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heim  /  Arten und Lokalisierung von Furunkeln/ Wurzeln der Gleichung durch die Diskriminante. Lösen quadratischer Gleichungen, Wurzelformel, Beispiele. Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten

Wurzeln der Gleichung durch die Diskriminante. Lösen quadratischer Gleichungen, Wurzelformel, Beispiele. Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 oder x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nachdem Sie gelernt haben, Gleichungen ersten Grades zu lösen, möchten Sie natürlich mit anderen arbeiten, insbesondere mit Gleichungen zweiten Grades, die sonst quadratisch genannt werden.

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen wie ax² + bx + c = 0, wobei die Variable x ist, die Zahlen a, b, c sind, wobei a ungleich Null ist.

Wenn in einer quadratischen Gleichung der eine oder andere Koeffizient (c oder b) gleich Null ist, wird diese Gleichung als unvollständige quadratische Gleichung klassifiziert.

Wie löst man eine unvollständige quadratische Gleichung, wenn Studierende bisher nur Gleichungen ersten Grades lösen konnten? Betrachten Sie unvollständige quadratische Gleichungen verschiedene Typen und einfache Möglichkeiten, sie zu lösen.

a) Wenn Koeffizient c gleich 0 ist und Koeffizient b nicht gleich 0 ist gleich Null, dann wird ax² + bx + 0 = 0 auf eine Gleichung der Form ax² + bx = 0 reduziert.

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie die Formel zur Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung kennen, die darin besteht, die linke Seite davon zu faktorisieren und später die Bedingung zu verwenden, dass das Produkt gleich Null ist.

Zum Beispiel 5x² - 20x = 0. Wir faktorisieren die linke Seite der Gleichung und führen dabei die übliche mathematische Operation durch: Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern

5x (x - 4) = 0

Wir verwenden die Bedingung, dass die Produkte gleich Null sind.

5 x = 0 oder x - 4 = 0

Die Antwort lautet: Die erste Wurzel ist 0; die zweite Wurzel ist 4.

b) Wenn b = 0 und der freie Term ungleich Null ist, dann wird die Gleichung ax ² + 0x + c = 0 auf eine Gleichung der Form ax ² + c = 0 reduziert. Die Gleichungen werden auf zwei Arten gelöst : a) durch Faktorisieren des Polynoms der Gleichung auf der linken Seite; b) Nutzung der Eigenschaften der Arithmetik Quadratwurzel. Eine solche Gleichung kann beispielsweise mit einer der folgenden Methoden gelöst werden:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Die Antwort lautet: Die erste Wurzel ist 5/2; die zweite Wurzel ist gleich - 5/2.

c) Wenn b gleich 0 und c gleich 0 ist, dann wird ax² + 0 + 0 = 0 auf eine Gleichung der Form ax² = 0 reduziert. In einer solchen Gleichung ist x gleich 0.

Wie Sie sehen, können unvollständige quadratische Gleichungen nicht mehr als zwei Wurzeln haben.

Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Berücksichtigt werden die Fälle reeller, multipler und komplexer Wurzeln. Faktorisieren eines quadratischen Trinoms. Geometrische Interpretation. Beispiele zur Bestimmung von Wurzeln und Faktorisierung.

Grundformeln

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung bekannt sind, kann ein Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren (faktorisiert) dargestellt werden:
.

Als nächstes gehen wir davon aus, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
Lassen Sie uns überlegen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn Sie bauen Graph einer Funktion
,
das ist eine Parabel, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Bei schneidet der Graph die x-Achse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
Wo
; .

Wir haben also die Formel für ein Polynom zweiten Grades in der Form erhalten:
.
Dies zeigt, dass die Gleichung

durchgeführt bei
Und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1


(1.1) .

Lösung


.
Im Vergleich mit unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Von hier aus erhalten wir die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse in zwei Punkten.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten:
Und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antwort

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in Gesamtansicht:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse in einem Punkt.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) in einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Weil diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann wird eine solche Wurzel üblicherweise als Vielfaches bezeichnet. Das heißt, sie glauben, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antwort

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;
.

Dann


.

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine wirklichen Wurzeln.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die x-Achse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Antwort

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.

Erste Ebene

Quadratische Gleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Im Begriff „quadratische Gleichung“ lautet das Schlüsselwort „quadratisch“. Das bedeutet, dass die Gleichung notwendigerweise eine Variable (dasselbe x) im Quadrat enthalten muss und es keine x mit der dritten (oder höheren) Potenz geben darf.

Die Lösung vieler Gleichungen läuft darauf hinaus, quadratische Gleichungen zu lösen.

Lassen Sie uns lernen, festzustellen, dass es sich um eine quadratische Gleichung und nicht um eine andere Gleichung handelt.

Beispiel 1.

Lassen Sie uns den Nenner loswerden und jeden Term der Gleichung mit multiplizieren

Verschieben wir alles auf die linke Seite und ordnen die Terme in absteigender Reihenfolge der Potenzen von X an

Jetzt können wir mit Sicherheit sagen, dass diese Gleichung quadratisch ist!

Beispiel 2.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Obwohl diese Gleichung ursprünglich enthalten war, ist sie nicht quadratisch!

Beispiel 3.

Multiplizieren wir alles mit:

Beängstigend? Der vierte und zweite Grad... Wenn wir jedoch eine Ersetzung vornehmen, werden wir sehen, dass wir eine einfache quadratische Gleichung haben:

Beispiel 4.

Es scheint da zu sein, aber schauen wir uns das genauer an. Verschieben wir alles auf die linke Seite:

Sie sehen, es ist geschrumpft – und jetzt ist es einfach Lineargleichung!

Versuchen Sie nun selbst herauszufinden, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind und welche nicht:

Beispiele:

Antworten:

  1. Quadrat;
  2. Quadrat;
  3. nicht quadratisch;
  4. nicht quadratisch;
  5. nicht quadratisch;
  6. Quadrat;
  7. nicht quadratisch;
  8. Quadrat.

Mathematiker unterteilen herkömmlicherweise alle quadratischen Gleichungen in die folgenden Typen:

  • Vollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen die Koeffizienten und sowie der freie Term c ungleich Null sind (wie im Beispiel). Darüber hinaus gibt es unter den vollständigen quadratischen Gleichungen gegeben- das sind Gleichungen, in denen der Koeffizient (die Gleichung aus Beispiel eins ist nicht nur vollständig, sondern auch reduziert!)
  • Unvollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

    Sie sind unvollständig, weil ihnen ein Element fehlt. Aber die Gleichung muss immer x im Quadrat enthalten!!! Andernfalls handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Gleichung, sondern um eine andere Gleichung.

Warum haben sie sich eine solche Einteilung ausgedacht? Es scheint, dass es ein X im Quadrat gibt, und okay. Diese Einteilung wird durch die Lösungsmethoden bestimmt. Schauen wir uns jeden von ihnen genauer an.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Konzentrieren wir uns zunächst auf die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen – sie sind viel einfacher!

