Allgemeinen sind nicht streng gezogen. Es wird gesagt, dass elementare Geometrie der Teil der Geometrie ist, der in der Sekundarschule studiert wird; diese Definition offenbart aber nicht nur nicht Inhalt und Wesen der elementaren Geometrie, sondern erschöpft sie in keiner Weise, da sie umfangreiches Material, das außerhalb des Schullehrplans liegt (z. B. Axiomatik, Kugelgeometrie), nicht einschließt. wir können sagen, dass die elementare Geometrie historisch und dementsprechend logisch das erste Kapitel der Geometrie ist (da sich andere geometrische Richtungen aus ihr entwickelt haben); in seinen Grundlagen hat es sich entwickelt Antikes Griechenland, und die Darstellung ihrer Grundlagen ist bereits in den „Anfängen“ des Euklid (3. Jh. v. Chr.) gegeben. Eine solche historische Definition ist natürlich, aber sie verdeutlicht auch nicht den allgemeinen Inhalt und das Wesen der elementaren Geometrie, zumal ihre Entwicklung bis heute andauert. Daher kann die Definition der elementaren Geometrie erweitert und ergänzt werden.

Die Elementargeometrie stammt von den einfachsten Figuren - einem Punkt, einem Segment, einer Linie, einem Winkel, einer Ebene und dem Grundkonzept der Gleichheit von Segmenten oder Winkeln oder allgemein von der Kombination von Figuren bei der Überlagerung, die ihre Gleichheit bestimmt .

Gegenstand der Elementargeometrie ist:

1) Figuren, die durch eine endliche Anzahl der einfachsten Figuren definiert sind;

2) Figuren, definiert durch die eine oder andere Eigenschaft, formuliert in den ursprünglichen Konzepten.

Die in der Schule gelernte Geometrie ist ein Beispiel für die Methode zur Konstruktion einer Theorie, die als axiomatische Methode bezeichnet wird.

Zu Beginn des III. Jahrhunderts. BC e. In den Werken des antiken griechischen Wissenschaftlers Aristoteles wurde die Idee formuliert, eine wissenschaftliche Theorie aufzubauen. Angewandt auf die Geometrie wurde sie von Euklid in seinem Werk „Anfänge“ realisiert. Auf der Grundlage der bis dahin gesammelten Fakten und Erkenntnisse hat er mehrere unbewiesen akzeptierte Aussagen (Postulate) herausgegriffen und formuliert, aus denen ihre logischen Konsequenzen in Form von Sätzen abgeleitet wurden. Euklids System war die erste Erfahrung mit der Anwendung der axiomatischen Methode und existierte unverändert bis ins 19. Jahrhundert n. Chr. e. Aus heutiger Sicht wies die axiomatische Methode jedoch eine Reihe von Mängeln auf, und um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert wurde ein geometrisches System gebaut, das frei von diesen Mängeln war.

Bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts blieben, wie bereits erwähnt, die Grundlagen der euklidischen Geometrie auf dem gleichen Niveau, wie sie in den Werken von Euklid angegeben wurden. Jedoch Der allgemeine Trend Die zunehmende mathematische Strenge in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts veranlasste viele Autoren, die Grundlagen der Geometrie zu überarbeiten, um ein vollständiges, konsistentes und unabhängiges System von Axiomen vorzuschlagen. Die größte Anerkennung unter den verschiedenen formulierten Systemen fand die Axiomatik des Deutschen David Hilbert, die 1899 in seinem Buch „Grundlagen der Geometrie“ dargelegt wurde Die Struktur der Geometrie wurde vollständig transparent: Drei Gruppen von Axiomen bestimmen jeweils ihre Hauptbeziehung - Zugehörigkeit, Ordnung, Gleichheit. Eine solche Einteilung ermöglichte es erstens, die Axiome auf kurze und einfache Weise zu bilden; zweitens zu untersuchen, wie weit die Geometrie entwickelt werden kann, wenn man nicht alle Axiomatiken, sondern nur die eine oder andere ihrer Gruppen zugrunde legt. Gleichzeitig stellte das System eine wirklich abstrakte Theorie auf, in der Objekte und Beziehungen zwischen ihnen nur einige denkbare „Dinge“ sind, von denen nur bekannt ist, dass sie die Axiome erfüllen.

Zur elementaren Geometrie gehören jene Fragen der Geometrie, die in ihrer Formulierung und Lösung nicht den allgemeinen Begriff einer unendlichen Menge, sondern nur konstruktiv definierte Mengen (geometrische Orte) umfassen. Wenn sie sagen, dass die euklidische Geometrie beispielsweise auf dem System der Hilbertschen Axiomen oder auf einem anderen naturnahen Axiomensystem basiert, vergessen sie das bei der Einführung allgemeine Konzepte Kurve eines konvexen Längenkörpers usw. Tatsächlich verwenden sie Methoden zur Begriffsbildung, die in Axiomen überhaupt nicht vorgesehen sind, sondern auf dem allgemeinen Begriff von Menge, Folge und Grenze, Abbildung oder Funktionen beruhen. Was ohne solche Zusätze aus Hilberts Axiomen abgeleitet wird, ist der elementare Teil der euklidischen Geometrie. Diese Unterscheidung kann in Bezug auf die mathematische Logik präzisiert werden. Gleichzeitig kann man nach einem solchen Verständnis der elementaren Geometrie über die elementare Geometrie des n-dimensionalen euklidischen Raums, über die elementare Geometrie von Lobachevsky usw. sprechen. Dies bezieht sich auf diese Abschnitte, Theoreme und Schlussfolgerungen dieser Geometrie Theorien, die durch die gleichen Merkmale gekennzeichnet sind.

Das Thema meiner Arbeit: "Verschiedene Beweise von Sätzen der elementaren Geometrie, die nicht in der Schule studiert wurden." Sie betrachtet „nominale Theoreme oder Theoreme großer Wissenschaftler. Dieses Thema ist interessant, weil wir beim Beweis der Sätze eines Schulkurses in Geometrie nicht immer wissen, dass sie auf dem Beweis eines in der Antike bewiesenen Satzes basieren.

Betrachten Sie die Beweise benannter Theoreme und vergessen Sie nicht die großen Mathematiker, die sie bewiesen haben.

1. Ceva Giovanni (3. 3. 1648, Mailand - 13. 12. 1734, Mantua) - Italienischer Ingenieur und Mathematiker. Absolvent der Universität Pisa. Grundlegende Arbeiten zur Geometrie und Mechanik. Beweiste (1678) einen Satz über das Verhältnis der Segmente einiger Linien, die ein Dreieck schneiden (Satz von Ceva). Er baute die Sekantenlehre auf, die den Beginn der synthetischen Geometrie markierte; es ist in Op. „Auf sich kreuzenden Linien“ („De line is rectis se inuicem secantibus“, Mediolani, 1678).

Satz. Betrachten Sie ein Dreieck ABC und drei gerade Linien, die durch seine Eckpunkte verlaufen. Die Linie, die durch ihren Scheitelpunkt A verläuft, schneidet die Linie BC am Punkt A1, die Linie, die durch den Scheitelpunkt B verläuft, schneidet die Seite AC am Punkt B1, die Linie, die durch den Scheitelpunkt C verläuft, schneidet die Seite AB am Punkt C1. Diese Geraden gehen genau dann durch denselben Punkt

Nachweisen

Notwendigkeit.

Für den Fall sich kreuzender Linien

Betrachten Sie das Dreieck ABB1 und die Linie CC1, die es schneidet.

Nach dem Satz von Menelaos

Betrachten Sie das Dreieck CBB1 und die Linie AA1, die es schneidet.

Nach dem Satz von Menelaos

Teilen Sie das erste Verhältnis durch das zweite

Für den Fall sich nicht schneidender Linien

Nach dem Satz von Thales schreiben wir die Proportionen: und

Lassen Sie uns die Proportionen multiplizieren:

Angemessenheit.

Wie bereits bewiesen.

Aber was bedeutet es dann, dass A und A' mit h.t.d übereinstimmen?

2. Der Satz von Menelaos ist ein klassischer Satz der affinen Geometrie.

Ein ähnliches Ergebnis in der Kugelgeometrie wird in der Abhandlung „Sphaerica“ von Menelaos von Alexandria (ca. 100 n. Chr.) Erwähnt und anscheinend war ein ähnliches Ergebnis in der Ebene bereits bekannt. Dieser Satz ist nach Menelaos benannt, da keine früheren schriftlichen Hinweise auf dieses Ergebnis erhalten sind.

Obwohl beide Mathematiker – Altgriechisch und Italienisch – durch 17 Jahrhunderte getrennt sind, haben die nach ihnen benannten Theoreme Dualität. Wenn wir in einem von ihnen eine Linie durch einen Punkt und einen Punkt durch eine Linie ersetzen, dann wird der Satz von Menelaos zum Satz von Ceva und umgekehrt. Sie sind aus diesem Grund nützlich: Die Probleme, die traditionell mit dem Apparat der Vektoralgebra ziemlich schwierig zu lösen sind, werden mit den Sätzen von Menelaos und Ceva buchstäblich in einer Zeile gelöst. Dies gilt auch für Umkehrsätze. Der Beweis, dass drei Punkte zu einer Geraden gehören, wird sehr einfach mit dem Umkehrsatz zum Satz von Menelaos gelöst, der Beweis, dass sich drei Geraden in einem Punkt schneiden, ebenso einfach mit dem Umkehrsatz zum Satz von Ceva. Das ist das meiste ein wichtiges Ereignis in der Geschichte der Geometrie (die Entdeckung dieser Theoreme), die sowohl die Entwicklung der Mathematik als auch die Entwicklung der Technologie und verwandter Wissenschaftsgebiete beeinflusst hat!

Satz. Lassen Sie auf den Linien BC, CA, AB, die die Seiten des Dreiecks ABC enthalten, gegebene Punkte A", B", C bzw. ". Damit diese Punkte auf einer geraden Linie liegen, ist es notwendig und ausreichend, dass die die Gleichberechtigung

Nachweisen.

Notwendigkeit.

Machen wir BKA "B". Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke CA"/A"B=CB"/B"K; BC"/C"A=KB"/B"A. Dann ist AB"/B"C*CA"/A"B*BC"/C"A= =AB"/CB"*CB"/KB"*KB"/AB"=1. Wenn wir dasselbe in Vektoren schreiben, erhalten wir unter Berücksichtigung der Richtung des Vektors die erforderliche Gleichheit.

Angemessenheit.

