Statistikformeln für Durchschnittswerte. Das Wesen und die Bedeutung von Durchschnittswerten in der Statistik. Arten von Durchschnittswerten. Quadratischer Variationskoeffizient

Vorlesung 5. Durchschnittswerte

Konzept durchschnittliche Größe in der Statistik

Arithmetisches Mittel und seine Eigenschaften

Andere Arten von Leistungsdurchschnitten

Modus und Median

Quartile und Dezile

Weit verbreitet in der Statistik haben sie Durchschnittswerte. Durchschnittswerte charakterisieren die qualitativen Indikatoren der Geschäftstätigkeit: Vertriebskosten, Gewinn, Rentabilität usw.

Durchschnitt- Dies ist eine der häufigsten Generalisierungstechniken. Ein richtiges Verständnis des Wesens des Durchschnitts bestimmt seine besondere Bedeutung in den Verhältnissen Marktwirtschaft, wenn der Durchschnitt durch das Individuum und den Zufall es uns ermöglicht, das Allgemeine und Notwendige zu erkennen, die Tendenz von Mustern zu erkennen wirtschaftliche Entwicklung.

Durchschnittswert- Hierbei handelt es sich um verallgemeinernde Indikatoren, in denen die Auswirkungen allgemeiner Bedingungen und Muster des untersuchten Phänomens zum Ausdruck kommen.

Durchschnittswert (in der Statistik) – ein allgemeiner Indikator, der unter sonst gleichen Bedingungen die typische Größe oder das Niveau sozialer Phänomene pro Bevölkerungseinheit charakterisiert.

Mit der Durchschnittsmethode kann Folgendes gelöst werden: Hauptziele:

1. Merkmale des Entwicklungsstandes von Phänomenen.

2. Vergleich von zwei oder mehr Ebenen.

3. Untersuchung der Zusammenhänge sozioökonomischer Phänomene.

4. Analyse der Lage sozioökonomischer Phänomene im Weltraum.

Statistische Mittelwerte werden auf Basis von Massendaten aus statistisch korrekt organisierter Massenbeobachtung (kontinuierlich und selektiv) berechnet. Der statistische Durchschnitt ist jedoch objektiv und typisch, wenn er aus Massendaten für eine qualitativ homogene Population (Massenphänomene) berechnet wird. Wenn Sie beispielsweise den Durchschnitt berechnen Löhne B. in Genossenschaften und Staatsbetrieben, und das Ergebnis wird auf die gesamte Bevölkerung ausgedehnt, dann ist der Durchschnitt fiktiv, da er auf der Grundlage einer heterogenen Bevölkerung berechnet wurde, und ein solcher Durchschnitt verliert jede Bedeutung.

Mit Hilfe des Durchschnitts werden Unterschiede im Wert eines Merkmals, die aus dem einen oder anderen Grund in einzelnen Beobachtungseinheiten entstehen, geglättet. Beispielsweise hängt die durchschnittliche Produktivität eines Verkäufers von vielen Gründen ab: Qualifikation, Betriebszugehörigkeit, Alter, Dienstform, Gesundheitszustand usw.

Das Wesen des Durchschnitts liegt darin, dass er die durch die Wirkung zufälliger Faktoren verursachten Abweichungen der charakteristischen Werte einzelner Bevölkerungseinheiten aufhebt und die durch die Wirkung der Hauptfaktoren verursachten Veränderungen berücksichtigt. Dadurch kann der Durchschnitt das typische Niveau des Merkmals widerspiegeln und von den individuellen Merkmalen einzelner Einheiten abstrahieren.

Der Durchschnittswert spiegelt die Werte des untersuchten Merkmals wider und wird daher in derselben Dimension wie dieses Merkmal gemessen.

Jeder Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population anhand eines beliebigen Merkmals. Um ein vollständiges und umfassendes Verständnis der untersuchten Population anhand einer Reihe wesentlicher Merkmale zu erhalten, ist im Allgemeinen ein System von Durchschnittswerten erforderlich, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.

Es gibt verschiedene Durchschnittswerte:

Arithmetisches Mittel;

Geometrisches Mittel;

Harmonische Mittel;

Quadratischer Mittelwert;

Durchschnittlich chronologisch.

6.1. METHODISCHE ANWEISUNGEN

Ein Durchschnitt ist eine Form eines statistischen Indikators.

Der Durchschnittswert wird geglättet Individuell Merkmale einzelner Bevölkerungseinheiten Die Hauptsache wird offenbart, grundlegend, typisch, was die Gesamtheit als Ganzes charakterisiert.

Durchschnittswert - Das verallgemeinernd Indikator charakterisierend typisch Grad der qualitativen Variation der Merkmale pro Einheit homogen Aggregate unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen.

Verallgemeinern Ein Indikator ist ein Indikator, der die Bevölkerung als Ganzes charakterisiert.

Homogen Eine Menge ist eine Menge, deren Einheiten unter dem Einfluss gemeinsamer grundlegender Ursachen und Entwicklungsbedingungen gebildet werden, die das allgemeine Niveau eines bestimmten Merkmals bestimmen, das für die gesamte untersuchte Bevölkerung charakteristisch ist.

Qualitativ berechneter Durchschnittswert heterogen aggregiert, fiktiv, wahllos.

Obligatorische Bedingungen für die Berechnung von Durchschnittswerten

• 1. Der Durchschnittswert sollte berechnet werden auf der Grundlage von:
  • a) eine qualitativ homogene Bevölkerung;
  • b) massive zuverlässige Daten;
  • c) vergleichbare Daten (nach Gebiet, Zeit, Maßeinheiten, Berechnungsmethoden usw.).
• 2. Der allgemeine Durchschnittswert muss zwingend durch weitere für einzelne Gruppen berechnete Durchschnittswerte, Einzelwerte des gemittelten Merkmals und Durchschnittswerte anderer Indikatoren ergänzt werden.

Die Einhaltung dieser Bedingungen ermöglicht es uns, eine objektive Beschreibung des Phänomens zu erhalten und die richtige Managemententscheidung zu treffen.

Im Jahr 2015 betrug beispielsweise der durchschnittliche monatliche Nominallohn in Russische Föderation in der Gesamtwirtschaft beliefen sich auf 34.030 Rubel, davon 15.758 Rubel. in der Textil- und Bekleidungsproduktion (das ist das niedrigste Gehalt) 81.605 Rubel. - bei der Herstellung von Koks und Erdölprodukten (die höchsten Löhne).

In der wirtschaftlichen Praxis nutzen sie Verschiedene Arten Durchschnittswerte, die in zwei Gruppen unterteilt werden: Leistungsdurchschnitte und Strukturdurchschnitte.

Leistungsdurchschnitte:

• 1) arithmetisches Mittel;
• 2) harmonisches Mittel;
• 3) geometrisches Mittel;
• 4) mittleres Quadrat;
• 5) durchschnittlicher Kubikmeter usw.

Strukturelle Durchschnittswerte: Mode; Median; Quartile; Dezile usw. (wird in Kapitel 7 besprochen).

Die Wahl einer bestimmten Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts hängt ab von:

• 1) von semantische Formel, diese. das Wesen des gemittelten Merkmals, sein Inhalt, seine Beziehung zum endgültigen (bestimmenden) Indikator;
• 2) dem Forscher zur Verfügung stehende Daten;
• 3) der Grad der Variation (Schwankung) des gemittelten Merkmals.

Finale (definieren) Index - Dies ist ein Indikator, ein Wert

was sich nicht ändert, wenn alle Einzelwerte des Merkmals (Xj) durch den Durchschnittswert von X ersetzt werden.

Der definierende Indikator steht entweder im Zähler oder im Nenner der semantischen Formel.

Frage. Wie erstellt man eine semantische Formel zur Berechnung des OV-Durchschnitts?

Rat eines erfahrenen Statistikers. Semantische (logische) Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts aus relativ Indikatoren stimmen überein

mit der Formel zur Berechnung der relativ Indikator.

Semantische Formel durchschnittlicher Prozentsatz der Mängel stimmt mit der Berechnungsformel überein relative Größe der Struktur(Anteil der Mängel am Gesamtproduktionsvolumen):

Es besteht ein gewisser quantitativer Zusammenhang zwischen den Leistungsdurchschnitten, der sogenannte Mehrheitsregel:

Frage. Ist es möglich, eine Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts durch eine andere zu ersetzen und in welchem ​​Fall?

Rat eines erfahrenen Statistikers. Wenn die Variabilität eines Zeichens klein,

Wenn die Werte des Merkmals (X|) nahe beieinander liegen, ist es komplexer

Der Durchschnittswert kann durch einen einfacheren ersetzt werden.

Verwenden Sie beispielsweise anstelle des geometrischen Mittels das arithmetische Mittel.

In diesem Kapitel werden zwei Arten von Durchschnittswerten untersucht: das arithmetische Mittel und das harmonische Mittel.

Andere Arten von Durchschnittswerten werden in den folgenden Kapiteln des Workshops untersucht.

Tabelle 6.1 zeigt die Grundformeln zur Berechnung des arithmetischen Mittels und des harmonischen Mittels.

Tabelle 6.1

Berechnung des arithmetischen Mittels und des harmonischen Mittels

Mittelgroßer Typ	Berechnungsformel
Einfaches arithmetisches Mittel	X ist der Wert des gemittelten Merkmals für einzelne Bevölkerungseinheiten; n ist die Anzahl der Einheiten in der untersuchten Population oder die Anzahl der gemittelten Werte des Merkmals. Wird verwendet, wenn: 1) die Daten sind nicht gruppiert; 2) die Gewichte aller Optionen (/) sind einander gleich; 3) Über Skalen ist nichts bekannt
Arithmetisches Mittel gewichtet	/ - die Anzahl der Einheiten mit einem bestimmten Wert des gemittelten Merkmals, Gewicht, Co-Messer
	D- der Anteil der Einheiten, die einen bestimmten Wert des gemittelten Merkmals haben, Gewicht

Ende

In der Praxis wirtschaftlicher Berechnungen wird am häufigsten der Durchschnitt verwendet. Arithmetik Größe.

Tabelle 6.2 beschreibt bestimmte Eigenschaften des arithmetischen Mittels, die häufig zur Kontrolle und Vereinfachung von Berechnungen verwendet werden.

Tabelle 6.2

Eigenschaften des arithmetischen Mittels

Eigenschaft des arithmetischen Mittels	Formel
1. Beliebig der Durchschnittswert darf nicht geringer sein niedrigster Wert Mittelungscharakteristik und mehr Höchster Wert In Summe
2. Wenn jede Wird der Wert des Merkmals um die gleiche Zahl erhöht oder verringert, dann ändert sich der Durchschnittswert entsprechend
3. Wenn jede Wird der Wert des Merkmals um die gleiche Anzahl erhöht oder verringert, ändert sich der Durchschnittswert entsprechend
4. Wenn Gewicht Wenn alle Optionen mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Durchschnittswert nicht
Folgerung: Bei der Berechnung des Durchschnitts kann das spezifische Gewicht als Gewicht verwendet werden
5. Die Summe der Abweichungen einzelner Optionen von ihrem Durchschnitt ist Null

Berechnung des Durchschnittswertes nach der Momentenmethode

Die Eigenschaften des arithmetischen Mittels ermöglichen eine Vereinfachung der Berechnung von Durchschnittswerten, insbesondere für diskret Variationsreihe, sowie für Intervall Reihen mit Gleichen in Intervallen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Tabelle 6.3

Arbeitsleistung, Stk./Person.	Mitte Intervall	Anzahl der Arbeiter, Personen/	x-x 0, x 0 = 50	h ’h = 20
80 und mehr (80-100)

Lösung. Tabelle 6.3 zeigt eine Intervallvariationsreihe mit gleich in Intervallen. Als Wert des Attributs (x) nehmen wir die Mitte jedes Intervalls (Spalte 1).