Es gibt Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:

  1. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.
  2. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.
  3. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

1. ich. Da wir wissen, wie man die Quadratwurzel zieht, lassen Sie uns diese Gleichung ausdrücken

Der Ausdruck kann entweder negativ oder positiv sein. Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis immer eine positive Zahl, also: wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen.

Und wenn, dann bekommen wir zwei Wurzeln. Es besteht keine Notwendigkeit, diese Formeln auswendig zu lernen. Die Hauptsache ist, dass Sie wissen und immer daran denken müssen, dass es nicht weniger sein kann.

Versuchen wir, einige Beispiele zu lösen.

Beispiel 5:

Löse die Gleichung

Jetzt müssen Sie nur noch die Wurzel von der linken und rechten Seite extrahieren. Erinnern Sie sich schließlich daran, wie man Wurzeln zieht?

Antwort:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit negativem Vorzeichen!!!

Beispiel 6:

Löse die Gleichung

Antwort:

Beispiel 7:

Löse die Gleichung

Oh! Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln!

Für solche Gleichungen, die keine Wurzeln haben, haben Mathematiker ein spezielles Symbol erfunden – (leere Menge). Und die Antwort kann so geschrieben werden:

Antwort:

Somit hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Hier gibt es keine Einschränkungen, da wir den Root nicht extrahiert haben.
Beispiel 8:

Löse die Gleichung

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus:

Auf diese Weise,

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln.

Antwort:

Die einfachste Art unvollständiger quadratischer Gleichungen (obwohl sie alle einfach sind, oder?). Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Auf Beispiele verzichten wir hier.

Komplette quadratische Gleichungen lösen

Wir erinnern Sie daran, dass eine vollständige quadratische Gleichung eine Gleichung der Form Gleichung wo ist

Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen ist etwas schwieriger (nur ein wenig) als diese.

Erinnern, Jede quadratische Gleichung kann mit einer Diskriminante gelöst werden! Sogar unvollständig.

Mit den anderen Methoden geht es schneller, aber wenn Sie Probleme mit quadratischen Gleichungen haben, meistern Sie zunächst die Lösung mit der Diskriminante.

1. Lösen quadratischer Gleichungen mit einer Diskriminante.

Das Lösen quadratischer Gleichungen mit dieser Methode ist sehr einfach; die Hauptsache ist, sich die Abfolge der Aktionen und ein paar Formeln zu merken.

Wenn ja, dann hat die Gleichung eine Wurzel. Besondere Aufmerksamkeit mach einen Schritt. Diskriminant() gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

  • Wenn ja, wird die Formel im Schritt reduziert auf. Somit hat die Gleichung nur eine Wurzel.
  • Wenn ja, können wir in diesem Schritt die Wurzel der Diskriminante nicht extrahieren. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Kehren wir zu unseren Gleichungen zurück und schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 9:

Löse die Gleichung

Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat.

Schritt 3.

Antwort:

Beispiel 10:

Löse die Gleichung

Die Gleichung wird in Standardform dargestellt, also Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass die Gleichung eine Wurzel hat.

Antwort:

Beispiel 11:

Löse die Gleichung

Die Gleichung wird in Standardform dargestellt, also Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass wir nicht in der Lage sein werden, die Wurzel der Diskriminante zu extrahieren. Es gibt keine Wurzeln der Gleichung.

Jetzt wissen wir, wie man solche Antworten richtig aufschreibt.

Antwort: Keine Wurzeln

2. Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Wenn Sie sich erinnern, gibt es eine Art Gleichung, die als reduziert bezeichnet wird (wenn der Koeffizient a gleich ist):

Solche Gleichungen lassen sich sehr einfach mit dem Satz von Vieta lösen:

Summe der Wurzeln gegeben Die quadratische Gleichung ist gleich und das Produkt der Wurzeln ist gleich.

Beispiel 12:

Löse die Gleichung

Diese Gleichung kann mit dem Satz von Vieta gelöst werden, weil .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist gleich, d.h. wir erhalten die erste Gleichung:

Und das Produkt ist gleich:

Lassen Sie uns das System zusammenstellen und lösen:

  • Und. Der Betrag beträgt;
  • Und. Der Betrag beträgt;
  • Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Antwort: ; .

Beispiel 13:

Löse die Gleichung

Antwort:

Beispiel 14:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Antwort:

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Was ist eine quadratische Gleichung?

Mit anderen Worten, eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, bei der - die Unbekannte, - einige Zahlen und.

Die Zahl wird als höchste oder bezeichnet erster Koeffizient quadratische Gleichung, - zweiter Koeffizient, A - Freies Mitglied.

Warum? Denn wenn die Gleichung sofort linear wird, weil wird verschwinden.

In diesem Fall kann und gleich Null sein. In diesem Stuhl heißt die Gleichung unvollständig. Wenn alle Terme vorhanden sind, ist die Gleichung vollständig.

Lösungen für verschiedene Arten quadratischer Gleichungen

Methoden zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen:

Schauen wir uns zunächst Methoden zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen an – sie sind einfacher.

Wir können die folgenden Arten von Gleichungen unterscheiden:

I., in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

II. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.

III. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.

Schauen wir uns nun die Lösung für jeden dieser Untertypen an.

Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis immer eine positive Zahl. Deshalb:

wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen;

wenn wir zwei Wurzeln haben

Es besteht keine Notwendigkeit, diese Formeln auswendig zu lernen. Das Wichtigste ist, dass es nicht weniger sein kann.

Beispiele:

Lösungen:

Antwort:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit negativem Vorzeichen!

Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln.

Um kurz zu beschreiben, dass es für ein Problem keine Lösungen gibt, verwenden wir das leere Set-Symbol.

Antwort:

Diese Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Antwort:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Lösung hat, wenn:

Diese quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Beispiel:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und die Wurzeln finden:

Antwort:

Methoden zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen:

1. Diskriminant

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist einfach. Die Hauptsache ist, sich die Abfolge der Aktionen und ein paar Formeln zu merken. Denken Sie daran, dass jede quadratische Gleichung mit einer Diskriminante gelöst werden kann! Sogar unvollständig.

Ist Ihnen in der Formel für Wurzeln die Wurzel aus der Diskriminante aufgefallen? Aber die Diskriminante kann negativ sein. Was zu tun ist? Wir müssen Schritt 2 besondere Aufmerksamkeit schenken. Die Diskriminante gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

  • Wenn, dann hat die Gleichung Wurzeln:
  • Wenn ja, dann hat die Gleichung die gleichen Wurzeln und tatsächlich eine Wurzel:

    Solche Wurzeln werden Doppelwurzeln genannt.