Seien A", B", C" nicht auf einer geraden Linie liegen, aber Gleichheit (1) ist wahr. Dann schneide sich A"B" mit AB im Punkt C". Dann gilt Gleichheit (1) für die Punkte A", B", C". AC" =BC"/AC". Wenn wir das alles in Vektoren schreiben, dann erhalten wir Gleichheit (2) mit Vektoren. Also C"=C", also A", B", C" liegen auf einer Geraden.

Wenn die Punkte A", B" und C" jeweils auf den Linien BC, CA und AB des Dreiecks liegen, dann sind sie genau dann kollinear

Ziehe durch den Punkt C eine zur Linie AB parallele Linie und bezeichne mit K den Schnittpunkt dieser Linie mit der Linie B"C". Da die Dreiecke und ähnlich sind (in zwei Winkeln), dann und daher -

Da andererseits Dreiecke und auch ähnlich sind, dann und daher -

Aber in dem Fall

Es bleibt festzuhalten, dass es zwei mögliche Positionen der Punkte A", B" und C" gibt, oder zwei von ihnen liegen auf den entsprechenden Seiten des Dreiecks und einer auf der Verlängerung, oder alle drei liegen auf den Verlängerungen der entsprechenden Seiten , daher haben wir für die Verhältnisse der gerichteten Segmente eine h.e.d.

Satz. Wenn sich die Seiten BC, CA, AB des Dreiecks ABC in den gleichen Punkten a, b, c schneiden, dann gilt zwischen den so definierten Segmenten auf den Seiten die Beziehung:

Nachweisen.

Um dies zu beweisen, ziehen wir durch die Ecken des Dreiecks bis zum Schnittpunkt mit der Transversalen (eine Transversale ist jede Linie, die die Seiten des Dreiecks schneidet) drei gerade Linien, die zu ein und derselben Richtung parallel sind, auf denen wir dieselbe feststellen positive Richtung.

Seien α, β, γ die Abstände der Scheitelpunkte von der Transversalen, wobei entlang paralleler gerader Linien gezählt wird; wir haben

Daraus ergibt sich durch Multiplikation:

Wäre die Transversale parallel zur Seite BC, so wäre der Punkt a als im Unendlichen liegend und das Verhältnis als gleich 1 anzusehen. Die gesuchte Beziehung würde sich dann in, d. h. in den Satz auf einer zu beliebigen parallelen Geraden verwandeln Seite des Dreiecks. Wenn die beiden Seiten AB und AC des Dreiecks parallel gemacht würden, dann würde der Punkt A im Unendlichen liegen; Wenn wir den Ausdruck in der Form schreiben, würden wir durch 1 ersetzen und wir würden den Satz über eine Linie erhalten, die parallel zu einer der Seiten des Dreiecks ist.

Umkehrsatz. Nimmt man drei Punkte a, b, c nicht auf den Seiten BC, CA, AB des Dreiecks ABC, so liegen diese drei Punkte auf einer Geraden.

Tatsächlich schneidet die Linie ab die Seite AB an einem Punkt c", so dass die Gleichheit stattfindet:

Diese Gleichheit zeigt, wenn man sie mit der vorigen vergleicht, was und womit also die Punkte c und c" zusammenfallen.

Notiz. Dieser Satz reduziert sich im Wesentlichen auf den Satz über eine gerade Linie parallel zu einer beliebigen Seite eines Dreiecks. Tatsächlich ist es möglich, solche drei Segmente α, δ und γ (in Größe und Vorzeichen angegeben) zu finden, für die die Gleichheiten gelten:

Daraus folgt aufgrund der Relation

Als Ergebnis haben drei paarweise homothetische Figuren, in denen die Punkte A, B und C drei entsprechende Punkte und α, δ, γ - drei entsprechende Segmente sind, die Punkte a, b mit Ähnlichkeitszentren.

3. Satz von Feuerbach. Der 1822 bewiesene Satz von Carl Wilhelm Feuerbach (1800–1834) besagt, dass der Kreis aus neun Punkten (der Kreis, der durch die Mittelpunkte der Seiten, die Basen der Höhen und die Mittelpunkte der Segmente verläuft, die das Orthozentrum mit den Eckpunkten verbinden ) berührt den Inkreis eines Dreiecks und seine drei Exkreise. Dieser Satz ist einer der wichtigsten schöne Fakten elementare Geometrie.

Satz von Feuerbach. Der Euler-Kreis tangiert die einbeschriebenen Kreise und Exkreise.

Nachweisen.

Der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises sei I, der Mittelpunkt Kreis berühren BC - I", ihre Berührungspunkte mit BC - L" und L", die Mittelpunkte der Seiten DABC - A", B", C". GH - Segment symmetrisch zu Segment BC in Bezug auf AI. Da I, I" auf AI liegen, ist BC eine innere Tangente an diese 2 Kreise, dann ist GH auch eine innere Tangente. Sei GH∩A"B" - M, GH∩A"C" - N. Sei GH ∩BC =P, dann liegt P auf AI. Da GH symmetrisch zu BC ist, dann AG=AC, d.h. AI schneidet GC in der Mitte. A"B", da die Mittellinie CG in der Mitte schneidet, d.h. AI, A"B ", CG schneiden sich an einem Punkt. Nennen wir es K. Aus den einbeschriebenen Kreisen und Exkreisen erhalten wir CL"=BL"; L"L"=AB-AC (wir bezeichnen die Scheitelpunkte so, dass AB>AC ). Ein "L" \u003d (AB-AC) / 2 \u003d BG / 2 \u003d A "K (vgl. Lin.). DA"PK~DAPB, d.h. A"M/A"K=BG/BA; DA"CB"~DACB, d.h. BG/BA=A"K/A"B", d.h. A"M/A"K=A "K/A"B". Also A"M*A"B"=A"K2=A"L"2=A"L"2. Aus dieser Beziehung A"M= (c-b)2/(2c). Da c>b, dann A "M

4. Ptolemäus (Ptolemaios) Claudius, berühmter griechischer Geometer, Astronom und Physiker; lebte in der ersten Hälfte in Alexandria. 2. Jahrhundert Das Hauptwerk der "Großen Versammlung", besser bekannt auf Arabisch. unter dem Titel übersetzt "Almagest". In der Geometrie ist Ps Name der Satz über das Produkt der Diagonalen eines einbeschriebenen Vierecks. In der Astronomie von P. wird die Theorie der Epizyklen zur Erklärung der scheinbaren Bewegung des Himmels angegeben. leuchtete um die regungslose Erde (ptolemäisches System). Weitere Werke: „Geographie“, „Harmonicorum libri III“ (die Lehre von der Harmonie) sind vollständig erhalten und „Optik“ (auszugsweise und in arabischer Übersetzung; sie enthält die Lehre von der Reflexion und Brechung des Lichts); auch 3 Bücher über Musik, eine wichtige Informationsquelle über alte Musik.

Satz. Damit ein Kreis ein Viereck umschreiben kann, ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt seiner Diagonalen ist.

Nachweisen.

Notwendigkeit.

Sei a = AB; bbc; c=CD; d=DA; e=AC; f=BD, dann unter Verwendung der Bretschneider-Beziehung (In jedem Viereck (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C), wobei e=AC; f=BD; a=AB; b = BC; c=CD; d=DA, ÐBAC=ÐA; ÐBCD=ÐC.), erhalten wir: (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Da ABCD einem Kreis einbeschrieben ist, gilt ÐA+ÐC=180o, also cos(A+C)=-1, also (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd . Also (ef)2=(ac+bd)2, also ef=ac+bd.

Angemessenheit.

ef=ac+bd, also (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. Gemäß der Bretschneider-Beziehung (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Also cos(A+C)=-1. Denn A+C

Satz. Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten eines einbeschriebenen Vierecks ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalen.

Führen wir SM so durch, dass MSD = DU ist.

ΔABC~ΔDMS

ΔADC~ΔBCM

Wir addieren die resultierenden Gleichheiten AB * DC + BC * AD \u003d AC * DM + AC * BM h usw.

5. Blaise Pascal wurde 1623 in einer Provinzstadt geboren. Blaise war mit einem brillanten Verstand gesegnet. Mit 14 Jahren begann er, einen mathematischen Kreis zu besuchen (aus dem später die Französische Akademie der Wissenschaften hervorging), und bereits mit 16 schrieb er eine Arbeit über Kegelschnitte („Satz von Pascal“), die von seinen Kollegen als „die Mächtigsten“ bezeichnet wurde und wertvoller Beitrag zur mathematischen Wissenschaft seit den Tagen von Archimedes“.

Satz. Bei einem in einen Kreis einbeschriebenen Sechseck liegen die Schnittpunkte des Gegenstücks (falls vorhanden) auf einer geraden Linie, die als Pascal-Linie des einbeschriebenen Sechsecks bezeichnet wird.

Nachweisen.

Unser Sechseck sei AB"CA"BC". Sei M=(AB")∩(A"B); P=(BC")∩(B"C); N=(CA")∩(C"A) ; X=(AB")∩(CA"); P=(BC")∩(CA"); N=(CA")∩(BC"). Durch die Eigenschaft der Sekante XA*XB"=XC*XA " ( 1); YB*YC"=YC*YA" (2); ZB*ZC"=ZA*ZB" (3). Nach dem Satz von Menelaos zu DXYZ und zu Punkttripel (A; C"; N ); (C; B"; P); (B; A"; M) erhalten wir:

Nach Multiplikation dieser Ausdrücke und Anwendung der Formeln (1); (2); (3) wir bekommen das:

Daher folgt aus dem Satz von Menelaos, dass M, N, P kollinear sind.

Satz. In jedem Sechseck, das einem Kreis einbeschrieben ist, liegen die Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten auf einer geraden Linie.

Nachweisen.

Sei ABCDEF ein Sechseck, dessen gegenüberliegende Seiten AB und DE sich im Punkt L schneiden, die Seiten BC und EF - bei M, die Seiten CD und FA - bei N. Betrachten Sie das Dreieck IJK, das durch die Seiten AB, CD, EF gebildet wird, mit anderen Worten, das Seiten dieses Sechsecks durch eine genommen.

Die Punkte L, M und N befinden sich jeweils auf den Seiten JK, KI, IJ dieses Dreiecks. Diese Punkte liegen auf derselben Geraden, wenn die Beziehung gilt:

Aber wenn wir nacheinander das Dreieck IJK jeder der verbleibenden Seiten DE, BC, FA des Sechsecks schneiden, erhalten wir die Beziehung:

Indem wir diese drei Gleichheiten Term für Term multiplizieren, können wir schreiben und die Faktoren des Zählers und des Nenners auf geeignete Weise gruppieren:

Aber jeder der letzten drei Brüche, die in die linke Seite eintreten, ist gleich 1. Zum Beispiel sind die Produkte CI * DI und EI * FI gleich den Produkten der Segmente, die vom Kreis durch die vom Punkt I ausgehenden Sekanten abgeschnitten werden Damit ist die Beziehung erhalten und der Satz bewiesen.