Wir vereinbaren, dass die Breite des offenen Intervalls gleich der Breite des angrenzenden geschlossenen Intervalls ist.

Berechnen wir die durchschnittliche Leistung eines Arbeiterteams auf die übliche (nicht vereinfachte) Weise:

Die Berechnungen werden in den Spalten 3 und 4 der Tabelle dargestellt. 6.3.

2. Berechnen Sie den bedingten Durchschnitt (den Durchschnitt der transformierten Optionen):

Die Berechnungen sind in Spalte 5 der Tabelle dargestellt. 6.3.

3. Gehen wir vom bedingten Durchschnitt (x) zum tatsächlichen Durchschnitt (x) über, für den umgekehrte Reihenfolge Lassen Sie uns die Operationen durchführen, die wir mit durchgeführt haben X

Das Ergebnis stimmt mit der Berechnung nach der nichtvereinfachten Methode überein.

Rat eines erfahrenen Statistikers. Wenn die Variationsreihe mit gleich Intervalle, dann müssen die Spalten 1 und 3 der Tabelle nicht berechnet werden. Unmittelbar nach Spalte 2 (/-Frequenzen) füllen wir Spalte x aus. In die Mitte dieser Spalte schreiben wir 0. Die Mitte dieses Intervalls ist x 0 und die Breite des Intervalls beträgt H(Tabelle 6.4).

Tabelle 6.4

Berechnung der durchschnittlichen Leistung nach der Momentenmethode

6.2. LÖSUNG TYPISCHER PROBLEME

Aufgabe 6.1. Berechnen Sie das durchschnittliche Monatsgehalt der Mitarbeiter des Unternehmens im laufenden Jahr anhand der Daten in der Tabelle. 6.5.

Lösung. Die Berechnung des Durchschnittswerts muss mit dem Schreiben einer semantischen Formel beginnen.

Semantisch (.logisch) Durchschnittsgehaltsformel:

Der Algorithmus (Berechnungsformel) für das Durchschnittsgehalt hängt davon ab, welche statistischen Daten dem Forscher zur Verfügung stehen.

Betrachten wir mehrere Optionen.

Ich wähle. Wenn bekannt ist, dass im laufenden Jahr der Lohnfonds für die Arbeitnehmer des Unternehmens für den Monat 2804 Tausend Rubel betrug und 72 Personen im Unternehmen arbeiteten, kann der Durchschnittslohn durch direktes Einsetzen in die semantische Formel 6.2 berechnet werden die uns bekannten Daten über die Lohnkasse und den Personalbestand der Arbeitnehmer:

Abschluss. In diesem Jahr erhielten die Arbeiter des Unternehmens durchschnittlich 38,9 Tausend Rubel pro Monat.

Option II. Daten zu Löhnen und der Zahl der Arbeitnehmer für einzelne Werkstätten des Unternehmens sind bekannt (Tabelle 6.5).

Tabelle 6.5

Lohn- und Gehaltsabrechnung und Anzahl der Arbeiter in einzelnen Werkstätten des Unternehmens pro Monat

Lösung. Die semantische (logische) Formel des Durchschnittslohns hat sich nicht geändert (Formel 6.2). Allerdings weder der Zähler noch der Nenner der semantischen Formel direkt unbekannt, können aber anhand der Daten in der Tabelle berechnet werden. 6.5.

Lass uns aussuchen Symbole(Tabelle 6.6).

Um den Zähler der semantischen Formel „Lohnfonds der Unternehmensarbeiter“ zu berechnen, ist Folgendes erforderlich zu jedem Werkstatt des Unternehmens, multiplizieren Sie die Löhne der Arbeiter (X) mit der Anzahl der Arbeiter (/) und erhalten Sie dann den Lohnfonds für jede Werkstatt (Xf), Addieren Sie ihre Werte und berechnen Sie so den Lohnfonds für das gesamte Unternehmen:

Die Ergebnisse der Berechnungen sind in der Tabelle dargestellt. 6.6.

Tabelle 6.6

Berechnung des durchschnittlichen Gehalts der Arbeitnehmer im Unternehmen pro Monat (arithmetisch gewichteter Durchschnitt)

Dann beträgt das durchschnittliche Gehalt des Unternehmens (X):

Das Durchschnittsgehalt wurde anhand der Durchschnittsformel berechnet Arithmetik gewichtet.

Frage. Mit welcher Genauigkeit soll der Durchschnittswert berechnet werden?

Rat eines erfahrenen Statistikers. Der Genauigkeitsgrad bei der Berechnung des Durchschnittswerts sollte höher sein als der Genauigkeitsgrad der gemittelten Indikatoren, insbesondere wenn deren Werte klein sind.

In unserem Fall werden die Löhne für einzelne Werkstätten des Unternehmens auf eine ganze Zahl (32; 48; 39) genau berechnet, und der Durchschnittslohn beträgt mehr hochgradig Genauigkeit bis zu einem Zehntel einer Zahl (38,9).

Frage. Ist es möglich, die Richtigkeit der Durchschnittswertberechnung zu überprüfen?

Rat eines erfahrenen Statistikers.Beliebig Der Durchschnittswert muss größer als der Mindestwert und kleiner sein Maximalwert Merkmal, das gemittelt wird (Eigenschaft eines beliebigen Durchschnittswerts):

In unserem Fall ist diese Voraussetzung erfüllt:

Folglich lagen bei den Berechnungen keine groben Fehler vor.

Abschluss. In diesem Jahr betrug das durchschnittliche Monatsgehalt der Mitarbeiter des Unternehmens 38,9 Tausend Rubel. Die höchsten Löhne wurden in Werkstatt Nr. 2 mit 48.000 Rubel pro Person erzielt, die niedrigsten in Werkstatt Nr. 1 mit 32.000 Rubel pro Person.

Frage. Welche Formel sollte zur Berechnung des Durchschnittswerts verwendet werden? Nenner semantische Formel, aber der Zähler ist nicht bekannt, aber kann er berechnet werden?

Rat eines erfahrenen Statistikers. Nur wenn bekannt Nenner semantische Formel, und der Zähler ist nicht bekannt, kann aber berechnet werden; der Durchschnittswert wird mithilfe der Durchschnittsformel berechnet Arithmetik gewichtet:

III-Option. Daten zu Löhnen und Lohnfonds der Arbeitnehmer für einzelne Werkstätten des Unternehmens für den Monat sind bekannt (Tabelle 6.7).

Tabelle 6.7

Lohn- und Gehaltsabrechnung und Anzahl der Arbeiter in einzelnen Werkstätten des Unternehmens pro Monat

Lösung. Die semantische (logische) Formel für den Durchschnittslohn bleibt dieselbe (6.2).

Allerdings weder der Zähler noch der Nenner der semantischen Formel direkt Unbekannt. Sie können jedoch anhand der Daten in der Tabelle berechnet werden. 6.7.

Um den Nenner der semantischen Formel „Anzahl der Arbeitnehmer des Unternehmens“ zu berechnen, ist Folgendes erforderlich zu jedem die Werkstatt zur Aufteilung des Lohnfonds ( M) durch die Anzahl der Arbeiter (X) und addieren Sie die resultierenden Daten:

Die Ergebnisse der Berechnungen sind in der Tabelle dargestellt. 6.8.

Tabelle 6.8

Berechnung des durchschnittlichen Gehalts der Arbeitnehmer im Unternehmen pro Monat (gewichteter harmonischer Durchschnitt)

Die Berechnung erfolgte anhand der gewichteten harmonischen Mittelwertformel.

Untersuchung:

Frage. Welche Formel sollte zur Berechnung des Durchschnittswerts verwendet werden, wenn nur der Zähler semantische Formel, aber der Nenner ist nicht bekannt, kann aber berechnet werden?

Rat eines erfahrenen Statistikers. Nur wenn bekannt Zähler semantische Formel, und der Nenner ist nicht bekannt, kann aber berechnet werden; der Durchschnitt wird mithilfe der Durchschnittsformel berechnet harmonisch gewichtet:

IV-Option. Möglicherweise sind weder Angaben zum Lohnfonds noch zur Zahl der Arbeitnehmer bekannt und können nicht berechnet werden. Allerdings sind für jede Werkstatt des Unternehmens Informationen über die Löhne bekannt, d.h. die Werte der gemittelten Kennlinie (xj) sind angegeben (Tabelle 6.9).

Tabelle 6.9

Gehälter der Unternehmensmitarbeiter pro Monat

Lösung. In diesem Fall wird das Durchschnittsgehalt anhand der Durchschnittsformel berechnet Arithmetik einfach basierend auf Lohndaten (ohne Berücksichtigung von Angaben zur Anzahl der Arbeitnehmer):

Untersuchung:

Frage. Aber welche Formel kann den Durchschnittswert berechnen, wenn wir wissen nur die Werte des Merkmals werden gemittelt in einzelnen Bevölkerungseinheiten?

Rat eines erfahrenen Statistikers Wenn weder Zähler noch Nenner der semantischen Formel bekannt sind, aber die Werte des gemittelten Merkmals für einzelne Einheiten der Grundgesamtheit bekannt sind, wird der Durchschnittswert mithilfe der Durchschnittsformel berechnet einfache Arithmetik:

Wie wir sehen, werden die Löhne nach der arithmetischen Durchschnittsformel berechnet einfach und arithmetisches Mittel gewichtet, stimmen quantitativ nicht überein:

Rat eines erfahrenen Statistikers. Arithmetisches Mittel gewichtet liefert immer ein genaueres Ergebnis als das arithmetische Mittel einfach, da es mehr Faktoren berücksichtigt, die den Wert des Durchschnittswerts bestimmen.

In unserem Fall das arithmetische Mittel einfach berücksichtigt nur die Lohnverteilung in den einzelnen Werkstätten und den arithmetischen Durchschnitt gewichtet Dabei wird auch die Anzahl der Arbeitnehmer berücksichtigt, die jeden Lohnwert erhalten.

Aufgabe 6.2. IN Letztes Jahr konnten Karten für Orgelkonzerte für 800, 1000 und 1200 Rubel gekauft werden. IN In diesem Jahr ist der Ticketpreis um 100 Rubel gestiegen.

Lösung.

1. Berechnen Sie den durchschnittlichen Ticketpreis in der Vergangenheit Jahr.

Sinnvolle Formel für den Durchschnittspreis:

Da wir weder den Zähler noch den Nenner der semantischen Formel kennen, aber die Werte des gemittelten Attributs (Preis) kennen, können wir nur die arithmetische Durchschnittsformel verwenden einfach".