  • Wenn ja, wird die Wurzel der Diskriminante nicht extrahiert. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Warum ist es möglich? unterschiedliche Mengen Wurzeln? Wenden wir uns an geometrischer Sinn quadratische Gleichung. Der Graph der Funktion ist eine Parabel:

In einem Sonderfall, bei dem es sich um eine quadratische Gleichung handelt, . Das bedeutet, dass die Wurzeln einer quadratischen Gleichung die Schnittpunkte mit der Abszissenachse (Achse) sind. Eine Parabel schneidet die Achse möglicherweise überhaupt nicht oder an einem (wenn der Scheitelpunkt der Parabel auf der Achse liegt) oder zwei Punkten.

Darüber hinaus ist der Koeffizient für die Richtung der Äste der Parabel verantwortlich. Wenn, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn, dann nach unten.

Beispiele:

Lösungen:

Antwort:

Antwort: .

Antwort:

Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Antwort: .

2. Satz von Vieta

Es ist sehr einfach, den Satz von Vieta anzuwenden: Sie müssen lediglich ein Zahlenpaar auswählen, dessen Produkt gleich dem freien Term der Gleichung ist und dessen Summe gleich dem zweiten Koeffizienten ist, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird.

Es ist wichtig zu bedenken, dass der Satz von Vieta nur in angewendet werden kann reduzierte quadratische Gleichungen ().

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Diese Gleichung kann mit dem Satz von Vieta gelöst werden, weil . Andere Koeffizienten: ; .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist:

Und das Produkt ist gleich:

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und prüfen wir, ob ihre Summe gleich ist:

  • Und. Der Betrag beträgt;
  • Und. Der Betrag beträgt;
  • Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Somit sind und die Wurzeln unserer Gleichung.

Antwort: ; .

Beispiel #2:

Lösung:

Wählen wir Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben, und prüfen wir dann, ob ihre Summe gleich ist:

und: sie geben insgesamt.

und: sie geben insgesamt. Um zu erhalten, reicht es aus, einfach die Vorzeichen der vermeintlichen Wurzeln zu ändern: und schließlich auch des Produkts.

Antwort:

Beispiel #3:

Lösung:

Der freie Term der Gleichung ist negativ und daher ist das Produkt der Wurzeln eine negative Zahl. Dies ist nur möglich, wenn eine der Wurzeln negativ und die andere positiv ist. Daher ist die Summe der Wurzeln gleich Unterschiede ihrer Module.

Wählen wir Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben und deren Differenz gleich ist:

und: ihr Unterschied ist gleich – passt nicht;

und: - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - geeignet. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass eine der Wurzeln negativ ist. Da ihre Summe gleich sein muss, muss die Wurzel mit dem kleineren Modul negativ sein: . Wir überprüfen:

Antwort:

Beispiel #4:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Der freie Term ist negativ und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ. Und das ist nur möglich, wenn eine Wurzel der Gleichung negativ und die andere positiv ist.

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und bestimmen wir dann, welche Wurzeln ein negatives Vorzeichen haben sollen:

Offensichtlich sind nur die Wurzeln für die erste Bedingung geeignet:

Antwort:

Beispiel #5:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Die Summe der Wurzeln ist negativ, was bedeutet, dass mindestens eine der Wurzeln negativ ist. Da ihr Produkt jedoch positiv ist, bedeutet dies, dass beide Wurzeln ein Minuszeichen haben.

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist:

Offensichtlich sind die Wurzeln die Zahlen und.

Antwort:

Stimmen Sie zu, es ist sehr praktisch, Wurzeln mündlich zu finden, anstatt diese unangenehme Diskriminante zu zählen. Versuchen Sie, den Satz von Vieta so oft wie möglich anzuwenden.

Aber der Satz von Vieta wird benötigt, um das Auffinden der Wurzeln zu erleichtern und zu beschleunigen. Damit Sie davon profitieren können, müssen Sie die Aktionen automatisch durchführen. Und lösen Sie dazu fünf weitere Beispiele. Aber betrügen Sie nicht: Sie können keine Diskriminante verwenden! Nur der Satz von Vieta:

Aufgabenlösungen für selbstständiges Arbeiten:

Aufgabe 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Nach dem Satz von Vieta:

Wie üblich beginnen wir die Auswahl mit dem Stück:

Aufgrund der Menge nicht geeignet;

: Die Menge ist genau das, was Sie brauchen.

Antwort: ; .

Aufgabe 2.

Und wieder unser Lieblingssatz von Vieta: Die Summe muss gleich sein und das Produkt muss gleich sein.

Da es aber nicht sein darf, ändern wir die Vorzeichen der Wurzeln: und (insgesamt).

Antwort: ; .

Aufgabe 3.

Hmm... Wo ist das?

Sie müssen alle Begriffe in einen Teil verschieben:

Die Summe der Wurzeln ist gleich dem Produkt.

Okay, hör auf! Die Gleichung ist nicht gegeben. Der Satz von Vieta ist jedoch nur in den gegebenen Gleichungen anwendbar. Zuerst müssen Sie also eine Gleichung angeben. Wenn Sie nicht führen können, geben Sie diese Idee auf und lösen Sie sie auf andere Weise (z. B. durch eine Diskriminante). Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Angabe einer quadratischen Gleichung bedeutet, den führenden Koeffizienten gleich zu machen:

Großartig. Dann ist die Summe der Wurzeln gleich und das Produkt.

Hier ist die Auswahl so einfach wie das Schälen von Birnen: Schließlich handelt es sich um eine Primzahl (sorry für die Tautologie).

Antwort: ; .

Aufgabe 4.

Das freie Mitglied ist negativ. Was ist das Besondere daran? Und Tatsache ist, dass die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben werden. Und jetzt prüfen wir bei der Auswahl nicht die Summe der Wurzeln, sondern den Unterschied in ihren Modulen: Dieser Unterschied ist gleich, aber ein Produkt.

Die Wurzeln sind also gleich und, aber eine davon ist minus. Der Satz von Vieta sagt uns, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen ist. Das bedeutet, dass die kleinere Wurzel ein Minus hat: und, da.

Antwort: ; .

Aufgabe 5.

Was sollten Sie zuerst tun? Richtig, geben Sie die Gleichung an:

Nochmals: Wir wählen die Faktoren der Zahl aus und ihre Differenz sollte gleich sein:

Die Wurzeln sind gleich und, aber eine davon ist minus. Welche? Ihre Summe sollte gleich sein, was bedeutet, dass das Minus eine größere Wurzel hat.

Antwort: ; .

Lassen Sie mich zusammenfassen:
  1. Der Satz von Vieta wird nur in den angegebenen quadratischen Gleichungen verwendet.
  2. Mit dem Satz von Vieta können Sie die Wurzeln durch mündliche Auswahl finden.
  3. Wenn die Gleichung nicht gegeben ist oder kein passendes Faktorenpaar des freien Termes gefunden wird, dann gibt es keine ganzen Wurzeln und Sie müssen sie auf andere Weise lösen (z. B. durch eine Diskriminante).

3. Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats

Wenn alle Terme, die die Unbekannte enthalten, in Form von Termen aus abgekürzten Multiplikationsformeln – dem Quadrat der Summe oder Differenz – dargestellt werden, kann die Gleichung nach dem Ersetzen von Variablen in Form einer unvollständigen quadratischen Gleichung dieser Art dargestellt werden.