Notiz. Der bisherige Beweis bleibt gültig, wenn die Punkte A und B, C und D, E und F paarweise gleich sind und die Seiten des Dreiecks IJK den Kreis berühren.

In diesem Fall hat der Satz die folgende Form: Tangenten, die durch die Ecken eines einem Kreis einbeschriebenen Dreiecks gezogen werden, schneiden die entsprechenden Seiten in drei Punkten, die auf derselben Linie liegen.

6. Gerard Desargues wurde 1593 geboren (nach anderen Quellen - 1591). Pascal nannte ihn seinen älteren Zeitgenossen, und unter dem Einfluss von Desargues' Arbeit nahm er die projektive Geometrie auf. In einer Zeit, in der es keine wissenschaftlichen Zeitschriften gab, fand die Aktivität von Mathematikern wie Desargues ihren Ausdruck in der Korrespondenz von Wissenschaftlern und den Aktivitäten von Diskussionszirkeln. Er korrespondierte mit Marin Mersenne, Descartes, Fermat, Pascal und vielen anderen Wissenschaftlern. Akademien entstanden aus Diskussionszirkeln von Wissenschaftlern. 1648 veröffentlichte er seinen „Satz von Desargues“ über die perspektivische Darstellung von Dreiecken. Die Fruchtbarkeit dieser Ideen zeigte sich erst im 19. Jahrhundert. So war Victor Poncelet, ein Schüler von Gaspard Monge, dem Direktor der Ecole Polytechnique in Paris, 1813 von einem Ideensystem angezogen, das Desargues zwei Jahrhunderte zuvor geschaffen hatte. Wissenschaftliche Arbeiten Desargues bildeten die Grundlage der projektiven Geometrie. Die projektiv-geometrischen Ideen von Desargues zogen das Interesse einer Reihe von Wissenschaftlern auf sich.

Satz. Die Dreiecke A1B1C1 und A2B2C2 liegen so in der Ebene, dass die Linien A1A2, B1B2 und C1C2 einen gemeinsamen Punkt O haben. Sei A der Schnittpunkt der Linien B1C1 und B2C2, B der Schnittpunkt der Linien A1C1 und A2C2, C der Schnittpunkt der Linien A1B1 und A2B2. Dann liegen die Punkte A, B und C auf derselben Linie.

Nachweisen.

Wenden wir den Satz von Menelaos auf das Dreieck OB1C1 und die Gerade AB2C2 an.

Ähnlich für die Dreiecke OS1A1 und OA1B1, die von den Linien BC2A2 bzw. CA2B2 geschnitten werden.

Multiplizieren, nach Reduktionen erhalten wir

Die Punkte A, B und C liegen auf den Seiten oder Verlängerungen der Seiten des Dreiecks A1B1C1 und liegen nach dem Satz von Menelaos auf einer geraden Linie.

Um den Satz von Desargues auf folgende Weise zu beweisen, müssen drei räumliche Axiome beachtet werden:

1. Zwei Ebenen definieren eine und nur eine gerade Linie; drei Ebenen, die nicht durch dieselbe Linie gehen, definieren einen und nur einen Punkt.

2. Zwei sich schneidende Linien definieren einen und nur einen Punkt und eine und nur eine Ebene.

3. Zwei Punkte definieren eine und nur eine Linie. Drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen, definieren eine und nur eine Ebene.

Dieses Axiomensystem bleibt unverändert, wenn die Wörter „Punkt“ und „Ebene“ vertauscht werden (in diesem Fall tauscht das erste Axiom den Platz mit dem dritten, und das zweite bleibt unverändert).

Satz. Gegeben seien im Raum zwei Dreiecke ABC und A „B“ C. Diese Dreiecke seien so angeordnet, dass sich die Verbindungslinien der entsprechenden Eckpunkte in einem Punkt O schneiden. Dann schneiden sich zunächst drei Paare der entsprechenden Seiten der Dreiecke in drei Punkte R, S, T und zweitens liegen diese drei Punkte auf derselben Geraden.

Nachweisen.

Der erste Teil dieses Satzes ist ganz einfach bewiesen. Zwei sich schneidende Geraden AA" und BB" bestimmen nach dem zweiten Raumaxiom eine bestimmte Ebene. Aber auch die Geraden AB und A"B" liegen in dieser Ebene, so dass sie sich nach dem zweiten Ebenenaxiom in einem Punkt R schneiden. Es bleibt ungewiss, ob der Punkt R in einem endlichen Teil des Raumes oder im Unendlichen liegt. Die Existenz zweier weiterer Schnittpunkte S und T kann auf die gleiche Weise bewiesen werden.

Der zweite Teil des Satzes lässt sich leicht aufstellen, wenn die Dreiecke in verschiedenen Ebenen liegen. Dann definieren diese Ebenen eine - endliche oder unendliche - Schnittlinie (gemäß dem ersten räumlichen Axiom). Von jedem Paar entsprechender Seiten des Dreiecks: Eine befindet sich in einer Ebene, die andere in einer anderen. Und da sich beide Seiten schneiden, muss der Schnittpunkt auf einer Geraden liegen, die zu beiden Ebenen gehört. Damit haben wir den Satz von Desargues für den allgemeinen Fall bewiesen.

Besonders wichtig ist aber gerade der Sonderfall, wenn beide Dreiecke in derselben Ebene liegen. In diesem Fall kann der Beweis durch eine Projektion im Raum geführt werden, ähnlich wie der Satz von Brianchon bewiesen wurde. Wir müssen nur beweisen, dass jede ebene Desargues-Figur als Projektion einer räumlichen Desargues-Figur dargestellt werden kann. Dazu verbinden wir alle Punkte und Geraden einer ebenen Desargues-Figur mit einem außerhalb der Figurenebene liegenden Punkt S. Als nächstes zeichnen wir eine Ebene durch die Gerade AC; Diese Ebene schneide die Linie BS an einem anderen Punkt B0 als dem Punkt S. Dann zeichnen wir die Linie OB0. Diese Linie liegt in derselben Ebene wie die Linie B"S, und daher schneiden sich beide Linien im Punkt B0". Aber dann bilden die Dreiecke AB0C und A "B0" C" eine räumliche Desargues-Figur, da die Verbindungslinien der entsprechenden Eckpunkte durch den Punkt O gehen. Die Schnittlinie der Ebenen beider Dreiecke wird bei der Projektion vom Punkt S als dargestellt eine Gerade auf der Projektionsebene, und die Schnittpunkte der entsprechenden Seitenpaare der zunächst betrachteten Dreiecke ABC und A"B"C" müssen auf dieser Linie liegen. Der Satz von Desargues ist vollständig bewiesen.

7. Pappus von Alexandria Griechischer Geometer. Lebte Ende des 3. Jahrhunderts. stand nach der Geburt Christi an der Spitze Philosophische Schule, über die außer der Tatsache ihrer Existenz keine weiteren Informationen vorliegen. Von den uns nicht überlieferten Schriften ist Pappos namentlich bekannt, manchmal auch durch einige inhaltliche Angaben: „Bemerkungen“ oder ein Kommentar zu Ptolemäus’ Almagest, ein Kommentar zu Diodorus’ „Analemma“ und ein Kommentar zu Euklids „Elemente ". Das bedeutendste Werk von Pappus ist unter dem Namen „Sammlungen“ (συναγωγή) bekannt, der den Inhalt jener mathematischen Arbeiten zusammenfasst, die von Zeitgenossen besonders geschätzt wurden.

Satz. Wenn die Punkte A1, B1, C1 auf einer Linie und die Punkte A2, B2, C2 auf der anderen Linie genommen werden, dann schneiden sich die Linien A1B2 und A2B1, B1C2 und B2C1, C1A2 und C2A1 an drei kollinearen Punkten.

Nachweisen.

Die Linien A1B2 und A2B1, B1C2 und B2C1, C1A2 und C2A1 schneiden sich jeweils an den Punkten C, A, B, und die Linien A1B2 und A2C1, B1C2 und B2A1, C1A2 und C2B1 schneiden sich jeweils an den Punkten A0, B0, C0. Nun wenden wir den Satz von Menelaos auf die folgenden fünf Punkttripel an: (A, B2, C1), (B, C2, A1), (C, A2, B1), (A1, B1, C1) und (A2, B2 , C2). Als Ergebnis erhalten wir:

Nach Multiplikation dieser fünf Gleichheiten erhalten wir, d.h. die Punkte A, B und C sind kollinear.

8. Karl Friedrich Gauß (1777-1855). Viele bemerkenswerte Seiten in der Geschichte der Mathematik sind mit dem Namen K. F. Gauß verbunden. Er gab einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra (jeder algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat eine Wurzel). Gauß schuf die Theorie der Oberflächen. Vor ihm wurden Geometrien nur auf zwei Oberflächen untersucht: auf einer Ebene (Planimetrie von Euklid) und auf einer Kugel (Kugelgeometrie). Gauß fand einen Weg, Geometrie auf jeder Oberfläche aufzubauen, bestimmte, welche Linien die Rolle von geraden Linien auf der Oberfläche spielen, wie man die Abstände zwischen Punkten auf der Oberfläche misst usw. Die Theorie von Gauß wurde intrinsische Geometrie genannt. Seine Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie und zur Theorie der elliptischen Funktionen veröffentlichte er nicht. Diese Ergebnisse wurden von seinen jüngeren Zeitgenossen wiederentdeckt: im ersten Fall der russische Mathematiker Ja.

Satz. Damit die drei Punkte, die auf den Linien liegen, die die Seiten des Dreiecks BC, CA, AB (jeweils A", B", C") enthalten, kollinear sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Mittelpunkte der Segmente AA", BB", CC" kollinear sein.

Nachweisen.

Notwendigkeit.

Seien M, N, P jeweils die Mittelwerte von AA", BB", CC" bzw. A", B", C" die Mittelwerte von BC, CA bzw. AB. Entsprechend der Eigenschaft der Mittellinie PAB; MBC; NCA. Außerdem haben wir aufgrund der Eigenschaft von Medianlinien: (1).

Nach dem Satz von Menelaos. Unter Verwendung von (1) erhalten wir, dass A", B", C" nach dem Satz von Menelaos kollinear sind.

Angemessenheit.