Untersuchung:

Abschluss. Im vergangenen Jahr wurden Karten für Orgelkonzerte für durchschnittlich 967 Rubel pro Stück verkauft.

2. Berechnen Sie den durchschnittlichen Ticketpreis im Strom Jahr.

Untersuchung:

Für Vereinfachung Berechnungen, ohne ihre Genauigkeit zu verlieren, verwenden wir die Eigenschaft des Durchschnittswerts (Tabelle 6.2, Eigenschaft 2):

Sofern im laufenden Jahr die Preise gelten Alle Die Eintrittskarten wurden damals um 100 Rubel erhöht Durchschnitt Der Preis wird dieses Jahr 100 Rubel betragen. mehr letztes Jahr Durchschnittspreis:

Abschluss. In diesem Jahr werden Karten für Orgelkonzerte für durchschnittlich 1.067 Rubel pro Stück verkauft.

Rat eines erfahrenen Statistikers. Wenn jede der Wert des Merkmals (X) steigt (sinkt) um die gleiche Zahl, dann steigt (sinkt) der Wert des Durchschnittswerts um die gleiche Zahl.

Aufgabe 6.3. Berechnen Sie den Durchschnittspreis für Eintrittskarten für Orgelkonzerte, wenn Sie wissen, dass im letzten Jahr 33 % der Eintrittskarten zu einem Preis von 1200 Rubel und 57 % zu einem Preis von 900 Rubel verkauft wurden. und 10 % - jeweils 800 Rubel.

Lösung. Wir kennen weder den Zähler noch den Nenner der semantischen Formel und es ist unmöglich, sie gemäß den Bedingungen des Problems zu berechnen:

Bestimmen Sie jedoch Durchschnitt Der Preis von Tickets ist möglich, wenn Sie die Eigenschaft des Durchschnittswerts verwenden (Tabelle 6.2): ​​wenn die Gewichte (J) alle charakteristische Werte ( X) mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren, der Durchschnittswert ändert sich nicht.

Somit,

Abschluss. Im vergangenen Jahr wurden Karten für Orgelkonzerte für durchschnittlich 989 Rubel pro Stück verkauft.

Erklären Sie, warum die durchschnittlichen Ticketpreise in den Aufgaben 6.2 und 6.3 nicht gleich sind.

Rat eines erfahrenen Statistikers. Als Gewichte können spezifische Gewichte (/) verwendet werden. Der Durchschnittswert ändert sich nicht.

Berechnen wir den Durchschnittswert in Intervall Variation

Aufgabe 6.4. Laut Tabelle 6.10 Berechnen Sie die durchschnittliche Leistung der Mitarbeiter des Teams pro Schicht und geben Sie die Art des Durchschnitts an.

Tabelle 6.10

Verteilung der Mannschaftsarbeiter nach Produktion

Lösung. Um die durchschnittliche Leistung der Arbeiter eines Teams pro Schicht zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

Entsprechend den Bedingungen des Problems kennen wir den Nenner der semantischen Formel (die Anzahl der Arbeiter in der Brigade), den Zähler (Produktionsleistung der Arbeiter der Brigade pro Schicht) jedoch nicht, aber er kann durch gefunden werden Multiplizieren der Arbeitsleistung jeder Gruppe mit der Anzahl der Arbeitskräfte. Daher ist es notwendig, die Formel des gewichteten arithmetischen Durchschnitts anzuwenden:

Allerdings werden im Formular Daten zur Arbeitsleistung dargestellt Intervalle, diese. Wir wissen nicht genau, wie viele Produktionseinheiten produziert wurden jeden Arbeiter. Wir wissen nur, dass jeder Arbeiter der Erste ist Gruppen veröffentlichte weniger als 10 Produkte, das zweite - von 10 bis 16 Produkten usw. Welcher Wert sollte als Produktionswert aus jedem Intervall angenommen werden?

Rat eines erfahrenen Statistikers. Wenn die Daten im Formular dargestellt werden Intervall Reihe, dann nehmen wir den Wert des Merkmals (X). Mitte jedes Intervall.

Das erste Intervall „bis 10“ ist offen, da es keine Untergrenze hat. Lassen Sie uns zunächst dieses Intervall „schließen“, bedingt Definieren seiner Untergrenze.

Frage. Wie schließe ich ein offenes Intervall?

Rat eines erfahrenen Statistikers. Größe offen Es wird davon ausgegangen, dass das Intervall gleich ist benachbart es gibt ein geschlossenes Intervall damit.

Der Wert des angrenzenden geschlossenen Intervalls „10-16“ ist 6=16-10, daher ist die untere Grenze des ersten Intervalls 4 = 10-6. Das erste Intervall ist also „4-10“.

Das letzte Intervall „22 und höher“ ist ebenfalls offen. Er hat nicht Spitze Grenzen. Der Wert des angrenzenden geschlossenen Intervalls beträgt 6 = 22 - 16, daher beträgt die Obergrenze des offenen Intervalls 22 + 6 = 28. Das letzte Intervall: „22-28“.

Lassen Sie uns die Lösung in der Tabelle formalisieren. 6.11.

Wir berechnen die Mitte des Intervalls für jede Gruppe mithilfe der einfachen arithmetischen Durchschnittsformel. Zum Beispiel für die erste Gruppe (erstes Intervall):

Tabelle 6.11

Berechnung der durchschnittlichen Arbeitsleistung basierend auf Intervalldaten

Reihe

Produktion von Mannschaftsarbeitern pro Schicht, Stck.	Nummer Arbeitskräfte, Menschlich	Durchschnittliche Leistung der Gruppe, Stk.	Produktproduktion von Brigadearbeitern pro Schicht, Stk.
		(4 + 10): 2 = 7	7 x-5 = 35
		(10 + 16): 2 = 13	13^-18 = 234

Aussagekräftige Formel für die durchschnittliche Leistung:

Basierend auf der semantischen Formel und den uns vorliegenden Daten berechnen wir das Durchschnittsgehalt mithilfe der gewichteten arithmetischen Durchschnittsformel:

Untersuchung:

Abschluss. Die Arbeitsteams produzierten durchschnittlich 16 Produkte pro Schicht.

6.3. AUFGABEN FÜR SELBSTÄNDIGES ARBEITEN

Klug und fähig ist derjenige, der fragt, wenn er an etwas zweifelt.

Lee Shin-in

Aufgabe 6.1. Schreiben Sie eine logische (semantische) Formel zur Berechnung der folgenden Indikatoren:

• 1) durchschnittlicher Kartoffelertrag;
• 2) durchschnittlicher Prozentsatz der Planerfüllung;
• 3) das durchschnittliche Gehalt eines Arbeitnehmers;
• 4) der durchschnittliche Prozentsatz an Premiumprodukten;
• 5) durchschnittliche Kosten pro Produktionseinheit;
• 6) durchschnittlicher Warenpreis;
• 7) durchschnittliche Rentabilität.

Aufgabe 6.2. Ausfüllen der Tabelle 6.12: Berechnen Sie für jedes Quartal des laufenden Jahres den durchschnittlichen Prozentsatz fehlerhafter Produkte für die drei Teams insgesamt. Nennen Sie die Art der Durchschnittswerte, die zur Berechnung herangezogen werden. Analysieren Sie Ihre Ergebnisse.

Tabelle 6.12

Wirtschaftsindikatoren für drei Montageteams

Werkstätten

Brigade	1. Quartal			II. Viertel
	Prozent defekt Produkte	freigeben Produkte,		Prozent defekt Produkte	Freigabe fehlerhafter Produkte, Stk.

Aufgabe 6.3. Ausfüllen der Tabelle 6.13: Berechnen Sie für jeden Monat des laufenden Jahres die durchschnittliche Rentabilität der drei Unternehmen des Gesamtunternehmens.

Analysieren Sie Ihre Ergebnisse. Begründen Sie die Wahl der für die Berechnung verwendeten Durchschnittswerte.

Tabelle 6.13

Wirtschaftsindikatoren für drei Unternehmen der Firma Orpheus

Aufgabe 6.4. Für drei landwirtschaftliche Betriebe der Region liegen für das laufende Jahr folgende Daten vor:

• 1. Berechnen Sie die durchschnittliche Rendite für die gesamten drei Unternehmen für jedes Halbjahr und Jahr.
• 2. Untersuchen Sie die Veränderung des Durchschnittsertrags in der zweiten Jahreshälfte im Vergleich zur ersten. Schlussfolgerungen.
• 3. Analysieren Sie die Veränderung der Struktur der Saatflächen.
• 4. Vervollständigen Sie Ihre Berechnungen in einer Tabelle.

Aufgabe 6.5.Über den Verkauf von Getreide an die Bevölkerung der Region in den drei Filialen des Unternehmens für Februar dieses Jahres sind folgende Daten bekannt:

Tabelle 6.14

Preis und Verkaufsvolumen von Getreide für Februar dieses Jahres

Berechnung:

• 1) der Durchschnittspreis für 1 kg Getreide für das gesamte Unternehmen. Begründen Sie die Wahl der Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts. Stellen Sie die Berechnungen tabellarisch dar;
• 2) der Anteil der Filiale Nr. 1 an der Gesamtmenge des für das Gesamtunternehmen verkauften Getreides.

Schlussfolgerungen ziehen.

Aufgabe 6.6. Laut Tabelle. 6.15 Berechnen Sie den durchschnittlichen Prozentsatz zertifizierter Produkte. Begründen Sie die Wahl der Formel zur Berechnung des Durchschnittswertes.

Ziehen Sie einen Rückschluss auf die Dynamik der Produktqualität, wenn im vergangenen Zeitraum der durchschnittliche Anteil zertifizierter Produkte lag 70,9%.

Tabelle 6.15

Daten zur Zertifizierung von Kvadrat-Produkten

Aufgabe 6.7. Laut Tabelle. 6.16 Berechnen Sie den durchschnittlichen Prozentsatz der Erledigung einer Schichtaufgabe durch die Mitarbeiter des Teams, einschließlich der Momentenmethode.

Tabelle 6.16

Verteilung der Besatzungsmitglieder nach Prozentsatz der abgeschlossenen Schichtaufgaben

Stellen Sie Ihre Berechnungen in einer Tabelle dar. Schlussfolgerungen.

Aufgabe 6.8. Berechnen Sie die durchschnittliche Lohnkategorie der Arbeiter in einer Brigade, wenn 20 % der Arbeiter der dritten Kategorie angehören, 40 % der vierten, 35 % der fünften und der Rest der sechsten. Geben Sie die Art des Durchschnittswerts an, der für die Berechnung verwendet wird. Benennen Sie die Eigenschaft des Durchschnittswerts, den Sie in Ihrer Lösung verwendet haben.

Wie veränderten sich die Qualifikationen der Brigadearbeiter, wenn die durchschnittliche Lohnkategorie der Arbeiter im vergangenen Jahr bei 5,1 lag? Schlussfolgerungen.