Zum Beispiel:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Antwort:

Beispiel 2:

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Antwort:

Im Allgemeinen sieht die Transformation so aus:

Dies impliziert: .

Erinnert Sie an nichts? Das ist eine diskriminierende Sache! Genau so haben wir die Diskriminanzformel erhalten.

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Quadratische Gleichung - Dies ist eine Gleichung der Form, wobei - die Unbekannte, - die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, - der freie Term.

Vollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der die Koeffizienten ungleich Null sind.

Reduzierte quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient, also: .

Unvollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

  • Wenn der Koeffizient, sieht die Gleichung wie folgt aus: ,
  • Wenn ein freier Term vorhanden ist, hat die Gleichung die Form: ,
  • Wenn und, sieht die Gleichung wie folgt aus: .

1. Algorithmus zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen

1.1. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Lassen Sie uns das Unbekannte ausdrücken: ,

2) Überprüfen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks:

  • wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen,
  • Wenn ja, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

1.2. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus: ,

2) Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Daher hat die Gleichung zwei Wurzeln:

1.3. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

Diese Gleichung hat immer nur eine Wurzel: .

2. Algorithmus zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen der Form wo

2.1. Lösung mit Diskriminanz

1) Reduzieren wir die Gleichung auf Standard Ansicht: ,

2) Berechnen wir die Diskriminante mit der Formel: , die die Anzahl der Wurzeln der Gleichung angibt:

3) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:

  • Wenn, dann hat die Gleichung Wurzeln, die durch die Formel gefunden werden:
  • Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
  • Wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln.

2.2. Lösung mit dem Satz von Vieta

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung (Gleichung der Form wo) ist gleich und das Produkt der Wurzeln ist gleich, d. h. , A.

2.3. Lösung durch Auswahl eines vollständigen Quadrats

Kopyevskaya ländliches Gymnasium

10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen

Leitung: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

Mathematiklehrer

Dorf Kopevo, 2007

1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

1.4 Quadratische Gleichungen von al-Khorezmi

1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII Jahrhunderte

1.6 Über den Satz von Vieta

2. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Abschluss

Literatur

1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten, sondern auch zweiten Grades zu lösen, ergab sich schon in der Antike aus der Notwendigkeit, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Grundstücksflächen und auch mit Ausgrabungsarbeiten militärischer Art zu lösen ebenso wie die Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten um 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier.

Mit moderner algebraischer Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Die in den babylonischen Texten dargelegte Regel zur Lösung dieser Gleichungen stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, es ist jedoch nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel gelangten. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte liefern lediglich Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten, ohne Hinweise darauf, wie sie gefunden wurden.

Trotz hohes Niveau Während der Entwicklung der Algebra in Babylon fehlt den keilschriftlichen Texten das Konzept negative Zahl Und allgemeine Methoden Lösen quadratischer Gleichungen.

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste.

Die Arithmetik des Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, sondern eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch die Konstruktion von Gleichungen unterschiedlichen Grades gelöst werden.

Beim Verfassen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier liegt zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 11.„Finden Sie zwei Zahlen und wissen Sie, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist.“

Diophantus argumentiert wie folgt: Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass die erforderlichen Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht gleich 96, sondern 100. Somit wäre eine von ihnen größer als die Hälfte ihrer Summe, d.h. . 10 + x, der andere ist weniger, d.h. 10er. Der Unterschied zwischen ihnen 2x .

Daher die Gleichung:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Von hier x = 2. Eine der erforderlichen Zahlen ist gleich 12 , andere 8 . Lösung x = -2 denn Diophantus existiert nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der benötigten Zahlen als Unbekannte wählen, dann kommen wir zu einer Lösung der Gleichung

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)


Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der erforderlichen Zahlen als Unbekannte wählt; es gelingt ihm, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung (1) zu reduzieren.

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich bereits in der astronomischen Abhandlung „Aryabhattiam“, die 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta verfasst wurde. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte allgemeine Regel Lösungen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form:

ah 2 + B x = c, a > 0. (1)

In Gleichung (1) sind die Koeffizienten, außer A, kann auch negativ sein. Brahmaguptas Herrschaft ist im Wesentlichen dieselbe wie unsere.

IN Altes IndienÖffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme waren üblich. In einem der alten indischen Bücher heißt es über solche Wettbewerbe: „Wie die Sonne mit ihrem Glanz die Sterne übertrifft, so wird ein gelehrter Mann in öffentlichen Versammlungen den Ruhm eines anderen in den Schatten stellen und algebraische Probleme vorschlagen und lösen.“ Probleme wurden oft in poetischer Form dargestellt.

Dies ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskars.

Aufgabe 13.

„Ein Schwarm verspielter Affen und zwölf entlang der Weinreben ...

Die Behörden hatten nach dem Essen Spaß. Sie fingen an zu springen, zu hängen...

Da sind sie auf dem Platz, Teil 8. Wie viele Affen gab es?

Ich hatte Spaß auf der Lichtung. Sag mir, in diesem Paket?

Bhaskaras Lösung zeigt, dass er wusste, dass die Wurzeln quadratischer Gleichungen zweiwertig sind (Abb. 3).

Die Gleichung zu Aufgabe 13 lautet:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel:

x 2 - 64x = -768

und um die linke Seite dieser Gleichung zu einem Quadrat zu vervollständigen, addiert man beide Seiten 32 2 , dann erhalten:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratische Gleichungen in al-Khorezmi

In der algebraischen Abhandlung von al-Khorezmi wird eine Klassifizierung linearer und quadratischer Gleichungen gegeben. Der Autor zählt 6 Arten von Gleichungen und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d. h. Axt 2 + c = B X.

2) „Quadrate sind gleich Zahlen“, d.h. Axt 2 = c.

3) „Die Wurzeln sind gleich der Zahl“, d.h. ah = s.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d. h. Axt 2 + c = B X.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahlen“, d.h. ah 2 + bx = s.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d. h. bx + c = Axt 2 .

Für al-Khorezmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Addenden und keine Subtrahierbaren. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor stellt Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Techniken von al-Jabr und al-Muqabala vor. Seine Entscheidungen stimmen natürlich nicht vollständig mit unseren überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sollte beispielsweise beachtet werden, dass bei der Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art

al-Khorezmi berücksichtigt, wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert, die Nulllösung nicht, wahrscheinlich weil sie bei bestimmten praktischen Problemen keine Rolle spielt. Bei der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen legt al-Khorezmi die Regeln zu deren Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und anschließender geometrischer Beweise fest.

Aufgabe 14.„Das Quadrat und die Zahl 21 entsprechen 10 Wurzeln. Finde die Wurzel“ (was die Wurzel der Gleichung x 2 + 21 = 10x impliziert).