Seien A", B", C" kollinear, dann durch den Menelaos-Punkt (2). Durch die Eigenschaft der Mittellinien haben wir: (3). Durch (2) und (3) erhalten wir das, d.h. durch die Menelaos Theorem A ", B", C" sind kollinear.

studieren dieses Thema Ich kam zu dem Schluss, dass sich diese Sätze hauptsächlich mit der Geometrie eines Dreiecks befassen. Und viele Namen sind nur dank dieser Sätze in der Geschichte der Mathematik geblieben. Die Dreiecksgeometrie ist die Grundlage aller Planimetrie. Die Theoreme sind schwer zu beweisen und zu verstehen, aber auf der Grundlage dieser Theoreme werden viele Theoreme des Planimetriekurses der Schule bewiesen und praktische Probleme gelöst.

Der Beweis einer mathematischen Aussage ist in der Regel eine Kette korrekter Überlegungen mit Axiomen und Theoremen, deren Gültigkeit früher festgestellt wurde. Ein Argument heißt richtig, wenn die Wahrheit der Konklusion aus der Wahrheit aller Prämissen folgt. Die Aussagen \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) seien Prämissen und die Aussage \(A\) die Konklusion. Die Begründung erfolgt nach dem Schema \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), d.h. die Annahmen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) implizieren die Schlussfolgerung \(B\) . Diese Argumentation ist richtig, wenn die Formel \((A_1\Und A_2\Und \ldots\Und A_n)\Rechtspfeil B\) identisch wahr, d.h. gilt für beliebige Wahrheitswerte der darin enthaltenen Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\).

Korrektes Denken entspricht beispielsweise den Schemata:

\(\frac(A\Rechtspfeil B,A)(B)\)- Folgerungsregel ( Modus ponens);

\(\frac(A\Rightarrow B,B\Rightarrow C)(A \Rightarrow C)\)- Regel des Syllogismus;

\(\frac(A\Rightarrow B,\lnot B)(\lnot A)\)- Regel der Gegenposition.

Gemäß dem ersten und dritten Schema wird die folgende Argumentation konstruiert:

– Wenn eine natürliche Zahl \(n\) durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade. Die Zahl \(n\) ist durch 4 teilbar. Daher ist die Zahl n gerade;

– Wenn eine natürliche Zahl \(n\) durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade. Die Zahl \(n\) ist ungerade. Daher ist die Zahl \(n\) nicht durch 4 teilbar.

Beide Argumente sind für alle richtig natürliche Zahlen\(n\) . Tatsächlich haben wir sogar für \(n=1\) trotz der offensichtlichen Inkonsistenz die richtige Argumentation: „Wenn die Zahl 1 durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade. Die Zahl 1 ist durch 4 teilbar. Daher die Zahl 1 ist gerade", da man aus falschen Prämissen jeden beliebigen Schluss ziehen kann.

Betrachten Sie ein Beispiel für eine Argumentation gemäß dem Schema \(\frac(A\Rechtspfeil B,B)(A):\)

– Wenn eine natürliche Zahl \(n\) durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade. Die Zahl \(\) ist gerade. Daher ist die Zahl \(n\) durch 4 teilbar.

Für \(n=6\) bzw. \(n=8\) erhalten wir:

- Wenn eine natürliche Zahl 6 durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade. Die Zahl 6 ist gerade. Daher ist die Zahl 6 durch 4 teilbar;

- Wenn eine natürliche Zahl 8 durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade. Die Zahl 8 ist gerade. Also ist die Zahl 8 durch 4 teilbar.

Beide Argumente sind falsch, obwohl die Schlussfolgerung des zweiten Arguments wahr ist (die Zahl 8 ist tatsächlich durch 4 teilbar), d.h. planen \(\frac(A\Rechtspfeil B,B)(A)\) entspricht nicht der richtigen Begründung.

Anstatt einen Satz der Form \(A\Rightarrow B\) zu beweisen, beweist man oft die Wahrheit einer anderen Aussage, die der ursprünglichen äquivalent ist. Solche Beweismittel nennt man indirekt. Eine davon ist die Methode des Widerspruchsbeweises. Um die Wahrheit der Aussage \(A\Rightarrow B\) zu beweisen, nehmen wir an, dass diese Aussage falsch ist. Aufgrund dieser Annahme kommen wir zu einem Widerspruch, nämlich, dass wir beweisen, dass eine bestimmte Aussage gleichzeitig wahr und nicht wahr ist. Daraus wird geschlossen, dass die Annahme falsch und die ursprüngliche Aussage wahr ist.

Mit der beschriebenen Methode beweisen wir die Aussage:

wenn \(n\) nicht ist gerade Zahl, dann ist die Zahl \(n^2\) ungerade.

Nehmen Sie das Gegenteil an, d.h. lass es sein ungerade Zahl\(n\), dass die Zahl \(n^2\) gerade ist. Dann ist einerseits die Differenz \(n^2-n\) eine ungerade Zahl und andererseits die Zahl \(n^2-n=n(n-1)\) sicher gerade als Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen. Es ergibt sich ein Widerspruch, nämlich: Die Zahl \(n^2-n\) ist gleichzeitig gerade und ungerade. Dies beweist, dass die getroffene Annahme falsch ist und daher die ursprüngliche Aussage wahr ist.

Das betrachtete Schema des Widerspruchsbeweises ist nicht das einzige. Andere Verfahren des Widerspruchsbeweises werden ebenfalls verwendet:

\(\frac(A,\lnot B)(\lnot A)\) oder \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .

Ein weiteres indirektes Beweisschema (durch das Kontrapositionsgesetz) basiert auf der Äquivalenz zweier Aussagen \(A\Rightarrow B\) und \(B\Rightarrow \lnot A\) . Tatsächlich sind diese Aussagen entweder beide wahr oder beide falsch. Zum Beispiel die Aussagen „wenn Es regnet, dann sind Wolken am Himmel" und "wenn keine Wolken am Himmel sind, dann regnet es nicht" sind beide wahr, und die Aussagen "wenn Wolken am Himmel sind, dann regnet es" und "wenn es regnet nicht, dann sind keine Wolken am Himmel" sind beide wahr. falsch.

Bei vielen Problemen ist es notwendig, die Gültigkeit einer Aussage (Formel) für jede natürliche Zahl \(n\) zu beweisen. Eine direkte Überprüfung solcher Aussagen für jeden Wert von n ist unmöglich, da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist. Um solche Behauptungen (Formeln) zu beweisen, verwenden wir Methode der mathematischen Induktion, deren Kern wie folgt ist. Es sei gefordert, die Wahrheit der Aussage \(A(n)\) für alle \(n\in \mathbb(N)\) zu beweisen. Dazu genügt es, zwei Aussagen zu beweisen:

1) die Aussage \(A(n)\) ist wahr für \(n=1\) . Dieser Teil des Beweises wird Basis der Induktion genannt;

2) für jede natürliche Zahl \(k\) folgt aus der Tatsache, dass die Aussage für \(n=k\) gilt (induktive Annahme), dass sie auch für die nächste Zahl \(n=k+1\) gilt , d. h. \(A(k)\Rechtspfeil A(k+1)\) . Dieser Teil des Beweises wird Induktionsschritt genannt.

Wenn die Punkte 1, 2 bewiesen sind, können wir schließen, dass die Aussage \(A(n)\) für jedes natürliche \(n\) wahr ist.

Wenn nämlich die Aussage \(A(1)\) wahr ist (siehe Punkt 1), dann ist auch die Aussage \(A(2)\) wahr (siehe Punkt 2 für \(n=1\) ). Da \(A(2)\) wahr ist, ist auch \(A(3)\) wahr (siehe Punkt 2 für \(n=2\) ) und so weiter. Somit kann man jede natürliche Zahl \(n\) erreichen und sich vergewissern, dass \(A(n)\) wahr ist.

Bemerkung B.6. In einigen Fällen kann es notwendig sein, die Gültigkeit einer bestimmten Aussage \(A(n)\) nicht für alle natürlichen \(n\) , sondern nur für \(n\geqslant p\) zu beweisen, d.h. ausgehend von einer festen Zahl \(p\) . Dann wird die Methode der mathematischen Induktion wie folgt modifiziert:

1) Induktionsbasis: Beweise die Wahrheit \(A(p)\) ;

2) Induktionsschritt: Beweise \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) für jedes feste \(k\geqslant p\) .

Die Punkte 1 und 2 implizieren, dass \(A(n)\) für alle natürlichen \(n\geqslant p\) wahr ist.

Beispiel B.16. Beweisen Sie die Gleichheit \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) für jede natürliche Zahl \(n\) .

Entscheidung. Bezeichne die Summe der ersten \(n\) ungeraden Zahlen als \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Es ist erforderlich, die Aussage \(A(n):\) "die Gleichheit \(S_n=n^2\) gilt für alle \(n\in \mathbb(N)\)" zu beweisen. Den Beweis führen wir per Induktion.

1) Da \(S_1=1=1^2\) , dann ist für \(n=1\) die Gleichheit \(S_n=n^2\) wahr, d.h. die Aussage \(A(1)\) ist wahr. Die Induktionsbasis ist bewiesen.

2) Sei \(k\) eine beliebige natürliche Zahl. Führen Sie den Induktionsschritt \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) durch. Angenommen, die Aussage \(A(n)\) gilt für \(n=k\) , d.h. \(S_k=k^2\) beweisen wir, dass die Aussage \(A(n)\) für die nächste natürliche Zahl \(n=k+1\) gilt, also \(S_(k+1)= (k +1)^2\) . Wirklich,

\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)

Daher \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) und basierend auf der Methode der mathematischen Induktion schließen wir, dass die Aussage \(A(n)\) für jedes natürliche \(n\) wahr ist, das Das heißt, die Formel \( S_n=n^2\) gilt für jedes \(n\in \mathbb(N)\) .

Beispiel B.17. Eine Permutation von \(n\) Zahlen ist die Menge der ersten \(n\) natürlichen Zahlen in irgendeiner Reihenfolge. Beweisen Sie, dass die Anzahl der verschiedenen Permutationen \(n!\) ist. Der Ausdruck \(n!\) (gelesen "\(n\) Fakultät") ist gleich \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Zwei Permutationen \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) und \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) von \(n\) Zahlen gelten als gleich, wenn \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), und wenn mindestens eine der Gleichheiten verletzt wird, werden die Permutationen als unterschiedlich betrachtet.

Entscheidung. Den Beweis führen wir mit der Methode der mathematischen Induktion.

1) Für \(n=1\) gibt es nur eine Permutation \((1)\) , d.h. \(1!=1\) und die Aussage ist wahr.