Aufgabe 6.9. Café „Ogonyok“ geplant zu kaufen 50 kg Fleisch pro 300 Rubel/kg und 80 kg - um 270 Rubel/kg Allerdings erhöhte der Lieferant die Fleischpreise um das 1,2-fache.

Berechnen Sie, zu welchem ​​durchschnittlichen Preis 1 kg Fleisch tatsächlich eingekauft wurde und wie hoch der durchschnittlich geplante Einkaufspreis war.

Nennen Sie die Art des Durchschnittswerts, der für die Berechnung verwendet wird. Schlussfolgerungen.

Aufgabe 6.10. Im Vorjahr hatten 28 % der Bevölkerung der Region ein Jahreseinkommen für jedes Familienmitglied von 180.000 Rubel, 56 % - 264.000 Rubel und der Rest - 588.000 Rubel.

Präsentieren Sie die Daten in Tabellenform. Bestimmen Sie das durchschnittliche jährliche Pro-Kopf-Familieneinkommen für die gesamte Region.

Geben Sie die Art des Durchschnittswerts an, der für die Berechnung verwendet wird. Schlussfolgerungen ziehen.

Aufgabe 6.11. Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn pro Aktie für das gesamte Unternehmen, wenn der Gewinn für das erste Unternehmen des Unternehmens 168,0 Tausend Rubel, für das zweite 228,8 Tausend Rubel und für das dritte 218,4 Tausend Rubel betrug. Das Ergebnis je Aktie für die Unternehmen der Gesellschaft betrug jeweils 6,0; 5,2; 3,9 Rubel.

Berechnen Sie den Anteil jedes Unternehmens am Gesamtgewinn des Unternehmens.

Stellen Sie die Berechnungen des Problems in einer Tabelle dar. Schlussfolgerungen ziehen.

Aufgabe 6.12. Laut Tabelle. 6.17 Berechnung Durchschnittsalter Mitarbeiter der Organisation unter Angabe der Art des Durchschnittswerts.

Tabelle 6.17

Verteilung der Arbeitnehmer von PJSC „Record“ nach Alter

Erkunden Altersstruktur Mitarbeiter der Organisation, Berechnung der OB-Struktur.

Stellen Sie Ihre Berechnungen in einer Tabelle dar. Schlussfolgerungen.

Aufgabe 6.13. Berechnen Sie die durchschnittliche Arbeitsintensität der Herstellung einer Produkteinheit für das gesamte Unternehmen, wenn die für die Produktion aufgewendete Zeit im ersten Unternehmen des Unternehmens 276.000 Arbeitsstunden betrug, im zweiten - 2016.000 Arbeitsstunden dritter - 3666 Tausend Mannstunden. Stunde. Die Arbeitsintensität des Produkts in den Unternehmen des Unternehmens betrug jeweils 4,6; 11,2; 9,4 Stunden/Stück

Geben Sie die Art des Durchschnittswerts an, der für die Berechnung verwendet wird.

Berechnen Sie den Anteil jedes Unternehmens an der Gesamtzeit, die für die Herstellung der Produkte des Unternehmens aufgewendet wird. Geben Sie die Art der berechneten Geburtshilfe an.

Stellen Sie Ihre Berechnungen in einer Tabelle dar. Schlussfolgerungen ziehen.

Aufgabe 6.14. In Russland gibt es 101 Ausländer in 22 Vereinen der Continental Hockey League (KHL), darunter: 14 aus Kanada, 11 aus den USA, 76 aus Europa. In 14 Vereinen der russischen Volleyball-Superliga sind 17 Ausländer vertreten. In 10 Vereinen der VTB United Basketball League gibt es 53 Ausländer. In der russischen Fußball-Premier-League gibt es 16 Vereine, darunter 131 Ausländer. In der russischen Bandy-Superliga gibt es 13 Mannschaften und nur 6 Ausländer. Hinweis: Alle Teams sind männlich.

Berechnen Sie: 1) die durchschnittliche Anzahl ausländischer Spieler in russischen Vereinen; 2) die Struktur ausländischer Spieler in der KHL nach Ländern. Zeichnen Sie ein Strukturdiagramm. Schlussfolgerungen.

Aufgabe 6.15. Zu den Handels- und Produktionsaktivitäten des Cafés Romashka für September dieses Jahres sind folgende Daten bekannt:

Berechnung:

• 1) Zu welchem ​​Preis kaufte das Café Romashka im September durchschnittlich Waren ein? Geben Sie die Art des berechneten Durchschnittswerts an;
• 2) der Anteil (Anteil) jeder Warencharge am Gesamteinnahmenvolumen des Monats (in %). Bewerten Sie den Rhythmus der Wareneingänge.
• 3) Um wie viel Rubel und Prozent stieg der durchschnittliche Einkaufspreis der Waren, wenn die Waren im Oktober für durchschnittlich 127,81 Rubel/Stück gekauft wurden?

Schlussfolgerungen.

• Abschluss. Jeder Mitarbeiter des Teams produzierte durchschnittlich 48 Produkteinheiten pro Schicht. Bei weiteren Berechnungen der Durchschnittsleistung werden wir vereinfacht die Eigenschaften des arithmetischen Durchschnitts nutzen. 1. In den Berechnungen nehmen wir die transformierten Optionen (x) als Wert des gemittelten Merkmals (x): wobei xq und h beliebige Zahlen sind. Rat eines erfahrenen Statistikers. Die größte Vereinfachung lässt sich erreichen, wenn wir die Mitte des zentralen Intervalls (x0 = 50) als x0 und die Breite des Intervalls (h = 20) als h annehmen.

Zum Zwecke der Analyse und Gewinnung statistischer Schlussfolgerungen auf der Grundlage der Ergebnisse der Zusammenfassung und Gruppierung werden verallgemeinernde Indikatoren berechnet – Durchschnitts- und Relativwerte.

Durchschnittsproblem – alle Einheiten einer statistischen Grundgesamtheit mit einem charakteristischen Wert charakterisieren.

Durchschnittswerte charakterisieren Qualitätsindikatoren unternehmerische Tätigkeit: Vertriebskosten, Gewinn, Rentabilität usw.

Durchschnittswert- Dies ist ein verallgemeinerndes Merkmal von Bevölkerungseinheiten nach einem variierenden Merkmal.

Mittelwerte ermöglichen es Ihnen, die Ausprägungen desselben Merkmals in verschiedenen Populationen zu vergleichen und die Gründe für diese Diskrepanzen zu finden.

Bei der Analyse der untersuchten Phänomene spielen Durchschnittswerte eine enorme Rolle. Der englische Ökonom W. Petty (1623-1687) verwendete häufig Durchschnittswerte. V. Petty wollte Durchschnittswerte als Maß für die Ausgaben für die durchschnittliche tägliche Verpflegung eines Arbeiters verwenden. Die Stabilität des Durchschnittswerts spiegelt die Regelmäßigkeit der untersuchten Prozesse wider. Er glaubte, dass Informationen transformiert werden können, auch wenn nicht genügend Originaldaten vorhanden sind.

Der englische Wissenschaftler G. King (1648-1712) verwendete Durchschnitts- und Relativwerte bei der Analyse von Daten über die Bevölkerung Englands.

Die theoretischen Entwicklungen des belgischen Statistikers A. Quetelet (1796-1874) basieren auf der Widersprüchlichkeit der Natur gesellschaftliche Erscheinungen– höchst stabil in der Masse, aber rein individuell.

Laut A. Quetelet dauerhafte Gründe wirken auf jedes untersuchte Phänomen gleichermaßen ein und machen diese Phänomene einander ähnlich, wodurch für alle gemeinsame Muster entstehen.

Eine Konsequenz der Lehren von A. Quetelet war die Identifizierung von Durchschnittswerten als Haupttechnik der statistischen Analyse. Er sagte, dass statistische Durchschnittswerte keine Kategorie der objektiven Realität darstellen.

A. Quetelet brachte seine Ansichten zum Durchschnitt in seiner Theorie des Durchschnittsmenschen zum Ausdruck. Eine durchschnittliche Person ist eine Person, die alle Eigenschaften einer durchschnittlichen Größe aufweist (durchschnittliche Sterblichkeits- oder Geburtenrate, durchschnittliche Größe und Gewicht, durchschnittliche Laufgeschwindigkeit, durchschnittliche Neigung zu Ehe und Selbstmord, zu guten Taten usw.). Für A. Quetelet durchschnittliche Person- Das ist das Ideal einer Person. Die Widersprüchlichkeit der Theorie des Durchschnittsmenschen von A. Quetelet wurde in der russischen statistischen Literatur in bewiesen spätes XIX-XX Jahrhunderte

Der berühmte russische Statistiker Yu. E. Yanson (1835-1893) schrieb, dass A. Quetelet die Existenz eines Typs des Durchschnittsmenschen in der Natur als etwas Gegebenes annimmt, von dem das Leben des Durchschnittsmenschen abweicht dieses Unternehmens und gegebener Zeit, und dies führt ihn zu einer völlig mechanischen Sicht auf die Bewegungsgesetze soziales Leben: Bewegung ist eine allmähliche Steigerung der durchschnittlichen Eigenschaften einer Person, eine allmähliche Wiederherstellung des Typs; folglich eine solche Nivellierung aller Manifestationen des Lebens des sozialen Körpers, jenseits derer jede Vorwärtsbewegung aufhört.

Der Kern dieser Theorie hat seinen Sinn gefunden weitere Entwicklung in den Werken einer Reihe statistischer Theoretiker als Theorie wahrer Größen. A. Quetelet hatte Anhänger – den deutschen Ökonomen und Statistiker V. Lexis (1837-1914), der die Theorie der wahren Werte auf übertrug Wirtschaftsphänomene öffentliches Leben. Seine Theorie ist als Stabilitätstheorie bekannt. Eine andere Version der idealistischen Durchschnittstheorie basiert auf der Philosophie

Ihr Begründer ist der englische Statistiker A. Bowley (1869–1957) – einer der bedeutendsten Theoretiker der neueren Zeit auf dem Gebiet der Durchschnittstheorie. Sein Konzept der Durchschnittswerte wird in seinem Buch Elements of Statistics dargelegt.

A. Boley betrachtet Durchschnittswerte nur von der quantitativen Seite und trennt damit Quantität von Qualität. A. Boley bestimmt die Bedeutung von Durchschnittswerten (oder „ihrer Funktion“) und stellt das machianische Denkprinzip vor. A. Boley schrieb, dass die Funktion der Durchschnittswerte eine komplexe Gruppe ausdrücken sollte

mit ein paar Primzahlen. Statistische Daten sollten vereinfacht, gruppiert und auf Durchschnittswerte reduziert werden. Diese Ansichten: geteilt von R. Fisher (1890–1968), J. Yule (1871–1951), Frederick S. Mills (1892) usw.

In den 30er Jahren 20. Jahrhundert und in den Folgejahren gilt der Durchschnittswert als sozial wesentliches Merkmal, deren Informationsgehalt von der Homogenität der Daten abhängt.

Die prominentesten Vertreter der italienischen Schule R. Benini (1862-1956) und C. Gini (1884-1965), die Statistik als einen Zweig der Logik betrachteten, erweiterten den Anwendungsbereich der statistischen Induktion, verbanden aber die kognitiven Prinzipien der Logik und Statistik mit der Natur der untersuchten Phänomene, in Anlehnung an die Traditionen der soziologischen Interpretation von Statistiken.