Die Lösung des Autors sieht ungefähr so ​​aus: Teile die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, du erhältst 5, multipliziere 5 mit sich selbst, subtrahiere 21 vom Produkt, was übrig bleibt ist 4. Ziehe die Wurzel aus 4, du erhältst 2. Subtrahiere 2 von 5 , erhalten Sie 3, dies ist die gewünschte Wurzel. Oder addieren Sie 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.

Die Abhandlung von al-Khorezmi ist das erste uns überlieferte Buch, das systematisch die Klassifikation quadratischer Gleichungen darlegt und Formeln zu ihrer Lösung angibt.

1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII bb

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im Buch Abakus dargelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl in islamischen Ländern als auch in islamischen Ländern widerspiegelt Antikes Griechenland zeichnet sich sowohl durch Vollständigkeit als auch durch Klarheit der Darstellung aus. Der Autor entwickelte eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Lösung von Problemen und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte. Sein Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus dem Buch Abakus wurden in fast allen europäischen Lehrbüchern des 16. bis 17. Jahrhunderts verwendet. und teilweise XVIII.

Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen reduziert auf eine einzige kanonische Form:

x 2 + bx = c,

für alle möglichen Kombinationen von Koeffizientenzeichen B , Mit wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Die Ableitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ist von Viète erhältlich, Viète erkannte jedoch nur positive Wurzeln. Zu den ersten im 16. Jahrhundert gehörten die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano und Bombelli. Neben positiven werden auch negative Wurzeln berücksichtigt. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form.

1.6 Über den Satz von Vieta

Der nach Vieta benannte Satz, der die Beziehung zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln ausdrückt, wurde von ihm erstmals 1591 wie folgt formuliert: „Wenn B + D, multipliziert mit A - A 2 , gleich BD, Das A gleicht IN und gleich D ».

Um Vieta zu verstehen, sollten wir uns daran erinnern A, wie jeder Vokalbuchstabe, bedeutete das Unbekannte (unser X), Vokale IN, D- Koeffizienten für das Unbekannte. In der Sprache der modernen Algebra bedeutet die obige Vieta-Formulierung: wenn vorhanden

(ein + B )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + B )x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Die Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der Gleichungen ausdrücken allgemeine Formeln Viet schrieb mithilfe von Symbolen einheitliche Methoden zur Lösung von Gleichungen. Allerdings ist die Symbolik Vietnams noch weit entfernt modernes Aussehen. Er kannte keine negativen Zahlen und berücksichtigte daher beim Lösen von Gleichungen nur Fälle, in denen alle Wurzeln positiv waren.

2. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Quadratische Gleichungen werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Wir alle wissen von der Schule (8. Klasse) bis zum Abschluss, wie man quadratische Gleichungen löst.


Wir beschäftigen uns weiterhin mit dem Thema „ Gleichungen lösen" Wir haben uns bereits mit linearen Gleichungen vertraut gemacht und beginnen mit der Einarbeitung quadratische Gleichungen.

Zunächst werden wir uns ansehen, was eine quadratische Gleichung ist, wie sie in allgemeiner Form geschrieben wird, und entsprechende Definitionen geben. Anschließend werden wir anhand von Beispielen im Detail untersuchen, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Kommen wir zur Lösung vollständige Gleichungen, werden wir die Wurzelformel erhalten, uns mit der Diskriminante einer quadratischen Gleichung vertraut machen und Lösungen für typische Beispiele betrachten. Lassen Sie uns abschließend die Zusammenhänge zwischen den Wurzeln und Koeffizienten verfolgen.

Seitennavigation.

Was ist eine quadratische Gleichung? Ihre Typen

Zuerst müssen Sie klar verstehen, was eine quadratische Gleichung ist. Daher ist es logisch, ein Gespräch über quadratische Gleichungen mit der Definition einer quadratischen Gleichung sowie verwandten Definitionen zu beginnen. Anschließend können Sie die wichtigsten Arten quadratischer Gleichungen betrachten: reduzierte und nichtreduzierte sowie vollständige und unvollständige Gleichungen.

Definition und Beispiele quadratischer Gleichungen

Definition.

Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x 2 +b x+c=0, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und a ungleich Null ist.

Sagen wir gleich, dass quadratische Gleichungen oft als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass die Gleichung quadratisch ist algebraische Gleichung zweiter Grad.

Die angegebene Definition ermöglicht es uns, Beispiele für quadratische Gleichungen zu geben. Also 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 usw. Das sind quadratische Gleichungen.

Definition.

Zahlen a, b und c heißen Koeffizienten der quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0, und der Koeffizient a wird der erste oder höchste oder der Koeffizient von x 2 genannt, b ist der zweite Koeffizient oder der Koeffizient von x, und c ist der freie Term .

Nehmen wir zum Beispiel eine quadratische Gleichung der Form 5 x 2 −2 x −3=0, hier ist der führende Koeffizient 5, der zweite Koeffizient ist gleich −2 und der freie Term ist gleich −3. Beachten Sie, dass, wenn die Koeffizienten b und/oder c negativ sind, wie im gerade gegebenen Beispiel, dann Kurzform Schreiben einer quadratischen Gleichung der Form 5 x 2 −2 x−3=0 und nicht 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Es ist erwähnenswert, dass die Koeffizienten a und/oder b, wenn sie gleich 1 oder −1 sind, normalerweise nicht explizit in der quadratischen Gleichung vorkommen, was auf die Besonderheiten der Schreibweise zurückzuführen ist. Beispielsweise ist in der quadratischen Gleichung y 2 −y+3=0 der führende Koeffizient eins und der Koeffizient von y gleich −1.

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Abhängig vom Wert des Leitkoeffizienten werden reduzierte und nichtreduzierte quadratische Gleichungen unterschieden. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.

Definition.

Eine quadratische Gleichung, in der der führende Koeffizient 1 ist, wird aufgerufen gegebene quadratische Gleichung. Ansonsten lautet die quadratische Gleichung unberührt.

Entsprechend diese Definition, quadratische Gleichungen x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 usw. – gegeben, in jedem von ihnen der erste Koeffizient gleich eins. A 5 x 2 −x−1=0 usw. - nichtreduzierte quadratische Gleichungen, deren führende Koeffizienten von 1 verschieden sind.

Aus jeder nicht reduzierten quadratischen Gleichung können Sie durch Division beider Seiten durch den führenden Koeffizienten zur reduzierten Gleichung gelangen. Diese Aktion ist eine äquivalente Transformation, das heißt, die auf diese Weise erhaltene reduzierte quadratische Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die ursprüngliche nicht reduzierte quadratische Gleichung oder hat, wie diese, keine Wurzeln.

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie der Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten erfolgt.

Beispiel.

Gehen Sie von der Gleichung 3 x 2 +12 x−7=0 zur entsprechenden reduzierten quadratischen Gleichung.

Lösung.