2) Nehmen Sie an, dass für jedes \(k\) die Anzahl der Permutationen gleich \(k!\) ist. Beweisen wir, dass die Anzahl der Permutationen von \((k+1)\) Zahlen gleich \((k+1)!\) ist. Tatsächlich fixieren wir die Zahl \((k+1)\) an einer beliebigen Stelle in der Permutation von \((k+1)\) Zahlen und setzen die ersten \(k\) natürlichen Zahlen auf die verbleibenden \(k \) Orte . Die Anzahl solcher Permutationen ist gleich der Anzahl der Permutationen von \(k\) Zahlen, d.h. \(k!\) nach Induktionsannahme. Da die Zahl \((k+1)\) an jeder der (k + 1) Stellen in der Permutation platziert werden könnte, schließen wir daraus, dass die Anzahl der verschiedenen Permutationen der \((k+1)\) Zahlen ist gleich \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Unter der Annahme, dass die Aussage für \(n=k\) gilt, konnten wir also beweisen, dass sie für \(n=k+1\) gilt.

Aus den Punkten 1 und 2 folgt, dass die Aussage für jede natürliche Zahl \(n\) gilt.

Bemerkung B.7. Formale Methoden zur Ableitung von Theoremen unter Verwendung zahlreicher Schemata korrekter Argumentation werden in der mathematischen Logik untersucht. Diese Verfahren erzeugen in der Regel nur neue Satzformulierungen, die den alten Inhalt widerspiegeln. Daher sind sie für die Entwicklung der mathematischen Theorie unwirksam. Jedoch müssen die Gesetze der mathematischen Logik und die Schemata des korrekten Denkens beachtet werden, wenn man ein mathematisches Problem untersucht.

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... § 18. Studenten, die mit Geometrie beginnen, haben oft nicht das Bedürfnis, die Wahrheiten zu beweisen, denen sie zu Beginn des Geometriekurses begegnen. Der Student war, bevor er mit dem Studium der Geometrie begann, bereits an die Frage gewöhnt: Warum denkst du so? Ja, und der Geometrielehrer selbst musste ihm diese Frage mehr als einmal stellen, bevor er erkannte, dass es an der Zeit war, zu erklären, was ein Theorem und was ein Beweis ist. Und deshalb geht es bei einer solchen Erklärung des Lehrers vor allem darum, die Vorteile des spekulativen Beweises gegenüber anderen aufzuzeigen, seine obligatorische Natur bei der Lösung geometrischer Probleme. Der Lehrer muss zu Beginn des Kurses einen der Sätze auswählen und ihn verwenden, um den Sinn und Zweck des geometrischen Beweises zu erklären. Es wird vorgeschlagen, dafür ein Theorem zu wählen, dessen Gültigkeit für die Schüler möglicherweise nicht ganz offensichtlich ist, und damit Zweifel sowohl an seiner Wahrheit als auch an der Untauglichkeit der bekannten Methoden zur Lösung des Problems zu wecken Studenten, und führen sie damit dazu, dass sie auf eine andere Art und Weise nach Beweisen suchen müssen, um sie zu bestätigen oder zu widerlegen. Wie wir gesehen haben, gibt es sogar die Meinung, dass es noch richtiger wäre, zu warten, bis die Schüler bei der Lösung einer geometrischen Frage selbst in Zweifel geraten, und dann mit der Interpretation des Satzes fortzufahren. Dieser Vorschlag scheint mir auf einem Mißverständnis zu beruhen. Dies wäre der Fall, wenn, wiederholen wir es noch einmal, die Schüler bis dahin nicht die Wahrheit bewiesen hätten, sie hätten alles, was ihnen von ihren Lehrern mitgeteilt wird, als Axiome akzeptiert. Tatsächlich verstehen die Schüler den Unterschied zwischen Wahrheit und Nicht-Wahrheit, sie unterscheiden sogar Wahrheiten, die einer Bestätigung bedürfen, von Axiomen. Sie erkennen etwas als wahr an, sie sprechen aus Überzeugung, sie können Argumente für ihre Meinung vorbringen. Aber ausgehend von der Geometrie kennen sie noch keinen genaueren Beweis, Beispiele dafür liegen vor Trainingskurs sie werden zuerst in der Geometrie angetroffen. Außerdem erkennen sie vielleicht noch nicht die Notwendigkeit, genauere Beweismethoden als die von ihnen verwendeten zu finden. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erläutern. Der Schüler kann die Gleichheit aller rechten Winkel als Axiom nehmen, das heißt, er kann seinem unmittelbaren Eindruck vollkommen vertrauen und keinen Zweifel daran haben, dass sich alle über die Größe rechter Winkel einig sind, dass niemand daran zweifelt. Aber wenn Sie Zweifel gehabt und Beweise verlangt hätten, dann wäre er gefunden worden und hätte sie überlagert, wie er es im Zeichenunterricht und in einem Propädeutikum getan hat. Er wandte dieselbe Technik im systematischen Kurs an: Nachdem er zwei Geraden gemessen hatte, sagte er, welche von ihnen größer sei, und dabei war er überzeugt, dass diese Messung als Argument diente, als Beweis für die Gültigkeit seiner Schlussfolgerung über die Vergleichslänge zweier Geraden. Diese Überzeugung ist der Punkt, dem der Lehrer in diesem Fall seine ganze Aufmerksamkeit widmen muss. Es ist ihm wichtig, die inhaltliche Gültigkeit des Theorems nicht in Zweifel zu ziehen – die Schüler erkennen einen solchen Zweifel als berechtigt an und werden sich über die Frage des Lehrers nicht wundern: warum? Beweise es! - sondern den Schülern beizubringen, wie wichtig es ist, die Wahrheit verallgemeinern zu können, indem man spekulative Beweise dafür findet. Handelt es sich um zwei Geraden, so ist es bei der Entscheidung der Frage der relativen Länge durchaus möglich, entweder dem Augeneindruck zu trauen oder, wenn dies nicht ausreicht, sie zu messen. Aber die Geometrie hat solche praktischen Bedürfnisse nicht im Sinn: Sie interessiert sich als Wissenschaft nicht für irgendwelche willkürlich gezogenen Geraden, sondern für Geraden, deren Größe durch bestimmte Bedingungen bestimmt wird. Die zur Geometrie gehörenden Wahrheiten haben einen gewissen Allgemeinheitsgrad, gelten aber nur unter bestimmten Bedingungen. Die Wahl eines Themas zum Nachweis der Bedeutung eines spekulativen Beweises wird daher davon bestimmt, ob sein Beweis geeignet ist, seine Natur und seinen Wert zu klären, und nicht davon, ob es möglich ist, bei Studenten Zweifel an der Gültigkeit des Inhalts des Beweises zu wecken Satz. Um unseren Gedanken klarer zu machen, nehmen wir an, dass wir einen Satz gewählt haben: Jede Sehne ist kleiner als der Durchmesser des gleichen Kreises damit, und wir notieren die Hauptteile der Lektion, die darauf abzielt, die Schüler von der Notwendigkeit eines Beweises zu überzeugen. 1. Durchmesser und Sehne werden im gleichen Kreis gezeichnet. Auf die Frage, welche dieser Linien länger ist, werden die Schüler selbstbewusst sagen, dass dieser Durchmesser größer ist als diese Sehne. Wenn wir ein paar mehr Sehnen in denselben Kreis ziehen, wird die Schlussfolgerung, dass das Ganze kürzer als der Durchmesser sein wird, mit der gleichen Leichtigkeit und mit dem gleichen Grad an Genauigkeit erhalten. Man kann natürlich verlangen, dass der Vergleich genauer erfolgt, also nicht nach Augenmaß, sondern nach Maß. 2. Als nächstes ist die Frage gelöst: Können wir jetzt sagen, dass alle Sehnen auch kleiner als der Durchmesser sind? Wir müssen die Studenten davon überzeugen, dass eine solche Verallgemeinerung unmöglich ist. Einerseits ist es unmöglich, alle Akkorde zu messen, weil es unendlich viele gibt (und nicht, weil es lange dauern würde), und andererseits, wenn es unmöglich ist, alles zu messen, dann es Es kann immer bezweifelt werden, ob es unter den nicht gemessenen eine solche Sehne gibt, die größer oder mindestens gleich dem Durchmesser ist. Wenn eine Sehne vom Ende des Durchmessers in einem sehr kleinen Winkel dazu gezogen wird, ist es nicht schwierig, den Schülern das Gefühl zu geben, dass der Vergleich durch Messung uns aufgrund der Möglichkeit eines Messfehlers zu einer falschen Schlussfolgerung führen kann selbst, das kann sehr sein sehr wichtig wenn die verglichenen Längen größenmäßig sehr nahe beieinander liegen. Daher die Schlussfolgerung, dass es notwendig ist, einen anderen Weg zur Lösung des Problems zu finden, der es ermöglichen würde, unsere Schlussfolgerung auf alle Akkorde auszudehnen. 3. Die Allgemeingültigkeit von Argumentationen oder spekulativen Beweisen ergibt sich nicht aus ihrer Wiederholung auf mehreren Zeichnungen, sondern aus der Analyse von Teilen des Beweises. Können die Enden jedes Akkords mit der Mitte verbunden werden? Wird in diesem Fall die Sehne immer gerade sein und die Radien eine unterbrochene Linie bilden, basierend auf denselben geraden Enden? Besteht diese unterbrochene Linie immer aus zwei Radien und ist sie daher gleich dem Durchmesser? Nachdem wir den Beweis auf diese Weise analysiert haben, haben wir das Recht zu sagen, dass wir, wenn wir von einem Akkord sprechen, alle Akkorde meinen. Wenn in unserem Beweis nicht auf jeden Akkord mindestens eine Stimme angewendet werden könnte, dann würde der Beweis seinen ganzen Wert verlieren. Die Wiederholung eines Beweises auf einer anderen Zeichnung gilt als Wiederholung, als Methode zur besseren Anpassung und nicht als Bestätigung seiner Allgemeingültigkeit. Es sollte beachtet werden, dass man nicht erwarten kann, dass Studenten diesen Aspekt geometrischer Beweise sofort vollständig verstehen. In der weiteren Darstellung des Kurses wird es notwendig sein, auf diese Seite der Sache zurückzukommen und zu diesem Zweck die Studenten zu zwingen, den Beweis Schritt für Schritt zu überprüfen, ob alle seine Teile allgemeiner Natur sind, ob nur etwas eingeführt wurde es nur zufällig, aufgrund der Besonderheiten der Zeichnung. Um die Bedeutung des Satzes und seines Beweises vollständig zu erläutern, ist es notwendig, sich mit den Wörtern im Satz zu befassen: der Sehne und dem Durchmesser eines Kreises. Es ist am besten, dem oben angegebenen Weg zu folgen und sich auf die Tatsache zu beziehen, dass die gestrichelte Linie in diesem Fall gleich zwei Radien ist und daher der Durchmesser desselben Kreises, in den die Sehne eingeschrieben ist, was, wenn wir die Sehne nehmen eines Kreises, und der Durchmesser ist anders, dann wird die besagte Gleichheit nicht existieren, und wenn wir es in unserer Argumentation erwähnen würden, dann wäre die Argumentation selbst falsch. Sich auf die Zeichnung als Bestätigung der hinzugefügten Wörter zu beziehen (die Sehne eines großen Kreises und den Durchmesser eines anderen kleinen Kreises zu nehmen) würde bedeuten, zum direkten Eindruck zurückzukehren, während die formale Seite der Lektion darin besteht, die Schüler von der Notwendigkeit zu überzeugen Spekulationen verwenden ...