In den Werken von K. Marx und V. I. Lenin kommt Durchschnittswerten eine besondere Rolle zu.

K. Marx argumentierte, dass der Durchschnitt individuelle Abweichungen vom Gesamtniveau ausgleicht und Durchschnittsniveau wird zu einem verallgemeinernden Merkmal eines Massenphänomens. Der Durchschnittswert wird nur dann zu einem solchen Merkmal eines Massenphänomens, wenn eine signifikante Anzahl von Einheiten genommen wird und diese Einheiten qualitativ homogen sind. Marx schrieb, dass der gefundene Durchschnittswert der Durchschnitt von „...vielen verschiedenen Einzelwerten gleicher Art“ sein sollte.

Dem Durchschnittswert kommt in einer Marktwirtschaft eine besondere Bedeutung zu. Es hilft, das Notwendige und Allgemeine, die Tendenz des Musters der wirtschaftlichen Entwicklung direkt durch das Individuelle und Zufällige zu bestimmen.

Durchschnittliche Werte sind verallgemeinernde Indikatoren, in denen die Wirkung allgemeiner Bedingungen und das Muster des untersuchten Phänomens zum Ausdruck gebracht werden.

Statistische Mittelwerte werden auf Basis von Massendaten aus statistisch korrekt organisierter Massenbeobachtung berechnet. Wenn der statistische Durchschnitt aus Massendaten für eine qualitativ homogene Bevölkerung (Massenphänomene) berechnet wird, dann ist er objektiv.

Der Durchschnittswert ist abstrakt, da er den Wert einer abstrakten Einheit charakterisiert.

Aus der Vielfalt des Merkmals einzelne Objekte der Durchschnitt wird abstrahiert. Abstraktion ist die Phase der wissenschaftlichen Forschung. Im Durchschnittswert verwirklicht sich die dialektische Einheit des Einzelnen und des Allgemeinen.

Durchschnittswerte sollten auf der Grundlage eines dialektischen Verständnisses der Kategorien Individuum und Allgemeines, Individuum und Masse angewendet werden.

Das mittlere zeigt etwas Gemeinsames an, das in einem bestimmten einzelnen Objekt enthalten ist.

Um Muster in gesellschaftlichen Massenprozessen zu erkennen, ist der Durchschnittswert von großer Bedeutung.

Die Abweichung des Einzelnen vom Allgemeinen ist Ausdruck des Entwicklungsprozesses.

Der Durchschnittswert spiegelt das charakteristische, typische, reale Niveau der untersuchten Phänomene wider. Die Aufgabe von Durchschnittswerten besteht darin, diese Niveaus und ihre zeitlichen und räumlichen Veränderungen zu charakterisieren.

Der Durchschnitt ist ein allgemeiner Wert, da er in normalen, natürlichen, Allgemeine Bedingungen die Existenz eines bestimmten Massenphänomens als Ganzes betrachtet.

Die objektive Eigenschaft eines statistischen Prozesses oder Phänomens spiegelt sich im Durchschnittswert wider.

Die einzelnen Werte des untersuchten statistischen Merkmals sind für jede Bevölkerungseinheit unterschiedlich. Der Durchschnittswert einzelner Werte einer Art ist ein Produkt der Notwendigkeit, das das Ergebnis der gemeinsamen Wirkung aller Bevölkerungseinheiten ist, die sich in einer Masse sich wiederholender Zufälle manifestiert.

Einige einzelne Phänomene haben Eigenschaften, die in allen Phänomenen vorhanden sind, aber in unterschiedliche Mengen ist die Größe oder das Alter einer Person. Andere Anzeichen eines individuellen Phänomens, qualitativ unterschiedlich verschiedene Phänomene, das heißt, sie sind bei einigen vorhanden und werden bei anderen nicht beobachtet (aus einem Mann wird keine Frau). Der Durchschnittswert wird für qualitativ homogene und nur quantitativ unterschiedliche Merkmale berechnet, die allen Phänomenen einer bestimmten Menge innewohnen.

Der Durchschnittswert spiegelt die Werte des untersuchten Merkmals wider und wird in derselben Dimension wie dieses Merkmal gemessen.

Die Theorie des dialektischen Materialismus lehrt, dass sich alles auf der Welt verändert und entwickelt. Und auch die Merkmale, die durch Durchschnittswerte gekennzeichnet sind, ändern sich und dementsprechend auch die Durchschnittswerte selbst.

Im Leben gibt es einen kontinuierlichen Prozess, etwas Neues zu schaffen. Träger einer neuen Qualität sind einzelne Objekte, dann nimmt die Anzahl dieser Objekte zu und das Neue wird massenhaft, typisch.

Der Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population anhand nur eines Merkmals. Für eine vollständige und umfassende Darstellung der untersuchten Population in einer Reihe bestimmte Zeichen Es ist ein System von Durchschnittswerten erforderlich, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.

2. Arten von Durchschnittswerten

Bei der statistischen Materialverarbeitung treten verschiedene Probleme auf, die gelöst werden müssen, weshalb in der statistischen Praxis unterschiedliche Durchschnittswerte verwendet werden. In der mathematischen Statistik werden verschiedene Durchschnittswerte verwendet, wie zum Beispiel: arithmetisches Mittel; geometrisches Mittel; harmonische Mittel; quadratischer Mittelwert.

Um eine der oben genannten Arten von Durchschnittswerten anzuwenden, ist es notwendig, die untersuchte Bevölkerung zu analysieren und den materiellen Inhalt des untersuchten Phänomens zu bestimmen. Dies alles erfolgt auf der Grundlage von Schlussfolgerungen, die sich aus dem Prinzip der Aussagekraft der Ergebnisse ergeben Wiegen oder Summieren.

Bei der Untersuchung von Durchschnittswerten werden die folgenden Indikatoren und Notationen verwendet.

Das Vorzeichen, anhand dessen der Durchschnitt ermittelt wird, wird aufgerufen gemittelte Kennlinie und wird mit x bezeichnet; der Wert des gemittelten Merkmals für jede Einheit einer statistischen Grundgesamtheit wird aufgerufen seine individuelle Bedeutung, oder Optionen, und bezeichnet als X 1 , X 2 , X 3 ,… X P ; Häufigkeit ist die Wiederholbarkeit einzelner Werte eines Merkmals, bezeichnet durch den Buchstaben F.

Arithmetisches Mittel

Eine der häufigsten Arten von Medien ist arithmetisches Mittel, die berechnet wird, wenn das Volumen des gemittelten Merkmals als Summe seiner Werte in einzelnen Einheiten der untersuchten statistischen Grundgesamtheit gebildet wird.

Zur Berechnung des arithmetischen Mittels wird die Summe aller Stufen des Attributs durch deren Anzahl dividiert.

Wenn einige Optionen mehrmals auftreten, kann die Summe der Stufen des Attributs ermittelt werden, indem jede Stufe mit der entsprechenden Anzahl von Einheiten in der Grundgesamtheit multipliziert und dann die resultierenden Produkte addiert werden. Das so berechnete arithmetische Mittel wird als gewichtet bezeichnet arithmetisches Mittel.

Die Formel für das gewichtete arithmetische Mittel lautet wie folgt:

wo х ich Optionen bin,

f i – Frequenzen oder Gewichte.

In allen Fällen, in denen die Optionen unterschiedliche Nummern haben, sollte ein gewichteter Durchschnitt verwendet werden.

Das arithmetische Mittel verteilt sozusagen den Gesamtwert des Attributs gleichmäßig auf einzelne Objekte, der in Wirklichkeit für jedes von ihnen unterschiedlich ist.

Die Berechnung der Durchschnittswerte erfolgt anhand von in Form von Intervallverteilungsreihen gruppierten Daten, wobei die Varianten des Merkmals, aus dem der Durchschnitt berechnet wird, in Form von Intervallen (von – bis) dargestellt werden.

Eigenschaften des arithmetischen Mittels:

1) Durchschnitt arithmetische Summe variierende Mengen ist gleich der Summe der arithmetischen Mittelwerte: Wenn x i = y i +z i, dann

Diese Eigenschaft zeigt an, in welchen Fällen eine Zusammenfassung von Durchschnittswerten möglich ist.

2) Die algebraische Summe der Abweichungen einzelner Werte eines variierenden Merkmals vom Durchschnitt ist gleich Null, da die Summe der Abweichungen in eine Richtung durch die Summe der Abweichungen in die andere Richtung kompensiert wird:

Diese Regel zeigt, dass der Durchschnitt das Resultierende ist.

3) Wenn alle Optionen in einer Reihe um dieselbe Zahl erhöht oder verringert werden? Wird der Durchschnitt dann um dieselbe Zahl steigen oder fallen?:

4) Wenn alle Varianten der Reihe um das A-fache erhöht oder verringert werden, erhöht oder verringert sich auch die durchschnittliche Variante um das A-fache:

5) Die fünfte Eigenschaft des Durchschnitts zeigt uns, dass er nicht von der Größe der Skalen abhängt, sondern von der Beziehung zwischen ihnen. Als Maßstäbe können nicht nur relative, sondern auch absolute Werte herangezogen werden.

Wenn alle Häufigkeiten der Reihe durch dieselbe Zahl d dividiert oder multipliziert werden, ändert sich der Durchschnitt nicht.

Harmonische Mittel. Um das arithmetische Mittel zu ermitteln, sind mehrere Möglichkeiten und Häufigkeiten bzw. Werte erforderlich X Und F.

Nehmen wir an, dass die einzelnen Werte des Merkmals bekannt sind X und funktioniert X/, und Frequenzen F unbekannt sind, bezeichnen wir zur Berechnung des Durchschnitts das Produkt = X/; Wo:

Der Durchschnitt in dieser Form wird als harmonisch gewichteter Durchschnitt bezeichnet und bezeichnet x Schaden. hoch

Dementsprechend ist das harmonische Mittel identisch mit dem arithmetischen Mittel. Dies gilt, wenn die tatsächlichen Gewichte unbekannt sind F, und die Arbeit ist bekannt fx = z

Wenn das funktioniert fx Bei identischen oder gleichen Einheiten (m = 1) wird das harmonische einfache Mittel verwendet, berechnet nach der Formel:

Wo X– separate Optionen;

N- Nummer.

Geometrisches Mittel

Wenn es n Wachstumskoeffizienten gibt, lautet die Formel für den Durchschnittskoeffizienten:

Dies ist die geometrische Mittelformel.

Das geometrische Mittel ist gleich der Wurzel der Potenz N aus dem Produkt der Wachstumskoeffizienten, die das Verhältnis des Wertes jeder nachfolgenden Periode zum Wert der vorherigen charakterisieren.

Wenn im Formular ausgedrückte Werte einer Mittelung unterliegen quadratische Funktionen, wird der mittlere Quadratwert angewendet. Mithilfe des quadratischen Mittelwerts können Sie beispielsweise die Durchmesser von Rohren, Rädern usw. bestimmen.