Wir müssen nur beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 3 dividieren, dieser ist ungleich Null, damit wir diese Aktion ausführen können. Wir haben (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, was dasselbe ist, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, und dann (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, von wo . So haben wir die reduzierte quadratische Gleichung erhalten, die der ursprünglichen entspricht.

Antwort:

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Die Definition einer quadratischen Gleichung enthält die Bedingung a≠0. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Gleichung a x 2 + b x + c = 0 quadratisch ist, da sie bei a = 0 tatsächlich zu einer linearen Gleichung der Form b x + c = 0 wird.

Die Koeffizienten b und c können sowohl einzeln als auch zusammen gleich Null sein. In diesen Fällen wird die quadratische Gleichung als unvollständig bezeichnet.

Definition.

Man nennt die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 unvollständig, wenn mindestens einer der Koeffizienten b, c gleich Null ist.

Wiederum

Definition.

Vollständige quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der alle Koeffizienten von Null verschieden sind.

Solche Namen wurden nicht zufällig vergeben. Dies wird aus den folgenden Diskussionen deutlich werden.

Wenn der Koeffizient b Null ist, nimmt die quadratische Gleichung die Form a·x 2 +0·x+c=0 an und ist äquivalent zur Gleichung a·x 2 +c=0. Wenn c=0, das heißt, die quadratische Gleichung hat die Form a·x 2 +b·x+0=0, dann kann sie als a·x 2 +b·x=0 umgeschrieben werden. Und mit b=0 und c=0 erhalten wir die quadratische Gleichung a·x 2 =0. Die resultierenden Gleichungen unterscheiden sich von der vollständigen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides enthalten. Daher ihr Name – unvollständige quadratische Gleichungen.

Die Gleichungen x 2 +x+1=0 und −2 x 2 −5 x+0,2=0 sind also Beispiele für vollständige quadratische Gleichungen, und x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Aus den Informationen im vorherigen Absatz geht hervor, dass dies der Fall ist drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:

  • a·x 2 =0, ihm entsprechen die Koeffizienten b=0 und c=0;
  • a x 2 +c=0 wenn b=0 ;
  • und a·x 2 +b·x=0, wenn c=0.

Lassen Sie uns der Reihe nach untersuchen, wie unvollständige quadratische Gleichungen jedes dieser Typen gelöst werden.

a x 2 =0

Beginnen wir mit der Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, in denen die Koeffizienten b und c gleich Null sind, also mit Gleichungen der Form a x 2 =0. Die Gleichung a·x 2 =0 entspricht der Gleichung x 2 =0, die man aus dem Original erhält, indem man beide Teile durch eine von Null verschiedene Zahl a dividiert. Offensichtlich ist die Wurzel der Gleichung x 2 =0 Null, da 0 2 =0. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was dadurch erklärt wird, dass für jede Zahl p ungleich Null die Ungleichung p 2 >0 gilt, was bedeutet, dass für p≠0 die Gleichheit p 2 =0 nie erreicht wird.

Die unvollständige quadratische Gleichung a·x 2 =0 hat also eine einzige Wurzel x=0.

Als Beispiel geben wir die Lösung der unvollständigen quadratischen Gleichung −4 x 2 =0. Sie entspricht der Gleichung x 2 =0, ihre einzige Wurzel ist x=0, daher hat die ursprüngliche Gleichung eine einzige Nullstelle.

Eine kurze Lösung in diesem Fall kann wie folgt geschrieben werden:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Schauen wir uns nun an, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden, in denen der Koeffizient b Null und c≠0 ist, also Gleichungen der Form a x 2 +c=0. Wir wissen, dass das Verschieben eines Termes von einer Seite der Gleichung auf die andere mit dem entgegengesetzten Vorzeichen sowie die Division beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null eine äquivalente Gleichung ergibt. Daher können wir die folgenden äquivalenten Transformationen der unvollständigen quadratischen Gleichung a x 2 +c=0 durchführen:

  • Verschiebe c auf die rechte Seite, was die Gleichung a x 2 =−c ergibt,
  • und dividiere beide Seiten durch a, wir erhalten .

Die resultierende Gleichung lässt Rückschlüsse auf ihre Wurzeln zu. Abhängig von den Werten von a und c kann der Wert des Ausdrucks negativ (z. B. wenn a=1 und c=2, dann) oder positiv (z. B. wenn a=−2 und c=6 ist) sein. dann ist es nicht Null, da nach der Bedingung c≠0. Schauen wir uns die Fälle separat an.

Wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. Diese Aussage folgt aus der Tatsache, dass das Quadrat jeder Zahl eine nichtnegative Zahl ist. Daraus folgt, dass wann für jede Zahl p die Gleichheit nicht wahr sein kann.

Wenn , dann ist die Situation mit den Wurzeln der Gleichung anders. Wenn wir uns in diesem Fall an erinnern, wird die Wurzel der Gleichung sofort offensichtlich; es ist die Zahl, da . Es ist leicht zu erraten, dass die Zahl tatsächlich auch die Wurzel der Gleichung ist. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was beispielsweise durch Widerspruch gezeigt werden kann. Lass es uns tun.

Bezeichnen wir die Wurzeln der gerade angekündigten Gleichung mit x 1 und −x 1 . Angenommen, die Gleichung hat eine weitere Wurzel x 2, die sich von den angegebenen Wurzeln x 1 und −x 1 unterscheidet. Es ist bekannt, dass das Einsetzen seiner Wurzeln in eine Gleichung anstelle von x die Gleichung in eine korrekte numerische Gleichheit umwandelt. Für x 1 und −x 1 gilt , und für x 2 gilt . Die Eigenschaften numerischer Gleichungen ermöglichen es uns, Term für Term korrekte numerische Gleichungen zu subtrahieren. Die Subtraktion der entsprechenden Teile der Gleichungen ergibt also x 1 2 −x 2 2 =0. Die Eigenschaften von Operationen mit Zahlen ermöglichen es uns, die resultierende Gleichheit als (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 umzuschreiben. Wir wissen, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens eine davon gleich Null ist. Daher folgt aus der resultierenden Gleichheit, dass x 1 −x 2 =0 und/oder x 1 +x 2 =0, was dasselbe ist, x 2 =x 1 und/oder x 2 =−x 1. Damit kamen wir zu einem Widerspruch, da wir zu Beginn sagten, dass die Wurzel der Gleichung x 2 von x 1 und −x 1 verschieden sei. Dies beweist, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln als und hat.

Fassen wir die Informationen in diesem Absatz zusammen. Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 +c=0 entspricht der Gleichung that

  • hat keine Wurzeln, wenn ,
  • hat zwei Wurzeln und , wenn .

Betrachten wir Beispiele für die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen der Form a·x 2 +c=0.

Beginnen wir mit der quadratischen Gleichung 9 x 2 +7=0. Nachdem der freie Term auf die rechte Seite der Gleichung verschoben wurde, nimmt er die Form 9 x 2 =−7 an. Wenn wir beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 dividieren, erhalten wir . Da die rechte Seite eine negative Zahl hat, hat diese Gleichung keine Wurzeln, daher hat die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 +7 = 0 keine Wurzeln.