Thema 13. Sätze und Beweise

In diesem Thema erfahren Sie mehr darüber Unterscheidungsmerkmal Mathematik, verglichen mit Physik und anderen Wissenschaften, nur bewiesene Wahrheiten oder Gesetze anzuerkennen. In diesem Zusammenhang wird das Konzept eines Theorems analysiert und einige Arten von Theoremen und Methoden zu ihrem Beweis betrachtet.

13.09.03. Eine Besonderheit der Mathematik

Theorie

1.1. Wenn wir Mathematik und Physik vergleichen, dann verwenden diese beiden Wissenschaften sowohl Beobachtungen als auch Beweise. Neben der Experimentalphysik gibt es die Theoretische Physik, in der bestimmte Aussagen, ähnlich wie Sätze in der Mathematik, auf der Grundlage physikalischer Gesetze bewiesen werden, indem einige Urteile sukzessive aus anderen abgeleitet werden. Jedoch physikalische Gesetze gelten nur dann als wahr, wenn sie bestätigt werden eine große Anzahl Experimente. Diese Gesetze können sich im Laufe der Zeit ändern.

Die Mathematik verwendet auch Beobachtungen.

Beispiel 1. Das beobachten

Es kann davon ausgegangen werden, dass die Summe der ersten tausend ungeraden natürlichen Zahlen 1000000 beträgt.

Diese Aussage kann durch direkte Berechnungen verifiziert werden, die einen enormen Zeitaufwand erfordern.

Wir können auch eine allgemeine Annahme machen, dass für jede natürliche Zahl die Summe der anfänglichen ungeraden Zahlen gleich ist. Diese Aussage kann nicht durch direkte Rechnung verifiziert werden, da die Menge aller natürlichen Zahlen unendlich ist. Trotzdem ist die getroffene Vermutung richtig, denn sie lässt sich beweisen.

Beispiel 2. Wir können die Winkel vieler Dreiecke messen..gif" height="20">, ist wahr, wenn wir das fünfte Postulat von Euklid als Axiom nehmen bewährt in der 7. Klasse.

Beispiel 3. Einsetzen in ein Polynom

Anstelle der natürlichen Zahlen von 1 bis 10 erhalten wir die Primzahlen 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Es ist davon auszugehen, dass für alle natürlicher Wert quadratisches Trinom ist eine Primzahl. Die Überprüfung ergab, dass dies tatsächlich für jede natürliche Zahl von 1 bis 39 der Fall ist. Allerdings ist die Annahme falsch, da es sich um eine zusammengesetzte Zahl handelt:

Die Verwendung von Beweisen anstelle von Beobachtungen zur Feststellung der Wahrheit von Theoremen ist ein Markenzeichen der Mathematik.

Eine Schlussfolgerung, die auf der Grundlage selbst zahlreicher Beobachtungen gezogen wird, wird nur dann als mathematisches Gesetz angesehen, wenn sie bewährt.

1.2. Wir beschränken uns auf den intuitiven Begriff des Beweises als konsequente Ableitung einiger Urteile von anderen, ohne zu ziehen präzise Analyse das Konzept der Inferenz oder Inferenz. Lassen Sie uns das Konzept eines Theorems genauer analysieren.

Ein Theorem wird gewöhnlich eine Aussage genannt, deren Wahrheit durch Beweise festgestellt wird. Das Konzept eines Theorems wurde zusammen mit dem Konzept eines Beweises entwickelt und verfeinert.

Im klassischen Sinne versteht man unter einem Theorem eine Aussage, die bewiesen wird, indem einige Aussagen aus anderen abgeleitet werden. Dabei einige ursprüngliche Gesetze oder Axiome die ohne Nachweis akzeptiert werden.

Zum ersten Mal wurde das System von Axiomen in der Geometrie vom antiken griechischen Mathematiker Euklid in seinem berühmten Werk „Der Anfang“ aufgebaut. Nach den Axiomen in den Elementen von Euklid, Theoremen und Problemen zum Konstruieren von sub gemeinsamen Namen Anregungen. Die Sätze sind in einer strengen Reihenfolge angeordnet.

Jeder Satz wird zuerst formuliert, dann wird angegeben, was gegeben ist und was bewiesen werden muss. Dann wird der Beweis mit allen Hinweisen auf bereits bewiesene Sätze und Axiome vorgelegt. Manchmal endet der Beweis mit den Worten, die bewiesen werden mussten. In alle europäischen Sprachen übersetzt, blieben die Prinzipien von Euklid, darunter 13 Bücher, bis zum 18. Jahrhundert das einzige Lehrbuch, mit dem Geometrie an Schulen und Universitäten studiert wurde.

1.3. Um besser unterscheiden zu können, was gegeben ist und was bewiesen werden muss, werden Sätze in der Form wenn ... dann ... formuliert. Der erste Teil der Aussage des Satzes zwischen wenn und dann heißt Zustand Theorem, und der zweite Teil, der danach geschrieben wird, wird aufgerufen Fazit Sätze.

Die Bedingung des Theorems enthält eine Beschreibung dessen, was gegeben ist, und die Schlussfolgerung - was bewiesen werden muss.

Manchmal wird diese Notation des Theorems genannt logische Form Sätze und wird als Wenn-Dann-Form abgekürzt.

Beispiel 4 Betrachten Sie den folgenden Satz.

Wenn eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist sie eine ungerade Zahl.

In diesem Theorem ist die Bedingung, dass jede gerade Zahl genommen wird ..gif" width="32 height=19" height="19"> ist ungerade.

Oft werden Bedingung und Schluss mit anderen Worten geschrieben.

Beispiel 5. Der Satz aus Beispiel 1 lässt sich in folgender Form schreiben:

Sei eine gerade natürliche Zahl. Dann ist eine ungerade Zahl.

In diesem Fall verwenden sie statt des Wortes if das Wort let und statt des Wortes then schreiben sie das Wort then.

Beispiel 6. Der Satz aus Beispiel 1 kann auch in folgender Form geschrieben werden:

Aus der Tatsache, dass es sich um eine gerade natürliche Zahl handelt, folgt, dass die Zahl .gif" width="13" height="15"> impliziert, dass die Zahl ungerade ist.

In diesem Fall wird das Wort if weggelassen und anstelle des Wortes then das Wort implizit verwendet.

Manchmal werden auch andere Formen des Schreibens von Theoremen verwendet.

1.4. In einigen Fällen wird die Bedingung des Theorems nicht in seiner Formulierung niedergeschrieben. Dies ist der Fall, wenn aus dem Text hervorgeht, wie diese Bedingung aussehen kann.

Beispiel 8. Sie kennen den Satz: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

In logischer Form lässt sich dieser Satz wie folgt schreiben:

Wenn alle Seitenhalbierenden in ein beliebiges Dreieck gezeichnet werden, dann schneiden sich diese Seitenhalbierenden in einem Punkt.

Beispiel 9. Der Satz über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen lässt sich schreiben als:

Wenn die Menge aller Primzahlen ist, dann ist sie unendlich.

Um Verbindungen zwischen Sätzen in der Mathematik herzustellen, verwendet man besondere Sprache die teilweise in späteren Abschnitten dieses Kapitels besprochen werden.

Testfragen

1. Welche Beispiele für Beobachtungen in der Mathematik kennen Sie?

2. Welche Axiome der Geometrie kennen Sie?

3. Welche Aufzeichnung des Theorems wird die logische Form des Theorems genannt?

4. Wie nennt man die Bedingung des Satzes?

5. Was nennt man die Konklusion eines Theorems?

6. Welche Formen des Schreibens von Theoremen kennen Sie?

Aufgaben und Übungen

1. Welche Annahmen können Sie treffen, wenn Sie Folgendes beobachten:

a) das Produkt zweier benachbarter natürlicher Zahlen;

b) die Summe zweier benachbarter natürlicher Zahlen;

c) Summen von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen;

d) die Summe dreier ungerader Zahlen;

e) die letzten Ziffern in der Dezimaldarstellung von Zahlen .gif" width="13 height=15" height="15">;

f) die Anzahl der Teile, in die die Ebene durch verschiedene gerade Linien geteilt wird, die durch einen Punkt gehen;

g) die Anzahl der Teile, in die die Ebene durch verschiedene Geraden geteilt ist, deren Geraden paarweise parallel sind und sich schneiden .gif" width="13" height="20">.gif" height="20"> Zahlen der Form , wobei eine natürliche Zahl ist;

d) die Summe zweier irrationaler Zahlen?

3. Welche Annahme können Sie treffen, wenn Sie die Mittelpunkte von Kreisen beobachten, die um stumpfe Dreiecke umschrieben sind?

4. Schreiben Sie den Satz in logischer Form auf:

a) die Summe der Innenwinkel des konvexen https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;

b) zwei beliebige rechteckige gleichschenkligen Dreiecksähnlich;

c) Gleichheit gilt für alle ganzen Zahlen und ;

d) die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks, gezeichnet zu seiner Basis, halbiert den Winkel an der Spitze dieses Dreiecks;

e) für alle nicht negativen Zahlen und ;

f) die Summe zweier entgegengesetzter Winkel eines einem Kreis einbeschriebenen Vierecks ist 180;

g) die Zahl ist keine rationale Zahl;

h) alle Primzahlen größer als 10 sind ungerade;

i) die Diagonalen eines Quadrats sind gleich, senkrecht und am Schnittpunkt halbiert;

j) aus allen eingeschriebenen Vierecken Kreis gegeben, das Quadrat hat die größte Fläche;

k) es gibt eine gerade Primzahl;

l) keine Primzahl kann als Summe zweier verschiedener ungerader natürlicher Zahlen dargestellt werden;

m) Die Summe der Kuben der ersten natürlichen Zahlen ist das Quadrat einer natürlichen Zahl.

5. * Schreiben Sie jeden der in der vorherigen Aufgabe angegebenen Theoreme in mehreren verschiedenen Formen auf.