Der einfache mittlere Quadratwert wird ermittelt, indem die Quadratwurzel aus dem Quotienten aus der Summe der Quadrate der einzelnen Werte des Attributs durch deren Anzahl gezogen wird.

Das gewichtete mittlere Quadrat ist gleich:

3. Strukturelle Durchschnittswerte. Modus und Median

Zur Charakterisierung der Struktur einer statistischen Grundgesamtheit werden Indikatoren verwendet, die aufgerufen werden Strukturdurchschnitte. Dazu gehören Modus und Median.

Mode (M Ö ) - die häufigste Option. Mode ist der Wert des Attributs, der dem Maximalpunkt der theoretischen Verteilungskurve entspricht.

Mode stellt die am häufigsten vorkommende bzw. typischste Bedeutung dar.

Mode wird in der kommerziellen Praxis verwendet, um die Verbrauchernachfrage zu untersuchen und Preise festzuhalten.

In einer diskreten Reihe ist der Modus die Variante mit der höchsten Frequenz. In einer Intervallvariationsreihe wird der Modus als die zentrale Variante des Intervalls betrachtet, die die höchste Häufigkeit (Besonderheit) aufweist.

Innerhalb des Intervalls müssen Sie den Wert des Attributs ermitteln, das den Modus darstellt.

Wo X Ö– untere Grenze des Modalintervalls;

H– der Wert des Modalintervalls;

f m– Häufigkeit des Modalintervalls;

f t-1 – Häufigkeit des Intervalls vor dem modalen Intervall;

f m+1 – Häufigkeit des Intervalls, das dem modalen Intervall folgt.

Der Modus richtet sich nach der Größe der Gruppen und nach der genauen Lage der Gruppengrenzen.

Mode– die Zahl, die tatsächlich am häufigsten vorkommt (ein eindeutiger Wert ist), in der Praxis die breiteste Anwendung findet (häufigster Käufertyp).

Median (M e ist eine Größe, die die Anzahl einer geordneten Variationsreihe in zwei gleiche Teile teilt: Ein Teil hat Werte des variierenden Merkmals, die kleiner als die durchschnittliche Variante sind, und der andere hat größere Werte.

Median ist ein Element, das größer oder gleich und gleichzeitig kleiner oder gleich der Hälfte der übrigen Elemente der Verteilungsreihe ist.

Die Eigenschaft des Medians besteht darin, dass die Summe der absoluten Abweichungen der Attributwerte vom Median geringer ist als von jedem anderen Wert.

Mit dem Median erhalten Sie genauere Ergebnisse als mit anderen Durchschnittsformen.

Die Reihenfolge zum Ermitteln des Medians in einer Intervallvariationsreihe ist wie folgt: Wir ordnen die einzelnen Werte des Merkmals nach der Rangfolge; Wir ermitteln die akkumulierten Häufigkeiten für eine bestimmte Rangfolge. Anhand der akkumulierten Häufigkeitsdaten ermitteln wir das Medianintervall:

Wo x ich– untere Grenze des Medianintervalls;

ich Mich– der Wert des Medianintervalls;

f/2– Halbsumme der Häufigkeiten der Reihe;

S Mich-1 – die Summe der akkumulierten Häufigkeiten vor dem Medianintervall;

F Mich– Häufigkeit des Medianintervalls.

Der Median teilt die Anzahl einer Reihe in zwei Hälften. Er liegt also vor, wenn die akkumulierte Häufigkeit die Hälfte oder mehr als die Hälfte der Gesamtsumme der Häufigkeiten beträgt und die vorherige (akkumulierte) Häufigkeit weniger als die Hälfte der Bevölkerungszahl beträgt.

5.1. Das Konzept des Durchschnitts

Durchschnittswert - Dies ist ein allgemeiner Indikator, der das typische Ausmaß des Phänomens charakterisiert. Es drückt den Wert eines Merkmals pro Bevölkerungseinheit aus.

Der Durchschnitt verallgemeinert immer die quantitative Variation eines Merkmals, d. h. Bei Durchschnittswerten werden individuelle Unterschiede zwischen Einheiten in der Bevölkerung aufgrund zufälliger Umstände eliminiert. Im Gegensatz zum Durchschnitt erlaubt der absolute Wert, der das Niveau eines Merkmals einer einzelnen Einheit einer Population charakterisiert, keinen Vergleich der Werte eines Merkmals zwischen Einheiten, die zu verschiedenen Populationen gehören. Wenn Sie also die Höhe der Entlohnung von Arbeitnehmern in zwei Unternehmen vergleichen müssen, können Sie auf dieser Grundlage nicht zwei Arbeitnehmer verschiedener Unternehmen vergleichen. Die Vergütung der zum Vergleich ausgewählten Arbeitnehmer ist möglicherweise nicht typisch für diese Unternehmen. Vergleicht man die Höhe der Lohnfonds der betrachteten Unternehmen, bleibt die Zahl der Beschäftigten unberücksichtigt und es lässt sich daher nicht feststellen, wo das Lohnniveau höher ist. Letztendlich können nur Durchschnittsindikatoren verglichen werden, d. h. Wie viel verdient ein Mitarbeiter im Durchschnitt pro Unternehmen? Daher besteht die Notwendigkeit, den Durchschnittswert als verallgemeinerndes Merkmal der Bevölkerung zu berechnen.

Die Berechnung des Durchschnitts ist eine der gebräuchlichsten Verallgemeinerungstechniken; Der Durchschnittsindikator verleugnet, was allen Einheiten der untersuchten Bevölkerung gemeinsam (typisch) ist, während er gleichzeitig die Unterschiede einzelner Einheiten ignoriert. In jedem Phänomen und seiner Entwicklung gibt es eine Kombination aus Zufall und Notwendigkeit. Bei der Berechnung von Durchschnittswerten kraft Gesetzes große Zahlen Unfälle werden aufgehoben, ausgeglichen, so dass von den unwichtigen Merkmalen des Phänomens, von den quantitativen Werten des Attributs im Einzelfall abstrahiert werden kann. In der Fähigkeit, von der Zufälligkeit einzelner Werte und Schwankungen zu abstrahieren, liegt der wissenschaftliche Wert von Durchschnittswerten als verallgemeinernde Merkmale von Aggregaten.

Damit der Durchschnitt wirklich repräsentativ ist, muss er unter Berücksichtigung bestimmter Grundsätze berechnet werden.

Lassen Sie uns auf einige allgemeine Grundsätze für die Verwendung von Durchschnittswerten eingehen.
1. Der Durchschnitt muss für Populationen ermittelt werden, die aus qualitativ homogenen Einheiten bestehen.
2. Der Durchschnitt muss für eine Grundgesamtheit berechnet werden, die aus einer ausreichend großen Anzahl von Einheiten besteht.
3. Der Durchschnitt muss für eine Population berechnet werden, deren Einheiten sich in einem normalen, natürlichen Zustand befinden.
4. Der Durchschnitt sollte unter Berücksichtigung des wirtschaftlichen Inhalts des untersuchten Indikators berechnet werden.

5.2. Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Betrachten wir nun die Arten von Durchschnittswerten, Merkmale ihrer Berechnung und Anwendungsbereiche. Durchschnittswerte werden in zwei große Klassen eingeteilt: Leistungsdurchschnitte, Strukturdurchschnitte.

ZU Leistungsdurchschnitt Dazu gehören die bekanntesten und am häufigsten verwendeten Typen, wie etwa das geometrische Mittel, das arithmetische Mittel und das quadratische Mittel.

Als Strukturdurchschnitte Modus und Median werden berücksichtigt.

Konzentrieren wir uns auf die Leistungsdurchschnitte. Leistungsmittelwerte können je nach Darstellung der Quelldaten einfach oder gewichtet sein. Einfacher Durchschnitt Es wird auf der Grundlage nicht gruppierter Daten berechnet und hat die folgende allgemeine Form:

wobei X i die Variante (der Wert) des gemittelten Merkmals ist;

n – Nummernoption.

Gewichteter Durchschnitt wird auf der Grundlage gruppierter Daten berechnet und hat ein allgemeines Erscheinungsbild

,

wobei X i die Variante (der Wert) des gemittelten Merkmals oder der Mittelwert des Intervalls ist, in dem die Variante gemessen wird;
m – durchschnittlicher Abschlussindex;
f i – Häufigkeit, die angibt, wie oft sie auftritt d.h. Wert Mittelungskennlinie.

Nehmen wir als Beispiel die Berechnung des Durchschnittsalters der Studierenden in einer Gruppe von 20 Personen:

Das Durchschnittsalter berechnen wir mit der einfachen Durchschnittsformel:

Lassen Sie uns die Quelldaten gruppieren. Wir erhalten folgende Vertriebsserie:

Als Ergebnis der Gruppierung erhalten wir einen neuen Indikator – die Häufigkeit, der die Anzahl der Schüler im Alter von X Jahren angibt. Daher wird das Durchschnittsalter der Schüler in der Gruppe anhand der gewichteten Durchschnittsformel berechnet:

Allgemeine Formeln zur Berechnung von Leistungsdurchschnitten haben einen Exponenten (m). Je nach Wert werden folgende Arten von Leistungsdurchschnitten unterschieden:
harmonisches Mittel, wenn m = -1;
geometrisches Mittel, wenn m –> 0;
arithmetisches Mittel, wenn m = 1;
quadratischer Mittelwert, wenn m = 2;
durchschnittlicher Kubikwert, wenn m = 3.

Formeln für Leistungsdurchschnitte sind in der Tabelle angegeben. 4.4.

Wenn Sie alle Arten von Durchschnittswerten für die gleichen Ausgangsdaten berechnen, fallen ihre Werte unterschiedlich aus. Hier gilt die Regel der Mehrheit der Durchschnittswerte: Mit zunehmendem Exponenten m steigt auch der entsprechende Durchschnittswert:

In der statistischen Praxis werden arithmetische Mittel und harmonisch gewichtete Mittel häufiger verwendet als andere Arten gewichteter Durchschnittswerte.

Tabelle 5.1

Arten von Machtmitteln

Eine Art Macht Durchschnitt	Index Abschluss (m)	Berechnungsformel
		Einfach	Gewichtet
Harmonisch	-1
Geometrisch	0
Arithmetik	1
Quadratisch	2
Kubisch	3

Das harmonische Mittel hat mehr komplexes Design als das arithmetische Mittel. Das harmonische Mittel wird für Berechnungen verwendet, wenn nicht die Einheiten der Grundgesamtheit – die Träger des Merkmals – als Gewichte verwendet werden, sondern das Produkt dieser Einheiten mit den Werten des Merkmals (also m = Xf). Auf den durchschnittlichen harmonischen Einfachwert sollte zurückgegriffen werden, wenn beispielsweise die durchschnittlichen Arbeits-, Zeit- und Materialkosten pro Produktionseinheit, pro Teil für zwei (drei, vier usw.) Unternehmen und an der Herstellung beteiligte Arbeiter ermittelt werden sollen vom selben Produkttyp, das gleiche Teil, Produkt.