Lösen wir eine weitere unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0. Wir verschieben die Neun auf die rechte Seite: −x 2 =−9. Teilen wir nun beide Seiten durch −1, so erhalten wir x 2 =9. Auf der rechten Seite steht eine positive Zahl, woraus wir schließen, dass oder . Dann schreiben wir die endgültige Antwort auf: Die unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0 hat zwei Wurzeln x=3 oder x=−3.

a x 2 +b x=0

Es bleibt noch die Lösung der letzten Art unvollständiger quadratischer Gleichungen für c=0. Unvollständige quadratische Gleichungen der Form a x 2 + b x = 0 ermöglichen die Lösung Faktorisierungsmethode. Offensichtlich können wir dies auf der linken Seite der Gleichung tun, wofür es ausreicht, den gemeinsamen Faktor x aus den Klammern zu nehmen. Dadurch können wir von der ursprünglichen unvollständigen quadratischen Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung der Form x·(a·x+b)=0 übergehen. Und diese Gleichung entspricht einem Satz von zwei Gleichungen x=0 und a·x+b=0, wobei letztere linear ist und eine Wurzel x=−b/a hat.

Die unvollständige quadratische Gleichung a·x 2 +b·x=0 hat also zwei Wurzeln x=0 und x=−b/a.

Um das Material zu festigen, analysieren wir die Lösung anhand eines konkreten Beispiels.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Lösung.

Nimmt man x aus der Klammer, erhält man die Gleichung. Es entspricht zwei Gleichungen x=0 und . Wir lösen die resultierende lineare Gleichung: und führen die Division durch gemischte Zahl An gemeinsamer Bruch, wir finden . Daher sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung x=0 und .

Wenn man die nötige Übung erlangt hat, können Lösungen für solche Gleichungen kurz geschrieben werden:

Antwort:

x=0 , .

Diskriminante, Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Um quadratische Gleichungen zu lösen, gibt es eine Wurzelformel. Schreiben wir es auf Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung: , Wo D=b 2 −4 a c- sogenannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Der Eintrag bedeutet im Wesentlichen, dass .

Es ist hilfreich zu wissen, wie die Wurzelformel abgeleitet wurde und wie sie zum Finden der Wurzeln quadratischer Gleichungen verwendet wird. Lassen Sie uns das herausfinden.

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir müssen die quadratische Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 lösen. Lassen Sie uns einige äquivalente Transformationen durchführen:

  • Wir können beide Seiten dieser Gleichung durch eine Zahl a ungleich Null dividieren, was zu der folgenden quadratischen Gleichung führt.
  • Jetzt lasst uns hervorheben Perfektes Viereck auf der linken Seite: . Danach nimmt die Gleichung die Form an.
  • In diesem Stadium ist es möglich, die letzten beiden Terme mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite zu übertragen, wir haben .
  • Und lasst uns auch den Ausdruck auf der rechten Seite umwandeln: .

Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung, die der ursprünglichen quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 entspricht.

Gleichungen ähnlicher Form haben wir bereits in den vorangegangenen Absätzen gelöst, als wir sie untersucht haben. Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen bezüglich der Wurzeln der Gleichung ziehen:

  • wenn , dann hat die Gleichung keine reellen Lösungen;
  • wenn, dann hat die Gleichung also die Form, aus der ihre einzige Wurzel sichtbar ist;
  • wenn, dann oder, was dasselbe ist wie oder, das heißt, die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Somit hängt das Vorhandensein oder Fehlen von Wurzeln der Gleichung und damit der ursprünglichen quadratischen Gleichung vom Vorzeichen des Ausdrucks auf der rechten Seite ab. Das Vorzeichen dieses Ausdrucks wird wiederum durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt, da der Nenner 4·a 2 immer positiv ist, also durch das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 −4·a·c. Dieser Ausdruck wurde b 2 −4 a c genannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung und durch den Buchstaben bezeichnet D. Von hier aus ist das Wesen der Diskriminante klar – basierend auf ihrem Wert und Vorzeichen schließen sie, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat, und wenn ja, welche Zahl hat sie – eins oder zwei.

Kehren wir zur Gleichung zurück und schreiben sie mit der Diskriminanzschreibweise um: . Und wir ziehen Schlussfolgerungen:

  • wenn D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • wenn D=0, dann hat diese Gleichung eine einzelne Wurzel;
  • schließlich, wenn D>0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln oder, die in die Form oder umgeschrieben werden können, und nachdem wir die Brüche erweitert und auf einen gemeinsamen Nenner gebracht haben, erhalten wir.

Also haben wir die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung abgeleitet, sie sehen so aus, wobei die Diskriminante D durch die Formel D=b 2 −4·a·c berechnet wird.

Mit ihrer Hilfe können Sie mit einer positiven Diskriminante beide reellen Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnen. Wenn die Diskriminante gleich Null ist, ergeben beide Formeln den gleichen Wert der Wurzel, was einer eindeutigen Lösung der quadratischen Gleichung entspricht. Und wenn wir bei einer negativen Diskriminante versuchen, die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, müssen wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl ziehen, was den Rahmen des Schullehrplans sprengt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern ein Paar komplexes Konjugat Wurzeln, die mit denselben Wurzelformeln gefunden werden können, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe von Wurzelformeln

In der Praxis können Sie beim Lösen quadratischer Gleichungen sofort die Wurzelformel verwenden, um deren Werte zu berechnen. Dies hängt jedoch eher mit der Suche nach komplexen Wurzeln zusammen.

In einem Schulalgebrakurs ist dies jedoch normalerweise der Fall wir reden über nicht um komplexe, sondern um reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung. In diesem Fall ist es ratsam, vor der Verwendung der Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zunächst die Diskriminante zu finden und sicherzustellen, dass sie nicht negativ ist (andernfalls können wir daraus schließen, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat). und erst dann die Werte der Wurzeln berechnen.

Die obige Argumentation ermöglicht es uns zu schreiben Algorithmus zur Lösung einer quadratischen Gleichung. Um die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 zu lösen, müssen Sie:

  • Berechnen Sie unter Verwendung der Diskriminanzformel D=b 2 −4·a·c seinen Wert;
  • schlussfolgern, dass eine quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln hat, wenn die Diskriminante negativ ist;
  • Berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel, wenn D=0;
  • Finden Sie zwei reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe der Wurzelformel, wenn die Diskriminante positiv ist.

Hier möchten wir nur darauf hinweisen, dass Sie die Formel auch verwenden können, wenn die Diskriminante gleich Null ist; sie liefert den gleichen Wert wie .

Sie können mit Beispielen für die Verwendung des Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen fortfahren.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Betrachten wir Lösungen für drei quadratische Gleichungen mit einer positiven, negativen und Null-Diskriminante. Nachdem wir uns mit ihrer Lösung beschäftigt haben, wird es analog möglich sein, jede andere quadratische Gleichung zu lösen. Lass uns anfangen.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung x 2 +2·x−6=0.