Antworten und Anleitungen

Aufgabe 1. Welche Annahmen können Sie treffen, wenn Sie Folgendes beobachten:

a) das Produkt zweier benachbarter natürlicher Zahlen;

b) die Summe zweier benachbarter natürlicher Zahlen;

c) Summen von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen;

d) die Summe dreier ungerader Zahlen;

e)letzten Ziffern in Dezimalschreibweisemit natürlich;

e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> die Anzahl der Teile, in die das Flugzeug unterteilt ist https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> Linien sind paarweise parallel und schneiden sich.gif" width="13 height=20" height="20"> die Anzahl der Teile, in die das Flugzeug unterteilt ist https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> es können nur vier Ziffern empfangen werden:

0, 1, 5, 6; f)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" width ="13" Höhe="15"> -gon ist gleich;

b) zwei beliebige rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke sind ähnlich;

c) Gleichheitgilt für alle ganzen Zahlenund;

Induktion- eine Form des Denkens, durch die das Denken auf einige gerichtet ist allgemeine Regel, allgemeine Stellung, die allen konkreten Objekten jeder Klasse innewohnt.
Abzug- diese Form des Denkens, wenn ein neuer Gedanke auf rein logische Weise aus früheren Gedanken abgeleitet wird. Eine solche Gedankenfolge wird Schlussfolgerung genannt, und jede Komponente dieser Schlussfolgerung ist entweder ein zuvor bewiesener Gedanke oder ein Axiom oder eine Hypothese.
deduktiver Beweis- eine der Beweisformen, wenn die These, bei der es sich um ein Einzel- oder Einzelurteil handelt, unter die allgemeine Regel gestellt wird.
Jeder Beweis besteht aus drei Teilen:
Thesen, Argumente, Demonstrationen.
Beweisregeln:
1. Die These und Argumente müssen klare und eindeutige Urteile sein.
2. Die These muss während der gesamten Beweisführung gleich bleiben.
3. Die Arbeit soll keinen logischen Widerspruch enthalten.
4. Die zu beweisende These soll nicht im logischen Widerspruch zu den früher getroffenen Urteilen stehen.
5. Die zur Stützung der These vorgebrachten Argumente sollen einander nicht widersprechen.
6. Absurdität reduzieren. Die Wahrheit der einen oder anderen These kann durch den Beweis der Falschheit der Gegenthese untermauert werden.
7. Die These und Argumente müssen durch Tatsachen untermauert werden.
8. Der Nachweis muss vollständig sein.
9. Die zur Stützung der Wahrheit der These angeführten Argumente müssen für diese These ausreichend sein.
10. Die im Wahrheitsbeweis der These angeführten Argumente müssen selbst wahr sein.
11. Argumente müssen Urteile sein, deren Wahrheit unabhängig von der These unabhängig bewiesen wird.
HINWEIS: Abschlussarbeit - ein Gedanke oder eine Aussage, die bewiesen werden muss.

Lernen, einen Satz zu beweisen.

Es ist nicht so schwierig, den Inhalt von Theoremen (Regeln, Formeln, Identitäten usw.) zu beherrschen, die in der Schule gelernt werden. Dazu ist es notwendig, systematisch zu versuchen, die Bedeutung des Theorems (Regeln, Formeln, Identitäten usw.) zu verstehen und sie so oft wie möglich bei der Lösung von Problemen und beim Beweis anderer Theoreme anzuwenden. führt zu einer unfreiwilligen Assimilation ihres Inhalts, das Auswendiglernen ihrer Formulierungen. Es ist viel schwieriger zu lernen, wie man Theoreme beweist. Gleichzeitig geht es nicht darum, den Beweis eines bestimmten Theorems auswendig zu lernen, das in der Lektion betrachtet wurde. Sie tun es nicht Sie müssen den Beweis nicht speziell auswendig lernen, sondern lernen, wie man Theoreme selbst beweist.Beweise von Theoremen im Lehrbuch sollten als Muster- (Standard-) Argumentation beim Beweis einer Aussage betrachtet werden.

Was bedeutet es, einen Satz zu beweisen, was ist ein Beweis?

Beweis im weitesten Sinne ist ein logischer Schluss, bei dem die Wahrheit eines Gedankens mit Hilfe anderer Bestimmungen untermauert wird.

Wenn Sie also Ihren Kameraden von etwas überzeugen oder Ihre Meinung, Ihren Standpunkt im Streit mit ihm verteidigen, dann führen Sie im Wesentlichen einen Beweis (geschickt oder ungeschickt ist eine andere Frage). Im Leben muss man ständig, jeden Tag in der Kommunikation mit anderen Menschen bestimmte Gedanken, Aussagen beweisen, man muss von etwas überzeugen, das heißt beweisen.

Der Beweis mathematischer Sätze ist ein Spezialfall des Beweises im Allgemeinen. Sie unterscheidet sich vom Beweis unter Alltagsbedingungen oder in anderen Wissenschaften dadurch, dass sie möglichst rein deduktiv (vom lateinischen Wort Deduktion – Ableitung), also Ableitung eines neuen beweisbaren Gedankens (Aussage, Urteil) durchgeführt wird zuvor ohne Beweisgedanken (Axiome) nach den Regeln der Logik bewiesen oder akzeptiert wurden, ohne Bezug auf Beispiele oder Erfahrung. In anderen Wissenschaften greifen wir im Alltag oft auf Beispiele, auf Erfahrungen als Beweis zurück. Wir sagen: „Schau“ – und das kann als Beweis dienen. In der Mathematik ist eine solche Beweismethode nicht akzeptabel, sie darf sich beispielsweise nicht auf offensichtliche Zusammenhänge beziehen, die durch eine Zeichnung veranschaulicht werden. Ein mathematischer Beweis sollte eine Kette logischer Konsequenzen aus den ursprünglichen Axiomen, Definitionen, Bedingungen des Theorems und zuvor bewiesenen Theoremen bis zur erforderlichen Schlussfolgerung sein.

Wenn wir also einen Satz beweisen, reduzieren wir ihn auf zuvor bewiesene Sätze und diese wiederum auf andere usw. Es ist offensichtlich, dass dieser Reduktionsprozess endlich sein muss, und daher reduziert jeder Beweis schließlich den zu beweisenden Satz die ursprünglichen Definitionen und ohne Beweis Axiome akzeptiert.

Folglich dienen Axiome nicht nur der indirekten Definition primärer Konzepte, sondern auch als Grundlage für den Beweis aller mathematischen Theoreme. Deshalb gibt es unter den Axiomen auch solche, die auf die besonderen Eigenschaften von Begriffen hinweisen, die logisch definiert sind. So sind zum Beispiel parallele Linien im Verlauf der Geometrie kein primärer Begriff, sondern ein definierter. Allerdings ist eine der Eigenschaften von parallelen Linien, nämlich das h Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, kann man auf einer Ebene nicht mehr als eine Parallele zu einer gegebenen ziehen, wir sind gezwungen, dies als Axiom zu nehmen, weil, wie der große Russe festgestellt hat Geometer N. I. Lobachevsky (1792-1856) sowie des deutschen Mathematikers K. F. Gauss (1777-1855) und des ungarischen Mathematikers J. Bolyai (1802-1860) ist es unmöglich, diese Eigenschaft paralleler Linien anhand von zu beweisen nur die restlichen Axiome der Geometrie.

Jeder Schritt des Beweises besteht aus drei Teilen:

1) der Vorschlag (Axiom, Theorem, Definition), auf dessen Grundlage dieser Schritt des Beweises durchgeführt wird; diese Grundlage des Beweisschrittes wird Prämisse oder Argument genannt;

2) logisches Denken, bei dem die Prämisse auf die Bedingungen des Theorems oder auf zuvor erhaltene Konsequenzen angewendet wird;

3) die logische Konsequenz der Anwendung der Prämisse auf Bedingungen oder zuvor erhaltene Konsequenzen.

Im letzten Schritt des Beweises des Satzes erhalten wir als Folgerung die zu beweisende Behauptung. Wir zeigen den Beweisvorgang am Beispiel des folgenden Satzes: "Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich."

Da uns in diesem Satz ein beliebiges (beliebiges) Rechteck gegeben ist, gehen wir zur besseren Beweisführung wie folgt vor. Wir zeichnen ein wohldefiniertes Rechteck ABCD, aber im Beweis verwenden wir keine besonderen Merkmale dieses Rechtecks ​​(zum Beispiel, dass seine Seite AB ungefähr zweimal so groß ist wie die Seite AD usw.). Daher gelten unsere Überlegungen zu diesem bestimmten Rechteck für jedes andere Rechteck, d. h. sie sind allgemeiner Natur für alle Rechtecke.

Zeichnen Sie die Diagonalen AC und BD. Betrachten Sie die resultierenden Dreiecke ABC und ABD. Für diese Dreiecke sind die Winkel ABC und BAD gleich als rechte Winkel, das Bein AB ist gemeinsam und die Beine BC und AD sind gleich als gegenüberliegende Seiten des Rechtecks. Daher sind diese Dreiecke kongruent. Daraus folgt, dass auch die Seiten AC und BD gleich sind, was zu beweisen war.

Der gesamte Beweis dieses Satzes kann als folgendes Schema dargestellt werden.

Schrittnummer	Pakete (Argumente)	Bedingungen	Konsequenzen
1.	Definition: Ein Rechteck ist ein Viereck mit allen rechten Winkeln.	ABCD - Rechteck	Eine gerade B> - gerade.
2.	Satz: Rechte Winkel sind gleich.	Eine gerade B - gerade.	A=B.
3.	Satz: Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks ​​sind gleich.	ABCD - Rechteck	BC=AD
4.	Das erste Zeichen für die Gleichheit zweier Dreiecke.	BC=AD, AB=AB,B=A	ABC = SCHLECHT.
5.	Definition der Dreiecksgleichheit.	ABC=SCHLECHT, AC und BD jeweiligen Seiten	AC=BD.

Das Schwierigste beim Beweis ist, eine Folge von Prämissen (Axiome, Theoreme, Definitionen) zu finden, die man auf die Bedingungen des Theorems oder Zwischenergebnisse (Konsequenzen) anwenden kann, um schließlich die gewünschte Konsequenz zu erhalten - die zu beweisende Position.

Welche Regeln sind bei der Suche nach dieser Sequenz zu beachten? Diese Regeln können natürlich nicht bindend sein, sie zeigen nur mögliche Suchpfade auf. Daher werden sie heuristische Regeln oder einfach Heuristiken (vom griechischen Wort eureka - ich finde, gefunden) genannt. Viele bedeutende Mathematiker, wie Papp (ein antiker griechischer Mathematiker, der im 3. beschäftigten sich mit der Entwicklung von Heuristiken zum Finden von Beweisen von Theoremen und zum Lösen von Problemen. Hier sind einige Heuristiken, die Sie beachten sollten:

1. Es ist sinnvoll, die Namen von Objekten zu ersetzen fraglich in einem Theorem (Problem), ihre Definitionen oder Merkmale.