Die Hauptanforderung an die Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts besteht darin, dass alle Schritte der Berechnung eine tatsächlich sinnvolle Begründung haben; Der resultierende Durchschnittswert sollte die einzelnen Werte des Attributs für jedes Objekt ersetzen, ohne die Verbindung zwischen den einzelnen und den zusammenfassenden Indikatoren zu stören. Mit anderen Worten, der Durchschnittswert muss so berechnet werden, dass, wenn jeder einzelne Wert des gemittelten Indikators durch seinen Durchschnittswert ersetzt wird, ein endgültiger zusammenfassender Indikator unverändert bleibt. verwandtes Thema oder auf andere Weise mit dem gemittelten . Diese Summe wird aufgerufen definieren da die Art seiner Beziehung zu einzelnen Werten die konkrete Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts bestimmt. Lassen Sie uns diese Regel am Beispiel des geometrischen Mittels demonstrieren.

Geometrische Mittelformel

Wird am häufigsten bei der Berechnung des Durchschnittswerts basierend auf der individuellen relativen Dynamik verwendet.

Das geometrische Mittel wird verwendet, wenn eine Folge von Kettenrelativdynamiken vorliegt, die beispielsweise eine Produktionssteigerung gegenüber dem Niveau des Vorjahres anzeigen: i 1, i 2, i 3,..., i n. Offensichtlich wird das Produktionsvolumen im letzten Jahr durch sein Ausgangsniveau (q 0) und die anschließende Steigerung im Laufe der Jahre bestimmt:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Nimmt man q n als bestimmenden Indikator und ersetzt die Einzelwerte der Dynamikindikatoren durch Durchschnittswerte, gelangt man zu der Beziehung

Von hier

5.3. Strukturelle Durchschnittswerte

Für die Untersuchung wird eine besondere Art von Durchschnittswerten verwendet – strukturelle Durchschnittswerte Interne Struktur Reihe der Verteilung von Attributwerten sowie zur Schätzung des Durchschnittswerts (Potenztyp), wenn seine Berechnung anhand der verfügbaren statistischen Daten nicht durchgeführt werden kann (z. B. wenn im betrachteten Beispiel keine Daten zum Volumen vorhanden waren). der Produktion und der Höhe der Kosten für Unternehmensgruppen).

Indikatoren werden am häufigsten als strukturelle Durchschnittswerte verwendet Mode – der am häufigsten wiederholte Wert des Attributs – und Mediane – der Wert eines Merkmals, der die geordnete Folge seiner Werte in zwei gleiche Teile teilt. Dies führt dazu, dass der Wert des Attributs für die eine Hälfte der Einheiten in der Grundgesamtheit den Medianwert nicht überschreitet und für die andere Hälfte nicht darunter liegt.

Wenn das untersuchte Merkmal diskrete Werte aufweist, gibt es keine besonderen Schwierigkeiten bei der Berechnung von Modus und Median. Wenn Daten zu den Werten des Attributs X in Form geordneter Intervalle seiner Änderung (Intervallreihen) dargestellt werden, wird die Berechnung von Modus und Median etwas komplizierter. Da der Medianwert die gesamte Grundgesamtheit in zwei gleiche Teile teilt, landet er in einem der Intervalle des Merkmals X. Mittels Interpolation wird der Wert des Medians in diesem Medianintervall ermittelt:

,

wobei X Me die untere Grenze des Medianintervalls ist;
h Ich – sein Wert;
(Summe m)/2 – die Hälfte der Gesamtzahl der Beobachtungen oder die Hälfte des Volumens des Indikators, der als Gewichtung in den Formeln zur Berechnung des Durchschnittswerts verwendet wird (absolut oder relativ);
S Me-1 – die Summe der Beobachtungen (oder das Volumen des Gewichtungsattributs), die vor Beginn des Medianintervalls akkumuliert wurden;
m Me – die Anzahl der Beobachtungen bzw. das Volumen des Gewichtungsmerkmals im Medianintervall (auch absolut oder relativ).

In unserem Beispiel lassen sich sogar drei Medianwerte ermitteln – basierend auf der Anzahl der Unternehmen, dem Produktionsvolumen und den gesamten Produktionskosten:

So übersteigen in der Hälfte der Unternehmen die Kosten pro Produktionseinheit 125,19 Tausend Rubel, die Hälfte des gesamten Produktvolumens wird mit Kosten pro Produkt von mehr als 124,79 Tausend Rubel hergestellt. und 50 % der Gesamtkosten werden gebildet, wenn die Kosten für ein Produkt über 125,07 Tausend Rubel liegen. Beachten Sie auch, dass eine gewisse Tendenz zu einem Kostenanstieg besteht, da Me 2 = 124,79 Tausend Rubel und das durchschnittliche Niveau bei 123,15 Tausend Rubel liegt.

Bei der Berechnung des Modalwerts eines Merkmals anhand der Daten einer Intervallreihe ist darauf zu achten, dass die Intervalle identisch sind, da davon der Wiederholbarkeitsindikator der Werte des Merkmals X abhängt. Z eine Intervallreihe mit gleichen Intervallen, die Größe der Mode wird bestimmt als

wobei X Mo der untere Wert des Modalintervalls ist;
m Mo – Anzahl der Beobachtungen oder Volumen des Gewichtungsmerkmals im Modalintervall (in absoluten oder relativen Zahlen);
m Mo -1 – das Gleiche gilt für das Intervall vor dem modalen;
m Mo+1 – das Gleiche gilt für das Intervall nach dem Modalintervall;
h – der Wert des Änderungsintervalls des Merkmals in Gruppen.

Für unser Beispiel können wir drei berechnen Modale Bedeutungen basierend auf der Anzahl der Unternehmen, dem Produktionsvolumen und der Höhe der Kosten. In allen drei Fällen ist das Modalintervall gleich, da für dasselbe Intervall die Anzahl der Unternehmen, das Produktionsvolumen und die Gesamthöhe der Produktionskosten am größten sind:

So gibt es am häufigsten Unternehmen mit einem Kostenniveau von 126,75 Tausend Rubel, am häufigsten werden Produkte mit einem Kostenniveau von 126,69 Tausend Rubel hergestellt und am häufigsten werden die Produktionskosten durch ein Kostenniveau von 123,73 Tausend Rubel erklärt.

5.4. Variationsindikatoren

Die spezifischen Bedingungen, unter denen sich jedes der untersuchten Objekte befindet, sowie die Merkmale ihrer eigenen Entwicklung (sozial, wirtschaftlich usw.) werden durch die entsprechenden numerischen Ebenen statistischer Indikatoren ausgedrückt. Auf diese Weise, Variation, diese. Die Diskrepanz zwischen den Niveaus desselben Indikators in verschiedenen Objekten ist objektiver Natur und hilft, das Wesen des untersuchten Phänomens zu verstehen.

Es gibt verschiedene Methoden zur Messung der Variation in Statistiken.

Am einfachsten ist es, den Indikator zu berechnen Variationsbreite H als Differenz zwischen den beobachteten Maximal- (X max) und Minimalwerten (X min) des Merkmals:

H=X max - X min .

Die Variationsbreite zeigt jedoch nur die Extremwerte des Merkmals. Die Wiederholbarkeit von Zwischenwerten wird hier nicht berücksichtigt.

Strengere Merkmale sind Indikatoren für die Variabilität im Verhältnis zum durchschnittlichen Niveau des Attributs. Der einfachste Indikator dieser Art ist durchschnittliche lineare Abweichung L als arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen eines Merkmals von seinem Durchschnittsniveau:

Wenn einzelne X-Werte wiederholbar sind, verwenden Sie die Formel für den gewichteten arithmetischen Durchschnitt:

(Denken Sie daran, dass die algebraische Summe der Abweichungen vom Durchschnittsniveau Null ist.)

Der Indikator der durchschnittlichen linearen Abweichung wird in der Praxis häufig verwendet. Mit ihrer Hilfe werden beispielsweise die Zusammensetzung der Arbeiter, der Produktionsrhythmus, die Gleichmäßigkeit der Materialversorgung analysiert und Systeme materieller Anreize entwickelt. Aber leider erschwert dieser Indikator probabilistische Berechnungen und erschwert die Verwendung mathematischer Statistikmethoden. Daher in statistischer Hinsicht wissenschaftliche Forschung Der am häufigsten zur Messung der Variation verwendete Indikator ist Abweichungen.

Die Varianz des Merkmals (s 2) wird anhand des quadratischen Potenzmittels ermittelt:

.

Der Indikator s gleich heißt Durchschnitt quadratische Abweichung.

IN allgemeine Theorie In der Statistik ist der Streuungsindikator eine Schätzung des gleichnamigen Indikators und (als Summe der quadratischen Abweichungen) eine Schätzung der Streuung in mathematische Statistik, was es ermöglicht, die Erkenntnisse dieser theoretischen Disziplinen zur Analyse sozioökonomischer Prozesse zu nutzen.

Wenn die Variation anhand einer kleinen Anzahl von Beobachtungen aus einer unbegrenzten Population geschätzt wird, wird der Durchschnittswert des Merkmals mit einem gewissen Fehler bestimmt. Es stellt sich heraus, dass der berechnete Wert der Streuung in Richtung einer Abnahme verschoben ist. Um eine unverzerrte Schätzung zu erhalten, muss die anhand der zuvor angegebenen Formeln ermittelte Stichprobenvarianz mit dem Wert n / (n – 1) multipliziert werden. Infolgedessen mit einer kleinen Anzahl von Beobachtungen (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Normalerweise wird die Diskrepanz zwischen den voreingenommenen und den unvoreingenommenen Schätzungen bereits für n > (15–20) unbedeutend. Aus dem gleichen Grund wird die Verzerrung in der Regel nicht in der Formel zur Addition von Varianzen berücksichtigt.

Werden mehrere Stichproben aus der Allgemeinbevölkerung entnommen und jeweils der Mittelwert eines Merkmals ermittelt, so stellt sich das Problem, die Variabilität der Mittelwerte zu beurteilen. Schätzen Sie die Varianz Durchschnittswert Dies ist anhand der Formel nur auf der Grundlage einer Stichprobenbeobachtung möglich

,

wobei n die Stichprobengröße ist; s 2 – Varianz des aus den Stichprobendaten berechneten Merkmals.

Größe wird genannt durchschnittlicher Stichprobenfehler und ist ein Merkmal der Abweichung des Stichprobendurchschnittswerts des Attributs X von seinem wahren Durchschnittswert. Der durchschnittliche Fehlerindikator wird verwendet, um die Zuverlässigkeit der Ergebnisse der Stichprobenbeobachtung zu beurteilen.

Relative Streuungsindikatoren. Um das Maß der Variabilität des untersuchten Merkmals zu charakterisieren, werden Variabilitätsindikatoren in relativen Werten berechnet. Sie ermöglichen es, die Art der Streuung in verschiedenen Verteilungen (unterschiedliche Beobachtungseinheiten desselben Merkmals in zwei Populationen) zu vergleichen unterschiedliche Bedeutungen Durchschnittswerte beim Vergleich verschiedener Populationen). Die Berechnung der Indikatoren des relativen Streuungsmaßes erfolgt als Verhältnis des absoluten Streuungsindikators zum arithmetischen Mittel multipliziert mit 100 %.