Lösung.

In diesem Fall haben wir die folgenden Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=1, b=2 und c=−6. Nach dem Algorithmus müssen Sie zunächst die Diskriminante berechnen; dazu ersetzen wir die angegebenen a, b und c in der Diskriminantenformel, die wir haben D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Da 28>0, also die Diskriminante größer als Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln. Finden wir sie mithilfe der Wurzelformel, die wir erhalten. Hier können Sie die resultierenden Ausdrücke vereinfachen, indem Sie Folgendes tun Verschieben des Multiplikators über das Wurzelzeichen hinaus gefolgt von der Reduzierung des Bruchs:

Antwort:

Kommen wir zum nächsten typischen Beispiel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lösung.

Wir beginnen mit der Bestimmung der Diskriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Daher hat diese quadratische Gleichung eine einzige Wurzel, die wir als finden, d. h.

Antwort:

x=3,5.

Es bleibt zu überlegen, quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante zu lösen.

Beispiel.

Lösen Sie die Gleichung 5·y 2 +6·y+2=0.

Lösung.

Hier sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=5, b=6 und c=2. Wir setzen diese Werte in die Diskriminanzformel ein, die wir haben D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Die Diskriminante ist negativ, daher hat diese quadratische Gleichung keine echten Wurzeln.

Wenn Sie komplexe Wurzeln angeben müssen, wenden wir die bekannte Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung an und führen sie durch Operationen mit komplexen Zahlen:

Antwort:

Es gibt keine echten Wurzeln, komplexe Wurzeln sind: .

Beachten wir noch einmal: Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung negativ ist, schreiben sie in der Schule normalerweise sofort eine Antwort auf, in der sie darauf hinweisen, dass es keine echten Wurzeln gibt und keine komplexen Wurzeln gefunden werden.

Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten

Mit der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit D=b 2 −4·a·c können Sie eine Formel mit einer kompakteren Form erhalten, mit der Sie quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten für x (oder einfach mit a) lösen können Koeffizient der Form 2·n zum Beispiel oder 14· ln5=2·7·ln5 ). Holen wir sie raus.

Nehmen wir an, wir müssen eine quadratische Gleichung der Form a x 2 +2 n x+c=0 lösen. Lassen Sie uns seine Wurzeln anhand der Formel finden, die wir kennen. Dazu berechnen wir die Diskriminante D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), und dann verwenden wir die Wurzelformel:

Bezeichnen wir den Ausdruck n 2 −a c als D 1 (manchmal wird er auch mit D " bezeichnet). Dann nimmt die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form an , wobei D 1 =n 2 −a·c.

Es ist leicht zu erkennen, dass D=4·D 1 oder D 1 =D/4. Mit anderen Worten, D 1 ist der vierte Teil der Diskriminante. Es ist klar, dass das Vorzeichen von D 1 das gleiche ist wie das Vorzeichen von D . Das heißt, das Zeichen D 1 ist auch ein Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen von Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Um also eine quadratische Gleichung mit einem zweiten Koeffizienten 2·n zu lösen, benötigen Sie

  • Berechnen Sie D 1 =n 2 −a·c ;
  • Wenn D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Wenn D 1 =0, dann berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel;
  • Wenn D 1 >0, dann finden Sie mithilfe der Formel zwei reelle Wurzeln.

Betrachten wir die Lösung des Beispiels mithilfe der in diesem Absatz erhaltenen Wurzelformel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung 5 x 2 −6 x −32=0 .

Lösung.

Der zweite Koeffizient dieser Gleichung kann als 2·(−3) dargestellt werden. Das heißt, Sie können die ursprüngliche quadratische Gleichung in der Form 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, hier a=5, n=−3 und c=−32, umschreiben und den vierten Teil davon berechnen Diskriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Da ihr Wert positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln. Finden wir sie mithilfe der entsprechenden Wurzelformel:

Beachten Sie, dass es möglich war, die übliche Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, in diesem Fall wäre jedoch mehr Rechenarbeit erforderlich.

Antwort:

Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen

Bevor man mit der Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe von Formeln beginnt, kann es manchmal nicht schaden, die Frage zu stellen: „Ist es möglich, die Form dieser Gleichung zu vereinfachen?“ Stimmen Sie zu, dass es rechnerisch einfacher sein wird, die quadratische Gleichung 11 x 2 −4 x−6=0 zu lösen als 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typischerweise wird die Form einer quadratischen Gleichung vereinfacht, indem beide Seiten mit einer bestimmten Zahl multipliziert oder dividiert werden. Im vorherigen Absatz war es beispielsweise möglich, die Gleichung 1100 x 2 −400 x −600=0 zu vereinfachen, indem beide Seiten durch 100 dividiert wurden.

Eine ähnliche Transformation wird mit quadratischen Gleichungen durchgeführt, deren Koeffizienten nicht sind. In diesem Fall werden normalerweise beide Seiten der Gleichung durch die Absolutwerte ihrer Koeffizienten dividiert. Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 12 x 2 −42 x+48=0. absolute Werte seiner Koeffizienten: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Wenn wir beide Seiten der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 dividieren, erhalten wir die äquivalente quadratische Gleichung 2 x 2 −7 x+8=0.

Und die Multiplikation beider Seiten einer quadratischen Gleichung erfolgt normalerweise, um gebrochene Koeffizienten zu entfernen. In diesem Fall erfolgt die Multiplikation mit den Nennern seiner Koeffizienten. Wenn beispielsweise beide Seiten der quadratischen Gleichung mit LCM(6, 3, 1)=6 multipliziert werden, nimmt sie die einfachere Form x 2 +4·x−18=0 an.

Abschließend stellen wir fest, dass sie das Minus am höchsten Koeffizienten einer quadratischen Gleichung fast immer dadurch entfernen, dass sie die Vorzeichen aller Terme ändern, was einer Multiplikation (oder Division) beider Seiten mit −1 entspricht. Beispielsweise geht man normalerweise von der quadratischen Gleichung −2 x 2 −3 x+7=0 zur Lösung 2 x 2 +3 x−7=0 über.

Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung drückt die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten aus. Basierend auf der Wurzelformel können Sie andere Beziehungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten ermitteln.

Die bekanntesten und anwendbarsten Formeln aus dem Satz von Vieta haben die Form und . Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit entgegengesetztem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Wenn wir uns zum Beispiel die Form der quadratischen Gleichung 3 x 2 −7 x + 22 = 0 ansehen, können wir sofort sagen, dass die Summe ihrer Wurzeln gleich 7/3 und das Produkt der Wurzeln gleich 22 ist /3.

Mit den bereits geschriebenen Formeln können Sie eine Reihe weiterer Zusammenhänge zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der quadratischen Gleichung herstellen. Sie können beispielsweise die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch ihre Koeffizienten ausdrücken: .

Referenzliste.

  • Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studierende Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.