Zum Beispiel haben wir in dem oben diskutierten Theorem über ein Rechteck gesprochen, und wir haben die Definition eines Rechtecks ​​für den Beweis verwendet.

2. Wenn es möglich ist, dann ist es notwendig, den zu beweisenden Satz in Teile zu zerlegen und jeden Teil einzeln zu beweisen.

So kann zum Beispiel der Beweis des Satzes: „Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen schneiden und der Schnittpunkt halbiert wird, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm“ - in zwei Teile geteilt werden: Beweisen Sie zunächst, dass ein Paar gegenüberliegende Seiten des gegebenen Vierecks parallel sind, und beweisen Sie dann, dass und das zweite Paar gegenüberliegender Seiten ebenfalls parallel ist.

Dies sollte immer dann erfolgen, wenn es möglich ist, die zu beweisende Behauptung in mehrere Teile einfacherer Behauptungen aufzuteilen.

3. Bei der Suche nach einem Beweis eines Satzes ist es sinnvoll, in zwei Richtungen vorzugehen: von den Bedingungen des Satzes zur Schlussfolgerung und von der Schlussfolgerung zu den Bedingungen.

Sie müssen zum Beispiel den folgenden Satz beweisen: „Wenn eine bestimmte Folge so beschaffen ist, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem zweiten, das arithmetische Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Glieder ist, dann ist diese Folge arithmetische Progression».

Gehen wir von der Bedingung des Theorems aus. Was wird uns gegeben? Es ist gegeben, dass jedes Mitglied der Sequenz, beginnend mit dem zweiten (wir bezeichnen es ein, wobei n³ 2), das arithmetische Mittel der vorangehenden und nachfolgenden Terme ist, d. h.

a n- 1 und ein n+1. Also gilt folgende Gleichheit:
(1)

Kommen wir nun zum Fazit. Was müssen wir beweisen? Wir müssen beweisen, dass diese Folge eine arithmetische Folge ist. Welche Folge wird als arithmetische Folge bezeichnet? Erinnern wir uns an die Definition:

ein n = ein n-1 + d, wo n2, d ist eine konstante Zahl. (2)

Wir vergleichen die uns gegebene Bedingung (1) mit der Konklusion (2). Damit die Bedingung die Form einer Schlussfolgerung annimmt, muss sie wie folgt umgewandelt werden:

2a n = ein n-1 + ein n+1 , (3)

Von hier a n- ein n-1= ein n+1 - ein n . (4)

Die linke und die rechte Seite von (4) bezeichnen dasselbe, nämlich die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern einer gegebenen Folge. Bei Gleichheit (4) P Geben Sie nacheinander die Werte 2, 3 usw. an, dann erhalten wir: a 2 - a 1 \u003d a 3 - a 2, dann eine 3 - eine 2 \u003d eine 4 - eine 3 usw. Folglich sind alle diese Unterschiede einander gleich, was bedeutet, dass die Differenz ein p - ein p-1 ist eine konstante Zahl, die durch einen Buchstaben dargestellt werden kann, zum Beispiel der Buchstabe d:

ein n - ein n-1 = d.

Von hier erhalten wir: ein n = ein n-1 + d, was bedeutet, dass diese Folge nach Definition (2) eine arithmetische Folge ist, die wir beweisen mussten.

Diese Heuristik lässt sich wie folgt formulieren: Man sollte versuchen, Bedingung und Konklusion des Theorems näher zu bringen, indem man sie umformt oder durch Folgerungen ersetzt.

Es sind auch eine Reihe von spezielleren heuristischen Regeln bekannt, die verwendet werden, wenn nur nach einigen Theoremen gesucht wird. Zum Beispiel eine solche Heuristik: Um die Gleichheit beliebiger Segmente zu beweisen, müssen Figuren gefunden oder konstruiert werden, deren entsprechende Seiten diese Segmente sind; Wenn die Zahlen gleich sind, sind die entsprechenden Segmente gleich.

Beim Studieren von Theoremen muss man sich nicht nur ihren Beweis merken, sondern jedes Mal überlegen und feststellen, mit welchen Methoden sie bewiesen werden, welche heuristischen Regeln beim Finden dieser Beweise befolgt wurden, wie sie diese Beweise erraten (gedacht) haben.

In einigen Fällen wird zum Beweis von Theoremen eine spezielle Technik verwendet, die als "Beweis durch Widerspruch" oder "Reduktion auf Absurdität" bezeichnet wird.

Die Essenz dieser Technik liegt darin, dass sie die Ungerechtigkeit (Falschheit) der Schlussfolgerung dieses Theorems annimmt und beweist, dass eine solche Annahme zu einem Widerspruch mit der Bedingung oder mit zuvor bewiesenen Theoremen oder Axiomen führt. Und da jede Aussage entweder wahr oder falsch sein kann (nichts anderes kann es sein), zeigt der resultierende Widerspruch, dass die Annahme, dass die Schlussfolgerung des Theorems falsch ist und daher die Schlussfolgerung wahr ist, somit das Theorem bewiesen ist.

Nehmen wir ein Beispiel.

Satz. Zwei gerade Linien, getrennt parallel zu einer dritten, sind parallel zueinander.

Gegeben: a||c, b||c.
Beweisen Sie: a||b.

Beweisen wir diesen Satz durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass die Schlussfolgerung des Satzes falsch ist, d.h. die Linie a ist nicht parallel zur Linie b. Dann schneiden sie sich an einem Punkt M. Und da aufgrund der Bedingung jede dieser Linien parallel zur Linie c ist, stellt sich heraus, dass zwei Linien a und b durch den Punkt M gezogen werden, parallel zu derselben Linie c. Und wir wissen aus dem Parallelitätsaxiom, dass durch einen Punkt außerhalb einer Geraden höchstens eine Parallele zu der gegebenen gezogen werden kann. Wir sind bei einem Widerspruch mit dem Axiom angelangt. Dies zeigt, dass unsere Annahme über die Nichtparallelität der Linien a und b falsch ist, also a || b, was bewiesen werden musste.

Ein anderes Beispiel.

Satz. Arithmetisches Mittel von zwei positive Zahlen nicht kleiner als (d. h. größer oder gleich) dem geometrischen Mittel dieser Zahlen.

Dieser Satz kann wie folgt geschrieben werden:

Wo a > 0, b > 0, (1)

Sie kann sowohl direkt als auch durch Widerspruch bewiesen werden. Beweisen wir es durch Widerspruch.

Nehmen wir dazu an, dass es falsch ist, d.h. das arithmetische Mittel kleiner ist als das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen:; (2)

Wenn wir beide Seiten von (2) mit 2 multiplizieren und quadrieren, erhalten wir: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

Als Ergebnis haben wir eine offensichtliche Absurdität erhalten: Das Quadrat einer Zahl (a - b) ist negativ, was nicht sein kann. Daher führte die Annahme, dass der Satz falsch ist, zu einem Widerspruch, der die Gültigkeit des Satzes beweist.

Der Widerspruchsbeweis eines Satzes besteht also darin, dass wir davon ausgehen, dass die Schlussfolgerung des Satzes falsch ist. Dann ziehen wir auf der Grundlage dieser Annahme eine Reihe von logischen Schlussfolgerungen, wodurch wir zu einer eindeutig absurden Position gelangen (einem Widerspruch mit der Bedingung oder zuvor bewiesenen Theoremen, Axiomen). Weiter argumentieren wir wie folgt: Wenn unsere Annahme richtig wäre, dann könnten wir nur zu dem richtigen Schluss kommen, und da wir zu dem falschen Schluss gekommen sind, bedeutet dies, dass unsere Annahme falsch war, also waren wir davon überzeugt Der Schlusssatz ist richtig.

Beachten Sie, dass, wenn wir als Ergebnis der Argumentation keine Absurdität (Widerspruch) erhalten würden, dies nicht bedeuten würde, dass die Annahme wahr ist. Mit anderen Worten, wenn wir von der Richtigkeit (Gerechtigkeit) der Schlussfolgerung des Satzes ausgehen und aus dieser Annahme die richtige (offensichtliche) Konsequenz erhalten, bedeutet dies nicht, dass die Annahme wahr ist: Es kann vorkommen, dass der ursprüngliche Satz ist einfach falsch.

Viele Sophismen bauen darauf auf (absichtlich falsch konstruierte Schlussfolgerungen, die nur scheinbar richtig sind), dies erklärt viele Fehler, die beim Lösen von Problemen gemacht werden.

Betrachten Sie zum Beispiel diese Gleichheit: a - b = b - a(1), wo a und b- willkürliche Zahlen. Angenommen, (1) ist wahr, dann quadrieren wir beide Teile von (1), wir erhalten:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Wenn wir alle Terme auf eine Seite legen und ähnliche kürzen, kommen wir zu einer völlig korrekten Gleichheit: 0 = 0. Daraus kann aber nicht geschlossen werden, dass auch die ursprüngliche Gleichheit (1) gilt. Hätten wir einen solchen Schluss gezogen, wären wir auf einen solchen Sophismus gekommen: 2a = 2b oder a = b, d.h. beliebige Zahlen sind einander gleich. Der Fehler besteht darin, dass die Gleichheit der Quadrate zweier Zahlen nicht die Gleichheit dieser Zahlen selbst impliziert. Beispiel: (-2) 2 = 2 2, aber -22.

Hier ist ein Beispiel für eine fehlerhafte Lösung des Problems.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung 3+ x + 2 = 0 (1).

Nehmen wir an, dass Gleichung (1) eine Lösung hat und daher Gleichung (1) wahr ist. Dann erhalten wir: Z \u003d - x - 2. Wir quadrieren beide Teile der Gleichheit: 9x \u003d x 2 + 4x + 4 oder x 2 -5x + 4 \u003d 0, also x 1 \u003d 4, x 2 \ u003d 1. Können die gefundenen Werte von x als Wurzeln von Gleichung (1) betrachtet werden? Einige Schüler beantworten diese Frage mit Ja, weil alle Transformationen der Gleichung korrekt sind. Und doch ist keiner der gefundenen Werte von x die Wurzel von (1). Dies bestätigt die Prüfung. Wenn wir die gefundenen Werte von x in (1) einsetzen, erhalten wir eindeutig lächerliche Gleichheiten: 12 = 0 und 6 = 0.

Aber wie löst man diese Gleichung? Beachten Sie, dass der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung sinnvoll ist, wenn x0. Dann nimmt die linke Seite der Gleichung für alle zulässigen Werte von x nur positive Werte an und kann in keiner Weise gleich 0 sein, daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Sie müssen also lernen, Theoreme (Formeln, Identitäten usw.) zu beweisen, und die allgemeinen Methoden zum Finden von Beweisen für Theoreme beherrschen.