1. Schwingungskoeffizient spiegelt die relative Schwankung der Extremwerte des Merkmals um den Durchschnitt wider

.

2. Die relative lineare Abschaltung charakterisiert den Anteil des Mittelwerts am Vorzeichen der absoluten Abweichungen vom Durchschnittswert

.

3. Variationskoeffizient:

ist das am häufigsten verwendete Variabilitätsmaß zur Beurteilung der Typizität von Durchschnittswerten.

In der Statistik gelten Populationen mit einem Variationskoeffizienten von mehr als 30–35 % als heterogen.

Diese Methode zur Bewertung der Variation weist auch einen erheblichen Nachteil auf. Nehmen wir beispielsweise an, dass die ursprüngliche Population von Arbeitnehmern mit einer durchschnittlichen Berufserfahrung von 15 Jahren und einer Standardabweichung von s = 10 Jahren um weitere 15 Jahre „älter wird“. Jetzt = 30 Jahre und die Standardabweichung beträgt immer noch 10. Die zuvor heterogene Bevölkerung (10/15 × 100 = 66,7 % und erwies sich somit im Zeitverlauf als recht homogen (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Theoretisches Studium der Statistik: Sa. Wissenschaftlich Trudov. – M.: Statistik, 1974. S. 19–57.

Vorherige

Thema 5. Durchschnittswerte als statistische Indikatoren

Das Konzept des Durchschnittswerts. Umfang von Durchschnittswerten in der statistischen Forschung

Durchschnittswerte werden in der Phase der Verarbeitung und Zusammenfassung der erhaltenen primären statistischen Daten verwendet. Die Notwendigkeit, Durchschnittswerte zu ermitteln, ergibt sich aus der Tatsache, dass Einzelwerte desselben Merkmals für verschiedene Einheiten der untersuchten Populationen in der Regel nicht gleich sind.

Durchschnittliche Größe bezeichnet einen Indikator, der den allgemeinen Wert eines Merkmals oder einer Gruppe von Merkmalen in der untersuchten Population charakterisiert.

Wird eine Population mit qualitativ homogenen Merkmalen untersucht, so fungiert hier der Durchschnittswert typischer Durchschnitt. Beispielsweise werden für Gruppen von Arbeitnehmern in einer bestimmten Branche mit einem festen Einkommensniveau die typischen durchschnittlichen Ausgaben für Grundbedürfnisse ermittelt, d. h. Der typische Durchschnitt verallgemeinert qualitativ homogene Werte des Attributs in einer bestimmten Population, das den Anteil der Ausgaben der Arbeitnehmer dieser Gruppe für lebenswichtige Güter darstellt.

Bei der Untersuchung einer Population mit qualitativ heterogenen Merkmalen kann die Atypizität durchschnittlicher Indikatoren in den Vordergrund treten. Dies sind beispielsweise die durchschnittlichen Indikatoren des pro Kopf erwirtschafteten Nationaleinkommens (verschiedene). Altersgruppen), durchschnittliche Getreideerträge in ganz Russland (Bezirke verschiedener Klimazonen und verschiedene Getreidearten), durchschnittliche Geburtenraten für alle Regionen des Landes, durchschnittliche Temperaturen für einen bestimmten Zeitraum usw. Dabei verallgemeinern Durchschnittswerte qualitativ heterogene Werte von Merkmalen oder systemische räumliche Aggregate (Internationale Gemeinschaft, Kontinent, Staat, Region, Region etc.) oder über die Zeit ausgedehnte dynamische Aggregate (Jahrhundert, Jahrzehnt, Jahr, Jahreszeit etc.). ). Solche Durchschnittswerte nennt man Systemdurchschnitte.

Die Bedeutung von Durchschnittswerten liegt also in ihrer verallgemeinernden Funktion. Der Durchschnittswert ersetzt große Nummer Einzelwerte eines Merkmals, Erkennen allgemeine Eigenschaften, allen Einheiten der Bevölkerung innewohnend. Dies wiederum ermöglicht es uns, zufällige Ursachen zu vermeiden und allgemeine Muster aufgrund gemeinsamer Ursachen zu erkennen.

Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Auf der Stufe der statistischen Verarbeitung können vielfältige Forschungsprobleme gestellt werden, zu deren Lösung es notwendig ist, den geeigneten Durchschnitt auszuwählen. In diesem Fall muss man sich an folgender Regel orientieren: Die Größen, die Zähler und Nenner des Durchschnitts darstellen, müssen logisch zueinander in Beziehung stehen.

Leistungsdurchschnitte;

Strukturdurchschnitte.

Lassen Sie uns die folgenden Konventionen einführen:

Die Mengen, für die der Durchschnitt berechnet wird;

Durchschnitt, wobei der Balken oben anzeigt, dass eine Mittelung der Einzelwerte stattfindet;

Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Kennwerte).

Daraus werden verschiedene Durchschnittswerte abgeleitet allgemeine Formel Leistungsdurchschnitt:

(5.1)

wenn k = 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - harmonisches Mittel; k = 0 – geometrisches Mittel; k = -2 - quadratischer Mittelwert.

Durchschnittswerte können einfach oder gewichtet sein. Gewichtete Durchschnittswerte Dies sind Werte, die berücksichtigen, dass einige Varianten von Attributwerten unterschiedliche Zahlen haben können und daher jede Option mit dieser Zahl multipliziert werden muss. Mit anderen Worten, die „Skalen“ sind die Anzahl der Aggregateinheiten in verschiedenen Gruppen, d. h. Jede Option wird nach ihrer Häufigkeit „gewichtet“. Die Frequenz f heißt statistisches Gewicht oder Durchschnittsgewicht.

Arithmetisches Mittel- die häufigste Art von Durchschnitt. Es wird verwendet, wenn die Berechnung für nicht gruppierte statistische Daten durchgeführt wird, bei denen Sie den Durchschnittsterm ermitteln müssen. Das arithmetische Mittel ist der Durchschnittswert eines Merkmals, bei dessen Erlangung das Gesamtvolumen des Merkmals im Aggregat unverändert bleibt.

Die Formel für das arithmetische Mittel (einfach) hat die Form

wobei n die Bevölkerungsgröße ist.

Beispielsweise wird das durchschnittliche Gehalt der Mitarbeiter eines Unternehmens als arithmetischer Durchschnitt berechnet:

Die bestimmenden Indikatoren sind hierbei das Gehalt jedes Mitarbeiters und die Anzahl der Mitarbeiter des Unternehmens. Bei der Berechnung des Durchschnitts blieb die Gesamtlohnhöhe gleich, wurde aber gleichmäßig auf alle Arbeitnehmer verteilt. Sie müssen beispielsweise das Durchschnittsgehalt der Arbeitnehmer in einem kleinen Unternehmen mit 8 Mitarbeitern berechnen:

Bei der Berechnung von Durchschnittswerten können einzelne Werte des gemittelten Merkmals wiederholt werden, sodass der Durchschnittswert anhand gruppierter Daten berechnet wird. In diesem Fall wir reden überüber die Verwendung arithmetisches Mittel gewichtet, das die Form hat

(5.3)

Wir müssen also den durchschnittlichen Aktienkurs einiger davon berechnen Aktiengesellschaft beim Börsenhandel. Es ist bekannt, dass die Transaktionen innerhalb von 5 Tagen (5 Transaktionen) durchgeführt wurden, die Anzahl der zum Verkaufskurs verkauften Aktien verteilte sich wie folgt:

1 - 800 AK. - 1010 Rubel.

2 - 650 AK. - 990 Rubel.

3 - 700 AK. - 1015 Rubel.

4 - 550 AK. - 900 Rubel.

5 - 850 AK. - 1150 Rubel.

Das Ausgangsverhältnis zur Ermittlung des durchschnittlichen Aktienpreises ist das Verhältnis des Gesamtbetrags der Transaktionen (TVA) zur Anzahl der verkauften Aktien (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

In diesem Fall war der durchschnittliche Aktienkurs gleich

Es ist notwendig, die Eigenschaften des arithmetischen Mittels zu kennen, was sowohl für seine Verwendung als auch für seine Berechnung sehr wichtig ist. Wir können drei Haupteigenschaften unterscheiden, die die weit verbreitete Verwendung des arithmetischen Durchschnitts in statistischen und wirtschaftlichen Berechnungen am meisten bestimmt haben.

Eigenschaft eins (Null): Die Summe der positiven Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals von seinem Durchschnittswert ist gleich der Summe der negativen Abweichungen. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft, da sie zeigt, dass alle zufälligen Abweichungen (sowohl + als auch -) sich gegenseitig aufheben.

Nachweisen:

Eigenschaft zwei (Minimum): Die Summe der quadrierten Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals vom arithmetischen Mittel ist kleiner als von jeder anderen Zahl (a), d.h. Es gibt eine Mindestanzahl.

Nachweisen.

Lassen Sie uns die Summe der quadratischen Abweichungen von der Variablen a zusammenstellen:

(5.4)

Um das Extremum dieser Funktion zu finden, muss ihre Ableitung nach a mit Null gleichgesetzt werden:

Von hier aus erhalten wir:

(5.5)

Folglich wird das Extremum der Summe der quadratischen Abweichungen bei erreicht. Dieses Extremum ist ein Minimum, da eine Funktion kein Maximum haben kann.

Eigenschaft drei: Das arithmetische Mittel eines konstanten Wertes ist gleich dieser Konstante: für a = const.

Außer diesen drei die wichtigsten Eigenschaften arithmetisches Mittel gibt es sog Designeigenschaften, die durch den Einsatz elektronischer Computertechnik allmählich an Bedeutung verlieren:

Wenn der individuelle Wert des Attributs jeder Einheit mit einer konstanten Zahl multipliziert oder dividiert wird, erhöht oder verringert sich das arithmetische Mittel um den gleichen Betrag.

das arithmetische Mittel ändert sich nicht, wenn die Gewichtung (Häufigkeit) jedes Attributwerts durch eine konstante Zahl geteilt wird;

Wenn die einzelnen Werte des Attributs jeder Einheit um den gleichen Betrag verringert oder erhöht werden, verringert oder erhöht sich das arithmetische Mittel um den gleichen Betrag.

Harmonische Mittel. Dieser Durchschnitt wird als inverser arithmetischer Durchschnitt bezeichnet, da dieser Wert verwendet wird, wenn k = -1.

Einfaches harmonisches Mittel wird verwendet, wenn die Gewichte der Attributwerte gleich sind. Seine Formel kann aus der Grundformel durch Einsetzen von k = -1 abgeleitet werden:

Wir müssen zum Beispiel rechnen Durchschnittsgeschwindigkeit zwei Autos, die die gleiche Strecke zurückgelegt haben, aber mit mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten: erstens – bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h, zweitens – 90 km/h. Mithilfe der harmonischen Mittelwertmethode berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit:

In der statistischen Praxis wird häufiger die harmonisch gewichtete verwendet, deren Formel die Form hat

Diese Formel wird in Fällen verwendet, in denen die Gewichte (oder Volumina von Phänomenen) für jedes Attribut nicht gleich sind. Im Ausgangsverhältnis zur Berechnung des Durchschnitts ist der Zähler bekannt, der Nenner jedoch unbekannt.